【创新方案】高三数学一轮复习 专家讲坛 六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题 文

高考数学一轮复习方法技巧总结高考数学是高考中较为重要的科目之一，对考生的数学基础、逻辑思维能力和应试技巧要求较高。

为了帮助考生高效备考数学，下面总结了高考数学一轮复习的方法和技巧。

一、理清知识脉络，明确重点难点高考数学一轮复习的第一步是理清知识脉络，明确各个章节的重点和难点。

可以按照教材的章节进行整理，列出每个章节的重点知识点和难点题型。

重点和难点可以根据往年高考题和模拟题进行判断，也可以结合自己的学习情况和掌握程度。

二、建立知识框架，查漏补缺建立知识框架是高考数学复习的基础，可以将整个数学知识按照逻辑关系进行分类和整理。

建议使用思维导图或者概念图等工具，将不同章节和知识点的联系和应用进行整理，帮助记忆和理解。

同时需要查漏补缺，对于自己掌握不好或者不熟练的知识点进行有针对性的复习，强化记忆和理解。

三、理解概念，掌握方法数学是一门理论和应用相结合的学科，需要既掌握概念，又掌握方法。

在一轮复习中，要注重概念的理解和方法的掌握。

对于概念，可以通过阅读教材和参考书籍，结合例题进行理解和记忆；对于方法，可以通过多做题来熟练掌握，将不同的方法进行总结和比较，形成自己的解题思路和方法论。

四、分层次、分时间段进行复习高考数学复习需要有计划、有条理，可以按照不同的层次和时间段进行划分。

首先，可以按照章节和知识点进行分层次复习，将不同层次的知识进行逐步加深和扩展；其次，可以按照每天或每周进行时间段的划分，合理规划每个时间段的复习内容和任务。

注意不要一味追求速度和数量，而要注重质量和深度。

五、重视真题和模拟题的练习和分析真题和模拟题是高考数学复习中非常重要的资源，可以通过练习和分析来评估自己的应试能力和掌握程度。

可以选择往年高考数学试卷和模拟卷进行练习，强化解题能力和应试技巧。

在做题后，要认真分析自己的解题过程和错误原因，总结解题方法和技巧，找出自己的薄弱点，并进行针对性的弥补。

六、重视归纳总结和记忆方法高考数学复习需要进行知识的归纳总结和记忆方法的学习。

2024年高考数学第一轮复习解题思路总结2024年高考数学第一轮复习是考生们备战高考的重要阶段，这一阶段的复习主要目的是回顾巩固基础知识，培养解题思维和技巧。

下面将从数学的各个章节出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路。

一、函数与方程在函数与方程这一章节中，主要涉及到函数的概念、一次函数、二次函数以及指数与对数函数的应用问题。

在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 理解并掌握函数的概念，了解函数的性质和图像变化规律。

2. 对于一次函数和二次函数，要掌握其基本的性质和变化规律，学会通过函数的解析式确定函数的图像。

3. 对于指数与对数函数，要理解其定义及性质，学会解决指数方程和对数方程。

4. 理解函数的应用，学会应用函数解决实际问题，包括函数的最大值和最小值、函数模型的建立等。

二、数列与数列求和数列与数列求和是高考数学中的重点内容，主要包括等差数列、等比数列、特殊数列的求和等。

在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 对于等差数列，要掌握通项公式和求和公式的推导和应用，学会利用已知条件求解未知。

2. 对于等比数列，要掌握通项公式和求和公式，学会利用递推关系求解未知。

3. 对于特殊数列，如等差中项数列、倒数数列等，要理解其特点和求和方法，学会运用特殊数列的性质解题。

4. 在解题过程中，要注意数列的性质和数学符号的运用，尤其是在求和过程中要注意边界条件的处理。

三、平面几何与立体几何平面几何与立体几何是高中数学的基础部分，其中包括点、直线、圆、多边形等概念的学习与应用。

在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 对于点、直线、圆等基本概念，要理解其定义和性质，学会判断点与线的位置关系，圆与直线的位置关系。

2. 对于多边形，要学会判断多边形的凸凹性和判断多边形的相似性，熟练掌握多边形的面积和周长的计算方法。

3. 在立体几何中，要理解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的定义和性质，学会计算立体几何图形的体积和表面积。

巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。

通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。

例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。

对于一个连续递减函数，则相反。

因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。

2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。

根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。

因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。

利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。

3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。

平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。

利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。

除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。

这些方法在不同的问题中都有所应用。

最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。

在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。

因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。

2024年高考数学第一轮复习解题思路总结随着高考的临近，数学复习也进入了关键的阶段。

为了能够顺利备战高考数学，学生们需要理清数学知识的脉络，掌握一定的解题思路和方法。

本文将从数学各个板块出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路和要点。

1. 函数与方程函数与方程作为高考数学的基础，是各种高等数学知识的基础。

在复习中，对于函数与方程的掌握至关重要。

首先，要掌握基本的函数与方程的概念和性质，包括一元二次方程、一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

