【典中点】2016秋浙教版八年级数学上册课件2.8.1直角三角形全等的判定

在∠DBE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，
FK⊥BE于点K.∵AF平分∠CAD，CF平分∠ACE，
∴FG＝FH，FH＝FK，∴FG＝FK.又∵FG⊥BD, FK⊥BE，∴点F在∠DBE的平分线上
14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点， 点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
6．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝ 50°，则∠ABC＝________ 100° ．
7．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D 在∠BAC的∴∠BED＝∠CFD＝ 90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∠BED＝∠CFD， ∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，△BDE≌△CDF(AAS)，
解：(1)在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AB＝CB，AE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL) (2)由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BAE＝∠BCF，又 ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝ ∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝15°，∴∠ACF＝∠ACB＋∠BCF＝
4．如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC， FD＝CD.求证：AD＝BD.
证明：由HL证Rt△BFD≌Rt△ACD可得
知识点2：角平分线性质定理的逆定理
5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相 等的点应是( A．点M C．点P A) B．点N D．点Q
60°
15．如图，BN为∠ABC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于 点D，AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°

A
B
C
拓展与延伸
如图,已知∠ACB=∠BDA=90º, 要使△ABC≌△BDA, 还 需要增加一个什么条件?把它们分别写出来.
解：增加AC=BD； 增加BC=AD； 增加∠ABC=∠BAD ； 增加∠CAB=∠DBA ；
C A
D B
(3)交流之后，你发现了什么？
新课讲解
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等.
简写：“斜边、直角边”或“HL”.
∠C=∠C´=90°， ∵ A B=A´B´，
A
A'
A C= A´C´（ 或BC= B´C´），
C
B C'
B'
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L).
新课讲解
练一练
如图，AC=AD，∠C=∠D=Rt∠ ，你能说明∠ABC与
∠ ABD相等吗？
C
解： ∠ABC=∠ ABD.
∵∠C=∠D=90°(已知），
A
B
AB=AB(公共边），
AC=AD（已知），
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
D
∴ ∠ABC=∠ ABD(全等三角形对应角相等).
课堂小结
新课讲解
典例分析
例 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右 边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE的大小有什么关系？
新课讲解
解： ∵ ∠A=∠D=90°（已知）， BC=EF, AC=DF(已知），
B
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
E
C
A
D
F
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等). 又∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.

谢谢
请多指教
浙教版 八上
直角三角形全等的判定
目录
01 直角三角形全等的判定 02 角平分线的判定定理
复习导入
三角形全等的判定方法有哪几种？
A
E
（1）S.A.S：两条边及其夹角对应相等的
B
CF
G
两个三角形全等.
A
E
（2）A.S.A：两个角及其夹边对应相等的
B
CF
G
两个三角形全等.
A
E
（3）A.A.S：两个角及其中一个角的对边
a
画法：1. 画∠MCN=90 °.
c
2. 在射线CM上取CB=a.
N
3. 以B为圆心，c为半径画弧， 交射线CN于点A.
4. 连结AB .
A c
△ABC就是所要画的直角三角形.
MB a C
例题学习
例3：如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,
且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
DA
O
1 2
P
EB
∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE
∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2） （角平分线的性质）
举一反三
1. 判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，
全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ AAS ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ × ）
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等， 那么这两个直角三角形全等。
问题2： 证明一个命题是真命题， 有哪几个步骤呢？
1.由题意作图形，标字母或符号；

直角三角形全等的判定
探究新知
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（2） AC = BD （ HL）；
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS）； D
C
（4） ∠DBA = ∠CAB （AAS）．
A
B
继续探究
问题3 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m， 请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
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证明：∴ ∠ABC =∠DEF （全等三角形对应角相等）． ∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？ （3）角平分线的性质定理的掌握与应用

