常用逻辑用语

常用逻辑用语1．充要条件的判断：（1）定义法----正、反方向推理注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”（2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

2．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ；p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑵或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3．四种命题的相互关系4。

四种命题：⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ； ⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；一：例题讲解1．命题“若，则”的逆否命题是（ ）．A ． 若，则B ． 若，则C ． 若，则D ． 若，则2．命题：，的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．已知命题:"若,则",则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A ．B ．C ．D ． 4．已知命题：，，则：A ． ，B ． ，C ．，D ．，5．设,则“”是“”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件二、练习题16．如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ） A ． 命题p ，q 均为真命题 B ． 命题p ，q 均为假命题C ． 命题p ，q 有且只有一个为真命题D ． 命题p 为真命题，q 为假命题 7．命题:p 若0x <，则()ln 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ）A ． p 真， q 真B ． p 真， q 假C ． p 假， q 真D ． p 假， q 假 8．命题“，则”的逆否命题是（ ） A ． 若，则 B ． 若，则 C ． 若，则D ． 若，则9．设，，则是成立的A ． 必要不充分条件B ． 充分不必要条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件10．设命题, ,则命题成立是命题成立的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 11．设,则“2-x ≥0”是“≤1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 12．已知命题；命题，．则下列命题为真命题的是（ ）．A ．B ．C ．D ．13．设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y|”的( ) A ． 充要条件 B ． 充分而不必要条件 C ． 必要而不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件14．条件p:|x+1|>2,条件q:x ≥2,则是的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 15．设：，：，则是的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件三、练习题216．命题“若x=3,则x 2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 17．已知命题：，命题：，，则下列说法正确的是（ ）A ． 命题是假命题B ． 命题是真命题C ． 命题是真命题 D ． 命题是假命题18．命题“若0x y +=，则0x =或0y =”的逆否命题是（ ）A ． 若0x y +=，则0x =且0y =B ． 若0x y +≠，则0x ≠或0y ≠C ． 若0x =或0y =，则0x y +≠D ． 若0x ≠且0y ≠，则0x y +≠19．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（ ） A ． 命题p 与命题q 都是真命题 B ． 命题p 与命题q 都是假命题 C ． 命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ． 命题p 是假命题，命题q 是真命题 20．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）A ． 充要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ． 既不充分也不必要条件 21．命题“”的否定为（ ） A ．B ．C ．D ．22．设，则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 23．“α＝”是“sin α＝”的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件24．“0x >”是“()10x x +>”成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 既不充分也不必要条件D ． 充要条件 25．设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）A ． 必要不充分条件B ． 充分不必要条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件。

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。

第8讲 常用逻辑用语一、重点1.四种命题的相互关系及其真假判断；2.充分性、必要性的判断；3.命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断；4.全称量词与存在量词的意义.难点：1.充分性、必要性的判断；2. 对含有一个量词的命题的否定. 三、典例分析【题型一】四种命题及其关系知识梳理1．命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的可以 的陈述句．(2)特点：能判断真假,是陈述句． (3)分类：真命题、假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ． ②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性 ． 【例1】1、判断下列命题的真假（1）若B A x ⋂∉，则A x ∉且B x ∉; （2）若022≠+y x ，则0≠xy ； （3）若y x ≠或y x -≠，则y x ≠2、下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题； ④“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题；⑤“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”， 而由ab ≠0可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命 题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”为真命题． 答案 ②③⑤【题型二】 充分、必要、充要条件的判断 知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假 “若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系 p qp q条件关系p 是q 的_____条件 q 是p 的_____条件p 不是q 的_____条件 q 不是p 的_____条件注：在逻辑推理中p ⇒q ，能表达成以下5种说法：①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件；④q 的充分条件是p ；⑤p 的必要条件是q. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示p ⇒q ，只是说法不同而已．2. 充要条件：一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称_________．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的_________ ，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．3. 充分条件、必要条件、充要条件的判断（1）若p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分而不必要条件； （2）若q ⇒p ，但p q ，则p 是q 的必要而不充分条件； （3）若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；（4）若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【例2】1．（2016年江西师大附中高三上学期期末） “”是“曲线为双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当3>m 时，02>-m ，121)2(2222=--⇒=--m y m x y m mx ，原方程是双曲线方3m >22(2)1mx m y --=程；当原方程为双曲线方程时，有202,0>⇒>->m m m ；由以上说明可知3>m 是“曲线1)2(22=--y m mx 是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A.2、(2016届安徽合肥中学等六校高三第二次联考）在等差数列{}n a 中，“13a a <”是“数列{}n a 是单调递增数列”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要件 【答案C 】3. (2015—2016学年度內蒙古巴彥一中高二理数检测题）设()1:210,:021x p x m m q x -+<>>-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．【答案: (]02，】【变式训练2】1. 若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 .2. 已知p ：020-8-2≤x x ，q ：0-12-22≤+m x x （m>0）,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。