要熟悉这些函数的图像和特点，能够准确地画出函数的图像和描述函数的性质。

其次，要掌握函数与方程的解法和应用。

对于一元二次方程，要熟悉求解一元二次方程的方法，包括因式分解法、配方法、根的判别式、完全平方公式等。

对于一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，要掌握相应的解法和应用，能够求解函数和方程的零点、最值、极值等。

最后，要注意函数与方程的综合应用。

在复习中，要注重函数与方程的应用题，特别是与实际问题相关的应用题。

要熟悉建立函数模型和方程模型的方法，能够将实际问题转化为函数与方程，从而解决问题。

2. 解析几何解析几何是高考数学中的重要部分，也是考察学生几何思维和空间想象能力的重要手段。

首先，要熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系，掌握坐标变换的方法。

要能够根据给定的坐标条件确定图形的位置和几何特征，能够解决点、线、面的位置关系、相交关系和对称关系等问题。

其次，要熟练掌握解析几何的基本定理和性质。

包括直线的方程、平面的方程、圆的方程等，要能够根据给定的条件求解方程和解决相应的问题。

最后，要注重解析几何的应用题。

要熟悉解析几何的应用方法，能够将实际问题转化为几何问题，并解决问题。

要能够解决距离、面积、体积等问题，并应用相应的几何定理和性质求解。

3. 概率统计概率统计是高考数学中的重要考点，涉及到概率、统计、函数、方程等多个知识点的综合运用。

首先，要掌握基本的概率与统计的概念和技巧。

版高考数学一轮总复习函数极值与最值问题的解决思路函数极值与最值问题的解决思路函数极值与最值问题是数学中非常重要的一类问题。

在高考数学一轮总复习中，掌握函数极值与最值问题的解决思路对于提高解题能力至关重要。

本文将介绍一些常见的解决思路和方法，帮助大家更好地理解和应用函数极值与最值问题。

一、确定函数的定义域在解决函数极值与最值问题时，首先要确定函数的定义域。

定义域是指函数自变量的取值范围，只有在定义域内的自变量才能满足函数的条件。

通过确定定义域可以帮助我们更好地进行问题的分析和讨论。

二、求函数的导数求函数的导数是解决函数极值与最值问题的重要一步。

导数可以帮助我们判断函数在某一点的增减性，从而判断该点是否是函数的极值点。

具体求导的方法根据函数的不同形式而定，常见的有多项式函数、指数函数、对数函数等。

根据导数的定义和求导法则，可以对函数进行求导，得到导函数。

通过导函数的符号来判断原函数在某一点的增减性，从而找到函数的极值点。

三、求函数的临界点在求得导函数后，我们需要找到函数的临界点。

临界点是指导函数等于零或不存在的点。

这些点可能是函数的极值点，也可能不是。

通过求导函数的零点可以得到函数的临界点。

四、判断函数的极值和最值在找到函数的临界点后，我们需要进行判断，确定哪些是函数的极值点，以及对应的最值。

可以通过导数的正负性来判断函数的增减性，从而确定临界点是否是函数的极值点。

当导数在某一点的右侧为正，左侧为负时，该点为函数的极大值点；当导数在某一点的右侧为负，左侧为正时，该点为函数的极小值点。

此外，还需要比较函数在临界点和定义域端点的取值，确定最大值和最小值。

五、注意特殊情况和边界条件在解决函数极值与最值问题时，还需要注意特殊情况和边界条件。

例如，函数在定义域的端点上是否存在极值点，是否存在开区间上的极值点等。

同时，还要注意函数值是否存在无穷大，以及函数是否有可能趋于无穷大等情况。

六、综合运用解决实际问题函数极值与最值问题是数学理论与实际问题相结合的典型案例。

数学6大解答题技巧，高考数学超越140分秘籍对于众多高中生来说，数学是一座巨大的拦路虎，如何高效地学习数学是大家都很头疼的问题，今天为大家收集到了高中140+学霸的6大解题技巧一起练起来吧！1.三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！）。

2.数列题1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列；2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。

3立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系；3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。

4概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难则反（根据p1+p2+...+pn=1)；5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

5圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b（斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等；3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

