高二数学人教A必修5练习：2.4.1 等比数列 pdf版含解析

[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组 能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2， 且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

人教版高二数学必修5等比数列同步训练（带答案）为了帮助大家进行课后复习，查字典数学网整理了数学必修5等比数列同步训练，希望大家好好练习。

一、选择题1.数列{an}为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q为常数)B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q为常数)D.an+1=anan+2解析：各项都为0的常数数列不是等比数列，A、C、D选项都有可能是0的常数列，故选B.答案：B2.已知等比数列{an}的公比q=-13，则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3解析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q= -3，故选B.答案：B3.若a，b，c成等比数列，其中0A.等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂解析：∵a，b，c成等比数列，且0答案：C4.(2019江西文)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5a2，则an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n分析：本题主要考查等比数列的基本知识.解析：a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8，q=-2.又a5a2，即a2a2，q3=-8.可得a20，a10.a1=1，q=-2，an=(-2)n-1.故选A.答案：A5.在等比数列{an}中，已知a6a7=6，a3+a10=5，则a28a21=()A.23B.32C.23或32D.732解析：由已知及等比数列性质知a3+a10=5，a3a10=a6a7=6.解得a3=2，a10=3或a3=3，a10=2.q7=a10a3=23或32，a28a21=q7=23或32.故选C.答案：C6.在等比数列{an}中，a5a11=3，a3+a13=4，则a15a5=()A.3B.13C.3或13D.-3或-13解析：在等比数列{an}中，∵a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，a15a5=a13a3=3或13.故选C. 答案：C7.(2019重庆卷)在等比数列{an}中，a2019=8a2019，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8分析：本题主要考查等比数列的通项公式.解析：由a2019=8a2019，可得a2019q3=8a2019，q3=8，q=2，故选A.答案：A8.数列{an}中， a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5() A.成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D.每项的倒数成等比数列解析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，①a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，则a5a1+a3a5=a3a5+a23，即a23=a1a5，a1，a3，a5成等比数列，故选A.答案：A9.x是a、b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，则a与b的关系是()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b或a=3b解析：由已知得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故①2-②2得a2-2ab-3b2=0，a=-b或a=3b.答案：D10.(2009广东卷)已知等比数列{an}满足an0，n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，则当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+ 3++(2n-1)=1+2n-12n=n2，故选C.答案：C二、填空题11.已知等比数列{an}中，a3=6，a10=768，则该数列的通项an=________.解析：由已知得q7=a10a3=128=27，故q=2.an=a3qn-3=32n-2. 答案：32n-212.在1和100之间插入n个正数，使这(n+2)个数成等比数列，则插入的这n的数的积为________.解析：利用性质aman=apaq(其中m+n=p+q).设插入的n个数为a1，a2，，an，G=a1a2an，则G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n，G=10n，故填10n.答案：10n13.已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)=________.解析：∵-9，a1，a2，-1成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，则b22=-9(-1)=9，b2=3.当b2=3时，由于-9与3异号，此时b1不存在，b2=-3，b2(a2-a1)=-8.答案：-814.若a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0 解析：a，b，a+b成等差数列有b=2a，a，b，ab成等比数列有b=a2，则有a=2，所以ab=8,0答案：{n|n8}三、解答题15.(2019全国卷Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn.设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn.解析：设数列{an}的公差为d.依题设有2a1a3+1=a22，a1+a2+a3=12，a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4. 解得a1=1，d=3，或a1=8，d=-4.因此Sn=12n(3n-1)，或Sn=2n(5-n).16.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d1，且a1=b1，a4=b4，a10=b10.(1)求a1及d的值;(2)b16是不是{an}中的项?解析：(1)由a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d，a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去)，d2=3-2=-32.所以d=-32，a1=-d=32，b1=32.(2)因为b16=b1d15=-32a1，如果b16是{an}中的项，则有-32a1=a1+(k-1)d.所以(k-1)d=-33a1=33d.所以k=34，即b16是{an}中的第34项.17.已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数.解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3.则a4q6=1，①aq1+q=-32 ②由①得a2q3=1，即a2q2=由②得a2q2(1+q)2=94，③把a2q2=1q代入③得q2-14q+1=0，此方程无解.把a2q2=-1q代入③得q2+174q+1=0，解得q=-4或q=-14.当q=-4时，a=-18或a=18(舍);当q=-14时，a=8或a=-8(舍).这四个数分别是8，-2，12，-18或-18，12，-2,8.18.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.(2)试问-1681是否为该数列的项?若是，是第几项;若不是，请说明理由.解析：(1)∵2an=3an+1，an+1an=23，故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2a5=827，则a1qa1q4=827，即a21(23)5=(23)3，由于数列各项均为负数，则a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2，即(23)4=(23)n-2.根据指数的性质有4=n-2，n=6.因此-1681是这个数列的第6项.以上是数学必修5等比数列同步训练及答案的所有内容，请同学们好好利用，提高自己。

§2.4 等比数列(二)课时目标1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2， 则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．42答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013， 又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6 解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13 当⎩⎨⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1 当⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

2.4 等比数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如果数列{}n a 是等比数列，那么( )A.数列2{}na 是等比数列 B.数列{}2n a 是等比数列 C.数列{}lg n a 是等比数列 D.数列{}n na 是等比数列2.在等比数列{}n a 中，45a a ＋＝10，67a a ＋＝20，则89a a ＋=( )A.90B.30C.70D.40 3.已知等比数列{}n a 的各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210a a a ＝( )A.39B.310C.311D.3124.在等比数列{}n a 中，若357911a a a a a ＝243，则2911a a 的值为( )A.9B.1C.2D.35.已知在等比数列{}n a 中，有31174a a a ＝，数列{}n b 是等差数列，且77b a ＝，则59b b ＋=( )A.2B.4C.8D.16 6.在等比数列{}n a 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =( ) A.32 B.23 C.16D.6 7.已知在等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a aa a ++＝( ) A.1＋ 2 B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2 8.已知公差不为零的等差数列的第k n p ,,项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )A.n p k n --B.n p p k --C. n k n p --D.k p n p--9.已知在等比数列{}n a 中，595,a a 为方程210x x ＋＋ 160＝的两根，则205080a a a 的值为( )A.256B.±256C.64D.±6410.