云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练数学(文)试题(含答案)

2020届昆一中高三联考卷第九期语文参考答案及评分标准一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读1．（3分）C（曲解文意，原文是“在经济全球化背景下”）2．（3分）B（第二段没有使用举例论证）3．（3分）B（A项，依据原文，“促使……”“寻求……”表明是未然情况，但选项表述为已然结果。

C项逻辑不当，依据原文，不同文化间充分的交流互鉴只能赋予文化保持生机与活力的动能，不能直接保持文化的生机与活力；D项曲解文意，依据原文，是“‘和合．．带着世界．．从人类命．．’文化运共同体理念触摸到．．”，而非“和合”文化是密码）．．．了和谐发展、共同进步的密码（二）实用类文本阅读4．（3分）C（原文表述为“基本生态需求．．．．．．无法得到有效满足而导致的生活困难状态”，与“生态需求”是两个概念，“完备的公共设施和服务”已经超出了“基本生态需求”的范畴）5．（3分）C（曲解文意，蝗虫种群得以扩大和大范围迁徙的原因，不仅是扑杀成本与设备的问题，更因为也门南部过去两年一直处于战乱）6．（6分）①反常的气候。

意外的台风与飓风造成植被的兴旺，使蝗虫暴涨。

②社会动荡（战乱）。

也门南部的内战延误了灭蝗时机，使之完成了关键的种群扩大和迁徙准备。

③农业生态问题。

肯尼亚单一种植的农业生态对病虫害的抵御力格外羸弱。

④历史原因。

肯尼亚100多年的被殖民史，造成了单一种植的脆弱生态体系，对自然异动的承受力大大降低。

（第1、2点各给2分，第3、4点各给1分）（三）文学类文本阅读7．（3分）B（小说除了白描手法，也用到了很多细节描写。

比如说文章后半部分描写他的穿着变化）8. （6分）①阔少阶段：会吃会玩、格调独特。

不爱吃山珍海味却喜欢吃糖葫芦，为了吃糖葫芦不惜心力。

②落魄阶段：贫穷无依、自立自救。

面对生活的变故，突然从天上掉到地下，他依然通过自己的喜好谋求生计。

③复兴阶段：手艺创新，世间称雄。

他不断翻新糖堆，重新找回当年大关丁的派头。

9.（6分）大俗：①从内容上看，小说所写的是市井俗事，为我们展示的是一幅天津民俗图画。

2020年昆明一中高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|y =ln(−x)}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {x|x <0}C. {x|−1<x <0}D. {x|0<x <1}2. 若z +2z =3−i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率4. 若θ∈(π4,π2)，sin 2θ=4√29，则cosθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. 895. 已知x ，y 满足{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9，则z =2x −y 的最大值是( )A. 152B. 92C. 94D. 26. 函数f(x)=sinx(sinx +√3cosx)的最大值为( )A. 2B. 1+√3C. 32D. 17.函数y=1−1x−1的图象是()A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 49.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()A. 4πB. 43π C. 163π D. 34π10.在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=∠ADC=π2，则下列是直角的为()A. ∠BCDB. ∠BDCC. ∠CBDD. ∠ACD11.若a≥√2，则双曲线x2a2−y23=1的离心率的取值范围是()A. [√102,+∞) B. (√102,+∞) C. (1,√102] D. (1,√102)12.函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2]B. [2−√2, 2]C. [2, 2+√2]D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，若m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，则m等于______ ．14.已知△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，则角A等于______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为√3.若C上一点P满足|PF1|−|PF2|=2√3，则C的方程为______．16.已知函数f(x)=|x|+cosx，若方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，则实数a的取值范围为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>0,a2a3=8a1，且a4,36,2a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2na n，求数列{b n}的前{b n}的前n项和T n．18.某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100(1)若全小区节能意识强的人共有360人，则估计这360人中，年龄大于50岁的有多少人⋅(2)按表格中的年龄段分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．19.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AD=a，G是EF的中点，且AF=12(1)求证平面AGC⊥平面BGC；(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．20.如图，已知抛物线C：x2=2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0,−1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B．(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线A′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)求函数f(x)的最值；(2)证明：lnx ≤x −1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|1−2x|+|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a−|1+x|<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的有关概念和复数的运算．z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，根据复数相等的意义即可求解；解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，依题意知a+bi+2(a−bi)=3−i，即3a−bi=3−i，根据复数相等的意义得a=b=1，于是z=1+i，所以|z|=√2．故选B;3.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．4.答案：A解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得cos2θ，进而利用二倍角公式可求cosθ的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．解：由θ∈(π4,π2)，sin2θ=4√29，得2θ∈(π2,π)，可得cos2θ=−√1−sin 22θ=−79， 所以cosθ=√1+cos2θ2=13．故选：A ．5.答案：B解析：解：作出不等式组{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD 及其内部，其中A(32,34)，B(3,32)，C(3,4)，D(0,3)设z =F(x,y)=2x −y ，将直线l ：z =2x −y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,32)=2×3−32=92故选：B ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD 及其内部，再将目标函数z =2x −y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =32时，目标函数z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =2x −y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：f(x)=sinx(sinx +√3cosx)=sin 2x +√3sinxcosx =12(1−cos2x)+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， ∴当sin(2x −π6)=1时，函数取得最大值1+12=32， 故选：C ．利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数最值的求解，利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：把y =1x 的图象向右平移一个单位得到y =1x−1的图象， 把y =1x−1的图象关于x 轴对称得到y =−1x−1的图象， 把y =−1x−1的图象向上平移一个单位得到y =1−1x−1的图象． 故选：B ．把函数y =1x 先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位． 本题考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力．8.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数， ∴n =1，2，4，8，16，32，64， 故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能9.答案：B解析：本题考查了球的表面积和体积公式的运用，属于基础题．由球O的表面积值为4π，求出半径r的值，然后求出体积．解：S球=4πr2=4π，得r=1，所以V球=43πr3=43×π×13=43π，故选B．10.答案：B解析：解：∵在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=π2，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵∠ADC=π2，∴CD⊥AD，∵AB∩AD=A，∴CD⊥平面ABD，∴∠BDC=π2．故选：B．在四面体ABCD中，由∠ABC=∠ABD=π2，知AB⊥平面BCD，从而得到AB⊥CD，由∠ADC=π2，知CD⊥AD，从而得到CD⊥平面ABD，所以∠BDC=π2．本题考查直角的判断，是基础题，解题时要注意直线与平面垂直的判断与应用．11.答案：C解析：解：根据题意，双曲线x2a2−y23=1中a≥√2，则c=√a2+3，则双曲线的离心率e=ca =√a2+3a=√1+3a2，又由a≥√2，则有1<e≤√102，即双曲线的离心率e的取值范围是(1,√102]故选：C．根据题意，由双曲线的标准方程可得c的值，进而由双曲线的离心率公式可得e=ca =√a2+3a=√1+3a2，结合a的范围，分析可得答案．本题考查双曲线的几何意义，关键是掌握双曲线的离心率计算公式．12.答案：C解析：解：∵函数f(x)=(1−x)|x−3|={−x 2+4x−3,x≥3x2−4x+3,x<3，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，当x≥3时，f(x)=−x2+4x−3=−1，解得x=2+√2，当x<3时，f(x)=x2−4x+3=−1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+√2．故实数a的集合是[2,2+√2].故选：C．由零点分段法，我们可将函数f(x)=(1−x)|x−3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．13.答案：65解析：解：∵向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，∴m a⃗+b⃗ =(2m−1,3m+2)a⃗−2b⃗ =(4,−1)又∵m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，∴(m a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )=4(2m−1)−(3m+2)=5m−6=0，解得m=65．故答案为：65．根据平面向量的坐标运算，利用m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，数量积为0，求出m的值．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．14.答案：π3解析：解：△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，cosA=b2+c2−a22bc =12，A是三角形内角，∴A=π3．故答案为：π3．直接利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求解A的大小．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．15.答案：x23−y26=1解析：解：由双曲线的定义可知a=√3，由e=ca=√3，得c=3，则b2=c2−a2=6，所以双曲线C的方程为x23−y26=1．故答案为：x23−y26=1．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．16.答案：(2√3,4)解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用换元法将方程进行转化是解决本题的关键．利用换元法，将方程，转化为关于t的一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可得到结论．解：设t=f(x)，则方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，做出f(x)的图象等价为t 2−at +3=0有两个不同的解，且两个根t 1，t 2都大于1，， 即{△=a 2−12>01−a +3>0a2>1， 解得2√3<a <4，∴实数a 的取值范围为(2√3,4)， 故答案为(2√3,4)．17.答案：解：(1)由a 2a 3=8a 1得：a 1q 3=8 即a 4=8又因为a 4，36，2a 6成等差数列 所以a 4+2a 6=72 将a 4=8代入得：a 6=42 从而：a 1=1，q =2所以：a n =2n−1 (2)b n =2n =2n ⋅(1)n−1 T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×(12)0+2((12)1+(12)2+⋯+(12)n−1)−2n ⋅(12)n=2+2×12×(1−(12)n−1)1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1 ∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式．(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．18.答案：解：(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的有3645×360=288人．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有5×936+9=1人，∴年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，从这5人中，任取2人，所有的可能情况有10种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{c,d}，{c,e}，{d,e}，设事件A表示“恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁”，则事件A包含的基本事件有4种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，∴恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率P(A)=410=25．解析：本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，由此能估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的人数．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有1人，年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，利用列举法能求出恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率．19.答案：(1)证明：∵正方形ABCD，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，CB⊂面ABCD，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=√2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，BG，BC⊂面CBG，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．(2)解：如图，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，由(Ⅰ)知面AGC⊥面BGC，且交于GC，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt △CBG 中BH =BC⋅BG CG=BC⋅BG √BC 2+BG 2=2√33a ，又BG =√2a ，∴sin∠BGH =BH BG=√63．解析：(1)由面面垂直的性质证明CB ⊥AG ，用勾股定理证明AG ⊥BG ，得到AG ⊥平面CBG ，从而结论得到证明．(2)由(Ⅰ)知面AGC ⊥面BGC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，故∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角，解Rt △CBG ，可得GB 与平面AGC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，体现转化的思想，属于基础题．20.答案：解：(1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)设直线l 的方程为y =kx −1， 又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)， 由{y =x 24,y =kx −1,得x 2−4kx +4=0， 则Δ=16k 2−16>0，x =4k±√16k2−162，x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，所以k A′B =y 2−y 1x 2−(−x 1)=x 224−x 124x1+x 2=x 2−x 14， 于是直线A′B 的方程为y −x 224=x 2−x 14(x −x 2)，所以y =x 2−x 14(x −x 2)+x 224=x 2−x 14x +1，当x =0时，y =1，所以直线A′B 过定点(0,1)．解析：本题考查抛物线的方程与抛物线与直线的位置关系，属于中档题． (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，即可求解，(2)设直线l 的方程为y =kx −1，又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)，直线方程与抛物线方程联立，求得x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，写出直线A′B 的方程，整理即可求解． 21.答案：解：(1)由题设，函数f (x )的定义域为(0,+∞)， ，令，；当x 变化时，，f (x )的变化情况如下表：因此，当x =1，函数f (x )有极大值即为最大值，且最大值为f (1)=0，没有最小值; (2)证明：由(1)可知函数f (x )在x =1处取得最大值，且最大值为0， 即f (x )=lnx −x +1≤0⇒lnx ≤x −1，证毕．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)由(1)和函数的单调性证明结论即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos α=−4cos α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)=|1−2x|+|1+x|，故f(x)≥4，即|1−2x|+|1+x|≥4，∴{x <−11−2x −x −1≥4①或{−1≤x ≤121−2x +x +1≥4②或{x >122x −1+x +1≥4③，解①求得x ≤−43，解②求得x ∈⌀，解③求得x ≥43， 综上，可得不等式的解集为．(2)关于x 的不等式a 2+2a −|1+x|<f(x)恒成立，即a 2+2a <|1−2x|+|2x +2|，而|1−2x|+|2x +2|≥|1−2x +2x +2|=3， 故有a 2+2a <3，求得3<a <1，即实数a 的取值范围为(−3,1)．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥4的解集； (2)绝对值三角不等式的应用．。