高三数学一轮复习三大提分妙招及答题技巧对于即将面对高考的高三学生来说，数学是必考的科目之一，也是很多学生成绩不稳定的科目。

所以，如何提高数学成绩是每个学生都要关注的问题。

下面是三大提分妙招及答题技巧供大家参考。

一、掌握数学知识点首先，数学成绩的提升离不开数学知识点的掌握。

在高三数学的一轮复习中，学生们要按照教材的要求进行复习，将知识点理解透彻。

1. 学会分类整理知识点高中数学知识点繁多，且相互联系紧密，所以学生们在一轮复习中一定要分类整理知识点，分清主次。

可以把知识点按章节划分，每个章节再按大纲要求整理。

例如，对于数列章节，可以整理出以下几个方面的知识点：•等差数列、等差中项、公差、通项公式、前n项和、最值问题等。

•等比数列、等比中项、公比、通项公式、前n项和、最值问题等。

还可以把知识点按照易错、重要程度等分类，从而更加清晰明了。

2. 多做题巩固知识掌握了知识点，还需要通过做题不断巩固。

做题不是为了刷题，而是为了提高题目步骤的准确性和速度。

但是，必须要掌握好做题方法。

例如：对于数列中的公式和概念，要能熟练使用。

•要注意通项公式的求解步骤，特别是对于高阶等差数列和等比数列，要能够正确地应用数列公式。

•要注意前n项和公式的应用范围。

对于一些复杂的数列求和题目，应该注意计算方法和要点。

二、掌握常见的高考考点在掌握数学知识点的基础上，还需要熟悉高考数学考试的题型和考点。

掌握了高考考点，就可以更好地应对考试。

1. 面向高考的难题高考数学试卷中的难点题目很多，所以学生需要对高考难点题进行分类整理，并针对性地做好练习。

例如，对于二次函数的题目，学生需要掌握：•根据函数图像及定义域、值域、奇偶性等特征图形解题。

•利用特殊点、函数增减性及极限等性质解题。

•把二次函数转化为标准式或顶点式，再利用特殊点特征解题，通过等式变形提取出函数性质解题等。

2. 常见的解题技巧解题技巧很重要，可以减少解题的时间和难度。

在应对高考的解题过程中，需要掌握以下几项技巧：•掌握奇偶性的性质，使解题更准确。

高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。

本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。

一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。

解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。

令导数等于零，得到 x = 0。

将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。

所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。

所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。

综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。

2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。

令导数等于零，解方程得到 x = ±1。

将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。

所以函数在 x = ±1 处取得极值。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。

如何应对高考数学中的函数极值和最值问题函数极值和最值问题是高考数学中一个重要的考点，也是很多同学容易遇到困难的地方。

为了帮助同学们更好地应对这类问题，本文将从解题技巧和常见方法两方面进行探讨。

一、解题技巧1. 熟悉函数的性质要解决函数极值和最值问题，首先需要对函数的性质有一定的了解。

比如，了解函数在定义域上的单调性、奇偶性、周期性等特点，这些特点有助于我们判断函数的极值和最值。

2. 求导数对于函数极值和最值问题，求导数是一种常见的解题方法。

通过对函数进行求导，我们可以得到函数的导数，然后通过导数的零点和不连续点来确定函数的极值点和最值点。

3. 利用辅助图形在解决函数极值和最值问题时，可以绘制函数的图像。

通过观察函数图像的特点，我们可以得到一些有关函数极值和最值的信息，从而更好地解决问题。

二、常见方法1. 寻找零点对于一些简单的函数，我们可以通过寻找函数的零点来确定函数的极值和最值。

首先通过求根公式或者其他方法求得函数的零点，然后将这些零点和函数的端点进行比较，从而确定函数的极值和最值。

2. 求导数寻找极值点对于一些复杂的函数，我们可以通过求导数来寻找函数的极值点。

首先求出函数的导数，然后将导数的零点和不连续点作为函数的可能极值点，再通过一些条件进行筛选，就可以找到函数的极值点。

3. 线性规划法线性规划法是一种在最优化问题中常用的方法，也可以应用到函数极值和最值问题中。

通过建立合适的约束条件和目标函数，将函数极值和最值问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的方法求解，得到函数的极值和最值。

总结：函数极值和最值问题是高考数学中的一个重要考点，掌握解题技巧和常见方法对于提高解题效率和准确率非常有帮助。

通过熟悉函数的性质，掌握求导数的方法，运用辅助图形等技巧，我们可以更好地应对高考数学中的函数极值和最值问题。

希望同学们能够在备考过程中认真学习、不断实践，顺利应对高考数学中的各个挑战。

六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1]已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解]y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.令t＝e x＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，y min＝f(a)＝a2－2.[点评]利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2]设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[解析]因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝6cos α，2b＝6sin α，α∈R.则a＋b＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.[答案]－3[点评]在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)． [例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x(0<x <1)的最小值为________． [解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x (1－x )＝3x ＋1－x 2＋x， 令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)， f (x )变为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t ≥4,0<－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≥9，所以f (x )的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <t ＋2<1e时，t 无解； ②当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ③当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .[答案] f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17.[答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以 f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.[答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.[答案] C[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围[例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m .(1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，g (x )，x <0，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，①因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根，由p (x )＝0，得m ＝－x 2＋7x ＋1＝－(x ＋1)2－2(x ＋1)＋8x ＋1＝2－(x ＋1)－8x ＋1， 因为1<x <5，令t ＝x ＋1，则2<t <6，如图所示，所以－163<m ≤2－4 2. 当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根，所以实数m 的取值范围是－163<m <2－4 2. (2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减．记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．(ⅰ)若∀a >0时，如图(1)知，由于h (x )在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b <0，且A ⊆B ，即m ≤7；(ⅱ)若∀a <0时，如图(2)知，由于h (x )在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b >0，且B ⊆A ，即m ≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m ＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m ＝7时，A ＝B ，对于∀a ≠0，则∃b (b ≠a ，且ab <0)，使得h (a )＝h (b )．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m ＝－x 2＋7x ＋1(1<x <5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a >0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≤7；反过来，对于∀a <0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图象与函数y ＝k (x －2)＋4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.[答案] ⎝⎛⎦⎤512，34[点评] 函数y ＝1＋4－x 2的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y ＝x ＋1x作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式4－x 2＝3＋k (x －2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围．。

