随机过程CH2_update20130929

随机过程
1. 基本概念
1、随机过程0{}()t t X t T ≥∈是一个从T ⨯Ω到R 的映射其中T 是一个时间指标集，如果它是连续的正实数，随机过程0{}()t t X t T ≥∈就是连续时间随机过程，例如布朗运动；如果T
是一个离散时间指标集，随机过程
0{}()t t X t T ≥∈就是一个离散时间随机过程，例如随机游走。

随机过程可表达为：(,)(,)t X t ωω→
固定t ，可得随机过程(,)X t ω在时间t 的分布样本；固定ω，可得随机过程 (,)X t ω的轨迹。

2、研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。

实际研究中常常两种方法并用。

B-S 模型
期权的定价方法
（1）Black —Scholes 公式
（2）二项式定价方法
（3）风险中性定价方法
（4）鞅定价方法等。

例1． (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。

问：抛掷了n 次后，粒子恰走到m 的概率。

事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n ＜|m|时，粒子是不可能走到m 的，而“抛掷了n 次后，粒子恰走到m ”意味着：在n 次走动中，恰好向左走了2mn -步；而向右走了2m n +步．此即n 次抛掷中恰有2m n +次掷得正面；有2mn -次掷得反面．因此，这就需要m 与n 同为奇偶数。

所求概率为n mn nC212+ (当n ≥|m|且m 与n 同为奇偶数时)，否则概率为0。

综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω，F ，P)，它称为概率空间，其中Ω是全体可能结果组成的集合；F 是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P 应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P 是F 上定义的一个取值于[0，1]区间的函数。

同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。

随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。

例1．随机相位正弦波X (t )=Acos(ωt +Θ)，t ∈(－∞，+∞)；Θ～U (0，2π)图1例2．以X (t )表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，{}0≥=t t X X ),(是一随机过程。

例3．独立地连续掷一骰子，设n X 为第n 次独立地掷一骰子所出现的点数，则｛1≥n X n ,｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T ＝｛1，2，3，…｝；状态空间为S ＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l ，3，…｝称为n X 的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，…．且此时n X 有均值为E n X ＝3.5，方差为D(n X )＝17.5，n ＝1，2，…，协方差为Cov(i X ，j X )＝0，i ≠j ．定义1设(Ω，F ，P)是一个概率空间，一族随机变量{}T t t X X ∈=),(称为一个随机过程，其中T 称为指标集，对T 中的每个t ，X (t )是一个随机变量X (t ，ω)，对每个固定的ω，{}T t t X ∈:),(ω是一个定义在T 上，和X (t )有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X 的一条(样本)轨道．对所有固定的t ，X (t )的全体可能的取值，称为X 的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。