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝120.550.57(log log )a a ＋，Q ＝390.5log 2a a+，则P 与Q 的大小关系是( )A.P ≥QB.P ＜QC.P ≤QD.P ＞Q二、填空题（每小题4分，共16分） 11.等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a ＝－，439a a ＝－，则45a a ＋= ．12.已知等比数列{}n a 的公比q ＝－13，则13572468a a a a a a a a ++++++= ．13.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差 数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是 ．14.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为 2 KB ，它每3 s 自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64 MB(1 MB ＝210KB)的计算机开机后经过 s ，内存被占完． 三、解答题（共54分）15.(8分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，34a a ＋＝323411a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．求{}n a 的通项公式.16.（8分）在等比数列{}n a 中，已知47a a ＝－512，38a a ＋＝124，且公比为整数，求10a .17.（9分）在等差数列{}n a 中，4a ＝10，且3610,,a a a成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S .18.（9分）设正整数数列{}n a 为一个等比数列，且2a ＝4，4a ＝16，求122lg lg lg n n n a a a ＋＋＋＋＋.19.（10分）已知1a ＝2，点1(,)n n a a ＋在函数2()f x x ＝＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．20.（10分）容积为a L(a >1)的容器盛满酒精后倒出1 L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.4 等比数列(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.20.2.4 等比数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.A 解析：设n b ＝2na ，则1n nb b +＝212n n a a +＝21n n a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2q ，∴ {}n b 为等比数列；11222n n n n a a a a ++-=≠常数；当0n a <时，lg n a 无意义；设n n c na ＝，则1n n c c +＝1(1)n n n a na ++＝1n q n+⋅≠常数．2.D 解析：∵ 2q ＝6745a a a a ++＝2，∴ 228967()2040a a a a q q ＋＝＋＝＝. 3.B 解析：由题意得569a a ＝，∴ 110293847569a a a a a a a a a a ＝＝＝＝＝，∴ 510121093a a a ＝＝.4.D 解析：∵ 5303579111243a a a a a a q ＝＝，∴ 2911a a ＝2161101a q a q ＝61a q ＝5243＝3. 5.C 解析：∵ 2311774a a a a ＝＝，又7a ≠0，∴ 7a ＝4，∴ 7b ＝4.∵ 数列{}n b 为等差数列，∴ 59728b b b ＋＝＝.6.A 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得4143,2a a =⎧⎨=⎩或4142,3.a a =⎧⎨=⎩又∵ 1n n a a >＋，∴ 43a ＝，142a ＝.∴64161432a a a a ==. 7.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，∵ 1a ，312a ，22a 成等差数列，∴ 3122a a a ＝＋，∴ 21112a q a a q ＝＋，∴ q 2－2q －1＝0，∴ q ＝1± 2.∵ 各项都是正数，∴ 0q >，∴ q ＝1＋2， ∴91078a a a a ++＝2q ＝(1＋2)2＝3＋2 2.8.A 解析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ， 则q =[][][][]1111(1)(1)(1)(1)p p n n k n n k a a a a p d a n d a a a a a a n d a k d -+--+-====-+--+-p n n k --=n p k n--. 9.D 解析：由根与系数的关系，得595a a ＝16，由等比中项可得595a a ＝250()a ＝16，故50a ＝±4， 则205080a a a ＝350()a ＝(±4)3＝±64.10.D 解析：P ＝0.557log a a ＝0.539log a a ，Q ＝390.5log 2a a +. ∵ 1q ≠，∴ 39a a ≠，∴392a a +＞39a a . 又∵ 0.5log y x ＝在(0，＋∞)上单调递减， ∴ 390.5log 2a a +＜0.539log a a ，即Q P <.故选D.二、填空题11.27 解析：由题意，得12a a ＋＝1，34a a ＋＝212()a a q ＋＝9，∴ 2q ＝9. 又0n a >，∴ 3q ＝.故4534()9327a a a a q ⨯＋＝＋＝＝. 12.－3 解析：13572468a a a a a a a a ++++++＝13571357a a a a a q a q a q a q ++++++＝1q＝－3.13.3或27 解析：设三数分别为3,,a b ，则223,(6)3.a b a b =+⎧⎨-=⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或15,27.a b =⎧⎨=⎩ ∴ 这个未知数为3或27.14.45 解析：设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{}n a ，且1a ＝2×2＝4，q ＝2，则n a ＝4·12n －.令4·12n -＝64×210，得n ＝15，即复制15次，共用45 s. 三、解答题15.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q －＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2311a q a q ＋＝32231111a q a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a q q q ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩即212512,32.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩又∵ 10a >，0q >，∴ 11,2.a q =⎧⎨=⎩∴ 2n n a －1＝.16.解：∵ 3847512a a a a ＝＝－，联立 3838124,512.a a a a +=⎧⎨=-⎩解得384,128a a =-⎧⎨=⎩或38128,4.a a =⎧⎨=-⎩又公比为整数，∴ 3841282a a q ＝－，＝，＝－.∴ 77103(4)(2)512a a q ⨯＝＝－－＝. 17.解：设数列{}n a 的公差为d ，则34641041021026106a a d d a a d d a a d d ＝－＝－，＝＋＝＋，＝＋＝＋.由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a ＝，即2(10)(106)(102)d d d －＋＝＋.整理，得210100d d －＝.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，20420200S a ＝＝； 当d ＝1时，14310317a a d ⨯＝－＝－＝， 于是20S ＝120a ＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 18.解：由2a ＝4，4a ＝16，得1a ＝2，q ＝2，∴ 2n n a ＝. ∴ 23(1)(2)22122122lg lg lg lg()lg 2lg 2n n n n nn n n n n n a a a a a a + ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝＝＝232n n +lg 2.19.(1)证明：由已知得212n nn a a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋. ∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋.∴ 1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1lg(1)lg 3a ＋＝.∴ {lg(1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，-112lg(1)2lg 3lg 3⋅n n n a －＋＝＝，∴ -1213n n a ＋＝，∴ -1231n n a ＝－. 20.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a. 设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a ＋＝11n a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－．所以数列{}n a 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列． 所以1111nn n a a q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝＝ ，即第n 次操作后溶液的浓度是11na ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当a ＝2时，由n a ＝11210n⎛⎫< ⎪⎝⎭，得n ≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。