解：作射线OP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠ 又∵ OP = OP（公共边）
PD = PE （已知） ∴ Rt△PDO≌ Rt△PEO （HL）
1
O2
∴ ∠1=∠2
即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）
DA P
E
B
新知学习
【新知2】角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【解析】CG＝BD.理由如下： ∵∠A CB ＝90°，A E ⊥CD， ∴∠CA E ＋∠A CE ＝90°，∠A CE ＋∠B CF ＝90°， ∴∠CA E ＝∠B CF . ∵B F ⊥CD，∴∠CF B ＝90°，∴∠A E C＝∠CF B . 又∵A C＝CB ，∴△A CE ≌△CB F (A A S )．∴CE ＝B F . ∵CH ⊥A B ，B F ⊥CF ， ∴∠H CD＋∠CDH ＝90°，∠DB F ＋∠B DF ＝90°. ∵∠CDH ＝∠B DF ，∴∠H CD＝∠DB F ， 即∠GCE ＝∠DB F . 又∵CE ＝B F ，∠CE G＝∠B F D＝90°， ∴△CE G≌△B F D(A S A )．∴CG＝B D.
探究新知
【探究3】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C =∠C′=Rt∠，
AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：如图，延长BC至D，使CD=B′C′，连结AD.
B′
A′
C′
B
A
C
D
新知学习
【新知1】直角三角形全等的判定定理：
（1）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。 A
B
C
议一议
蓄势待发
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来. 增加AC=BD; C D 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ; B 增加∠CAB=∠DBA ; A
驶向胜利 的彼岸
A
E
D B C 分析:要证明△ABC是等腰三角形, 就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE; 而△BDF≌△CDE的条件: BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证.
请将证明过程规范化书写出来.
学以致用
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在 旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上， 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明 你的理由。 解：BD=CD ∵ ∠ADB=∠ADC=90°
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).
又∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D=Rt∠ ，你能说明 ∠ABC与∠ ABD相等吗？ C
解： ∠ABC=∠ ABD
∵∠C=∠D=90°(已知）
又∵AB=AB(公数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
填一填
忆一忆
相等 ，对应角 1、全等三角形的对应边 ---------, -----相等
-----
2、判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS
3、认识直角三角形
A
直 角 边
Rt△ABC
直角三角形的两个 锐角互余。

O EB
7
角平分线性质定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在 这个角的平分线上。
DAБайду номын сангаас
O
∵OP平分∠AOB
∴PD=PE（角平分线性质）
P EB
8
练习1：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2， 则AD平分∠BAC，请说明理由。
B
1
A
D
2
C
9
练习2 ：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D， P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
2
3
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边”或
“AHL”
A'
C
B C'
B'
∠C=∠C´=90°
∵ A B=A´B´
A C= A´C´（ 或BC= B´C´）
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L) 4
练习1 如图，在Δ ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，则AB=AC。说
明理由。
5
已知线段a、c(a﹤c)，画一个Rt△ABC, 使∠C=90° ，一直角边CB=a，斜边AB=c.
a
c
6
例 如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE。 求证：点P在∠AOB的平分线上。
DA P

∴ B，C，B’在同一直线上，
AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
C’
B’∵ AC=A'C'（公共边）
∴ RtΔABC ≌ RtΔA'B'C'（SSS）
证明三
如图，延长BC至D. 使 CD=B'C'，连结AD.
∵AC=A'C'(已知)，∠ACD=Rt∠=∠C'
B
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
综合拓展题
4.三条公路两两相交，现在决定在三角形区内建立一 个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维 修站应该建立在何处？请画出图形
L1 L3
如图所示： （1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1； （2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为 O2，O3，O4， 故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．
A
∵ Rt△ABC和Rt△A´B´C´
证明一
∴ BC2=AB2 - AC2
B´C´2=A´B´2 - A´C´2
C
B
A
C
B
又∵ AC=AC,AB=AB.
∴BC=B´C´
在△ABC和△A´B´C´中 A B=A´B´ A C=A´C´ BC= B´C´
A
B
C
证明二
A’
∵ ∠ACB=∠A’B’C’=9源自 °综合拓展题3.已知，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别为点E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等边三角形．