当我们遇到求值域问题时，往往会遇到一些困难，即题目会给我们设置一些障碍，这时就需要我们先冷静下来去观察题目，观察函数的特点。

今天我们要介绍的数形结合法，就是求值域中一类非常灵活的方法，且每个题目所用的方法都不尽相同，所使用的方法是由函数本身的性质决定的。

而同学们重点要掌握的是函数的解析式，是否含有几何意义，能否通过几何图形帮助我们解题。

同时也要多见一些题型，多积累解题的感觉。

先看例题：1.求函数sin cos 2x y x =-的值域 函数可看为两点连线的斜率，即12(cos ,sin ),(2,0)P x x P 则sin 0cos 2x k x -=-，即所求函数，问题转化为求k 的取值范围 借助图形：我们可以看到，当直线与单位圆相切时，k 分别取到最大值和最小值1tan 303l k =︒=2tan1503l k =︒=-所以，原函数值域[y ∈当我们看到这个函数，用其它手段比较难以转化求值域，又观察到了其分式的形式，从而思考，是否可以转化为斜率的形式。

于是将分式看作两点连线的斜率，于是转化为求一个定点2(2,0)P ，与一个动点1(cos ,sin )P x x 之间连线的斜率的取值范围，大大简化了问题。

将求值域的问题，与几何中直线与圆相切的问题联系起来了。

然而，数形结合还有其它类型的应用么？我们再来看一个例题：2.求函数y =整理函数得，y =这时观察函数，用一般方法不是很好继续进行，但我们发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以我们可以改造一下函数：y =这时我们可以把函数看成坐标系内的三个点间的距离和，(,0),(2,2),(2,1)P x A B -- ，即||||y PA PB =+通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，当P 处于AB 连线时，||||y PA PB =+取到最小值：||5y AB ==所以||||5PA PB +≥，即函数值域为[5,)y ∈+∞通过这个问题，我们又看到数形结合法的另一种应用，将求值域问题转化为了求平面内两条线段的最小值，从而很容易的解决了该问题。

高三数学第一轮备考：考好数学六大秘诀【】高一高二的同窗忙着预备期中考试的时分，高三的同窗们正在停止紧张的高考前地实际温习，下面是查字典数学网预备的2021高三数学第一轮备考：考好数学六大秘诀欢迎大家点击参考!一、鼓舞决计让基础单薄同窗树立学习决计，必需从知识辅导与心思启迪左右开弓。

经过提醒数学效果以及解题的实质，消弭对数学的恐惧心思;把数学效果兴趣化、基础化、生活化，使同窗们体会数学的可参与性;把数学思想方法合情化、自然化、人文明，使同窗们亲近数学;变传统的一讲究竟为师生共同参与，使同窗们体验成功的快乐;变传统的复杂对错评价为寻觅闪光点，不失机遇的停止鼓舞，让先生觉得我在提高变惯例的使先生体会差距加大压力的同卷考试，为分出层次的AB检验，让基础单薄的同窗找回自信，即使做错了标题也觉得有所收获，激起热情，积极投入!二、增强毅力刚进入高三，基础单薄同窗学习数学的热情异样极端高涨，但是后来的一次次检验都会给他们当头浇下一盆盆凉水，他们以为自己曾经作出了这么大的努力，却不见提高，便会疑心自己的智力与才干，是不是没希望了呢?及时指点刻不容缓!首先要使同窗正确看法到自己的基础并非一朝一昔就能洗心革面，也不能仅仅依据几次考试效果来论成败，由于学习好象挖一道水渠，总共一百米，虽然曾经挖通了九十九米，但是还是不通的呀，不过离成功仅一步之遥，坚持就可以成功!天天耕耘，决不停笔。

假设三天不做数学题，就会觉得上手困难，思绪不顺。

因此必需明白，毅力比热情更重要。

努力未必成功，但是成功必需努力!三、夯实基础针对教学纲要和考试说明，采用低终点、拉网式、递进的教学方法，确保同窗们对基础效果的了解与掌握。

关于容易犯的错误，要做好错题笔记，剖析错误缘由，找到纠正的方法;指点同窗看书，不能自觉做题，必需在搞清楚概念的基础上做才是有效的，由于自觉少量做题，有时分错误或许曲解也会失掉稳固，纠正起来愈加困难。