绝密★启用前2.4 等比数列一、选择题1．【题文】已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则的值为 （ ）A ．3B ．．52【答案】B【解析】设等比数列的公比为q .由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．考点：等比数列的性质． 【题型】选择题 【难度】较易2．【题文】已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =（ ） A ．16 B ．8 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】因为9b 是1和3的等差中项，所以92b =，又数列{}n b 是等比数列，所以221694b b b ==，故选D ．考点：等差、等比数列的性质． 【题型】选择题 【难度】较易3．【题文】在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a 则412a a = （ ） A ．2 B ．21 C ．2或21D ．2-或12- 【答案】C【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21，故选C ．考点：等比数列性质． 【题型】选择题 【难度】较易4．【题文】在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是（ ） A．．．3± 【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =2640a a q =>，所以6a B. 考点：一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质. 【题型】选择题 【难度】一般5．【题文】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则=+⋅⋅⋅++2021ln ln ln a a a （ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 【答案】B【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()......()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10lne 30a a ===，故选B.考点：等比数列的性质，对数的运算. 【题型】选择题 【难度】一般6．【题文】已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为 （ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B. 考点：等比数列的通项公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般7．【题文】各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则27211log log a a +的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B【解析】由4a 与14a 的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ．考点：等比数列的性质及对数的运算． 【题型】选择题 【难度】一般8．【题文】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （ ）A ．24B ．25C ．26D ．27 【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是，公比是，所以2342,4,8b b b ===，等差数列}{n a 首项都是，公差都是，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ．考点：等差数列与等比数列的应用． 【题型】选择题【难度】一般二、填空题9．【题文】在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ． 【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q ==考点：等比数列的性质与通项公式. 【题型】填空题 【难度】较易10．【题文】已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q = ，通项公式为n a = .【答案】12；612n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，∴2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或（舍），∴通项公式为63312n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭.考点：等比数列的通项公式及其运算. 【题型】填空题 【难度】一般11．【题文】已知数列{}n a 满足()1322n n a a n -=+≥，且1a =2，则n a =__________． 【答案】31n -【解析】()11322,2n n a a n a -=+≥=，()31,13111=++=+∴-a a a n n ，即数列{}1+n a 是以3为首项、3为公比的等比数列，则n n a 31=+，即13-=n n a .故填31n -． 考点：等比数列，数列的递推公式． 【题型】填空题 【难度】较难三、解答题12.【题文】等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列的通项公式n a . 【答案】12n n a -=或82n n a -=【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为，由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩ ∴55722a q a ==或512，∴2q =或12.∴2122n n n a a q --==或812n -.∴12n n a -=或82n n a -=. 考点：等比数列的通项公式. 【题型】解答题 【难度】较易13．【题文】已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列.【答案】（1）,73=a 213,1a a == （2）详见解析 【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+=解得,73=a 同理，.1,312==a a（2）证明：由121+=-n n a a 得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{}1+∴n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列. 考点：数列递推公式，等比数列的定义. 【题型】解答题【难度】一般14.【题文】已知数列{}n a 的前项和为n S ，数列{}n b 中，11b a =，()12n n n b a a n -=-≥， 且n n a S n +=.(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求数列{}n b 的通项公式．【答案】(1)证明详见解析 (2)12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)证明：∵n n a S n +=，①∴111n n a S n +++=+，②②−①得111n n n a a a ++-+=，∴121n n a a +=+，∴()1211n n a a +-=-， ∴11112n n a a +-=-，∴{}1n a -是等比数列．∵首项111c a =-，111a a +=. ∴112a =，∴112c =-，∴{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)可知1111222n n n c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1112nn n a c ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. ∴当2n ≥时，111111*********n n n n n n n n b a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又1112b a ==代入上式也符合，∴b n ＝12n⎛⎫⎪⎝⎭.考点：等比数列的通项公式与性质. 【题型】解答题 【难度】较难。

第13课时等比数列的概念及通项公式知识点一等比数列的定义1．数列m，m，m，…一定( )A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不一定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列答案 C解析当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．2．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1 时，log a x，log b x，log c x( ) A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案 C解析1log a x＋1log c x＝log x a＋log x c＝log x(ac)＝log x b2＝2log x b＝2log b x，∴1log a x，1log b x，1log c x成等差数列．知识点二等比数列的通项公式3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )A．na(1－b%) B．a(1－nb%)C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]答案 C解析依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b %)n ．故选C ．4．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9．∵a n ＞0，∴q ＝3． ∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27．知识点三 等比数列的证明5．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *，若t ＝35，求证1a n－1是等比数列并求出{a n }的通项公式．解 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ， 1a n ＋1＝13a n ＋23， 1a n ＋1－1＝131a n －1，1a 1－1＝23， 所以数列1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．1a n －1＝2313n －1＝23n ，a n ＝3n3n ＋2．知识点四 等比中项及应用6．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由x ，2x ＋2，3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4．∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4×32n －1，由－4×32n －1＝－1312，得n ＝4．7．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8．8．在等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝27，则a 3与a 7的等比中项是________． 答案 ±3解析 由等比中项的定义知a 25＝a 4a 6，∴a 35＝27． ∴a 5＝3，∴a 1q 4＝3，∴a 3a 7＝a 21q 8＝32，因此a 3与a 7的等比中项是±3．易错点一 忽略对等比中项符号的讨论9．若1，x ，y ，z ，16这五个数成等比数列，则y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D．2易错分析 对于本题的求解，若仅注意到y 是1与16的等比中项，会很快得出y 2＝16，进一步得出y ＝±4，从而导致错解．答案 A解析 由于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1·y ，y 2＝1×16⇒y ＝4，故选A ．易错点二 忽略等比数列中公比可正可负10．已知一个等比数列的前4项之积为116，第2项与第3项的和为2，则这个等比数列的公比为________．易错分析 本题易错设四个数分别为a q 3，a q，aq ，aq 3公比为q 2相当于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算出公比为3±22．