高二数学反射变换

关于y=x的反射变换反射变换是几何变换的一种，又称对称变换。

对于平面上的一条直线，我们可以将平面上的一些点和它们的镜像点关于这条直线映射到对称位置，从而得到一种新的图形。

这个过程就叫做反射变换。

其中，对于y=x直线的反射变换，是一种常见的变换方式，它不仅在数学中有着重要的应用，同时在生活中也有许多例子。

在这里，我们将详细介绍一下y=x直线的反射变换相关内容。

反射变换是一种平面变换，定义为将平面内的点P和它的镜像点P'关于某条直线L映射到对称位置。

而y=x直线的反射变换，是指将平面内所有点与y=x的交点沿着y=x的对称轴进行对称，得到对称后的新点的过程。

1、y=x的反射变换保持线段长度、角度和方向不变。

2、y=x的反射变换将平面内每一点的对称点作为其图形的一部分，并保持距离直线L 的距离大小不变。

3、y=x的反射变换的映射是自反、对称和传递性的。

对于点(x,y)经过y=x的反射变换后得到的新点(x',y')的公式为：x' = yy' = x1、反射光线在镜面上的反射在光学领域中，y=x的反射变换被广泛应用在描述光线在平面镜上的反射现象中。

当一束光线碰到平面镜面时，会根据y=x的反射变换规律，沿着特定角度反射到平面镜的另一侧。

这种现象被称为平面镜反射。

2、对称图形的绘制对于对称图形的绘制，我们可以借助y=x的反射变换来得到某些相对复杂的图形。

例如，我们可以将曲线沿y=x的对称轴对称，得到一个新的曲线图形。

同时，通过多次反射变换，我们可以绘制出非常特殊的图形，如弧形等。

3、编程语言中的数据结构在编程语言中，使用y=x的反射变换规则，可以帮助我们实现平面上的数据结构。

例如，我们可以使用反射变换来实现一棵二叉树的对称操作，或者通过对多边形进行反射变换来判断其是否具有对称性等。

四、结论y=x的反射变换是反射变换中最常见，也是应用最广泛的一种变换方式。

对于数学和生活中许多问题，我们都可以借助y=x的反射变换规律来解答。

数学反射的知识点总结一、反射的基本原理1. 光线的反射规律：光线在与介质边界相交时，根据菲涅尔定律，入射角等于反射角。

2. 波的反射规律：除了光线，其他波也会发生反射，波的反射也遵循入射角等于反射角的规律。

3. 反射的特点：反射是指光线或者其他波在遇到材料的边界后发生的改变方向的现象，它具有反射角和入射角相等的特点。

二、反射的数学公式1. 反射角的计算公式：根据反射规律，可以得到反射角的计算公式：反射角 = 入射角。

这个公式在解决反射问题时非常重要。

2. 入射角和反射角的关系：入射角和反射角是成对的，它们之间存在一定的关系。

这个关系在反射问题中也是比较常见的。

3. 波的反射公式：对于波的反射，我们需要用到波长、频率和速度等变量，计算波的反射也需要特定的公式。

三、反射的几何图形解析1. 反射的直线图形：对于平面镜、凸面镜、凹面镜等光学器件，我们需要用到几何图形来解决反射问题。

了解这些几何图形之间的关系对于解决反射问题非常重要。

2. 反射的角度测量：在解决反射问题时，我们需要用到角度的测量方法，掌握角度的测量方法对于解决反射问题也是至关重要的。

3. 反射的定位和定向：在解决反射问题时，我们需要定位和定向入射光线和反射光线，了解这些概念对于解决反射问题也是非常重要的。

四、反射的应用1. 反射的光学器件：反射在光学器件中有着广泛的应用，比如平面镜、凸面镜、凹面镜等光学器件都是基于反射现象设计的。

2. 反射在成像中的应用：在成像问题中，我们也需要用到反射的知识来解决问题，了解反射在成像中的应用对于解决成像问题非常重要。

3. 反射在通信中的应用：在通信中，反射也有着重要的应用，比如利用反射来实现信号的传输等。

综上所述，反射是数学中的重要知识点，它在光学、成像、通信等多个领域中都有着重要的应用。

学生需要掌握反射的基本原理、数学公式、几何图形解析以及在现实生活中的应用，这样才能够更好地理解和运用反射知识。

希望学生能够通过对反射知识的学习，更好地理解和应用数学知识。

反射变换的名词解释反射变换是数学中非常重要的一个概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中被广泛应用。

反射变换（Reflective transformation）指的是一个物体或图形关于某个轴或面对称的变换过程。

在这篇文章中，我将对反射变换进行详细的解释与探讨。

1. 反射变换的定义与特点反射变换是一种保持角度不变但改变方向的变换方式。

通过沿着某一轴线或平面对称，使得图形的每一个点与其对称点关于对称轴或对称面上线对称，即实现了图形的镜像效果。

反射变换通常使用一个轴或平面来进行对称操作，被称为对称轴或对称面。

2. 反射变换的应用领域2.1 几何学中的反射变换在几何学中，反射变换是重要的基础变换之一。

它常常用于解决镜像对称问题、推导几何定理、证明几何性质等。

例如，在解决关于镜子的问题时，反射变换可以帮助我们确定光线的反射方向，从而实现几何光学中的计算和分析。

2.2 物理学中的反射变换物理学中，反射变换是对光线、声波等传播方式的描述。