昆明市第一中学2023届高三下学期高考适应性考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．集合211A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}220B x x x =-<，则()R A B =ð（ ） A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)0,1D ．(]0,12．复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若112i z =-，i 为虚数单位，则12z z ⋅=（ ） A ．5B ．5-C ．5i -D ．12i +3．已知向量非零a ，b 满足()()22a b a b +⊥-，且向量b 在向量a 方向的投影向量是14a ，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件:A “3个球中至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 不为互斥事件 B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件 C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >5．已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分別为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A ．B ．C ．D 6．如图，已知111ABC A B C -是侧棱长和底面边长均等于a 的直三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.则点C 到平面1AB D 的距离为（ ）A B C D7. 椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=8.已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（ ） A ．数列{}n x 的通项为1n n x n =+ B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x --⋅⋅⋅>+D n nxy二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 每小题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分.9．制造业PMI 指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业PMI 指数的临界点为50%．我国2021年10月至2022年10月制造业PMI 指数如图所示，则（ ）A ．2022年10月中国制造业PMI 指数为49.2%，比上月下降0.9个百分点，低于临界点B ．2021年10月至2022年10月中国制造业PMI 指数的极差为2.9%C ．2021年10月至2022年10月中国制造业PMI 指数的众数为50.2%D ．2021年11月至2022年2月中国制造业PMI 指数的标准差小于2022年7月至2022年10月中国制造业PMI 指数的标准差10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E 是AB 上一点，1AE =，F 是正方形1111D C B A 内一点（不包括边界），若CF = ）A ．对任意点F ，直线AE 与直线1D F 异面B ．存在点F ，使得直线//EF 平面11ADD AC ．直线1D F 与AB 所成角的最大值为30︒ D ．EF 的最小值为511．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意R a b ∈，，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，则（ ） A ．函数()f x 是R 上的减函数B ．函数()f x 是奇函数C ．若()=22f -，则|()|1f x <的解集为(1,1)-D ．函数f (x )+2x 为偶函数 12．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足①()f x 在[],a b 上是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ） A ．()ln f x x =B ．()()10f x x x=> C ．()()20f x x x =≥D ．()()2011xf x x x =≤≤+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x 服从正态分布()290,N σ，且(70)0.2P X <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在90110[]，的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为_________．14．已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l .过焦点的一条直线交抛物线于点A ，B （A 在第一象限）.分别过点A ，B 作准线l 的垂线，交准线于C ，D .若DF =4CD =，则p 的值为______.15．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”.已知数列1，2，第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2.则第六次“H 扩展”后得到的数列的项数为___________.16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭ 上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本小题10分）已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別为,,a b c ，且()4,3cos 4cos cos tan 02b a A C c B A π⎛⎫=+++⋅= ⎪⎝⎭.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为钝角三角形，且sin sin C B >，求c 的取值范围.18．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AD =，3AB =，PA PD ==PAD ⊥平面ABCD ．O 是AD 的中点，E 是PB 上一点，且//AE 平面POC ．(1)求PEPB的值； (2)求直线CE 与平面POC 所成角的正弦值．19．（本小题12分）已知等比数列{}n a 的前项和为n S ，12a λ=-，121n n S a λ+=+(0λ≠且)2λ≠-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1n n b n a =-+，求数列{}n b 的前项和n T ．20. （本小题12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.21.（本小题12分）已知双曲线C以20x =为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3. (1)求双曲线C 的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.22. （本小题12分） 设()()e xxf x x =∈R . (1)求()f x 的单调性，并求()f x 在12x =处的切线方程； (2)若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.参考答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．BC 13．2.1 14．15．65 16．()6,10 17. (1)1cos 3A = (2)()12,+∞解：（1）解：依题意，()sin 3sin cos cos 0cos Aa Ab Cc B A-++⋅=， 故3cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得3sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即()3sin cos sin sin A A B C A =+=，故1cos 3A =.（2）因为1cos 03A =>，所以A 为锐角，又sin sin C B >，故c b >，则C B >，因为ABC 为钝角三角形，所以C 为钝角；因为222282cos 163a b c bc A c c =+-=-+，所以22283203a b c c +-=-<，解得12c >， 所以c 的取值范围为()12,+∞.18. (1)12 解：（1）设平面AOE 与直线PC 相交于点F ，连接EF ，OF ．因为//AE 平面POC ，AE ⊂平面AEFO ，平面AEFO ⋂平面POC FO =， 所以//AE FO ．因为//AO BC ，BC ⊂平面PBC ，AO ⊄平面PBC ， 所以//AO 平面PBC ．又平面AEFO ⋂平面PBC EF =， 所以//AO EF ，所以四边形AEFO 为平行四边形，所以12EF AO BC ==， 所以E ，F 分别为PB ，PC 的中点，故12PE PB =． （2）因为PA PD =，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则()0,0,0O ， ()1,3,0C -，()0,0,3P ，133,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,3,0OC =-，()0,0,3OP =uu u r ，333,,222CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设平面POC 的法向量为(),,m x y z =， 则3030x y z -+=⎧⎨=⎩令1y =，得3,0x z ==，所以()3,1,0m =．设直线CE 与平面POC 所成的角为θ，则sin 33m CE m CEθ⋅==．19. (1)13n n a -=-(2)()213344n n n T +=⋅-.解：（1）1121,21,2,n n n n S a S a n λλ+-=+⎧⎨=+≥⎩①②，①-②得()()()1112222n n n n n n n a a a a a a n a λλλλλλ++++=-⇒=+⇒=≥由12a λ=-，121n n S a λ+=+（0λ≠且2λ≠-），令1n =，225a λλ-=，()212a a λλ+=．{}n a 为等比数列，则()()22521012λλλλλλλ-+=⇒-=⇒=-则此时数列{}n a 的公比为3q =，11a =-，13n n a -=-．（2）()()1113n n n b n a n -=-+=+⋅．()212334313n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ① ()23323334313n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ②②-①得()()()12313132233331321331n n nn n T n n ---⨯-=++++⋅⋅⋅+-+⨯=+-+⨯-()()1331231133222n n n n n -⎛⎫=+--+⨯=-+⋅ ⎪⎝⎭整理得()213344n n n T +=⋅-．20. (1)分布列答案见解析，数学期望：89(2)分布列答案见解析，数学期望：89(3)答案见解析解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为2255210C C 4C 9+=， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X 服从二项分布，即42,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以X 的所有可能取值为0,1,2，则 ()020245250C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111245401C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()202245162C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()48299E X =⨯=. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y 的所有可能取值为0,1,2，则()1111554422108C C C C 200C C 63P Y ==⋅=，()22111122553555442222108108C C C C C C C C 151530101C C C C 63636321P Y ++==⋅+⋅=+==， ()2222553522108C C C C 132C C 63P Y ++==⋅=， 所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()101381221639E Y =⨯+⨯=. （3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即16138163<，第（1）不中奖的概率比第()2问小，即25208163<， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.21. (1)22145y x -= (2)TF PQ 为定值34解：（1）因为双曲线C 以20x =为渐近线，设双曲线方程为(2)(2)x x λ=，即2245x y λ-=,∵()0,3F ，∴0λ<，即：22154y x λλ-=--，∴954λλ--=，∴9920λ-=，即20λ=-., 所以双曲线C 的方程为：22145y x -=. （2）由题意可知直线l 一定有斜率存在，设直线l ：3y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()22225420,534203y x kx x y kx ⎧-=∴+-=⎨=+⎩， 化简得：()225430250k x kx -++=，2400(1)0k ∆=+>，此方程的两根为12,x x ，则12212230542554k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，∴PQ ==()2220154k k +==-.，PQ 中点M 坐标为2221515,35454k k k k ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭，即221512,5454k k k -⎛⎫- ⎪--⎝⎭， ∴PQ 中垂线方程为：22121155454k y x k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭， 令0x =，∴22754y k -=-，∴2270,54T k -⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 则22227151535454k TF k k +=+=--， ∴()22221515543420154k TF k PQ k k +-==+-，即TFPQ 为定值，定值为34. 22. (1)递增区间为(),1-∞，递减区间为()1,+∞，y (2)1k ≥解：（1）因为()()e x x f x x =∈R ，所以()2e e 1()e e x x x x x x f x --'==， 由()0f x '<得到1x >，由()0f x '>，得到1x <，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.当12x =时，121122e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以切点为12⎛ ⎝，又121122e f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭ ∴()f x 在12x =处的切线方程为：12y x ⎫=-⎪⎭，即y x =（2）由(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+，即2e (ln 1)e x x k x ≤⋅+， 所以ln 1ln 1ln 1e e e x x x x x k k x +++≤⋅=⋅， ∵()1,x ∈+∞，∴ln 1ln 10ex x ++>，∴ln 1e ln 1e x x xk x +≥+， 由（1）可知()ex x f x =在()1,+∞上单调递减， 下证：ln 1x x >+，即证：ln 1x x ->在()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln g x x x =-，则11()10x g x x x-'=-=>， ∴()g x 在()1,+∞上单调递增，又∵1x >，∴()()11ln11g x g >=-=. ∴ln 11x x >+>，∵()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减， ∴()(ln 1)f x f x <+，即ln 1ln 1e ex x x x ++<，∴ln 1e 1ln 1e x x xx +<+. ∴1k ≥.。

