2019年新考研高等数学模拟考试考题(含参考答案)
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2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰; 解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积,故原式=1.0(2)(0)x R >⎰ . 解:由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R 的圆在第一象限内的面积,故原式=21π4R .2.设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===,求,,w w w x y z∂∂∂∂∂∂. 解:,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂,3. 试求曲线e x y -=在点(0,1)及点(-1,0)处的切线方程和法线方程.解:231e e (1)3x x y x ---'=-⋅+ 012. 3x x y y ==-''=-=∞故在点(0,1)处的切线方程为:21(0)3y x -=--,即2330x y +-= 法线方程为:21(0)3y x -=-,即3220x y -+= 在点(-1,0)处的切线方程为:1x =-法线方程为:0y =4.在括号内填入适当的函数,使等式成立:⑴ d( )cos d t t =; ⑵ d( )sin d x x ω=;⑶ 1d( )d 1x x =+; ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸ d( )x=; ⑹ 2d( )sec 3d x x =; ⑺ 1d( )ln d x xx =; ⑻ d( )x =. 解:⑴ (sint)cos t '=d(sin )cos d t C t t ∴+=.⑵ 11(cos )(sin )sin x x x ωωωωω'-=-⋅-=1d(cos )sin d x C x x ωωω∴-+=.⑶ 1[ln(1)]1x x'+=+ 1d[ln(1)]d 1x C x x ∴++=+. ⑷ 22211(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-⋅- 221d(e )e d 2x x C x --∴-+=. ⑸ (2)2x '=)C x∴=. ⑹ 2211(tan3)sec 33sec 333x x x '=⋅⋅= 21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=. ⑺ 21111(ln )2ln ln 22x x x x x'=⋅⋅= 211d(ln )ln d 2x C x x x∴+=. ⑻ 2(1(2)x x '--=-=d()C x ∴=.5.求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y :。
2019最新考研数学模拟试题(含答案) 学校:__________ 考号:__________一、解答题1.设a 为非零常数,b 为正常数,求y =ax 2+bx 在以0和b a 为端点的闭区间上的最大值和最小值.解:20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和b a为端点的闭区间上, 而 22(0)0,b b y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故当a >0时,函数的最大值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小值为(0)0y =; 当a <0时,函数的最大值为(0)0y =,最小值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2.计算下列向量场A 的散度与旋度:(1)()222222,,y z z x x y =+++A ;解:()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ;解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3.求下列函数的高阶导数:⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y; ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y ; ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解:⑴e sin e cos e (sin cos )x x xy x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x ''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()i x i i i y C x -==∑22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x xx x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--4.已知()f x ''存在,求22d d y x: ⑴ 2()y f x =; ⑵ ln ()y f x =.解:⑴ 22()y xf x ''= 222222()22()2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+ ⑵ ()()f x y f x ''= 22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=5.在括号内填入适当的函数,使等式成立:⑴ d( )cos d t t =; ⑵ d( )sin d x x ω=;⑶ 1d( )d 1x x =+; ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸d( )x =; ⑹ 2d( )sec 3d x x =; ⑺ 1d( )ln d x x x =; ⑻d( )x =. 解:⑴ (sint)cos t '=。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示),问变压器设在输电干线AB 的何处时,所需电线最短?解:所需电线为()(03)()L x x L x =<<'=13题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km),即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时,所需电线最短.2.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;解:特征方程为 210r +=得 1,2r i =±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得 3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-得 10,3A B == 故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++. 将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+. 200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===. 解: 21090r r -+=121,9r r ==对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得 17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x x y c c =-++ 由初始条件可求得 1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x x y =+-.3.证明:11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln ,1121x x x x x x+==-<<- 证: (1)由e e sinh 2x xy x --==得2e 2e 10x x y --=解方程2e 2e 10x x y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y++==--; 又由101y y+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21x y x x x+==-<<-4.怎样选取a , b 的值,使f (x )在(-∞,+∞)上连续?。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1. 