根据反射定律，入射光线与反射光线之间的角度相等，但方向相反。

通过对反射变换的研究，科学家可以预测和解释反射现象，如镜面反射、声波的反射等。

2.3 计算机图形学中的反射变换在计算机图形学中，反射变换是一种常用的图形变换方式。

通过反射变换，可以实现图像的对称显示，从而呈现出多种非常有趣的视觉效果。

计算机游戏、虚拟现实和动画制作等领域都广泛应用了反射变换，使得图像更加真实、逼真和美观。

3. 反射变换的数学表示数学上，反射变换可以通过矩阵乘法来表示。

对于二维空间中的点(x, y)，关于对称轴y=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[1, 0][0, -1]其中，矩阵的第一行表示x坐标保持不变，第二行表示y坐标取相反数。

类似地，关于对称面x=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[-1, 0][0, 1]这样，我们可以通过矩阵运算来实现反射变换，从而对图形进行镜像处理。

4. 反射变换的意义与启示反射变换作为一种重要的数学概念，不仅在学术研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个领域。

高中数学中的三角函数的基本变换规律在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的内容。

它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要的作用。

而要理解三角函数的性质和应用，我们首先需要掌握它们的基本变换规律。

一、平移变换规律平移是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行平移。

对于三角函数而言，平移变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的平移变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。

2. 余弦函数的平移变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。

通过平移变换规律，我们可以将函数图像在平面上进行移动，从而观察到函数图像的变化。

二、伸缩变换规律伸缩是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行拉伸或压缩。

对于三角函数而言，伸缩变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的伸缩变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示纵坐标方向的伸缩倍数，b表示横坐标方向的伸缩倍数，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。

2. 余弦函数的伸缩变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示纵坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。

通过伸缩变换规律，我们可以观察到函数图像在平面上的形状发生变化，从而更好地理解函数的性质。

三、反射变换规律反射是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行镜像。

对于三角函数而言，反射变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的反射变换规律：y = -a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。

2. 余弦函数的反射变换规律：y = -a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。

通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。

反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
1/ 2
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。

1.1 轴对称图形与反射变换1．轴对称图形定义如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形（axial symmetric figure)，这条直线叫做对称轴(axis of symmetric);这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。

2．举例例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴. 圆有无数条对称轴，每条圆的直径所在的直线都是圆的对称轴。