关于课本中的典型效果，要深入了解，并学会解题后反思：反思题意，防止曲解;反思进程，防止错误;反思方法，如虎添翼;反思变化，高屋建瓴。

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析在高三数学中，数形结合的解题方法和技巧十分重要。

它不仅可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，还可以提高解题效率和准确性。

下面，笔者就介绍一些数形结合的解题方法和技巧，希望能对大家学习数学有所帮助。

1.画图是重要的第一步在解题过程中，随时运用画图的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。

但是，我们画图的目的不仅仅是为了画出一个美观的图形，更重要的是理清思路和抓住重要的信息。

所以，在画图的时候，一定要注意以下几点：1) 画出尽可能规整、简单的图形，不要过于花哨。

2) 根据题目解决要点着重绘制关键性点，如角、中点、垂线等。

3) 画图不仅限于二维平面，也可以画出立体图形，例如圆柱、球等。

2.利用相似性质求解在数形结合中，相似性质是十分重要的一个概念。

相似的两个图形，它们的对应边长比例相等，对应角度相等。

因此，我们可以利用相似性质来解决一些难题，尤其是涉及到比例和角度的计算。

3.从实际问题入手在解决数学问题时，我们可以将其与实际生活中的问题结合起来，这样有助于提高我们的兴趣和理解力。

例如，可以利用直观的方法来解决几何问题，以及利用动画来模拟一些数学现象等。

4.注意形式化证明的效果在数学学科中，形式化证明是一种有效且标准的解题方法。

所谓形式化证明，就是用严谨的语言表达出问题的所有要素，从而达到证明问题的目的。

5.切忌打乱了思路在解决数学问题时，我们必须按照一定的方法和思路，逐步推进解题的进程。

如果将不同的思路混合在一起，很容易就会迷失方向，不知道该从何处入手。

因此，我们要按照一个逐步深入的思路去解决问题，不要跳跃式地处理问题，这样才能找到规律并完整地解决问题。

6.避免错误解题方法在解决数学问题时，我们要避免一些错误的解题方法，如假设过程不完整、推理错误、求解方向错误等。

因此，在解决问题时，我们必须根据问题的性质和要求，选取最合适、最简单、最易于理解的解决方案。

7.学会多角度思考在数学解题中，我们可以尝试从多个角度思考问题，这样可以更全面、更深刻地理解和解决问题。

解决高中数学中的函数像问题的技巧与方法在高中数学中，函数像问题常常让许多学生感到困惑。

函数像问题是指在给定函数的情况下，求得函数图像上的某些特定点或者描绘出整个函数的图像。

本文将介绍一些解决高中数学中函数像问题的技巧与方法，帮助学生更好地理解和应对这一类问题。

1. 函数定义域和值域的确定在解决函数像问题之前，我们首先要确定函数的定义域和值域。

函数的定义域是指所有自变量可以取得的实数值的集合，而值域则是函数的所有可能取值的集合。

通过确定函数的定义域和值域，我们可以限定函数图像的范围，从而更好地了解函数的行为和特征。

2. 寻找函数的对称性函数的对称性是解决函数像问题时常用的一个技巧。

函数的图像可能具有对称轴，如对称于x轴、y轴或者原点。

通过寻找函数的对称性，我们可以推断出函数在某些点上的取值情况，从而简化问题的求解过程。

3. 利用函数的性质函数有许多重要的性质，如奇偶性、单调性等。

这些性质为解决函数像问题提供了一些重要线索。

例如，如果一个函数是奇函数，则其图像具有原点对称性，即对于函数上的每一个点(x, y)，其对应的点(-x, -y)也在函数图像上。

这样，我们可以根据已知点的性质推断出其他点的性质，从而减少计算量。

4. 利用函数的变化趋势函数的变化趋势可以帮助我们理解函数的行为。

通过观察函数在不同区间上的增减性，我们可以推断函数图像上的点的位置。

例如，如果函数在一个区间上是递增的，那么我们可以推断该区间上任意两个点的纵坐标大小关系。

这对于确定某个特定点的函数值非常有帮助。

5. 确定函数的极值点和拐点函数的极值点和拐点是函数图像上的重要特征点。

极值点指的是函数在某个区间上取得最大值或最小值的点，而拐点则是函数图像上发生方向改变的点。

通过确定函数的极值点和拐点，我们可以更准确地绘制函数的图像，同时也能解决一些与函数图像有关的问题。

总结起来，解决高中数学中的函数像问题需要运用一些技巧和方法。

通过确定函数的定义域和值域，寻找函数的对称性，利用函数的性质和变化趋势，以及确定函数的极值点和拐点，我们可以更好地理解函数的行为和特征，从而解决函数像问题。