答案 3±22或－5±2 6解析 设这4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3(其中aq ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2·aq 3＝116，aq ＋aq 2＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2q 3＝±14，a 2q ＋q 22＝2.所以a 2q 3a 2q ＋q 22＝±18， 整理得q 2－6q ＋1＝0或q 2＋10q ＋1＝0， 解得q ＝3±22或q ＝－5±26．一、选择题1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4．∵a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，∴q ＞0，∴q ＝4．2．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16 答案 B解析 ∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ．∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0．∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8．3．已知等比数列a 1，a 2，…a 8各项为正，且公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小关系不能确定 答案 C解析 由题意可知，a 1＞0，q ＞0，a 1＋a 8－a 4－a 5＝a 1(1＋q 7－q 3－q 4)＝a 1[1－q 3－q 4(1－q 3)]＝a 1[(1－q 3)(1－q 4)]＞0．∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5．故选C ．4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A ．53 B ．43 C ．32 D ．12 答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25．∴这三个数分别为45，75，125，公比q 为7545＝53．5．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．98答案 D解析 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a ＝12，b ＝38，c ＝14，则a ＋b ＋c ＝98．故选D ．二、填空题6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案5－12解析 设该直角三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2(q ＞1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12．较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12． 7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金13，第3关收税金14，第4关收税金15，第5关收税金16，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为________．答案172x 解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；…，可得第8关收税金：18×9x ，即172x ． 8．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1．当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)， 由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，所以a 1＝1q －1． a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q ＞0)， 而－1q 2＋1q ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －122＋14， ①当q ＝2时①式有最大值14，所以当q ＝2时a 3有最小值4． 此时a 1＝1q －1＝12－1＝1． 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1．故答案为2n －1．三、解答题9．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．解 (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2n．(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －2＝6n 2－22n ．10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n ．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15．下面证明{a n －n }是等比数列： 证明：由a n ＝3a n －1－2n ＋3可得a n －n ＝3[a n －1－(n －1)]，因为a 1－1＝－2≠0，所以a n －n ≠0， 所以a n ＋1－n ＋a n －n＝3a n －n ＋＋3－n ＋a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1，2，3，…)． 又a 1－1＝－2，所以{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，所以a n ＝n －2·3n －1．。

2019-2020年新人教A版数学必修五§2.4等比数列(一)精品导学案附答案解析课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式：a n＝a1q n－1.3．等比中项的定义如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.一、选择题1．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )A．16 B．27 C．36 D．81答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.2．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )A．64 B．81 C．128 D．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A.53 B.43 C.32 D.12 答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )， 解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53. 6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定 答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)， ∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍) ∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎨⎧3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎨⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)， 则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列． (1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝13(a n－1)－13(a n－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{a n}是首项为－12，公比为－12的等比数列．能力提升13．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.答案－9解析由题意知等比数列{a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－3 2，∴6q＝－9.14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求a n的表达式．(1)证明∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝2.∴{a n＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{a n＋1}是等比数列．公比为2，首项a1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.∴a n＝2n－1.。

第二章 数列2.4 等比数列第1课时 等比数列的概念与通n 项公式A 级 基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16， 所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ， 所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， 所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， 所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列． 所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1， 又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827， 所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681， 则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级 能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________． 答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列． 所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