3．性质（1）对称轴是一条直线！（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

（4）在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份。

（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（6）图形对称。

4．定理及其逆定理定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果他们的对称轴或延长线相交，那么交点在对称轴上。

定理3的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称，生活作用（1）为了美观，比如天安门的建筑，对称就显的美观漂亮；（2）保持平衡，比如飞机的两翼；（3）特殊工作的需要，比如五角星，剪纸。

5．反射变换像1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换。

相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射。

其中定直线称为反射轴，定点称做反射点。

平面的反射变换保持图形的形状和大小不变。

在平面上，如果存在关于一条直线的反射变换，使一个图形经过该反射变换后能与自己重合，就称这个图形是轴对称图形，这条直线是它的对称轴，还称这个反射变换是该图形的一个反射对称变换，也说该图形有个反射对称。

平移、旋转、反射的变换规律及应用在几何学中，平移、旋转、反射是重要的基础变换，它们具有很广泛的应用。

本文将详细介绍这三种变换的规律及其应用。

一、平移的变换规律及应用平移是将图形沿着一定方向移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。

平移的基本规律如下：1. 平移的方向是任意的，可以向右、向左、向上或向下。

2. 平移的距离和方向相互独立，即平移的距离可以等于或不等于平移方向的长度。

应用实例：在地图上，我们可以将某个区域平移，以观察周边地区的情况，或者将某一条路径平移，以计算出另一条路径的长度。

二、旋转的变换规律及应用旋转是将图形以某一固定点为中心旋转一定角度。

基本规律如下：1. 旋转的中心点可以任选，旋转方向为逆时针方向。

2. 旋转的角度可以任意，可以为正数或负数。

应用实例：在三维动画设计中，可以利用旋转变换来实现模型的旋转效果；在机器人运动控制中，利用旋转变换可以计算出机器人的末端点位置和姿态。

三、反射的变换规律及应用反射是将图形按照某一直线镜像对称。

基本规律如下：1. 反射的直线可以任选，可以为水平、垂直或斜线。

2. 反射保持图形的大小和形状不变，只改变图形的方向。

应用实例：在物理实验中，可以对光线进行反射实验，利用反射规律求出光的入射角和反射角；在镜面制品加工中，利用反射变换可以对物体进行倒影的处理。

总结：平移、旋转和反射是计算机图形学等领域中应用最常见的三种基础变换。

学习了这些变换规律，便能更好地理解它们的应用和特点。

未来，在数字媒体、计算机辅助设计和机器人等领域中，这些变换也会为我们提供更多的应用场景。

反射变换矩阵求法反射变换是一种线性变换，可以将平面或空间中的点围绕某条直线或平面镜像对称。

反射变换矩阵是描述反射变换规律的一种数学工具，它可以用来计算变换之后的点的坐标。

下面将分步骤介绍如何求解反射变换矩阵。

第一步：确定反射轴或反射面反射变换需要确定一条直线或平面作为反射轴或反射面。

如果反射轴为直线，则需要确定直线的斜率和截距；如果反射面为平面，则需要确定平面的法向量。

第二步：求解反射轴或反射面的单位法向量对于直线反射轴，我们只需要求出它的斜率，然后用斜率计算出一个单位向量即可。

如果直线斜率为k，则单位向量可以表示为(1/sqrt(1+k^2), k/sqrt(1+k^2))或(k/sqrt(1+k^2),1/sqrt(1+k^2))。

对于平面反射面，我们需要求解平面的法向量，法向量可以表示为平面两个向量的叉积。

第三步：计算反射矩阵根据反射轴或反射面的单位法向量，可以通过以下公式计算出反射变换矩阵：反射轴矩阵：$M=r\begin{bmatrix}cos\theta- {a^2 \overr^2}(cos\theta-1)&{ab \over r^2}(cos\theta-1)\\{ab \overr^2}(cos\theta-1)&cos\theta- {b^2 \over r^2}(cos\theta-1)\end{bmatrix}$其中，r是直线到坐标原点的距离，θ是直线与x轴的夹角，a和b是直线上任意两点的x、y坐标。