高三数学一轮复习专家讲坛三法破解会合运算和充要条件判断的问题理一、三法定乾坤——谈会合运算问题的三种方法会合的基本运算主要包含交集、并集、补集，会合是历年高考的必考内容，解决会合的基本运算问题，第一要明确会合中元素的性质，经过解不等式求出每个会合，而后弄清几个会合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn 图等依据交集、并集、补集的定义进行基本运算，进而得出结果．1．列举法列举法就是经过列举会合中全部的元素，而后依据会合基本运算的定义求解的方法．此类方法合用于数集的有关运算以及会合的新定义运算问题．其基本的解题步骤是：[例 1] 设 P， Q为两个非空实数会合，定义会合P*Q＝{ z| z＝ a÷ b， a∈P， b∈ Q}，若P＝{－1,0,1} ， Q＝{－2,2}，则会合 P* Q中元素的个数是()A． 2 B． 3C．4 D ．5[分析] 当 a＝0时，不论 b 取何值， z＝ a÷b＝0；1当 a＝－1， b＝－2时， z＝(－1)÷(－2)＝2；1当 a＝－1， b＝2时， z＝(－1)÷2＝－；21当 a＝1， b＝－2时， z＝1÷(－2)＝－2；1当 a＝1， b＝2时， z＝1÷2＝2.1 1故 P* Q＝0，－2，2，该会合中共有 3 个元素．[答案] B[ 评论 ]求解两个会合之间的运算应当注意三个问题：一是会合中元素的形式，元素是数仍是有序数对，是函数的定义域仍是函数的值域等；二是注意会合中对应不等式端点值的办理，特别是求解会合补集的运算，必定要搞清端点值的弃取；三是求解会合的补集运算时，必定要先求出本来的会合，而后求其补集，不要直接转变条件而致使漏解犯错，如会合A＝x| log121x| log11x| log11，或 x≤0x≥的补集不是B＝x<，而是 B＝x<.222222．数形联合法数形联合法就是利用数轴或Venn 图表示出有关会合，而后依据图形求解会合的补集或者进行有关会合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：[例 2] (2013 ·嘉兴模拟) 已知全集U＝R，会合A＝{ x|log 1 ( x－ 1)>0} ，B＝2x 2x－3<0 ，则∩(? U ) ＝( )x B AA．[0,1] B ． [0,1)C．(0,1) D ． (0,1][分析] 由 log 1 ( x－ 1)>0 ，得 0<x－ 1<1，即 1<x<2，2∴A＝(1,2)．2 －3 3由x<0，得x(2 x－ 3)<0 ，即 0<x<2，x3∴B＝0，2.以下图，在数轴上表示出会合A，B.则?U A＝( －∞， 1] ∪ [2 ，＋∞ ) ，∴ B∩(?U A)＝(0,1]．[答案] D[ 评论 ]数形联合法主假如利用图形的直观性来进行会合的基本运算，应注意利用数轴表示会合时，要依据端点值的弃取状况正确采用实心点或空心点标明对应会合，防止因区间端点值的弃取不妥造成增解或漏解．3．属性剖析法属性剖析法就是依据元素与会合之间确实定关系来进行会合基本运算的方法，主假如解决点集问题中某个会合与已知会合之间的关系问题．解决此类问题的基本步骤是：[ 例 3]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则会合{2,7}＝()A．M∩N B． ( ?U M) ∩(?U N)C．( ?U M)∪( ?U N) D ．M∪N[ 分析 ]明显2∈ U,2?M,2?N，因此 2∈ ?U M,2∈ ?U N，因此 2∈ ( ?U M) ∩(?U N) ；而 7∈U,7?M,7?N，因此 7∈ ?U M,7∈ ?U N，因此 7∈ ( ?U M) ∩(?U N) ．综上，易知 {2,7} ＝ ( ?U M) ∩(?U N) ．[答案] B[ 评论 ]属性剖析法的本质是利用会合中元素确实定性，即元素与会合之间的关系：属于与不属于．在推理过程中还要注意已知会合之间的关系，如a∈ U，a?A 且 A? U，则必有 a ∈?U A.二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包含两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断；二是依据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考察，试题难度不大．充要条件的判断问题要注意“p 是 q 的充足不用要条件”与“p 的一个充足不用要条件是 q”这两种表达方式的差别，先将问题转变为第一种基本的表达方式，而后再判断．利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转变为两个会合之间的关系，而后结构相应的不等式进行办理．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转变为两个命题——“若p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，依据两个命题能否正确，来确立p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例 1]设 0<x < 2 ，则“ x sin x <1”是“ x sin x <1”的 ________条件．