其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。

（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。

5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。

常用逻辑用语知识要点
1、逻辑联结词：
命题．逻辑联结词．
简单命题．复合命题．
构成复合命题的三种形式．
简单命题的真假判断．
复合命题的真假判断
2、四种命题的关系：
原命题．逆命题．否命题．逆否命题．
等价命题．
基本关系
3、全称量词、存在量词
(1) 全称量词：短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中通常叫做．
(2) 全称命题：含有全称量词的命题，叫做，全称命题“对M中任意一个x，有
p(x)成立”，简记作．
(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做．
(4) 特称命题：含有存在量词的命题，叫做，特称命题“在M中存在一个x，使p(x)
成立”，简记作．
(5)命题的否定与否命题：
命题的否定．否命题．
(6)全称命题与特称命题的关系：
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
4．充分条件与必要条件：
(1)若，则p是q的充分条件
(2)若，则p是q的不充分条件
(3)若，则p是q的必要条件
(4)若，则p是q的不必要条件
(5)若，则p是q的充分不必要条件；
(6)若，则p是q的必要不充分条件
(7)若，则p是q的既充分又必要条件，简称充要条件
(8)若，则p是q的既不充分也不必要条件。

常用逻辑用语常用逻辑用语是指在日常会话中，用来解释、表达思想、推理判断、讨论和争论等，便于交流和发表观点的一系列用语。

它可以帮助辩论者更有系统、清晰地表达思想，从而让听众和准备卷面更易理解书写文章。

一、观点和结论观点是句子中提出的一种主张、主张的看法或立场，其用语可以是肯定或否定的，比如：1.肯定：教育是社会发展的重要因素。

2.否定：在现代社会中，犯罪行为似乎是经济发展最主要的因素。

结论是推理得出的结果，其用语也可以是肯定或否定的，比如：1.肯定：因此，可以得出结论，教育是社会发展的基础。

2.否定：因此，可以得出结论，犯罪行为并不是经济发展的基础。

二、因果关系因果关系是指一个因素导致另一个因素的发生或发展，其一般用语为：1.因为……，所以……2.由于……，因此……例如：因为经济条件良好，所以社会发展较快。

由于教育水平得到了大幅提高，因此犯罪率有所下降。

三、对比对比是用来比较两个或多个事物的不同或相似之处，其用语一般为：1.与……相比，……2.跟……不同，……例如：与传统教育相比，网络教育更加便利。

跟传统教育不同，网络教育的弊端也比较多。

四、递进递进关系是多个观点或事实的排列方式，也是构成论文中的绝佳逻辑结构，常用的用语有：1.除此之外2.此外3.另一方面4.再者5.最后例如：首先，网络教育更加便捷；其次，网络教育费用较低；此外，网络教育拥有丰富的学习资源；再者，网络教育可以更好的满足学习者的需求；最后，网络教育能够更方便、快速地向社会传播知识。

五、总结总结是在文章或论文末尾，总结文章开头所提出的观点，并加上作者个人的观点，用语常有：1.总之2.因此3.表明4.证明例如：总之，教育是社会发展的重要因素，网络教育以其方便快捷，丰富的学习资源，能够更好地满足学习者的需求等特点，在发展中发挥着重要作用，但其弊端也不容忽视。

常用逻辑用语知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 真假 假 假 假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 典型例题例1、已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围。