反射面矩阵：$M=I-2n\ n^T$其中，I是单位矩阵，2n是一个矩阵，它的每个元素都为2n，n^T是n 的转置矩阵，n是平面的法向量。

第四步：进行反射变换我们可以通过反射变换矩阵，将一个点P的坐标(x,y)或三维坐标(x,y,z)进行变换，得到反射后的点P'坐标。

二维反射变换矩阵：$M=\begin{bmatrix}cos2\alpha&sin2\alpha\\sin2\alpha&-cos2\alpha\end{bmatrix}$三维反射变换矩阵（以xy平面为例）：$M=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$总结反射变换矩阵计算较为简单，只需要确定反射轴或反射面的单位向量即可。

平移旋转与反射的几何变换平移、旋转和反射是几何学中常见的几何变换形式，它们在许多不同领域的应用中起着重要的作用。

本文将探讨平移、旋转和反射这三种几何变换的定义、特点以及应用。

一、平移平移是指图形在平面上按照指定的方向、距离进行移动的过程。

具体而言，对于平面上的一个图形，使用平移变换可以将其每个点沿着某一方向和距离移动到一个新的位置，而保持其形状和大小不变。

平移变换可以用矢量表示，其中矢量的方向和长度表示平移的方向和距离。

设图形上的一个点P(x,y)，经过平移变换后移动到P'(x',y')，则有以下关系式：x' = x + ay' = y + b其中，(a,b)表示平移的矢量。

平移变换不改变图形的直角、平行关系以及大小和形状，因此在计算机图形学、建筑设计等领域中得到广泛应用。

例如，在计算机游戏中，可以通过平移变换实现角色、场景的移动，从而产生动态效果。

二、旋转旋转是指图形按照某一中心点旋转一定角度的过程。

具体而言，对于平面上的一个图形，使用旋转变换可以使其围绕某个点旋转一定的角度，而保持其形状和大小不变。

旋转变换可以用矩阵表示，设图形上的一个点P(x,y)，经过旋转变换后旋转到P'(x',y')，则有以下关系式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，θ表示旋转的角度。

旋转变换不改变图形的直角、平行关系以及大小和形状，因此在计算机图形学、航天航空等领域中被广泛应用。

例如，在航天飞行器的轨道规划中，可以通过旋转变换来计算飞行器在三维空间中的位置和方向。

三、反射反射是指图形按照某一直线镜像对称的过程。

具体而言，对于平面上的一个图形，使用反射变换可以使其相对于某一直线对称，而保持其形状和大小不变。

反射变换可以用矩阵表示，设图形上的一个点P(x,y)，经过反射变换后镜像到P'(x',y')，则有以下关系式：x' = xy' = -y反射变换不改变图形的直角、平行关系以及大小和形状，因此在物理光学、计算机图形学等领域中得到广泛应用。

数学光线反射问题
在数学中，光线反射问题通常涉及到光学原理和几何学。

以下是解决光线反射问题的一般步骤：
1. 确定入射光线和反射面的位置。

2. 根据反射定律，确定反射角的大小。

反射角等于入射角。

3. 根据几何学原理，计算出反射光线和入射光线之间的夹角。

4. 根据需要，进一步计算反射光线和入射光线在其他平面上的投影等。

解决光线反射问题需要一定的几何学基础和光学知识。

在具体的问题中，可能还需要用到三角函数、向量等工具。

以下是一些可能用到的公式和定理：
1. 法向量（Normal Vector）：法向量是垂直于反射面的向量，它指向反射面一侧。

在三维空间中，可以用一个向量来表示法向量。

2. 反射角（Reflection Angle）：反射角是指入射光线与法向量之间的夹角。

根据反射定律，反射角等于入射角。

3. 反射矩阵（Reflection Matrix）：反射矩阵是一个特殊的矩阵，它可以用来描述反射操作。

对于一个二维反射，反射矩阵可以表示为：
[[1, 0],
[0, -1]]
对于一个三维反射，反射矩阵可以表示为：
[[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, -1]]
这些公式和定理可以帮助我们解决光线反射问题。