2.4 等比数列自主学习知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝________.4．对于正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则等比数列中a m ，a n ，a p ，a q 的关系是____________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即________________(用数学式子表示)．自主探究首项为a 1，公比为q 的等比数列在各条件下的单调性如下表：a 1 a 1>0 a 1<0q 范围 0<q <1 q ＝1 q >1 0<q <1 q ＝1q >1 {a n }的 单调性对点讲练知识点一 等比数列通项公式的应用例1 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．总结 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练1 已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .知识点二 等比数列性质的应用例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．变式训练2 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值．知识点三 等比数列的判断与证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．总结 利用等比数列的定义a n ＋1a n＝q (q ≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练3 设S n 为数列{a n }前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34C ．2D ．4334．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.7．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．10．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．§2.4 等比数列知识梳理1．2 比 公比2．a n ＝a 1q n －13．等比中项 ±ab4．a m ·a n ＝a p ·a q5.a n ＋1a n＝q, (n ∈N *) 自主探究递减 常数列 递增 递增 常数列 递减对点讲练例1 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.变式训练1 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.当a 1＝1，q ＝2时，a n ＝2n －1；当a 1＝4，q ＝12时，a n ＝23－n . 例2 解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10.变式训练2 解 ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝(a 1a 30)·(a 2a 29)·…·(a 15·a 16)＝(a 1a 30)15＝215， ∴a 1a 30＝2.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝(a 2a 29)·(a 5a 26)·(a 8a 23)·(a 11a 20)·(a 14a 17)＝(a 2a 29)5＝(a 1a 30)5＝25＝32.例3 (1)解 由S 1＝13(a 1－1)， 得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 变式训练3 解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)．a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.课时作业1．B [∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．]2．B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]3．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.] 4．A [设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53.] 5．D [因为a 1，a 2，a 5成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 5， 即a 22＝(a 2－2)·(a 2＋6)．解得a 2＝3.]6．4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 7．5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧ q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 8.5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)， 则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 9．解 由题意可列关系式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ② ②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12， ∴a 1＝1681＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3， ∴a 5，a 7的等比中项为3.10．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q＝3时，a n＝2×3n－3.。

课时训练11等比数列一、等比数列中基本量的运算1.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于()A.-B.-2C.2D.答案:D解析:=q3=,∴q=.2.已知等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-,则a6等于()A.1B.-1C.2D.答案:B解析:由题知a6=a1q5=32×-=-1,故选B.3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{a n}中,=2,a4=8,则a6=()A.31B.32C.63D.64答案:B解析:设等比数列{a n}的公比为q,由=2,a4=8,得解得所以a6=a1q5=25=32.故选B.4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于()A.-4B.-6C.-8D.-10答案:B解析:∵等差数列{a n}的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,∴(a1+4)2=a1(a1+6),∴a1=-8,∴a2=-6.故选B.5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{a n}的公比q=-,则等于()A.-3B.-C.3D.答案:A解析:∵等比数列{a n}的公比q=-,∴=-3.故选A.二、等比中项及应用6.2+和2-的等比中项是.答案:±1解析:设A为等比中项,则A2=(2+)(2-)=1,∴A=±1.7.已知等比数列{a n}的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a n}的通项公式a n=.答案:3n-1解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.∵{a n}的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0.∴a=2.∴a+1=3.∴q==3.∴a n=3n-1.三、等比数列的判定8.给出下列数列:①2,2,4,8,16,32,…;②在数列{a n}中,=2,=2;③常数列c,c,c,c,….其中等比数列的个数为.答案:0解析:①不是等比数列,因为;②不一定是等比数列,因为不知道的值,即使=2,数列{a n}也未必是等比数列;③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.9.设{a n}是公比为q的等比数列,设q≠1,证明数列{a n+1}不是等比数列.证明:假设{a n+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(a k+1+1)2=(a k+1)(a k+2+1),+2a k+1+1=a k a k+2+a k+a k+2+1,q2k+2a1q k=a1q k-1·a1q k+1+a1q k-1+a1q k+1,因为a1≠0,所以2q k=q k-1+q k+1.因为q≠0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故{a n+1}不是等比数列.(建议用时:30分钟)1.已知在等比数列{a n}中,a1+a3=10,a4+a6=,则该等比数列的公比为()A. B. C.2 D.8答案:B解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,所以q3=,即q=,选B.2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:∵a1=,a n=,q=,∴-,则n=4.3.已知等比数列{a n}中,a1=3,8=a n+1·a n+2,则a3=()A.48B.12C.6D.2答案:B解析:设数列{a n}的公比为q,则由8=a n+1a n+2,得8=a2a3,即8q3,∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.4.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答案:B解析:∵-1,a,b,c,-9成等比数列,∴b2=(-1)×(-9)=9.又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3.又b2=ac,∴a与c同号.∴ac=9.5.已知1既是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是()A.1或B.1或-C.1或D.1或-答案:D解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,=2,∴或--又-,∴其值为1或-.6.设a1=2,数列{1+2a n}是公比为2的等比数列,则a6等于.答案:79.5解析:∵1+2a n=(1+2a1)×2n-1,∴1+2a6=5×25,∴a6=-=79.5.7.已知等差数列{a n}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是.答案:3解析:由已知=a1·a17,∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.∴公比q==3.8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的倍.答案:1.259解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则a n+1=a n+a n×25%=1.25a n.则=1.25.则数列{a n}是公比q=1.25的等比数列.则a10=a1q9=1.259m.所以=1.259.9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.解:由题意知①-②②÷①得q(1-q)=, ∴q=.∴a1==96.又∵a6=a1q5,∴a6=96×=3,∴a5,a7的等比中项a6=3.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+,n∈N*.(1)求证:-是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+-.∴--.∴-是首项为,公比为的等比数列.(2)解:∵a n--,∴a n=-.。