A
A
C
BC
(1 ) A C A C , A A (2 ) A C A C ,B C B C (3 ) A B A B , B B B (4 )A C A C ,A B A B
如图，在△ABC和△A’B’C’中,∠C= ∠C’=Rt∠， AB=A’B’，AC=A’C’.△ABC和△A’B’C’ 全等吗？ 请说明理由。
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判
定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.
判断直 角三角
三边对应相等
SSS
一锐角和它的邻边对应相等 ASA
形全等 条件
一锐角和它的对边对应相等 AAS
两直角边对应相等
SAS
斜边和一条直角边对应相等 HL
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三 角形全等的方法.
求证: △ABC是等腰三角形.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC(已知)
∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ (垂直意义)
A
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中 DE=DF(已知) BD=CD(中点意义)
∴ RT △BDE ≌ RT △CDF(HL)
E
F
B
D
C
课内练习
∴∠B=∠ C(全等三角形对应角相等)
B
1
A
D
2
C
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=BC，
AD是∠A的平分线，则AC+CD=AB,请说明理
由。解：过点D作ED⊥AB,交AB于点E
C
D
A
E
B
已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于 点D,E为AC上一点,且BF＝AC,DF ＝DC.求证:BE⊥AC.

三、新知认证
已知：如图,在△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠C’= Rt∠ , AB=A’B’，AC=A’C’
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’
B
B
C
A
A
C
C
B’

方法一：延长BC至D,使 D
CD= B’C’,连结AD，构造全等
A’
C’
方法二：也可利用勾股定理
己知：如图所示，AD⊥ AC，BC⊥ BD，AC与BD交于点O，且AC=BD， 求证：AO=BO
五、议一议
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使
△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什
么条件?把它们分别写出来.
增加AC=BD;
增加BC=AD;
C
D
增加∠ABC=∠BAD ;
增加∠CAB=∠DBA ; A
B
六、例题解析
例2、已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D、E分别是垂足，且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的平分线上。
D
A
o
1 2
P
E
B
七、小结提升 角平分线的判定
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角 的平分线上。
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线） 角平分线的性质定理的逆定理
即OP是∠AOB的平分线
P81 做一做
1、如图，∠ABD=∠ACD=90°， ∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请 说明理由。
B
1
A
D
2
C
练一练：
2、如图，AB⊥BD于点B， CD⊥BD于点D，P是BD上一点， 且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。

知2－讲
总结
知2－讲
解答本题的关键是将实际问题转化为数学问题， 体现了转化思想．
知2－练
1 两根长度相等的绳子，它们的一端都系在竖直的 旗杆上的同一点(离地面有一定距离)，另一端分别 固定在地面的两根木桩底部且绳子拉直，两根木 桩底部到旗杆底部的距离相等吗？说明理由．
（来自《点拨》）
知2－练
2 如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定△ABC≌△ADC的是( ) A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
知识点 1 “斜边、直角边”(HL)
问题（一）
知1－导
பைடு நூலகம்
回顾:要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？
知1－导
问题（二）
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如 果这个角 是直角呢？你可以通过作图、叠合等方法 进行探索.
归纳
知1－讲
__斜__边____和一条__直__角__边__对应相等的两个直角三角形 全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
必做：
1.请完成教材P82课内练习T1，P82作业题T1，T3 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
学习很辛苦，但并不痛苦；学习没有 什么捷 径，苦 学才是 根本； 在你没 有找到 “不用 重复就 可以学 习好” 的方法 之前， 请不放 弃“重 复”这 种最简 单、最 有效的 学习方 法。
知1－讲
【例1】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点 D，点E在AD上，且BE＝AC，求证：DE＝CD.
导引： 由∠ABC＝45°，AD⊥BC，易得AD＝BD，又知 BE＝AC，所以Rt△BDE≌Rt△ADC，从而得出 DE＝CD.

2.8直角三角形的全等的判定
复习回顾，探究新知
1、判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？
2、在△ABC和△AˊBˊCˊ中，若∠ C=∠C ˊ ， 根据下列条件，试判断△ABC和△AˊBˊCˊ是 否全等？理由是什么？
（1）若BC=BˊCˊ, ∠A=∠Aˊ (2)若AB=AˊBˊ, ∠B=∠Bˊ (3)若AC=AˊCˊ,BC=BˊCˊ
奇迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但 看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排 使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛 就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看 错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人 人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静 果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所 战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接 ，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自 帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至 努力提高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名 太想改变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟 纷开始早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医 的一种浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合 上，我就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们 是1000前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人 一通乱忙乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努 过我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子， 分是90分，而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力 告诉你，你现在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他 轻松十倍，得分却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖 的就挖出水来了，而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力 力，最终得到的结果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来， 一行，再以此类推，排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转