例如，如果我们知道入射光线和反射面的位置，我们可以使用上述公式来计算出反射光线和入射光线之间的夹角，以及反射光线在其他平面上的投影等。

反射定律公式反射定律是光学中的基本定律之一，它描述了光在两种介质之间传播时的行为。

根据反射定律，入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，且入射角和反射角在同一平面上。

这个定律可以用数学公式来表示。

下面将详细介绍反射定律及其相关应用。

反射定律的数学表达式为：入射角（θ₁）等于反射角（θ₂）。

其中，入射角是指入射光线与法线之间的夹角，反射角是指反射光线与法线之间的夹角。

这个定律是根据实验观测得出的，经过大量实验验证，成为光学研究的基础定律之一。

反射定律的应用非常广泛。

首先，在日常生活中，我们常常可以观察到反射现象。

比如，当光线照射到镜子上时，会发生反射，我们可以看到镜中的自己。

这是因为光线在镜子上发生反射，根据反射定律，我们可以观察到反射光线。

另外，光线在水面上的反射现象也是反射定律的应用之一，例如在湖面上看到自己的倒影。

反射定律在光学仪器中也有重要应用。

比如，反射望远镜和反射式显微镜都是基于反射定律的原理设计的。

反射望远镜通过多次反射使光线聚焦，从而增强了观察的清晰度；反射式显微镜则利用反射定律使光线反射多次，从而放大被观察样品的细节。

在光学传输中，光纤也是基于反射定律的原理工作的。

光纤由一个或多个玻璃或塑料纤维组成，通过内部的反射使光线沿着光纤传输。

光纤的核心材料具有较高的折射率，而包围核心的包层材料具有较低的折射率，使光线在核心和包层之间发生全反射，从而实现了光信号的传输。

同样，反射定律也在光学测量中起着重要作用。

例如，在测量物体的距离时，可以利用反射定律通过测量光线的入射角和反射角来计算出距离。

这种原理被广泛应用于激光测距仪、雷达测距仪等测距设备中。

反射定律是光学中的基本定律之一，它描述了光在两种介质之间传播时的行为。

根据反射定律，入射角等于反射角，且入射角和反射角在同一平面上。

这个定律在日常生活和科学研究中都有广泛应用，如镜子反射、光学仪器设计、光纤传输和测量等。

通过对反射定律的研究和应用，我们可以更好地理解光的行为，同时也为光学技术的发展提供了基础。

反演变换定义：设在平面内给定一点O和常数k(k不等于零)，对于平面内任意一点A，确定A′，使A′在直线OA上一点，并且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k，我们称这种变换是以O 为的反演中心，以k为反演幂的反演变换，简称反演。

称A′为A关于O（r）的互为反演点.当k>0时，有向线段OA与OA′同向，A与A′在反演极同侧，这种反演变换称为正幂反演，亦叫双曲线式反演变换·当k<0时，有向线段OA与OA′反向，A与A′在反演极异侧，这种反演变换称为负幂反演，亦叫椭圆式反演变换。

在某一反演变换中相互对应的两个图形互为反演图形或反象。

1数学反演变换（inversion)正幂反演的性质：1、反演中心不存在反演点。

不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。

与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。

2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。

即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。

（直线→直线）3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。

（直线→圆）4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。

（圆→直线）注：性质3和4互为逆命题。

5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。

（圆→圆）由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为定理一反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。

这个定理常称为反演变换的保圆性。

6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

上述性质6—8可经综合为定理二两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。