明目标、知重点 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项的概念如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 3．等比数列的通项公式已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材48页至49页上半页列举了4个实例，请同学们写出这4个实例对应的4个数列，并观察它们有什么共同特点． 答 这4个数列分别为：①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,20,202,203，…；④10 000×1.019 8,10 000×1.019 82,10 000×1.019 83，10 000×1.019 84,10 000×1.019 85. 它们的特点为：每一项与它前一项的比等于同一常数．思考2结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义．答如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．思考3我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简洁地表示它？答a na n－1＝q(n>1，q≠0)．思考4下列所给数列中，是等比数列的为________．(1)1,1,1,1,1，….(2)0,1,2,4,8，….(3)2－3，－1,2＋3，….(4)1,3,9,27,81，….答案(1)(3)(4)解析(1)中数列显然符合等比数列的定义，公比为1，所以是等比数列；对于(2)由于第一项为0，公比不存在，所以不是等比数列；对于(3)－12－3＝－12－3＝－2＋3(2－3)(2＋3)＝2＋3－1，所以(3)是等比数列；对于(4)明显能看出是等比数列，公比为3.探究点二等比中项思考1请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．答如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．思考2下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.探究点三等比数列的通项公式思考1如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？答 根据等比数列的定义知：a 1＝a 1q 0，a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，一般地，有a n ＝a 1q n －1.思考2 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？ 答 根据等比数列的定义得：a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a na n －1＝q (n ＞1)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1， 化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1.当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．小结 (1)等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，要注意公式中q 的次数为n －1而非n . (2)对于公比q ，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q 是任意非零常数，可正可负； (4)首项和公比均不为0.思考3 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n 等于什么？为什么？ 答 a n ＝4·(32)n －1，由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n－1.小结 如果一个数列{a n }的任意三项满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)，则这个数列是等比数列．例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4.答 这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练1 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11.答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 例2 根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？解 若将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，…. 由框图可知，a 1＝1，a 2＝a 1×12＝12，a 3＝a 2×12＝14，a 4＝a 3×12＝18，a 5＝a 4×12＝116.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1(n >1).由于a n a n －1＝12，因此这个数列是等比数列，其通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列． (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减，得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.反思与感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其它项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其它项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中， (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解 (1)由等比数列的通项公式，得 a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32答案 C解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. [呈重点、现规律] 1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d .∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{b n }是等比数列，设公比为q . ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n .又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n. 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、本节学习目标1.等比数列的定义、通项公式及其应用；2. 探索并掌握等比数列的通项公式. 二、重难点指引重点：等比数列的定义和通项公式. 难点：等比数列与指数函数的关系. 三、学法指导在学习过程中，应注意与等差数列进行类比. 四、教材多维研读▲ 一读教材 1．如果一个数列从________起,每一项与它的前一项的比等于_________,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(0≠q ). 即)()(＝q (0≠q )2．若等比数列{}n a 的的公比为q ，则________=n a ；_____a a m n =．3．如果在a 与b 中间插入一个数G ,使b G a ,,成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,这时a , b 的符号一定相同，即__________2=⇒=⇒=G G bGG a 4．在等比数列{}n a 中，(1)当1a ＞0, q ______时,数列{}n a 是递增数列； (2)当1a ＜0, q ______时,数列{}n a 是递增数列； (3)当1a ______, q ＞1时,数列{}n a 是递减数列； (4)当1a ______, 0＜q ＜1时,数列{}n a 是递减数列； (5)当1=q 时，数列{}n a 是______________ 数列； (6)当q ＜0时，数列{}n a 是______________ 数列.5．(1),,,,*∈N q p n m 若q p n m +=+则 ． (2)若{}n a 是等比数列，则{}2n a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也是等比数列．已知{}n b 也是等比数列，则数列{}n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是等比数列.▲ 二读教材1．已知数列 ,)1(),1(,2a a a a a --是等比数列，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1≠a B. 0≠a C. 1≠a 且0≠a D. 1≠a 或0≠a2．4和6 的等比中项是_____________.3．在等比数列{}n a 中，已知320a =，6160a =，则______1=a ，_______=q ，______=n a .4．在等比数列{}n a 中，891=a ，31=n a ，32=q , 则 n=______. ▲ 三读教材 1．已知{}n a 是等比数列且n a >，569a a =，则3132lo g l og l o g a a a +++=． 2．已知{}n a 是等比数列，47512a a ⋅=-，38124a a +=，且公比为整数，则10a = ．3．数列{}n a 是等比数列,下列四个命题: ①{}2n a 、{}n a 2是等比数列；②{}n a ln 是等差数列;③ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1、{}n a 是等比数列;④{}n a k ⋅、{}()0≠+k k a n 是等比数列.正确的命题是_______.五、典型例析例1 已知{}n a 、{}n b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ⋅是等比数列.例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．例3 已知等比数列{}n a 中， 20,647391=+=⋅a a a a ，则_________11=a .例4 已知数列{}n a 12,111+==+n n a a a ，(Ⅰ)求证数列{}1+n a 是等比数列；（Ⅱ）求n a 的表达式.六、课后自测 ◆ 基础知识自测 1．32+和32-的等比中项是 （ ）A. 1B. 1-C. 1±D. 22．已知在等比数列中，34a =-，166=a ，则9a = ．3．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为_______．4．在等比数列{}n a 中，已知30,341515=-=+a a a a ，则3a = （ ） A. 8 B. －8 C. 8± D. 16◆ 能力提升自测1．在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q = .2.已知-9,,,21a a -1四个实数成等差数列,-9,321,,b b b ,-1五个实数成等比数列,则()122a a b - 等于( )A.8B.-8C.±8D.893．在等比数列{}n a 中,若92,a a 是方程061132=+-x x 的两根，则()109212log a a a a =________ .4．已知数列=+++==+1322152,16,2,}{n n n a a a a a a a a a 则是等比数列________.◆ 智能拓展训练1. 若正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1≠q ，653,,a a a 成等差数列，则=++6453a a a a .2. 等比数列{}n a 的公比1>q ，且01>a ，若9256410442=--+a a a a a a a ，则73a a -等于（ ）A ．3±B ．3C ．—3D ．—23.设{}n a 是各项均为正数的等比数列，3,3,log 3213212-==++=b b b b b b a b n n ，求n a .4.