2020届云南省高三适应性考试数学（文）试题（A 卷）一、单选题1． 若集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |(x ＋4)(x －2)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |2<x <3} C ．{x |－3<x <－2} D ．{x |x <－4或x >－3} 【答案】B【解析】{}{|33|4A B x x x x ⋂=-<<⋂<-或}{}2|23x x x >=<<，故选B ． 2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足2(1i)3(1i)z -=++，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i - C ．15i - D ．15i -+【答案】B【解析】由复数的运算法则计算出z ，即可得出共轭复数. 【详解】2(1i)3(1i)32z i -=++=+，23213235215111222i i i i i zi ii i ， 1522z i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求法，属于基础题. 3．已知0.2log 7a =，90.2b =，ln 25c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】D【解析】根据对数函数、指数函数的单调性以及借用中间值0，1比较可得结果. 【详解】由题可知：0.20.2log 7log 10=<=a ，9000.20.21<=<=b ， 由ln2ln1>，所以ln 2ln105551=>==c故a b c<<故选：D【点睛】本题考查对数式、指数式之间比较大小，比较大小常用：作差比较法、作商比较法、函数单调性，同时借用特殊值0，1进行比较，属基础题.4．唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤揲成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略收，下承外撇高足．纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ．设酒杯上面部分（圆柱）的体积为1V，下面部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是= （）A．1 B．32C．2 D．3【答案】C【解析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出12,V V即可.【详解】设酒杯上部分圆柱的高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，23143V R h Rππ∴==，321423V Rπ=⨯，122VV∴=.故选：C.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A ．16B ．32C ．64D ．1024【答案】C 【解析】0111n S ，==⨯=;1122n S ==⨯=，;2248n S ==⨯=，;38864n S ==⨯=，.6．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】 如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D 【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.7．在ABC 中,点D 在线段BC 上,2BD DC =,若AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),则μλ=（ ） A ．12B ．2C ．13D ．23【答案】B【解析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】∵2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),所以12033AB AC λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为AB 与AC 不共线,所以103λ-=且203μ-=,所以13λ=,23μ=,所以2μλ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要将所求的向量表达成所给的基底向量,属于基础题.8．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性以及取特殊值，对比图像可得结果. 【详解】方法一：由题可知函数()f x 的定义域为R ，因为23113131x x x --=++， 所以()f x -=3113cos()sin()cos sin()()3113x xx xx x f x -----⋅=⋅=-++， 所以函数()f x 为奇函数，故可排除选项A 、B ． 又cos10>，2sin(1)31-=+1sin 02>， 所以1(1)cos1sin02f =⨯>，故排除选项D ．故选C ． 方法二：因为1(1)cos1sin()02f -=⨯-<，1(1)cos1sin 02f =⨯>，所以观察各选项中的图象可知C 符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查给出解析式判断函数大致图像，对这种问题，常常考虑：函数定义域、奇偶性、单调性、特殊值、最值等，属基础题.9．已知函数()3cos()(0)f x x x ωωω=+π+>的最小正周期为π，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得函数的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间5(,)36ππ上单调递减 【答案】C【解析】根据三角恒等变换得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，再由函数()f x 的最小正周期公式，求得函数()2sin(2)6f x x π=-．运用整体代换法逐一求函数的对称中心，对称轴，图象的平移，以及函数的单调区间判断得选项.【详解】由题可得()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=-=-，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()2sin(2)6f x x π=-．令2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称中心为(,0)()212k k ππ+∈Z ， 当1k =-时，对称中心为5(,0)12π-，故A 正确； 令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，对称轴方程为3x π=，故B 正确；将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后可得函数2sin[2()]126y x ππ=--=2sin(2)3x π-的图象， 所以函数2sin(2)3y x π=-不是奇函数，其图象不关于原点对称，故C 错误；由3222()262k x k k ππππ+<-<π+∈Z ，可得3k x ππ+<<5()6k k ππ+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为5(,)()36k k k πππ+π+∈Z ，当0k =时，单调递减区间为5(,)36ππ，故D 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的对称中心、对称轴、单调性、图象的平移，属于中档题.10．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足12=a ，*142()n n n a a S n +=-∈N ，则20212020a a -=（ ）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】A【解析】通过n n a S ，之间的关系，可得24n n a a +-=，然后对n 分奇数和偶数，根据等差数列的通项公式可得结果. 【详解】因为*142()n n n a a S n +=-∈N ，12=a ，所以令1n =，可得12142a a a =-，解得2=3a ， 由142n n n a a S +=-，可得12142n n n a a S +++=-， 上述两式相减可得121()4n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以24n n a a +-=，所以当n 为奇数时，数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，数列{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，所以2,21,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2021202022021(220201)3a a -=⨯-⨯-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查n n a S ，之间的关系，熟练掌握11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩，重在计算和理解，属中档题.11．已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()1,1【答案】A【解析】求得曲线2:2C y x =，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，代入曲线方程，求出122PQ k y y =+，又由P ，Q 关于直线l 对称得出1PQ k =-，进而求出线段PQ 的中点坐标. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=． ∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.12．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[,e)eB ．1(,)e eC ．1[1,e)e +D ．15[1,]e e+【答案】A【解析】根据题意解出函数()|2|2f x x =-+的值域，再分析函数()ln g x ax x =-的特征，由已知条件可知其必须在区间(0,)e 先减后增，结合函数()|2|2f x x =-+的值域即可得到关于a 的不等式组，即可解得. 【详解】因为()|2|2f x x =-+，所以当0(0,e)x ∈时，0()[2,4)f x ∈． 由()ln g x ax x =-，可得1()g x a x '=-=1ax x-，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)e 上单调递减，不符合题意，所以0a >．令()0g x '=，可得1(0,e)x a=∈，则函数()g x 在1(0,)a上单调递减，在1[,e)a 上单调递增，因为对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，所以1()2()4g a g e ⎧<⎪⎨⎪≥⎩且1(0,)e a ∈，解得5a e e ≤<，所以实数a 的取值范围是5[,e)e．故选:A ． 【点睛】本题考查了利用导数求解参数的范围，属于中档题目，解题关键有三处：一是分析求解函数()y f x =的值域；二是根据条件分析函数()y g x =的单调特征；三是根据其单调性及方程根的个数确定出关于a 的不等式组.二、填空题 13．若函数1()ln 1f x x =-，则(2)f =__________． 【答案】3ln 2【解析】令121x =-，可得32x =，代入可得答案. 【详解】 令121x =-，可得32x =，所以3(2)=ln 2f ．故答案为：3ln 2.【点睛】本题考查求函数值，整体代入是解决此类问题的常用方法，属于基础题.14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =______； 【答案】23π【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin 2sin cos 0A A B +=，结合sin 0A ≠，可求得1cos 2B =-，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．【详解】 解：2cos sin sin 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2sin cos A B A C A A B A A B B A =+=++=++， sin 2sin cos 0A A B ∴+=，sin 0A ≠，12cos 0B ∴+=，解得1cos 2B =-， (0,)B π∈，23B π∴=． 故答案为：23π【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题.15．设12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线x c =与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，且160MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】焦点为12(,0),(,0)F c F c -的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，与直线x c =交于点M ，N 即有2||bcMN a =，又160MF N ∠=︒知tan 302b a︒=结合222+=a b c 即可求离心率 【详解】根据题意，得2||bcMN a=，又1=60MF N ∠︒可得2243a b = ∴由222+=a b c 知：2273a c =，即3c a有双曲线C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，由过焦点的定直线与双曲线渐近线交点与另一焦点构成的定角求双曲线离心率，注意渐近线性质及参数,,a b c 关系的应用 16．已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________． 【答案】2(0)5，.【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>也恒成立；故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为（0，25）． 点睛：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．通常方程解的问题有三类解决方法，其一直接研究函数和x 轴的交点个数问题；其二可以变量分离，转化为常函数和函数的交点个数问题；其三转化为两个初等函数的交点问题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*12111,2,22,n n n a a a a a n n N -+===+≥∈，数列{}nb 满足111=2, =2n n n n b a b a b ++．（1）求数列{}n a 的通项n a ，并求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 ； （2）求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =，证明过程见详解；（2）2n n b n =⋅，1(1)22+=-⋅+n n S n ．【解析】（1）由()*1122,n n n a a a n n -+=+≥∈N可得{}na 为等差数列，把11,1ad ==代入等差数列的通项公式即可得n a ；把n a n = 代入整理，构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求证n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）先求n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可n b ，根据错位相减法，即可求得前n 项和n S ． 【详解】 （1）()*1122,n n n a a a n n N -+=+≥∈，∴{}n a 是等差数列 又121,2a a ==()111n a n n ∴=+-⋅=证明：n a n =()121n n nb n b +∴=+121n n b bn n+∴=⋅+ ∴n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121b = 为首项，2q为公比的等比数列．（2）由上可知1222,n n nn b b n n-∴=⨯=⋅ 1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅——①234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅——②①-②得：123122222n n n S n +-=++++-⋅化简得：1(1)22+=-⋅+n n S n【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义及通项公式的求法，以及利用定义证明等比数列，是基础题．18．某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由. 【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD 是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD△的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM =， 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为2215PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以111515122ACD S CD AN =⋅=⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为111515533428ACD S PN ⋅=⨯⨯=△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知曲线()ln f x ax b x =-在点1x =处的切线方程为(1)1y e x =-+，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞；（2）1(,)e e-+∞．【解析】（1）函数()f x 求导，()bf x a x'=-，利用切线方程求得a e =，1b =，得到()ln f x ex x =-，再得到函数单调区间.（2）存在x 使得不等式()f x mx <成立等价于()f x m x <，构造()()(0)f xg x x x=>，求得min ()g x m <得解 【详解】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()bf x a x'=-，则(1)e 1f a b '=-=-， 又(1)e f a ==，所以1b =，所以()ln f x ex x =-，1()f x e x'=-，当()0f x '>，即1e 0x ->时，解得1x e>； 当()0f x '<，即1e 0x -<时，结合0x >，解得10x e<<， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞． （2）由（1）可知()e ln (0)f x x x x =->，由()f x mx <，可得()f x m x<， 令()()(0)f x g x x x=>，则ln ()e (0)xg x x x =->， 因为在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，所以当(1,4)x ∈时，min ()g x m <． 易得2ln 1()x g x x -='，令()0g x '=，可得x e =， 当[1,4]x ∈时，()g x ，()g x '的变化情况如下表：由表可知min 1()e e g x =-，所以1e em >-，故实数m 的取值范围为1(,)e e -+∞．【点睛】本题考查导数几何意义及利用导数解不等式能成立问题求解参数，属于基础题.21．已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率e =，且椭圆C 过点P ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点Q 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D ，E ，若9QD QE k k ⋅=，问直线DE 是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213y x +=；（2）存在，直线DE 过定点(2,0)． 【解析】(1)已知椭圆离心率有3ab ，又椭圆C过点P ，代入椭圆方程即可求,a b ，即可得椭圆方程；(2) 设直线DE 为x ty m =+，1122(,),(,)D x y E x y ，由题意联立方程即可得12y y +、12y y ，结合9QD QE k k ⋅=即可求m ，从而可确定是否过定点 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，由c e a ==，即2223c a =∴22213b ac a a 22-==，有3a b ，又椭圆C过点P2231b +=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2213y x +=（2）由题可设直线DE 的方程为x ty m =+，由2213x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理可得222(13)6330t y mty m +++-=， 设1122(,),(,)D x y E x y ，则2121222633,1313mt m y y y y t t-+=-=++ 由题意，可得(1,0)Q ，有12121212911(1)(1)QD QE y y y y k k x x x x ⋅=⋅==---- ∴2212121212129(1)(1)9(1)(1)99(1)()9(1)y y x x ty m ty m t y y m t y y m =--=+-+-=+-++-，且1m ≠（直线不过(1,0)点）即222(91)(1)183(1)(13)0t m mt m t -+-+-+=， 整理可得240m -=，解得2m = 故直线DE 过定点(2,0) 【点睛】本题考查了椭圆，根据离心率及过定点求椭圆方程，由直线与椭圆有两交点，且两交点与椭圆上一点所得的两直线斜率之积为定值，判断直线是否过定点问题22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围.【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.（2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．已知函数()|2||3|f x x ax =++-． （1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若12x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17(,)24-；（2）7[,4]2．【解析】(1)利用分类讨论的方式解绝对值不等式，3a =即可将区间分为2x <-、21x -≤≤、1x >，并分别求得对应解集，最后求并即为不等式()6f x <的解集；(2)由12x ∀≥上2()3f x x x ≤++恒成立，化简得24x a x x x-+≤≤+，利用函数的单调性、基本不等式即可求参数a 的范围 【详解】（1）当3a =时，()|2|3|1|f x x x =++-，不等式()6f x <为|2|3|1|6x x ++-< ①当2x <-时，不等式可化为2336x x --+-<，即45x -<，无解； ②当21x -≤≤时，不等式可化为2336x x ++-<，即21x -<，解得112x -<≤； ③当1x >时，不等式可化为2336x x ++-<，即47x <，解得714x <<， 综上，可得1724x -<<，故不等式()6f x <的解集为17(,)24- （2）当12x ≥时，不等式2()3f x x x ≤++，即22|3|3x ax x x ++-≤++，整理得2|3|1ax x -≤+，即22131x ax x --≤-≤+即2224x ax x -+≤≤+，因为12x ≥，所以分离参数可得24a x x a x x ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩显然函数2()g x x x =-+在1[,)2+∞上单调递减，所以17()()22g x g ≤=，而函数4()4h x x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，所以实数a 的取值范围为7[,4]2【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、利用不等式恒成立求参数范围；应用分类讨论的方式求绝对值不等式的解集，利用区间内不等式恒成立，结合函数单调性和基本不等式求参数范围。

