初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.1圆的概念和性质练习题-普通用卷

冀教版数学九年级上第28章《圆》测试（含答案及解析）时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分1.如下图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，那么ON=()A. 5B. 7C. 9D. 112.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30∘，⊙O的半径为5cm，那么圆心O到弦CD的距离为()cmA. 52B. 3cmC. 3√3cmD. 6cm3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延伸AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，衔接BD，∠GBC=50∘，那么∠DBC的度数为()A. 50∘B. 60∘C. 80∘D. 90∘4.如图，半径OD与弦AB相互垂直，垂足为点C，假定AB=6，CD=2，那么⊙O的半径为()A. 5B. 54C. 134D. 45.如图，AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点D在AC的延伸线上，衔接BD交⊙O于点E，假定∠AOB=3∠ADB，那么()A. DE=EBB. √2DE=EBC. √3DE=DOD. DE=OB6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=2√2，以BC的中点O为圆心⊙O区分与AB，AC相切于D，E两点，那么DE⏜的长为()A. π4B. π2C. πD. 2π7.如图，将半径为2，圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘，点O，B的对应点区分为O′，B′，衔接BB′，那么图中阴影局部的面积是()A. 2π3B. 2√3−π3C. 2√3−2π3D. 4√3−2π38.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，衔接AC、BC，点D是BA延伸线上一点，且AC=AD，假定∠B=30∘，AB=2，那么CD的长是()A. √5B. 2C. 1D. √39.如图，四边形ABCD内接于⊙O，假定四边形ABCO是平行四边形，那么∠ADC的大小为()A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘10.如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延伸线区分相交于点E，F，假定∠A=55∘，∠E=30∘，那么∠F=()A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 55∘二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕11.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，假定∠ABD=62∘，那么∠BCD=______．12.如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点区分为A，B.衔接OA，OB，AB，PO，假定∠APB=60∘，那么△PAB的周长为______．13.圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的正面积等于______(结果保管π)．14.如图，圆周角∠ACB=130∘，那么圆心角∠AOB=______．15.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.假定∠CAD=30∘，那么∠BOD=______ ∘.16.如图，等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC区分交于D、E两点，那么劣弧DE⏜的长为______．17.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45∘，假定点M、N区分是AB、AC的中点，那么MN长的最大值是______．18.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，衔接AC，BC，假定∠AOB=120∘，那么∠ACB=______度.19.如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160∘，那么∠BCD的度数为______．20.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠COD=90∘，那么图中阴影局部的面积为______ ．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕21.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O区分与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)假定AD=5√3，∠CDF=30∘，求⊙O的半径．22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，衔接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延伸线相交于点P．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．23.如图，CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90∘．(Ⅰ)证明：直线AB是⊙O的切线；(Ⅱ)当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，衔接AC、BC，假定∠BAC=30∘，CD=6cm．(1)求∠BCD的度数；(2)求⊙O的直径．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕25.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；(3)假定CD=1，EH=3，求BF及AF长．26.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延伸线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假定AE=6，∠D=30∘，求图中阴影局部的面积．答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. C5. D6. B7. C8. D9. C10. C11. 28∘12. 3√313. 10π14. 100∘15. 12016. π17. 5√2218. 6019. 100∘20. π421. 解：(1)衔接OD，∵BD=CD，OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，那么DF为圆O的切线；(2)∵DF⊥AC，∠CDF=30∘，∴∠C=60∘，∵OD//AC，∴∠ODB=∠C=60∘，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=60∘，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90∘，∴∠BAD=30∘，设BD=x，那么有AB=2x，依据勾股定理得：x2+75=4x2，解得：x=5，∴AB=2x=10，那么圆的半径为5．22. (1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90∘，衔接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90∘，即OD⊥BC，∵PD//BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；(2)证明：∵PD//BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180∘，∠ACD+∠ABD=180∘，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90∘，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=5√2，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC =BDAC，那么PB=DC⋅BDAC =5√2×5√28=254．23. (Ⅰ)证明：衔接OE，CE，OB，∵DC为圆O的直径，∴∠DEC=90∘，即∠CEB+∠AED=90∘，∴2∠AED+∠2∠CEB=180∘，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90∘，∴∠A+∠ABC=90∘，∵∠A+2∠AED=90∘，∴∠ABC=2∠AED，∴∠ABC+2∠CEB=180∘，∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180∘，∴∠CEB=∠ECB，∴BC=BE，在△OEB和△OCB中{BE=BC OE=OC OB=OB，∴△OEB≌△OCB，∴∠OEB=∠ACB=90∘，即OE⊥AB，∴AB是⊙O切线．