已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差d ＞0，且第二、五、十四项分别是等比数列{}n b 的第二、三、四项．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求数列{}n c 的通项公式．2．4等比数列答案▲ 一读教材1．第2项 同一常数)()(＝q 2．①11-⋅=n n q a a ②mn m n q a a -⋅=3．ab G ab G =⇒=24．在等比数列{}n a 中，(1)q ＞1；(2)0＜q ＜1；(3)1a ＞0；(4)1a ＜0；(5)常 数列；(6)摆动数列. 5．①q p n m a a a a ⋅=⋅▲ 二读教材1． C ； 2．62±；3．51=a ，2=q ，125-⋅=n n a ；4．4=n ．▲ 三读教材1． 10；2． 512；3． ①③ ． 课后自测◆ 基础知识自测1． C ； 2． -64； 3． 2； 4． A ． ◆ 能力提升自测1． 2；2. B ；3． 5；4. ()1432-n ．◆ 智能拓展训练 1.215-；2. C ； 3．解：设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q3321=++b b b ，∴3log log log 322212=++a a a ∴()3log 3212=a a a ，∴8321=a a a ，∴22=a . 3321-=b b b ，∴3log log log 322212-=⋅⋅a a a ∴3log log 3212-=⋅a a ∴32222-=⋅q a log qa log 即()()3log log log log 222222-=+⋅-q a q a 即()()3log 1log 122-=+⋅-q q ，解得2log 2±=q当2log 2=q 时，21,421===q a a q ，所以3212421--=⨯=n n n a . 当2log 2-=q 时，41=q ，821==q a a ，所以n n n a 2512418--=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=.4.⑴由题意得()()()()04132111>+=++d d a d a d a 解得2=d ，∴a n ＝2n －1，13-=n n b ．⑵当1=n 时，31=c ；当n ≥2时，∵,1n n nn a a b c -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 故。

技能演练基 础 强 化1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4.A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析 由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列．答案 C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析 a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎪⎫－125＝－1.答案 B3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81解析由已知，得⎩⎨⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3.∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27. 答案 B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析 由a n ＋1－2a n ＝0，得a n ＋1a n＝2，∴{a n }为等比数列，且公比q ＝2，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1(2＋q )a 3(2＋q )＝a 1a 1q 2＝14.答案 D5．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析 ∵{a n }为等比数列 ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝a 1q 6＝64. 答案 A6．已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．解析 由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，∵x ＋1≠0，∴4(x ＋1)＝3x ，∴x ＝－4，∴公比q ＝2x ＋2x ＝－6－4＝32.∴第4项为xq 3＝－4×(32)3＝－272.答案 －2727．2＋3与2－3的等比中项是________． 答案 ±18．已知数列{lg a n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列． 证明：设数列{lg a n }的公差为d ，根据等差数列定义，得lg a n ＋1－lg a n ＝d ，∴lg a n ＋1a n ＝d ，∴a n ＋1a n ＝10d (常数)，∴{a n }是一个以10d 为公比的等比数列．能 力 提 升9．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．解 根据题意，设这三个数依次为aq ，a ，aq (aq ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27，a q ＋a ＋aq ＝13，解得⎩⎨⎧a ＝3，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.∴所求三个数依次为1,3,9或9,3,1.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，S 1，S 2，…，S n ，…，成等比数列，试问数列a 2，a 3，a 4，…，a n 成等比数列吗？证明你的结论．解 设a 1＝a ，则S 1＝a 1＝a ，∵{S n }成等比数列，设其公比为q ，则由等比数列的通项公式有S n ＝S 1·q n －1＝aq n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1－aq n －2＝aq n －2(q －1)． a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝aq n －aq n －1＝aq n －1(q －1)．当q ＝1时，{S n }为常数列，此时a n ＝0与题设条件a n ≠0矛盾，故q ≠1.又a n ＋1a n ＝aq n －1(q －1)aq n －2(q －1)＝q (n ≥2)，故数列a 2，a 3，a 4，…，a n ，…成等比数列．品 味 高 考11．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( )A.12B.22C. 2D ．2解析 设公比为q ，由a 3·a 9＝2a 25，得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝ 2. 又a 2＝1，∴a 1q ＝1，a 1＝22.答案 B12．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.解析由题意，得b 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1＋2a 1－1＝4，b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝2b n .因此数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，故b n ＝4×2n －1＝2n ＋1.答案 2n ＋1。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的定义1等比数列的通项公式2、4、5、6、8等比中项3、7综合问题9、10基础达标1.数列a,a,a,…,a,…(a∈R)必为( D)(A)等差数列但不是等比数列(B)等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列,又是等比数列(D)以上都不正确解析:当a≠0时,该数列是等差数列,也是等比数列,当a=0时,是等差数列,但不是等比数列,故选D.2.等比数列{a n}中,a1+a3=10,a4+a6=,则公比q等于( B)(A)(B)(C)2 (D)8解析:∵{a n}为等比数列,∴a4+a6=(a1+a3)q3,∴q3=,∴q=.故选B.3.等比数列{a n}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是( A)(A)±4 (B)4 (C)±(D)解析:依题意得a4·a8=(a1q3)·(a1q7)=(a1q5)2=(×25)2=42,∴a4与a8的等比中项为±4,故选A.4.设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则的值为( A)(A)(B)(C)(D)1解析:===,故选A.5.等比数列{a n}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则a n等于( A)(A)(-2)n-1(B)-(-2n-1)(C)(-2)n(D)-(-2)n解析:设公比为q,则a1q4=-8a1q,又a1≠0,q≠0,所以q3=-8,q=-2,又a5>a2,所以a2<0,a5>0,从而a1>0,即a1=1,故a n=(-2)n-1,故选A.6.在数列{a n}中,a1=2,且对任意正整数n,3a n+1-a n=0,则a n=.解析:∵3a n+1-a n=0,∴=,因此{a n}是以为公比的等比数列,又a1=2,所以a n=2×()n-1.答案:2×()n-17.在等比数列{a n}中,若a4a5a6=27,则a3与a7的等比中项是.解析:由等比中项定义知=a4a6,∴=27.∴a5=3,∴a1q4=3,∴a3·a7=q8=32,因此a3与a7的等比中项是±3.答案:±3能力提升8.已知等比数列{a n}中,a3=3,a10=384,则a4=.解析:设公比为q,则a1q2=3,a1q9=384,所以q7=128,q=2,故a4=a3q=3×2=6.答案:69.若数列{a n}的前n项和为S n,且a n=2S n-3,则{a n}的通项公式是. 解析:由a n=2S n-3得a n-1=2S n-1-3(n≥2),两式相减得a n-a n-1=2a n(n≥2),∴a n=-a n-1(n≥2),=-1(n≥2).-故{a n}是公比为-1的等比数列,令n=1得a1=2a1-3,∴a1=3,故a n=3·(-1)n-1.答案:a n=3·(-1)n-110.设数列{a n}是等差数列,b n=(,已知b1+b2+b3=,b1·b2·b3=,求数列{a n}的通项公式.解:设数列{a n}的公差为d,则=()d.∵()d为非零常数,∴数列{b n}是等比数列,设公比为q.∵b1+b2+b3=,b1·b2·b3=,∴解得b2=,q=或q=4.当q=4时,b1=,b n=b1·q n-1=×4n-1=()5-2n.又b n=(,∴a n=5-2n.当q=时,b1=2,b n=()2n-3.又b n=(,∴a n=2n-3.综上可知a n=5-2n或a n=2n-3.。