π[分析]由于 0<x < 2 ，因此 0<sin x <1，不等式 x sinx <1 两边同乘 sin x ，可得 x sin 2x <sin x ，因此有 x sin 2x <sinx <1. 即 x sinx <1? x sin 2x <1；不等式 x sin 2 <1 两边同除以 sin x ，可得 x sinx < 1 ，而由 0<sin x <1，知 1 >1，xsin x sin x故 x sin x <1 不必定建立，即x sin 2x <1? / x sin x <1.综上，可知“ x sin 2x <1”是“ x sin x <1”的必需不充足条件．[答案] 必需不充足[评论]判断 p 、 q 之间的关系，只要判断两个命题A ：“若 p ，则 q ”和B ：“若 q ，则 ”的真假．两命题的真假与 p 、 q 之间的关系以下表所示：p命题 A 命题 Bp 、 q 之间的关系真 真 p 为 q 的充足必需条件 真 假 p 为 q 的充足不用要条件 假 真 p 为 q 的必需不充足条件假假p 为 q 的既不充足又不用要条件2. 等价转变法等价转变法就是在判断含有逻辑联络词“否”的有关条件之间的充要关系时，依据原命 题与其逆否命题的等价性转变为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 其基本步骤为：[例 2]已知条件 ：4≤－ 1，条件 q ： x 2－ < 2－ ，且綈 q 的一个充足不用要条件p x － 1 x a a是綈 p ，则 a 的取值范围是 ________．4[ 分析 ]解 x － 1≤－ 1，得－ 3≤ x <1.由 x 2－ x <a 2－ a ，即 ( x － a )[ x ＋( a － 1)]<0 ，1当 a >1－ a ，即 a >2时，不等式的解为 1－ a <x <a ；1当 a ＝1－ a ，即 a ＝ 2时，不等式的解为 ?；当 a <1－ a ，即 a <2时，不等式的解为a <x <1－ a .由綈 q 的一个充足不用要条件是綈，可知綈p 是綈 q 的充足不用要条件，即 p 为 q 的p一个必需不充足条件，即条件q 对应的 x 取值会合是条件 p 对应的 x 取值会合的真子集．1 时，由 { x |1 － a <x <a } { x | －3≤ x <1} ，得－3≤1－ a ，1当 a >解得 <a ≤1；21≥ ，2a1当 a ＝ 2时，由于空集是随意一个非空会合的真子集，因此知足条件；当 a 1时，由 { | < <1－ } { x | －3≤ <1} ，得 －3≤ a ， a 1<解得 0≤ < .2 x a x a x 1≥1－ a ， 2综上， a 的取值范围是 [0,1] ． [答案] [0,1][评论]判断两个命题綈 p 和綈 q 之间的关系， 一般是直接利用定义法， 找寻二者之间的关系，或利用会合的方法找寻与之对应的两个会合之间的关系，当两种方法都较难判断时，可转变为 p 、 q 之间的关系，再利用互为逆否命题的等价性进行判断．它们之间的对应关系以下表所示：p 、 q 之间的关系 綈 p 和綈 q 之间的关系 p 是 q 的充足不用要条件 綈 p 是綈 q 的必需不充足条件 p 是 q 的必需不充足条件綈 p 是綈 q 的充足不用要条件p 是 q 的充要条件綈 p 是綈 q 的充要条件p 是 q 的既不充足也不用要条件綈 p 是綈 q 的既不充足也不用要条件3. 会合法会合法就是利用知足两个条件的参数取值会合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相像的条件难以进行划分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例 3]若 A ：log 2a <1，B ： x 的二次方程 x 2＋ ( a ＋ 1) x ＋ a － 2＝ 0 的一个根大于零，另一根小于零，则 A 是 B 的 ________条件．[分析]由 log 2a <1，解得 0<a <2，因此知足条件 A 的参数 a 的取值会合为 M ＝ { a |0< a <2} ；而方程 x 2＋ ( a ＋ 1) x ＋ a －2＝ 0 的一根大于零，另一根小于零的充要条件是 f (0)<0 ，即 a －2<0，解得 <2，即知足条件的参数 的取值会合为 ＝ { | <2} ，明显，因此是5的充足不用要条件．[ 答案 ]充足不用要[ 评论 ]设 p 、q 对应的会合分别记为 A 、B . 则 p 、q 之间的关系可转变为与之相应的两个会合之间的关系．它们之间的关系以下表所示：A 、B 之间的关系p 、 q 之间的关系＝B p 为 q 的充足必需条件AA B p 为 q 的充足不用要条件 A Bp 为 q 的必需不充足条件 A ? B 且B ?Ap 为 q 的既不充足又不用要条件。