昆明一中2024届高三第9次联考数学参考答案一、选择题题号12345678答案ACDBCCBC1．解析：因为{}2U B x x =≥ð，所以(){}2,3U A B = ð，选A ．2．解析：因为()()()2i 1i 12i a b ++=-，所以()i 34i a b a b -++=--，所以3a b -=-，选C ．4．解析：因为2PA =，所以P ，所以点P 的轨迹方程是以(01), 为半径的圆，即22(1)5x y +-=，选B ．5．解析：由题意可知，345a ⨯-=，即7a =，所以A 正确；乙组样本数据方差为9218⨯=，所以B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为37i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为max min max min (37)(37)3()x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确，选C.6．解析：若存在12x x ≠，使得12()()f x f x =，等价于函数()f x 在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，()cos sin f x a x x '=-，若函数()f x 为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即cos sin 0a x x -≥，sin tancos x a x x ≥=在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a ≥()f x 为单调递减函数，则()0f x '≤恒成立，得1a ≤，即若函数()f x 在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不单调，则1a <C ．7．解析：若函数()f x 有“和谐区间”，所以()f x 在()1,k 上单调递增，且2()2m f x x x=-=在定义域内有两个不等的实数根，22m x x =+≥，即m ≥，又2()g x x x=+在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增，且N k *∈，所以2k ≥，又因为2()g x x x =+与直线2m y =在()1,k 有两个交点，(1)3g =，所以23k k +=，得2k =，所以正整数k 的最小值为2，(2)3g =，即32m=，6m =，此时，实数m 的取值范围是()，选B ．则222121111411πππ3π41π4π14414n n n nn S a a a -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+=⨯=⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选C ．二、多选题，，所不平10．解析：因为直线l 过定点(0,1)-，且点(0,1)-在圆C 内，所以直线l 与圆C 必相交，A 错误；若直线l 将圆C 的周长平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，所以B 正确；当2k =时，直线l 的方程为210x y --=，圆心C 到直线l d ，所以直线l 被C 截得的弦长为5=，C 错误；因为圆心C 到直线l 的距离为1d =≤，所以直线l 被C 截得的弦长为≥，D 正确，选BD ．11．解析：对于A ，因为点()3,1A 关于直线20x y -=的对称点为()1,3C -，所以将军在河边饮马的地点的坐标为()1,2，A 错误；对于B ，因为点()3,1A 关于直线0y =的对称点为()3,1D -，将军先去河流n 饮马，再返回军营的最短路程是5BD =，B 错误；对于C 和D ，因为点()6,3B 关于直线20x y -=，0y =的对称点分别为633,55E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()6,3F -，所以将军先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回军营的最短路程CF =C 正确；将军先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回军营的最短路程是5DE =，D 错误．选ABD ．三、填空题12．解析：由题意，3sin 5α=，4cos 5α=，且παβ+=，则3sin 5β=，4cos 5β=-，则7cos()cos cos sin sin 25αβαβαβ-=+=-．13．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为by x a=±，因为,D E 分别为直线y b =与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设(,),(,)D a b E a b -，所以1102ODE S b DE ab =⨯⨯== ，因为222220c a b ab =+≥=（当且仅当a b =时等号成立），所以c ≥C 的焦距的最小值为．四、解答题15．解：（1）如图，取AC 中点O ，连接OB ，1OA ，因为△ABC 是等边三角形，所以AC OB ⊥，又11AA A C =，所以1AC OA ⊥，所以AC ⊥平面1A OB ，所以1AC A B ⊥，又11A C AC ‖，所以111A C A B ⊥.………5分（2）在平面1A OB 中，作1A D OB ⊥，垂足为D ，由（1）知AC ⊥平面1A OB ，所以1A D AC ⊥，所以1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系O xyz -，因为三棱柱111ABC A B C -的体积为3，所以112232A D ⨯⨯=，故1A D =，则(10,A t，()B ，()1,0,0C -，()1,0,0A ，所以(11,CA t =，()CB =，设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则10m CA m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以(3,m t =- ，设平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，因为二面角1A BC A --的余弦值为5，故cos ,m n m n m n ⋅==⋅，化简得：(23t =，即t =可得0t =，此时(1A ，(1CA =，所以111cos ,2CA n CA n CA n⋅==⋅ ，所以直线1AA 与平面ABC 所成角的正弦值为2，可得t =，此时，(1A，(1CA =，所以111cos ,4CA n CA n CA n⋅==⋅ ，所以直线1AA与平面ABC 所成角的正弦值为4.………13分16．解：（1）由22(1)3a c =-+得：2224=-+a c c ，又因为2b =，所以2222a c c b =-+，所以22222421cos 22242+-+-====⋅b c a c a c A bc c c ，又因为0π<<A ，所以π3=A .………5分（2）在△ABC 中，由4sin sin aA B =得：a B =，由正弦定理sin sin a b AB=，得:2πsin sin 3=B B ，解得：sin 2=B ，由π3=A ，得2π3<B ，所以π4B =，因为在△ABC 中，πA B C ++=，所以ππππcos cos()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )3434=-+=--=--C A B A B AB ，所以cos4=C .………10分17．解：（1）依题意随机变量X 服从超几何分布，且10000,400N M ==.所以()40010004010000E X =⨯=.………5分（2）当1380N <时，()200P X ==；当1380N ≥时，()209804004001000C C 20C N NP X -⋅==.令()20400400100980C C C N Nf N -⋅=，则()()()()()()20980400140010001209804004001000C C 1110001400C 11400980C C C N N N Nf N N N f N N N +-+-⋅++-+-==++--⋅22139899939913781379N N N N -+⨯=--.由22139899939913781379,N N N N -+⨯≥--解得19999N ≤.所以138019999N ≤≤时，()()1f N f N ≤+；当20000N ≥时，()()1f N f N >+.从而当19999N =或20000时，()f N 最大，所以N 的估计值为19999或20000.………15分18．解：(1)由题意知，1PF =，2PF =，所以122PF PF a +=，22124PF PF cx -=，所以()221124PF a PF cx --=，所以21444a PF a cx =+，所以1c PF a x a=+.………5分（2）设T 的坐标为)x y （，，原点坐标为O ，因为122PF PF a +=，12MF a =，所以2PM PF =，因为22PTF π∠=，20TF ≠，所以T 为线段2MF 的中点，所以在△12MF F 中，OT 是中位线，所以点T 的轨迹C 的方程222x y a +=………10分（3）假设存在点00()N x y ，，使得△12F NF 的面积为2b ，则22200x y a +=，所以0y a ≤，因为1220122F NF S c y b ∆=⨯⨯=，所以20b y c =，所以2b a c ≥又因为()100,NF c x y =--- ，()200,NF c x y =-- ，所以2222221200NF NF x c y a c b ⋅=-+=-= ，又因为121212cos NF NF NF NF F NF ⋅=⋅∠ ，所以21212cos b NF NF F NF ⋅=∠ ，又因为12212121sin 2F NF S NF NF F NF b ∆=⋅∠=，所以2212121sin 2cos b F NF b F NF ∠=∠，所以12tan 2F NF ∠=………17分19．解：（1）当2a =时，22log ()xf x x =，()f x 的定义域为()0,+∞，224312log 12ln ln 2()ln 2x x xxx f x x x -⋅-⋅'==⋅，当(x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x在(内单调递增，在)+∞单调递减，即()f x的单调增区间为(，单调减区间为)+∞；……………7分（2）证明：因为曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，所以方程2log 1()a a x f x x a==有且仅有两个不同的实数根，即方程ln 1ln a a x a x a=⋅，即()ln ln aa x a x a=有且仅有两个不同的实数根，构造()ln x F x x =，则()21ln xF x x -'=，当()0,e x ∈时，()0F x '>，当()e,x ∈+∞时，()0F x '<，故()F x 在()0,e 内单调递增，在()e,+∞单调递减，所以()()max 1e eF x F ==，又()10F =，当x →+∞时，则()0F x →，因为()0,a t x =∈+∞，故()()F t F a =有且仅有两个不同的实数根的充要条件为ln 10ea a <<，即()()()1e F F a F <<，故实数a 的取值范围为()()1,e e,+∞ .………17分。