确定下列函数的单调区间:(1) 3226187y x x x =---;解:所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导,且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点:121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内,y '分别取+,–,+号,故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加,在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>; 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外,在定义域内处处可导,且282y x '=-,则函数有驻点2x =,在部分区间(0,2]内,0y '<;在[2,)+∞内y '>0,故知函数在[2,)+∞内单调增加,而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-,则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内, 0y '<,函数单调减少;在1[,)2+∞内, 0y '>,函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥;解: 函数定义域为[0,)+∞,11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>,函数单调增加;在[,]n +∞上0y '<,函数单调减少.(6) sin 2y x x =+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时, 12cos 2y x '=+,则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+; πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时, 12cos 2y x '=-,则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述,函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈, 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内, 0y '>,函数单调增加, 在111[,]218-上, 0y '<,函数单调减少, 在11[,2]18上, 0y '>,函数单调增加, 在[2,)+∞内, 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-,111[,]218-,11[,)18+∞.2.求下列函数在所示点的导数:(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在点π4t =;。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰. 解:原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰ 11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰2.设f (x ) = x +1(0≤x ≤π),试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数.解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…) ()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn n b f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰ 从而()()()1111π2sin πn n f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π) 若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n x f x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)3.利用微分求下列各数的近似值:⑴⑵ln0.99;⑶arctan1.02.解:⑴113x≈+,有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=.⑵利用近似公式ln(1)x x+≈,有ln0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶取()arctanf x x=,令1,0.02x x==,而21()1f xx'=+,则21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+4.球的半径以速率v改变,球的体积与表面积以怎样的速率改变?解:324dπ,π,.3drV r A r vt===2d d d4πd d dd d d8πd d dV V rr vt r tA A rr vt r t=⋅=⋅=⋅=⋅5.一点沿对数螺线e arϕ=运动,它的极径以角速度ω旋转,试求极径变化率.解:d d de e.d d da ar ra at tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=6.设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出:C(q)=0.01q3-0.6q2+13q.(1)设每件产品的价格为7元,企业的最大利润是多少?(2)当固定生产水平为34件时,若每件价格每提高1元时少卖出2件,问是否应该提高价格?如果是,价格应该提高多少?解:(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q=-+-=-+-'=-+-令()0L q'=,得231206000q q-+=即2402000q q-+=。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.求对数螺线a r e θ=相应θ=0到θ=φ的一段弧长. 解:l =⎠⎛0φr 2+r ′2d θ =⎠⎛0φe 2a θ+a 2e 2a θd θ=1+a 2a ()e a φ-1.2.计算下列向量场A 的散度与旋度:(1)()222222,,y z z x x y =+++A ;解:()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ;解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3.利用四阶泰勒公式,求ln1.2的近似值,并估计误差.解:23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+4.某人走过一桥的速度为4km ·h -1,同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过,此桥比船高200m ,求3min 后,人与船相离的速度.解:设t 小时后,人与船相距s 公里,则d d s s t === 且120d 8.16d t s t ==≈ (km ·h -1)5.计算曲线y =cosh x 上点(0,1)处的曲率.解:sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时,0,1y y '''== ,故 23/21.(1)y k y ''=='+ 6.验证:拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性.验证:因为()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+解得ξ=,即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立.7.⑴ 证明:不等式ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ 证明:令()ln(1)f x x =+在[0,x]上应用拉格朗日定理,则(0,),x ξ∃∈使得 ()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<,则11x x x x ξ<<++ 即ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明:11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明:令()nf x x =,在[b ,a]上应用拉格朗日定理,则(,).b a ξ∃∈使得 1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nba b n a b na a b ξ----<-<-, 即11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明:ln .a b a a b a b b --<<。