常用逻辑用语一、充分条件与必要条件1.1、命题的定义在数学中，命题是用来判断一件事情的句子。

这些句子用语言、符号或数学式子来表达，并且能够明确地判断为真或假。

数学命题是数学推理和证明的基础，它们构成了数学理论的基石。

注意：命题的明确性和可判断性。

1.2、真命题与假命题真命题：定义：如果一个命题在特定条件下为真，即它所陈述的内容在逻辑上是成立的，那么该命题被称为真命题。

举例说明：如“两直线平行，则它们不会相交”是一个真命题。

假命题：定义：如果一个命题在特定条件下为假，即它所陈述的内容在逻辑上是不成立的，那么该命题被称为假命题。

举例说明：如“所有的质数都是奇数”是一个假命题，因为存在反例（如2是质数但它是偶数）。

1.3、数学命题的一般形式数学命题经常以“若p，则q”的形式出现，其中p被称为命题的条件，q被称为命题的结论。

这种形式是数学推理和证明中常用的结构。

条件（p）：命题的前提或假设部分，是推理的起点。

结论（q）：在条件成立的情况下，必然为真的部分，是推理的终点。

示例：命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”中，“一个数是偶数”是条件p，“它能被2整除”是结论q。

根据整数的性质，这个命题是真命题。

1.4、充分条件和必要条件的背景在探索世界的奥秘时，人们常常需要判断事物之间的因果关系或逻辑关系。

充分条件和必要条件作为逻辑学中的核心概念，为我们提供了一种分析和理解这些关系的工具。

从古代的哲学思考到现代的科学研究，充分条件和必要条件始终扮演着重要角色。

1.5、充分条件和必要条件定义（1）、充分条件定义：如果条件A成立，那么结果B一定成立，即A是B的充分条件。

换句话说，A的发生足以保证B的发生，但B的发生不一定只由A导致。

实例：假设“下雨”是“地面湿润”的充分条件。

当天空下雨时，地面一定会变得湿润；但地面湿润的原因可能还有其他，如洒水、河流泛滥等。

需要着重记忆和理解的地方：充分条件强调的是“足够性”，即A足够导致B，但B的发生不一定仅由A引起。

高中数学-必修一1.2常用逻辑用语-知识点
1、命题是可以判断真假的语句，通常用陈述句表述，分成条件和结论，判断一个命题是真命题，需给出证明，判断为假命题，只需要举一个反例即可。

2、如果“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β。

推出关系具有传递性，若α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ。

这是逻辑推理的基础，可用“小推大”来简记。

3、已知原命题：若α，则β。

则①逆命题：若β，则α。

②否命题:若α，则β。

③逆否命题：若β，则α。

其中，逆命题⇔否命题；逆否命题⇔原命题。

所以，当一个命题直接证明较复杂时，可以证明它的等价命题（即逆否命题）。

4、已知原命题：若α，则β。

则命题的否定为：若α，则β。

命题的否定≠否命题。

原命题和命题的否定，一定是一真一假，但原命题和否命题可能一真一假，也可能同真同假。

5、①若α⇒β，但β不能⇒α，则α是β的充分非必要条件。

②若α不能⇒β，但β⇒α，则α是β的必要非充分条件。

③若α⇔β，则α是β的充要条件。

④若α不能⇒β，且β不能⇒α；则α是β的既不充分也非必要条件。

6、充要条件的证明，分成两步：①证充分性，②证必要性。

非充分性和非必要性的证明，只需要举出一个反例即可。

7、反证法的三个步骤：①假设原命题的结论不成立，或假设原命题的反面成立，
②由假设出发，结合已知条件进行推理，得出与已知不相符的结论，或得出明显错误的结论，③判断假设不成立，即原命题得证。

8、一些常用的否定形式
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常用逻辑用语知识导航1. 定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为准确的命题，为真命题；判断为不准确的命题，为假命题。

2. 辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。

语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。

一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。

②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳系外存有外星人”，对于这个句子所描述的情形，当前确定其真假，但从事物的本质来说，句子本身是能够判断其真假的。

这类语句也称为命题。

语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。

③不判断真假的语句，就不能叫命题。

“X<2”。

3.原命题与逆命题即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.4. 否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.5. 原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.6.四种命题的形式一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.7. 四种命题的相互关系一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：（四种命题的真假性之间的关系）两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没相关系.8. 反证法欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其结论即“非q ”出发，经过准确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q ”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法 其反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不准确，从而肯定命题的结论准确1. 充分条件的定义如果p 成立时，q 必然成立，即p ⇒q ，我们就说，p 是q 成立的充分条件．（即为使q 成立，只需条件p 就够了）2. 必要条件的定义如果B 成立时，A 必然成立，即q ⇒p ，我们就说，q 是p 成立的必要条件．（即为使q 成立，就必须条件p 成立）3. (1)若p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