昆一中高三第九次考前适应性训练语文1、1“说”是古代的一种议论文体。

[判断题] *对错(正确答案)2、下列句子括号中成语使用不恰当的一项是（）[单选题] *A.中国山水画不在乎让观赏者（身临其境）地进入其中，更讲求山水画的意境，而意境的产生依赖于对事物的深入认识。

(正确答案)B.苏州园林的设计讲究（因地制宜），自出心裁，强调随地形、地势变化而变化，要有自己的创造和地域特色。

C.《傅雷家书》是一部充满着浓浓父爱的（苦心孤诣），呕心沥血的教子篇，也是一部最好的艺术学徒修养读物。

D.这是达卡多拉游泳场，吕伟充满自信，（神采奕奕），沉静自若地走上十米高台，从容不迫地准备开始她完美的凌空一跳。

3、1《项链》的作者是莫泊桑，他和欧亨利、契诃夫并称为世界三大短篇小说巨匠。

[判断题] *对错(正确答案)4、1柳永《雨霖铃》是豪放词的典型代表。

[判断题] *对(正确答案)错5、“无名的雕塑家对年龄和面貌的差异有很深的认识，形象才会这样栩栩如生。

”对这个复句中分句之间的关系判断恰当的一项是（）[单选题] *假设关系条件关系因果关系(正确答案)递进关系6、下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *A、荔枝（lì）吹嘘（xū）B、奶酪（lào）珊瑚（shān）C、贮藏（chǔ）嘲讽（zhāo）(正确答案)D、渣滓（zǐ）雌雄（cí）7、1“师者，所以传道受业解惑也”一句是判断句。