专题06 函数求值域常见8种方法全归纳方法一、分离常数法例1、求函数312+=-x y x 的值域 先分离常数法： ∵313(2)773222+-+===+---x x y x x x ，∵702≠-x ，∴7332+≠-x ， ∴312+=-x y x 的值域为{|∈y y R 且3}≠y . 方法二、判别式法例2.求函数221-=-+x x y x x 的值域 【解析】注意到，这个函数定义域为R ，这类函数在求值域时使用判别式法比较方便； 整理函数得()2221,(1)(1)0-+=----+=y x x x x y x y x y当1=y 时，方程无解当1≠y 时，所求函数的值域需要使得，方程有解，要求2(1)4(1)0∆=---≥y y y ，23210-++≥y y ，(1)(31)0-+≤y y ，113-≤≤y . 注意：当1=y 时，函数不再是关于x 的二次方程，且方程无解，所以1=y 不是函数的值域.所以在1≠y 的情况下研究函数值域，所以函数值域为1,13⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭y 方法三、配方法例3、求函数()44222--=+-+x x x x y 的值域【解析】可以将其换元转化为二次函数，令22-=+x x t ，2≥t ，则22222222--=+⋅⋅+x x x x t 即2442-+=-x x t 所以函数可整理为：()2222(1)3=--=--y t t t此时，发现函数在[1,)+∞单调递增，而t 的取值范围是2≥t (这里一定要看清，用的是t 的取值范围，而不是x 的取值范围)，所以当2=t 时，函数取到最小值2-，所以函数值域为[2,)∈-+∞y .方法四、代数换元法例4、求函数2=+y x【解析】令0=t ，21=-x t ，∴222422(1)44=-++=--+≤y t t t通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在1=t 时取到最大值.∴函数的值域为(,4]-∞.方法五、三角换元法例5、求函数=y x【解析】可以设cos θ=x ，[0,]θ∈π，注意取值范围cos sin 4πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭y ，根据[0,]θ∈π，5444θπππ≤+≤，1cos 4θπ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭[∈y . 方法六、均值不等式法例6、求函数23(0)1=≥++x y x x x 的值域 【解析】 当0=x 时，0=y 当0≠x 时，3(0)11=>++y x x x，因为12+≥=x x ，所以3311211=≤=+++y x x，[0,1]∈y 方法七、数形结合法例7(1)、求函数sin cos 2=-x y x 的值域 【解析】函数可看为两点连线的斜率，即1(cos ,sin )P x x ，2(2,0)P ，则sin 0cos 2-=-x k x ，即所求函数，问题转化为求k 的取值范围，借助图形，我们可以看到，当直线与单位圆相切时，k分别取到最大值和最小值1tan30=︒=l k，2tan150=︒=l k所以，原函数值域⎡∈⎢⎢⎥⎣⎦y .例7(2)、求函数y【解析】整理函数得，y ，这时观察函数，用一般方法不是很好继续进行，但我们发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以我们可以改造一下函数：=y (,0),(2,2),(2,1)--P x A B ，即||||=+y PA PB通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，当P 处于AB 连线时，||||=+y PA PB 取到最小值：||5==y AB ，所以||||5+≥PA PB ，即函数值域为[5,)∈+∞y .方法八、特殊函数有界性法例8、求函数e 1e 1-=+x x y 的值域 【解析】 注意到函数定义域为R ，可以进行如下转化，用y 表示x ，()e 11+=-x x y e ，e (1)1-=--x y y . 注意1=y 时方程不成立，所以1≠y ，可将1-y 除到等式右边得：1e 1+=-x y y ，因为e 0>x ，即101+>-y y，解得：()1,1∈-y【巩固】1.求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域． 【分析】可将原函数整理成关于x 的方程的形式：(1－y )x 2＋6x ＋1－y ＝0，并且该方程有解，容易判断y ＝1时满足方程有解，而y ≠1时方程为关于x 的一元二次方程，根据方程有解从而得到△≥0，这样可解出y 的范围，从而便可得出原函数的值域．【解答】解：将y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1整理成关于x 的方程,(1－y )x 2＋6x ＋1－y ＝0，该方程有解； （1）若y ＝1，显然上面方程有解；（2）若y ≠1，上面方程为关于x 的一元二次方程，方程有解；∴△＝36－4(1－y )2≥0;解得－2≤y ≤4且y ≠1；综上所述，原函数的值域为[]2(1,4－，1)．法二：当x ＝0时，y ＝1当x ≠0时，2226166=1+=1111x x x y x x x x++=++++ ∵(][)1,22,x x +∈-∞-+∞ ∴[)(]63,00,31x x ∈-+ ∴[)(]612,11,41y x x =+∈-+ 综上，函数的值域为[]2(1,4－，1).2．求函数y ＝e x ＋ 1e x＋2值域． 【分析】由题意化简y ＝e x ＋ 1e x ＋2＝2＋e x ＋ 1e x ＋2－2,从而求函数的值域． 【解答】解：y ＝e x ＋ 1e x ＋2＝2＋e x ＋ 1e x ＋2－2 ∵2＋e x ＞2,且y ＝x ＋ 1x－2在(2，＋∞)上是增函数， 故y ＝2＋e x＋ 1e x ＋2－2＞2＋ 12－2＞ 12; 故函数y ＝e x ＋ 1e x ＋2的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12,＋∞．3．求下列函数的值域(1)y ＝1－x 21＋x 2; (2)y ＝x － 1－2x ; (3)y ＝x ＋ 4x． 【分析】（1）把已知函数解析式变形，利用分离常数法求解；（2）直接利用函数的单调性求得函数值域；（3）分类利用基本不等式求解．【解答】解：(1)y ＝1－x 21＋x 2－ x 2＋1－2x 2＋1＝2x 2＋1－1, ∵x 2＋1≥1,∴0＜1x 2＋1≤1,则－1＜ 2x 2＋1－1≤1, ∴y ＝1－x 21＋x 2的值域为（－1，1]； （2）由1－2x ≥0，得x ≤ 12． ∵函数y ＝x － 1－2x 为增函数，∴其最大值为12,即函数y ＝x － 1－2x 的值域为（－∞， (1)/(2)]； （3）函数y ＝x ＋ 4x的定义域为{x |x ≠0}， 当x ＞0时，y ＝x ＋ 4x ≥2 x ﹒ 4x＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”， 当x ＜0时，y ＝x ＋ 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋ 4－x ≤－2 (－x )﹒ 4－x ＝－4，当且仅当x ＝－2时取“＝”． ∴y ＝x ＋ 4x的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．。