随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。

注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。

E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。

2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。

3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。

我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。

3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。

2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。

随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。

在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。

本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。

一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。

在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。

随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。

连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。

二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。

常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。

1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。

2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。

它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。

3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。

布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。

三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用领域。

1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。

通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。

2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。

通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。

随机过程的例子《说说随机过程那些事儿》嘿，大家知道吗，这世界上有个神奇的玩意儿，叫做随机过程。

听起来是不是感觉特别高深莫测？嘿嘿，其实它就在我们日常生活中无处不在呢！比如说，你每天出门遇到的人就是一个随机过程。

你永远不知道今天会碰到那个对你微笑的暖心大叔，还是那个风风火火赶着去上班的着急大哥。

可能你早上一出门，哎呀，碰到个熟人，聊上两句；或者你走在路上，突然一个陌生人跟你问路，这都是随机的呀。

再说说天气，这绝对也是个超级典型的随机过程。

你看看，天气预报有时候还会出错呢！前一天明明说得好好的大晴天，结果第二天一起来，好家伙，这雨下得跟瓢泼似的，让你完全措手不及。

有时候你精心计划好了周末去郊外踏青，结果老天爷就跟你开个玩笑，突然来个狂风暴雨，把你的计划打得稀巴烂。

还有啊，等公交的时候也经常体验到随机过程呢。

眼巴巴地在公交站等啊等，有时候刚到站台车就来了，那叫一个幸运；但有时候呢，等得花儿都谢了，车还不见踪影，让你急得跺脚。

这每一趟车来的时间就是个随机的过程，你永远没法确切地知道下一趟车啥时候来。

我记得有一次我去买彩票，嘿，那可真是把随机过程体现得淋漓尽致。

买之前我就想着，万一我运气爆棚中大奖了呢，那我不就发达啦。

结果呢，开完奖一看，一个号都没中！不过这也是随机过程的魅力呀，它充满了不确定性，有时候会给你惊喜，有时候又会让你失望。

其实生活就是这样，充满了各种各样的随机过程。

有些事情你可以计划，但有些事情真的就是看运气。

就好像抛硬币一样，正面反面你永远不知道会出现哪个。

但也就是这种随机性，让生活变得更有意思。

不要总是抱怨什么事情不按你计划的来，试着去接受这些随机的结果，说不定会有意外的收获呢。

就像有时候你随机走进一家没去过的餐厅，结果发现里面的菜超级好吃，这就是随机带来的小惊喜呀！让我们带着一颗好奇的心，去迎接生活中的各种随机过程吧，谁知道下一个惊喜会在什么时候。

随机过程概率论
随机过程是一个具有随机性质的数学模型，它描述了一个随机变量在时间上的演化规律。

从概率论的角度来看，随机过程可以看作是一组随机变量的集合，这些随机变量描述了某个系统状态在不同时间的状态值。

随机过程的研究对象通常是时间序列，包括离散时间序列和连续时间序列。

在概率论中，随机过程有两种表示方法，一种是时域表示，另一种是频域表示。

时域表示法是指将时间作为自变量，将系统状态的取值作为因变量，来描述随机过程的性质。

常用的时域表示方法有马尔可夫过程、布朗运动等。

频域表示法是指将频率作为自变量，将系统状态的取值作为幅度来描述随机过程的性质。

在频域表示中，随机过程可分析为其频谱组成，即将其分解为各种不同频率的正弦波和余弦波的组合。

在频域分析中，傅里叶变换是一种被广泛使用的数学工具。

随机过程的应用十分广泛，包括通信领域中的编解码、信道建模等，以及金融、天气预报、物理、化学、生物等领域中的数据分析和建模。

随机过程的概念理解先前概念：1、样本点ζ：随机试验每个可能出现的结果。

骰子有6面，分别记为‘A’、‘B’、‘C’、‘D’、‘E’、‘F’。

掷骰子一次，记录结果，则该随机试验的样本点有6个，其中一个比如为“A面朝上”。

2、样本空间Ω：全体样本点的集合。

3、事件：Ω的子集。

“A面或C面朝上”3、事件域 F：Ω所有的子集的集合，即事件的集合。

4、概率 P：姑且可以理解为某个事件发生的可能性。

5、概率空间（Ω，F，P）6、随机变量 X：已知一个概率空间（Ω，F，P），如果对于其样本空间Ω上的每一个样本ζk ，都有一个实数xk = X(ζk) 与它对应。

对应于所有样本ζ∈Ω，则得到定义在Ω上的单值实函数X（ζ）。

若每个实数x的数集{X（ζ）<=>7，二维随机变量：X、Y 为定义在同一个概率空间（Ω，F，P）上的两个随机变量，则称其总体（X、Y）为二维随机变量。

8、数学期望：对随机变量的所有可能值作统计平均，这里所有可能值对应于样本空间内所有样本点所映射的实数值。

随机过程：举例，掷骰子，掷3下，分别在t1、t2、t3 三个时刻记录结果。

“A上”对应于实数1；“B上”对应于实数2；“C上”对应于实数3 ，以此类推。

这就是一个定义在三个时刻上的离散函数，当然可以去定义一个连续的函数。

但是呢，这个函数很奇怪，因为这个函数有多种情况，你可以理解为好多人在和你一起且在同样的三个时刻掷骰子，所以会有不同的函数出现。

而这种情况，其实就对应了随机变量，我们把所有的函数情况的集合叫作样本空间，某一种函数叫作样本点，显然总共有6*6*6个不同的样本点。

但是这个和前面定义的有所不同的是，每个样本点所做的映射不再是一个实数值，而是一个函数，一个随时间变化的函数，也就是我们在原来随机变量的基础上，由一个固定的实数值拓展到一个随时间变化的实数，即函数。

所以此时这就不是一维的随机变量了，而是二维的一个“随机过程”。

如果我们去固定样本，在时间维度去观察这个随机过程。