[判断题] *对(正确答案)错8、1《拿来主义》运用了先立后破的写作方法。

[判断题] *对(正确答案)错9、“果脯”的读音是“guǒfǔ”。

[判断题] *对(正确答案)错10、关于《红楼梦》的文化常识，选出表述正确的一项( ) [单选题] *A.林黛玉与贾宝玉二人关系为姨表兄妹。

B.在黛玉初进贾府拜过贾母后不久，贾母就让元春、迎春、探春、惜春四姐妹和黛玉相见。

C.《红楼梦》的别名除《石头记》外，还有另外几个，例如《情僧录》《风月宝鉴》《金陵十二钗》《金玉缘》《刘姥姥进大观园》等。

2正视图 俯视图113第题图侧视图2019-2020年高考数学第九次适应性考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为 A ． B ．（）C ．D ．（）2. 复数的共轭复数是 A.B.C.D.3．已知向量，，若，则实数的值为A ．2B ．C ．1D ． 4．设等差数列的前n 项和为，若，，则等于A ．180B ．90C ．72D ．100 5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 6．下列命题正确的个数是A ．“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；B ．命题或，命题则是的必要不充分条件；C ．“”的否定是“”；D ．“若”的否命题为“若，则”；A ．1B ．2C ．3D ．47．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 外接球的表面积等于 A ． B ．C ．D ．8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数的值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（三分之一前有一个负号）A．B．C．D．10．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是A．B．－C．－2D．411．设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为．若与有且只有一个公共点，则等于A．B．C．D．12．已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数错误！未找到引用源。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{}5,U x x x *=≤∈N ，集合{}1,3,4A =，集合{}2,3,5B =，则()UA B⋂为（） A ．{}2,5 B ．{} 1,3,4 C ．{}2,4D ．{}2,3,5答案：A先求出全集U ，再求UA ，再求()B U A ，得到答案.解：由已知得{}1,2,3,4,5U =，∴(){}2,5UA =，∴(){}B 2,5U A =，故选A ．点评：本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题. 2．复数52z i=+（i 为虚数单位）的共轭复数z 是（） A ． 2i - B ． 2i +C ． 2i --D ． 2i -答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 解： ∵()22525222i z i i i-===-+-， ∴z 的共轭复数2z i =+， 故选：B ． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属基础题．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ，且双曲线的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线的离心率为（）A ．BC ．2D 答案：C由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到223a b =+，再根据222c a b=+=，即可求出a、b的值，从而求出双曲线的离心率；解：解：双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线为0bx ay-=与圆22(2)3x y-+=相切，可知223a b =+，又因为222c a b=+=，所以有3b=，1a=，故双曲线的离心率为2，故选:C.点评：本题考查直线与圆的位置关系求参数的值，双曲线的简单几何性质，属于基础题. 4．如图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（）A ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%B ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年C ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台D ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.02万台 答案：B通过观察两幅图的数据，对照各个选项，计算求得结论. 解：由图可知A 正确，2016年到2019年各年私人类电动汽车充电桩保有量增长率分别是6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，23.2 6.3100%268.25%6.3-⨯=，47.723.2100%105.6%23.2-⨯=，60.547.7100%26.83%47.7-⨯=，所以充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，故B 不正确；各年公共类电动汽车充电桩保有量分别为4.9，14.1，21.4，30.0，44.7，故中位数是21.4万台，故C 正确；平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=，故D 正确.故选：B 点评：本题考查数据分析，增长率，中位数，平均数，重点考查读懂题意，看懂图形，解决实际问题，属于基础题型.5．如图是正方体1AC ，点M 为线段1AA 的中点，现用一个过点M ，C ，D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的正视图为（）A ．B ．C ．D ．答案：B画出几何体的直观图，然后判断正视图即可. 解：上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的正视图为，故选：B . 点评：本题主要考查几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6．已知角4πα+的终边与单位圆221x y +=交于03P x ⎛ ⎝⎭，则sin 2α等于（）A ．13- B ．23-C ．13D ．23答案：A由任意角三角函数定义可得π3sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可得结果. 解：由任意角三角函数定义可得π3sin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则πsin 2cos 22αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2π12sin 143α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故选：A . 点评：本题考查任意角的三角函数定义和诱导公式以及余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.7．如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年～公元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB 为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点，再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成的图形为月牙形.若4AB =，则该月牙形的面积为（）A ．4B ．22C 2πD ．2答案：D用月牙形的面积减曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积即可. 解：记月牙形的面积为1S ，曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积为2S ，则22111(2)222224AOC AOCS S SS πππ⎛⎫=-=⨯-⨯-== ⎪⎝⎭12.故选：D 点评：本题考查扇形的面积计算公式，是基础题. 8．下列命题中正确的是（）A ．设命题:05p x <<；命题:|3|3q x -<，那么p 是q 的必要不充分条件B ．函数21(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点(2,1)C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．若2018201920192020101101,101101M N ++==++，则M N > 答案：D对于A ，先化简|3|3x -<得06x <<，而{}{}0506x x x x <<⊆<<，由此可判断A ；对于B ，利用指数函数经过的特殊点判断即可；对于C ，命题否定时，或要改为且；对于D ，构造函数1101()101x x f x -+=+，利用函数的单调性判断.解：解：对A ，由|3|3x -<，得06x <<，所以p 是q 的充分不必要条件，故A 错误； 对B ，因为(0,1)xy a a a =>≠恒过(0,1)，故函数21(01)x y a a a -=+>≠且的图象恒过定点(2,2)，故B 错误；对C ，命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =，”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故C 错误；对D ，令1101()101x x f x -+=+，则1101()101x xf x -+=+19110101x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，易知函数()f x 为单调递减函数，故M N >， 故选：D. 点评：此题考查了充要条件，指数函数的性质，四种命题的关系，代数式比较大小等知识，属于基础题.9．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程2()3f x =在区间(0,)π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（）A ．13- B ．23-C ．D ．3-答案：C由题可得1234x x π+=，所以121324x x x π-=-，通过计算124x π-的范围，利用三角恒等变化可求1cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，即可得出()12sin x x -．解： 由2()42x k k Z πππ-=+∈，∴382k x ππ=+，即函数()f x 的对称轴为3ππ82k x =+， ∵2()3f x =在区间(0,)π内的解为1212,()x x x x <， 由题意可得1233284x x ππ+=⨯=，得121324x x x π-=-， ∴12113sin()sin 2cos 244x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388x ππ<<，所以120,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12sin()x x -=故选：C . 点评：本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题．10．已知a ∈R ，若实数x 、y 满足23ln y x x =-+，则()()222a x a y -++-的最小值为（）A ．B ．C ．8D ．18答案：C代数式()()222a x a y -++-的几何意义就是曲线23ln y x x =-+上的点(),x y 到曲线2y x =+上点(),2a a +的距离最小值的平方，然后考虑曲线23ln y x x =-+上平行于直线2y x =+的切线与直线2y x =+距离的平方，即切点到直线2y x =+距离的平方，即为所求. 解：点(),x y 在曲线23ln y x x =-+上，点(),2a a +在曲线2y x =+上，()()222a x a y -++-的几何意义就是曲线23ln y x x =-+上的点(),x y 到曲线2y x =+上点(),2a a +的距离最小值的平方，如下图所示：考查曲线()23ln 0y x xx =->平行于直线2y x =+的切线，32y x x'=-，令321y x x '=-=，解得1x =或32-（舍去），所以，切点为()1,1-，该切点()1,1-到直线2y x =+11222++=就是所要求的曲线23ln y x x =-+上的点与直线2y x =+上的点之间的最小距离， 故()()222a x a y -++-的最小值为(228=，故选：C ． 点评：本题考查曲线上的点与直线上的点距离最小值的求解，将问题转化为曲线的切线与直线平行是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：当02x <时，3()31f x x x =-+-；当2x 时，()3(2)f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,n a a a ，并记相应的极大值为12,,,,n b b b ，则11221818a b a b a b ⋅+⋅++⋅的值为（）A ．