常用逻辑用语一、命题1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句2.疑问句，祈使句，感叹句都不是命题3.真命题：判断为真的语句4.假命题：判断为假的语句5.一般用小写英文字母表示如p:∀x>0,x2+1>0二、量词1.全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：∀2.存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：∃3.全称命题：含有全称量词的命题全称命题q:∀x∈A，q(x) 它的否定是⌝q:∃x∈A，⌝q(x) 4.存在性命题：含有存在量词的命题存在性命题p:∃x∈A，p(x) 它的否定是⌝p:∀x∈A，⌝p(x)三、“且”与“或”,“非”1. “且”（p∧q一假则假）“或”（p∨q一真则真）2. “非”（否定）互 否互 否互逆互逆四、推出与充分条件、必要条件 1.推出“如果p ，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q ；记作：p ⇒q 2.充分条件、必要条件如果p 可推出q ，则称：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件 3.充要条件如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件） 五、命题的四种形式 1.若p ，则q原命题：若p ，则q 逆命题：若q ，则p 否命题：若非p ，则非q 逆否命题：若非q ，则非p 注：命题的否定（否结论）否命题（否条件，否结论）2.充分条件、必要条件的判定（一）（1）如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件 （2）如果p ⇒q ，但q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件 （3）如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件 （4）如果q ⇒p ，但p ⇏q ，则p 是q 的必要不充分条件 （5）如果p ⇏q ，且q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件原命题：若p ，则q逆否命题：若非q ，则非p否命题：若非p ，则非q逆命题：若q ，则p3.充分条件、必要条件的判定（二）若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现即A ＝{ x | p(x) }，B ＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 （1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件 （2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件 （3）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件（4）若A B ，则p 是q 的充分不必要条件（5）若A B ，则p 是q 的必要不充分条件 （6）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.等价命题（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性①¬q 是¬p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ②¬q 是¬p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件 ③¬q 是¬p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件④¬q 是¬p 的既不充分也不必要条件⇔p 是q 的既不充分也不必要条件 （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5. 常见结论的否定形式≠⊂≠⊃。

常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①p q ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②p q ：p是q的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：（）（）2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1]把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2]将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o，则函数y=ax+b的值不增加.[例3]已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：,故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4]已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a且b为真时，必须a,b同时成立.[例5]已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A解：选A[例6]已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)①mx2－4x＋4＝0 ②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.[例7]用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0.[例8]已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.解：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.四、典型习题导练1．方程至少有一个负根，则（）A.或B.C.D.2．“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数不全为0的充要条件是（）A.都不是0. B.中至多一个是0.C.中只有一个是0.D.中至少一个不是0.4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.5．若，试从A. B. C. D. E.F.中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使都为0的充分条件是；（2）使都不为0的充分条件是；（3）使中至少有一个为0的充要条件是；（4）使中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．推理与证明一、基础知识导学1.推理一般包括合情推理和演绎推理.2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1]{}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n=4n-2.猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.由∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，错解：证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．可知等式对任意N成立．错因在于推理不严密，没有证明当的情况．正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．由（1）、（2），可知等式对任意N成立．[例3]是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．分析本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．解：，，，……猜想，能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，，能被36整除．（2）假设当，（N）时，能被36整除．那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除．∴能被36整除，这就是说当时命题成立．由（1）、（2）对任意，都能被36整除．当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．[例4]设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．分析本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．解：解法一与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）．直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）……由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立．（2）假设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（），∴于是即点的坐标为（，）．∴直线的方程为令得，即点的坐标为（，0）∴当时，命题成立．解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（），．用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．[例5]有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1时命题成立．由①②可知对任何n∈N命题均成立．说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．[例6] 已知n≥2，n∈N②假设n=k时，原不等式成立．由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型习题导练1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，当=1时，左边应为____________.2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.3.已知数列证明.4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求x n+1与x n的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。