2.4等比数列(人教A 版必修5)一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如果数列{}n a 是等比数列，那么( )A.数列2{}na 是等比数列 B.数列{}2n a 是等比数列 C.数列{}lg n a 是等比数列 D.数列{}n na 是等比数列2.在等比数列{}n a 中，45a a ＋＝10，67a a ＋＝20，则89a a ＋=( ) A.90 B.30 C.70D.403.已知等比数列{}n a 的各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210a a a L ＝( ) A.39B.310C.311D.3124.在等比数列{}n a 中，若357911a a a a a ＝243，则2911a a 的值为( ) A.9B.1 C.2D.35.已知在等比数列{}n a 中，有31174a a a ＝，数列{}n b 是等差数列，且77b a ＝，则59b b ＋=( ) A.2B.4 C.8D.166.在等比数列{}n a 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =( ) A.32B.23 C.16D.6 7.已知在等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++＝( ) A.1＋2B.1－ 2C.3＋22D.3－2 28.已知公差不为零的等差数列的第k n p ,,项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )A.n p k n --B.n p p k --C.n k n p --D.k p n p-- 9.已知在等比数列{}n a 中，595,a a 为方程210x x ＋＋160＝的两根，则205080a a a 的值为( )A.256B.±256C.64D.±6410.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝120.550.57(log log )a a ＋，Q ＝390.5log 2a a+，则P 与Q 的大小关系是( ) A.P ≥Q B.P ＜Q C.P ≤Q D.P ＞Q二、填空题（每小题4分，共16分） 11.等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a ＝－，439a a ＝－，则45a a ＋= ．12.已知等比数列{}n a 的公比q ＝－13，则13572468a a a a a a a a ++++++= ．13.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差 数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是 ．14.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为2KB ，它每3s 自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64MB(1MB ＝210KB)的计算机开机后经过 s ，内存被占完． 三、解答题（共54分）15.(8分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，34a a ＋＝323411a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．求{}n a 的通项公式.16.（8分）在等比数列{}n a 中，已知47a a ＝－512，38a a ＋＝124，且公比为整数，求10a .17.（9分）在等差数列{}n a 中，4a ＝10，且3610,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S .18.（9分）设正整数数列{}n a 为一个等比数列，且2a ＝4，4a ＝16，求122lg lg lg n n n a a a L ＋＋＋＋＋.19.（10分）已知1a ＝2，点1(,)n n a a ＋在函数2()f x x ＝＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．20.（10分）容积为a L(a >1)的容器盛满酒精后倒出1L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.4等比数列(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.20.2.4等比数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.A 解析：设n b ＝2na ，则1n nb b +＝212n n a a +＝21n n a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2q ，∴{}n b 为等比数列；11222n n n n a a a a ++-=≠常数；当0n a <时，lg n a 无意义；设n n c na ＝，则1n n c c +＝1(1)n n n a na ++＝1n q n+⋅≠常数．2.D 解析：∵2q ＝6745a a a a ++＝2，∴228967()2040a a a a q q ＋＝＋＝＝. 3.B 解析：由题意得569a a ＝，∴110293847569a a a a a a a a a a ＝＝＝＝＝，∴510121093a a a L ＝＝.4.D 解析：∵5303579111243a a a a a a q ＝＝，∴2911a a ＝2161101a q a q ＝61a q ＝5243＝3. 5.C 解析：∵2311774a a a a ＝＝，又7a ≠0，∴7a ＝4，∴7b ＝4.∵数列{}n b 为等差数列，∴59728b b b ＋＝＝. 6.A 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得4143,2a a =⎧⎨=⎩或4142,3.a a =⎧⎨=⎩又∵1n n a a >＋，∴43a ＝，142a ＝.∴64161432a a a a ==. 7.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，∵1a ，312a ，22a 成等差数列，∴3122a a a ＝＋，∴21112a q a a q ＝＋，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵各项都是正数，∴0q >，∴q ＝1＋2， ∴91078a a a a ++＝2q ＝(1＋2)2＝3＋2 2.8.A 解析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ， 则q =[][][][]1111(1)(1)(1)(1)p p n n k n n k a a a a p d a n d a a a a a a n d a k d -+--+-====-+--+-p n n k --=n pk n--. 9.D 解析：由根与系数的关系，得595a a ＝16，由等比中项可得595a a ＝250()a ＝16，故50a ＝±4， 则205080a a a ＝350()a ＝(±4)3＝±64.10.D 解析：P＝log＝log ，Q ＝390.5log 2a a +. ∵1q ≠，∴39a a ≠，∴392a a +又∵0.5log y x ＝在(0，＋∞)上单调递减， ∴390.5log 2a a +＜log ，即Q P <.故选D.二、填空题11.27解析：由题意，得12a a ＋＝1，34a a ＋＝212()a a q ＋＝9，∴2q ＝9. 又0n a >，∴3q ＝.故4534()9327a a a a q ⨯＋＝＋＝＝. 12.－3解析：13572468a a a a a a a a ++++++＝13571357a a a a a q a q a q a q ++++++＝1q＝－3.13.3或27解析：设三数分别为3,,a b ，则223,(6)3.a b a b =+⎧⎨-=⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或15,27.a b =⎧⎨=⎩ ∴这个未知数为3或27.14.45解析：设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{}n a ，且1a ＝2×2＝4，q ＝2，则n a ＝4·12n －.令4·12n -＝64×210，得n ＝15，即复制15次，共用45s. 三、解答题15.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q －＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2311a q a q ＋＝32231111a q a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a q q q ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩即212512,32.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩又∵10a >，0q >，∴11,2.a q =⎧⎨=⎩∴2n n a －1＝.16.解：∵3847512a a a a ＝＝－，联立3838124,512.a a a a +=⎧⎨=-⎩解得384,128a a =-⎧⎨=⎩或38128,4.a a =⎧⎨=-⎩又公比为整数，∴3841282a a q ＝－，＝，＝－.∴77103(4)(2)512a a q ⨯＝＝－－＝. 17.解：设数列{}n a 的公差为d ，则34641041021026106a a d d a a d d a a d d ＝－＝－，＝＋＝＋，＝＋＝＋.由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a ＝，即2(10)(106)(102)d d d －＋＝＋.整理，得210100d d －＝.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，20420200S a ＝＝； 当d ＝1时，14310317a a d ⨯＝－＝－＝， 于是20S ＝120a ＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 18.解：由2a ＝4，4a ＝16，得1a ＝2，q ＝2，∴2n n a ＝. ∴23(1)(2)22122122lg lg lg lg()lg 2lg 2n n n n nn n n n n n a a a a a a + L L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝＝＝232n n +lg2.19.(1)证明：由已知得212n nn a a a ＋＝＋，∴221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋.∵12a ＝，∴211(1)0n n a a >＋＋＝＋. ∴1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1lg(1)lg 3a ＋＝.∴{lg(1)}n a ＋是首项为lg3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，-112lg(1)2lg 3lg 3⋅n n n a －＋＝＝，∴-1213n n a ＋＝，∴-1231n n a ＝－. 20.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a. 设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a ＋＝11n a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－．所以数列{}n a 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列． 所以1111nn n a a q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝＝，即第n 次操作后溶液的浓度是11na ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当a ＝2时，由n a ＝11210n⎛⎫< ⎪⎝⎭，得n ≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。