191831⨯+B ．181831⨯+C ．171731⨯+D ．181731⨯+答案：D求出导函数，求出当02x ≤<时的极大值点、极大值，然后根据极大值点、极大值的特征求出其通项公式，然后再利用错位相减法即可求解. 解：2()33=3(1)(1)f x x x x '=-+-+-，由题当02x ≤<时，易知3()31f x x x =-+-的极大值点为1，极大值为1， 当2x ≥时，()3(2)f x f x =-，则极大值点形成首项为1，公差为2的等差数列， 极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故21n a n =-，13n n b -=，故1(21)3n n n a b n -=-.设0121711221818133353353S a b a b a b =⋅+⋅++⋅=⨯+⨯+⨯++⨯ ①，设12171831333333353S =⨯+⨯++⨯+⨯②，两式相减得121718212(333)353S -=++++-⨯1718183(13)12353234313-=+⨯-⨯=--⨯-，∴181731S =⨯+， 故选：D. 点评：本题考查了函数极大值点、极大值的求法、等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于中档题.12．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，PAB △为阿基米德三角形.抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P .给出如下结论，其中正确的为（）（1）若弦AB 过焦点，则ABP △为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭； （3）PAB △的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB △的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）.A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）答案：D设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得221PA PBp k k p-⋅==-，正确； 写出切线方程，联立求出P 点坐标，得（2）错误；用,A B 两点坐标表示出AB k ，写出直线AB 方程，并化简可得（3）正确； 设N 为抛物线弦AB 的中点，立即得（4）正确； 解：由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，由22x py =，得22x y p=，则x y p '=，所以1PAx k p =，2PB x k p =，若弦AB 过焦点，∴212x x p =-，∴221PA PB p k k p-⋅==-，∴PA PB ⊥，故（1）正确；以点A 为切点的切线方程为2111()2x x y x x p p-=-，以点B 为切点的切线方程为2222()2x x y x x p p -=-，联立消去y 得122x x x +=，将122x x x +=代入2111()2x x y x x p p -=-，得122x x y p =，所以1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故（2）错误；设N 为抛物线弦AB 的中点，N 的横坐标为122N x x x +=，因此则直线PN 平行于y 轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线AB 的斜率为222121122121222x x y y x x p p k x x x x p--+===--，故直线AB 的方程为21121()22x x x y x x p p+-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，故（3）正确， 故选：D.． 点评：本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题． 二、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[]2,0x ∈-时，()3xf x =-，则()5f =__________． 答案：13-．利用函数的周期性和奇偶性得()()()()54111=+==-f f f f ，由此能求出结果． 解： 由题可知：()()()()54111=+==-f f f f又当[]2,0x ∈-时，()3xf x =- 所以()11133--=-=-f故()153=-f 故答案为：13-点评：本题考查函数值的求法，考查函数的周期性和奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．14．曲线cos y x x =-在点()0,1-处的切线方程为__________． 答案：10x y --=利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得所求切线的方程. 解：点()0,1-在曲线cos y x x =-上，由题意，1sin y x '=+，切线斜率为01x k y ='==，因此，所求方程为10y x +=-，即10x y --=． 故答案为：10x y --=．点评：本题考查利用导数求切线方程，考查计算能力，属于基础题. 15．在ABC 中，23AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，且21x y +=，则ABC 的面积的最大值为__________. 答案：6首先取AC 的中点D ，则2AO xAB y AD =+，根据平面向量基本定理确定点,,B O D 三点共线，在结合条件和平面几何关系，确定BD AC ⊥，再表示ABC 的面积，求最大值. 解：如图，取AC 的中点D ，因为AO x AB y AC =+，所以2AO xAB y AD =+，因为21x y +=，所以,,B O D 三点共线，因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD AC ⊥.设AD DC m ==，则212(023)BD m m =-<<，所以2222221(12)212(12)622ABCm m Sm m m m ⎛⎫+-=⋅⋅-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2212m m =-，即6m =时取等.故答案为：6 点评：本题考查平面向量基本定理与三角形的综合应用，重点考查数形结合分析问题，转化与化归能力，计算能力，属于中档题型.16．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，23AC =2BC =，cos 3ACB ACB ∠=∠，4=AD ，则球O 的表面积为___________. 答案：32π首先绘出三棱锥D ABC -的图像，然后根据cos 3sin ACB ACB ∠=∠得出π6ACB∠=，根据余弦定理求出2AB=以及120ABC∠=︒，再然后设ABC外接圆的半径为r以及球O的半径为R，根据正弦定理得出2r，最后在O OA'△中得出2222h R+=，在OMD中得出222(4)2h R-+=，联立后求出28R=，即可得出结果.解：如图，绘出三棱锥D ABC-的图像：因为cos3sinACB ACB∠=∠，得3tan ACB∠=，因为0ACBπ<∠<，所以π6ACB∠=，因为23AC=2BC=，由余弦定理得2222cosAB AC BC AC BC ACB=+-⋅∠，代入得2312422324AB=+-⨯=，解得2AB=，所以ABC为等腰三角形，且120ABC∠=︒，设ABC外接圆的半径为r，球O的半径为R，由正弦定理得232sin120r=︒，解得2r，设ABC的外心为O'，OO h'=，过O作OM AD⊥，则在O OA'△中，2222h R+=，在OMD中，222(4)2h R-+=，联立()222222242h Rh R⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得28R=，球O的表面积为2432S Rππ==，故答案为32π.点评：本题考查球的表面积的求法，主要考查球与三棱锥相接的相关性质，考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.三、解答题17．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办数学趣味知识竞赛活动，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在[)80,90，[)90,100分别获二等奖和一等奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．（1）填写下面的22⨯列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？ 文科生 理科生 合计 获奖 5 不获奖 合计200（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人，再从这4人中任意选取2人，求2人均获二等奖的概率． 临界值表：()20P K k ≥ 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635参考格式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）列联表见解析，有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；（2）12． （1）根据频率分布直方图计算获奖人数，并由数据分析，补全22⨯列联表,根据公式计算2K ，并确定是否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；（2）先计算抽取的一、二等奖的人数，并列出从这4人中随机抽取2人的所有基本事件和2人均是二等奖的基本事件，再用古典概型的概率计算公式求得概率. 解：（1）补全22⨯列联表如下表．()222005115354525 4.167 3.84150150401606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由已知可得，分数在[)80,90获二等奖的参赛学生中抽取3人， 分数在[]90,100获一等奖的参赛学生中抽取1人． 记二等奖的3人分别为a ，b ，c ，一等奖的1人为A ， 事件E 为“从这4人中抽取2人且这2人均是二等奖”．从这4人中随机抽取2人的基本事件为(),a b ，(),a b ，(),a A ，(),b c ，(),b A ，(),c A ，，共6种，其中2人均是二等奖的情况有(),a b ，(),a b ，(),b c 共3种， 由古典概型的概率计算公式得()3162P E ==． 故2人均获二等奖的概率为12． 点评：本题考查独立性检验，古典概型的概率公式的应用，还考查数据分析，计算能力，属于中档题.18．设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列．（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，21cos cos 2222A A C -+的取值范围．答案：（1）3A π=．（2）14⎛⎝⎭． （1）由A ，B ，C 依次成等差数列，可得3B π=，结合正弦定理可知2b ac =，再利用余弦定理可得a c =，从而可得ABC 为正三角形，即可得到结果；（2211cos cos sin 222226A A C A π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图像与性质可得结果. 解：（1）∵A ，B ，C ，依次成等差数列， ∴2B A C B π=+=-，∴3B π=．∵2sin sin sin B A C =，∴2b ac =． 又∵222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， ∴22a c ac ac +-=，即()20a c -=，∴a c =， ∴ABC 为正三角形，3A π=．（2）由已知23A C π+=，211cos 1cos cos 222222A A C C A +-+=-+12cos 223A A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 244A A A =+-11cos sin 4426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． ∵a c >，∴223A ππ<<，∴25366A πππ<+<，∴1sin 262A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，∴11sin 426A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭．故213sin cos cos 2222A A C -+的取值范围是13,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．19．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（2）求棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值． 答案：（1）证明见解析；（2）1:1．