2019最新考研数学模拟试题(含答案) 学校:__________ 考号:__________一、解答题1.求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+;解: 22y x '=-,令0y '=,得驻点1x =.又因20y ''=>,故1x =为极小值点,且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-;解: 266y x x '=-,令0y '=,得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =,极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+; 解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+,令0y '=,得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=,极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+;解: 1101y x'=-=+,令0y '=,得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+;解: 32444(1)y x x x x '=-+=-,令0y '=,得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值,(0)0y =为极小值.(6) y x =解: 1y '=-,令0y '=,得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =,当34x >时, 0y '<;当34x <时, 0y '>,故134x =为极大值点,且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤,故1x =不是极值点. (7)y =; 解:y '=,令0y '=,得驻点125x =.当125x >时, 0y '<;当125x <,0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++; 解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=,得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =,极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =;解: e (cos sin )x y x x '=-,令0y '=,得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-,ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>,故2π2π 4k x k =+为极大值点,其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点,对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=. (10) 1x y x =;解: 11211ln (ln )x x x y x x x x x -''==,。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1. 确定下列函数的单调区间:(1) 3226187y x x x =---;解:所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导,且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点:121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内,y '分别取+,–,+号,故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加,在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>; 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外,在定义域内处处可导,且282y x '=-,则函数有驻点2x =,在部分区间(0,2]内,0y '<;在[2,)+∞内y '>0,故知函数在[2,)+∞内单调增加,而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-,则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内, 0y '<,函数单调减少;在1[,)2+∞内, 0y '>,函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥;解: 函数定义域为[0,)+∞,11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>,函数单调增加;在[,]n +∞上0y '<,函数单调减少.(6) sin 2y x x =+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时, 12cos 2y x '=+,则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+; πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时, 12cos 2y x '=-,则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述,函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈, 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内, 0y '>,函数单调增加, 在111[,]218-上, 0y '<,函数单调减少, 在11[,2]18上, 0y '>,函数单调增加, 在[2,)+∞内, 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-,111[,]218-,11[,)18+∞.2.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ;。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)
学校:__________
考号:__________
一、解答题
1.证明:
(1) 1
0lim 0;n n x →∞=⎰ 证明:当102x ≤≤时,0,n n x ≤≤ 于是111200110d (
),12n n x x n +≤
≤=⋅+⎰⎰ 而111lim ()0,12
n n n +→∞⋅=+ 由夹逼准则知:1
0lim 0.n n x →∞=⎰ (2) π
40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰
证明:由中值定理得
π
44
0ππsin d sin (0)sin ,44
n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤ 故π
40πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4
n n n n x
x ξξ→∞→∞==≤
<⎰
2.某人走过一桥的速度为4km ·h -1,同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过,此桥比船高200m ,求3min 后,人与船相离的速度.
解:设t 小时后,人与船相距s 公里,则
d d s s t === 且 120
d 8.16d t s t ==≈ (km ·h -1)
3.设总收入和总成本分别由以下两式给出:
2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+
其中q 为产量,0≤q ≤1000,求:(1)边际成本;(2)获得最大利润时的产量;(3)怎样的生产量能使盈亏平衡?
解:(1) 边际成本为:
()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=
(2) 利润函数为
2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q
=-=--'=- 令()0L q '=,得650q =
即为获得最大利润时的产量.
(3) 盈亏平衡时: R (q )=C (q )
即 3.9q -0.003q 2-300=0
q 2-1300q +100000=0
解得q =1218(舍去),q =82.
4.设某种商品的需求弹性为0.8,则当价格分别提高10%,20%时,需求量将如何变化? 解:因弹性的经济意义为:当自变量x 变动1%,则其函数值将变动%Ey Ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故当价格分别提高10%,20%时,需求量将分别提高0.8×10%=8%,0.8×20%=16%.
5.验证:函数()ln sin f x x =在π5π[,]66
上满足罗尔定理的条件,并求出相应的ξ,使()0f ξ'=.
证:()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续,在π5π(,)66上可导,且π5π()()l n 266f f ==-,即在π5π[,]66
上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,至少存在一点π5π(,
),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上,由cos ()cot 0sin x f x x x '===得ππ5π(,),266x =∈故取π2
ξ=,可使()0f ξ'=.
6.如果()f x '在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明:
()()
f b f a >. 证明:因为()f x '在[a , b ]上连续,在(a ,b )内可导,故在[a ,x ]上应用拉格朗日定理,则(,),()a x a x b ξ∃∈<<,使得()()()0f x f a f x a ξ''-''=>-,。