（1）由面面垂直的判定定理可得平面PDAQ ⊥平面ABCD ，从而可证DC ⊥平面ADPQ ，由此得PQ DC ⊥，而在直角梯形ADPQ 中，由12QA AB PD ==可得222PQ QD PD +=，所以PQ QD ⊥，由线面垂直的判定定理可得PQ ⊥平面DCQ ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ．（2）若设AB a ，则313Q ABCD V a -=，由（1）知PQ 为棱锥P DCQ -的高，所以313P DCQ V a -=，从而可求出体积比解：（1）证明：如图，由条件知，四边形PDAQ 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ．∵PD ⊂平面ADPQ ，∴平面PDAQ ⊥平面ABCD ． 又平面PDAQ ⋂平面ABCD AD =， 且四边形ABCD 为正方形，∴DC AD ⊥，∴DC ⊥平面ADPQ ， 可知PQ DC ⊥，在直角梯形ADPQ 中，设2PD =，则1QA AB ==，DQ PQ ==∴222PQ QD PD +=，则PQ QD ⊥．又DC QD D ⋂=，∴PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ． （2）设AB a ，由题可知AQ 为棱锥Q ABCD -的高，∴313Q ABCD V a -=， 由（1）知，PQ 为棱锥P DCQ -的高，而PQ =，DCQ 2，∴313P DCQ V a -=，∴:1:1Q ABCD P DCQ V V --=． 点评：此题考查了线面垂直、面面垂直的判定，考查了棱锥的体积的求法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题.20．已知抛物线24y x =的焦点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是曲线C 上的动点（不含左、右顶点），且直线MN 过点10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠？O 为坐标原点，若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）在y 轴上存在定点()0,6Q ，使得MQO NQO ∠=∠． （1）计算抛物线焦点坐标，可得椭圆中的c ，然后将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程以及222a b c =+，简单计算可得椭圆方程.（2）假设点()0,Q m ，然后按斜率存在与不存在假设直线MN 的方程，将直线方程与椭圆方程联立以及韦达定理的使用计算0MQ NQ k k +=，简单判断可得结果. 解：（1）∵抛物线24y x =的焦点()1,0F 是椭圆C 的焦点，则1c =，由椭圆经过31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则229141a b +=， 且222a b c =+，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在的定点()0,Q m 符合题意． （i ）由题意当直线MN 的斜率k 存在时， 设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭， ()11,M x y ，()22,N x y ，由MQO NQO ∠=∠，得直线MQ ，NQ 的倾斜角互补， 故0MQ NQ k k +=． 又1212MQ NQ y m y m k k x x --+=+ 12121122kx m kx mx x +-+-=+()()1212124122+-+=kx x m x x x x ，∴()()12124120kx x m x x +-+=①，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 整理得()22344110k x kx ++-=． 因为()221644340k k∆=++>，又122434k x x k -+=+，1221134x x k -=+②， 代②入①得()()222861144120343434k m k k m k k k---⋅+-⋅==+++ ， 当0k ≠时，6m =，此时存在定点()0,6Q ， ∴当直线MN 的斜率0k =时， 直线1:2MN y =，定点()0,6Q 满足MQO NQO ∠=∠，也符合题意； （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，点()0,6Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意．综上所述，在y 轴上存在定点()0,6Q ，使得MQO NQO ∠=∠． 点评：本题考查椭圆的综合应用，直线与圆锥曲线综合应用常会联立方程并使用韦达定理，本题关键在于清楚0MQ NQ k k +=，考查逻辑推理能力以及分析问题能力，属难题. 21．已知函数()()2232ln f x x a x a x =+-+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线210x y ++=平行，求实数a 的值及函数()()4ln g x f x x =-的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()12100f x f x ++>．答案：（1）12a =,()g x 单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞；（2）证明见解析（1）由函数导数求得切线斜率，利用两直线平行斜率相等，求出a 的值，再求()g x 的定义域，求()g x '，由()g x '0>，求得()g x 的递增区间，由()g x '0<，求得递减区间；（2）函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x 等价于222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .解不等式组()()2230224316020a a a a ⎧-->⎪⨯⎪⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎪⎩，求得a 的范围，再化简得到212()()2ln 49f x f x a a a a +=-+-，再构造2()2ln 49g a a a a a =-+-，再利用导数证明()10g a >-，即得证.解：（1）由()()2232ln ,0f x x a x a x x =+-+>， 得()()2223a f x x a x'=+-+， 又()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线210x y ++=平行，所以()1442f a '=-=-，解得12a =． 则()253ln g x x x x =--， 得()()()()2133250x x g x x x x x+-'=--=>． 当()0,3x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，区间为()0,3；当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，区间为()3,+∞．（2）证明：因为函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以()()22230a f x x a x'=+-+= 在()0,∞+上有两个根1x ，2x ，且12x x <，即()222320x a x a +-+=在()0,∞+上有两个不相等的根1x ，2x ， 则123x x a +=-，12x x a =，由题意得()()2230224316020a a a a ⎧-->⎪⨯⎪⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得01a <<，则()()()()2212111222232ln 232ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+ ()()()2121212122232ln x x x x a x x a x x =+-+-++()()()2322332ln a a a a a a =--+--+22ln 49a a a a =-+-，令()22ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<， 故()2ln 26g a a a '=-+．令()()2ln 26h a g a a a '==-+，()220h a a'=->， ()()h a g a '=在()0,1上单调递增．由于()33e 2e 0h --=-<，()140h =>，所以存在常数()31e ,t -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当()0,a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在()0,t 上单调递减；当()1a t ∈,时，()()0h a g a '=>，()g a 在(),1t 上单调递增， 所以当01a <<时，()()2min 2ln 49g a g t t t t t ==-+-()22234929t t t t t t =--+-=--． 又()31e ,t -∈，()222911010t t t --=-->-， 所以()10g a >-，即()100g a +>，故()()12100f x f x ++>得证．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1(1),2x y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值；（2）若A ，B 为曲线C 上两点，且3AOB π∠=，求||||OA OB +的最大值.答案：（1）1a =；（2）（1）先求出直线l 的直角坐标方程，再求出曲线C的直角坐标方程，由题得11)10a ---=，解方程即得解；（2）设AOx α∠=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，π3BOx α∠=-，求出||||OA OB+3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即得||||OA OB +的最大值. 解：解：（1）直线l的参数方程为1,21(1),2x t y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为1)10x a +---=.曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，整理得22cos ρρθ=，转换为直角坐标方程为222x y x +=，转换为22(1)1x y -+=. 所以它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.由于曲线关于直线l 对称，所以圆心(1,0)在直线l 上，所以11)10a --=故1a =.（2）由点,A B 在圆2cos ρθ=上，且π3AOB ∠=， 所以设AOx α∠=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，π3BOx α∠=-， 所以||2cos ,||2cos 3OA OB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则||||2cos 2cos 3cos 3OA OB παααα⎛⎫+=+-=+ ⎪⎝⎭3πα⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当π6α=时，等号成立. 故||||OA OB +的最大值为点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 23．已知函数()|2|||f x x x m =-++的图象的对称轴为1x =.（1）求不等式()2f x x +的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求1111a b +++的最小值. 答案：（1）(,0][4,)-∞⋃+∞；（2）1.（1）由题意得到m ，代入()f x 并将()f x 去绝对值，分情况解不等式，再取并集即可． （2）先由绝对值不等式的性质求得M ，再构造均值不等式求解，即可得最小值． 解：解：（1）∵函数()f x 的对称轴为212m x -==，∴0m =， 22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -+⎧⎪∴=+-=<<⎨⎪-⎩由()2f x x ≥+，得0,222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨≥+⎩或2,222,x x x ≥⎧⎨-≥+⎩ 解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞.（2）由绝对值三角不等式的性质，可知|2||||(2)|2x x x x -+≥--=，当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号，∴min ()2f x M ==，∴2a b +=，所以(1)(1)14a b +++=.11111111[(1)(1)]1111144111b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭121(22)144⎛≥+ =+=⎝， 当且仅当1111b a a b ++=++，即1a b ==时，等号成立， 所以1111a b +++的最小值为1. 点评：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。