(Ⅱ)解：∵BE=BC=1，AB=2+1=3，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC=√32−12=2√2，∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90∘，∴△AEO∽△ACB，∴OEBC =AEAC，∴OEBC =2√2=√22，∴tan∠OBC=OCBC =OEBC=√22．24. 解：(1)∵直径AB⊥CD，∴B^C=B^D，∴∠DCB=∠CAB=30度；(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm，在Rt△ACE中，∠A=30∘，∴AC=6cm，∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AB=ACcos∠A =6cos30∘=4√3(cm)．25. 证明：(1)如图，衔接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90∘，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE//BC，∴∠AEO=∠C=90∘，∴AC是⊙O的切线；(2)如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180∘，∠HFE+∠BDE=180∘，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=90∘EC=EH，∴△CDE≌△HFE(AAS)，∴CD=HF．(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF=√32+12=√10，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90∘，∴∠EHF=∠BEF=90∘，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴EFBF =HFEF，即√10BF=1√10，∴BF=10，∴OE=12BF=5，OH=5−1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=45，∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA =45，∴5OA =45，∴OA=254，∴AF=254−5=54．26. (1)证明：衔接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90∘，∴∠OCD=90∘，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30∘，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30∘，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30∘，∠OCD=90∘，∴∠DOC=60∘，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影局部的面积为8√3−8π3．【解析】1. 解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90∘，AB=24，∴AN =12，∴ON =√OA 2−AN 2=√132−122=5， 应选A ．依据⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，可以求得AN 的长，从而可以求得ON 的长．此题考察垂径定理，解题的关键是明白垂径定理的内容，应用垂径定了解答效果． 2. 解：衔接CB ．∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴圆心O 到弦CD 的距离为OE ；∵∠COB =2∠CDB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠CDB =30∘， ∴∠COB =60∘； 在Rt △OCE 中，OC =5cm ，OE =OC ⋅cos∠COB ， ∴OE =52cm ．应选A ．依据垂径定理知圆心O 到弦CD 的距离为OE ；由圆周角定理知∠COB =2∠CDB =60∘，半径OC 的长，即可在Rt △OCE 中求OE 的长度．此题考察了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合运用.解答这类题一些先生不会综合运用所学知识解答效果，不知从何处入手形成错解． 3. 解：如图，∵A 、B 、D 、C 四点共圆， ∴∠GBC =∠ADC =50∘， ∵AE ⊥CD ， ∴∠AED =90∘，∴∠EAD =90∘−50∘=40∘， 延伸AE 交⊙O 于点M ， ∵AO ⊥CD ，∴CM ⏜=DM⏜， ∴∠DBC =2∠EAD =80∘． 应选：C ．依据四点共圆的性质得：∠GBC =∠ADC =50∘，由垂径定理得：CM ⏜=DM⏜，那么∠DBC =2∠EAD =80∘．此题考察了四点共圆的性质：圆内接四边形的恣意一个外角等于它的内对角，还考察了垂径定理的运用，属于基础题．4. 解：连结OA ，如图，设⊙O 的半径为r ， ∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =8，在Rt △OAC 中，∵OA =r ，OC =OD −CD =r −2，AC =3， ∴(r −2)2+32=r 2，解得r =134．应选C ．连结OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，依据垂径定理失掉AC =BC =12AB =3，再在Rt △OAC 中应用勾股定理失掉(r −2)2+32=r 2，然后解方程求出r 即可．此题考察了的是垂径定理，依据题意作出辅佐线，结构出直角三角形，应用勾股定理求解是解答此题的关键．5. 解：衔接EO．∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，∴∠B+∠D=3∠D，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，∴∠DOE=∠D，∴ED=EO=OB，应选D．衔接EO，只需证明∠D=∠EOD即可处置效果．此题考察圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅佐线，应用等腰三角形的判定方法处置效果，属于中考常考题型．6. 解：衔接OE、OD，设半径为r，∵⊙O区分与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=12AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45∘，∵BC=2√2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE⏜=90π×1 180=π2应选：B．衔接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45∘，从而可知半径r的值，最后应用弧长公式即可求出答案．此题考察切线的性质，解题的关键是衔接OE、OD后应用中位线的性质求出半径r的值，此题属于中等题型．7. 解：衔接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘，∴∠OAO′=60∘，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60∘，OO′=OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB=120∘，∴∠O′OB=60∘，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120∘，∵∠AO′B′=120∘，∴∠B′O′B=120∘，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30∘，∴图中阴影局部的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB −S△OO′B)=12×1×2√3−(60⋅π×22360−1 2×2×√3)=2√3−2π3．应选：C．衔接OO′，BO′，依据旋转的性质失掉∠OAO′=60∘，推出△OAO′是等边三角形，失掉∠AOO′=60∘，推出△OO′B是等边三角形，失掉∠AO′B=120∘，失掉∠O′B′B=∠O′BB′= 30∘，依据图形的面积公式即可失掉结论．此题考察了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅佐线是解题的关键．8. 解：衔接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘．∵∠B=30∘，∴∠BAC=60∘．∵AC=AD，∴∠D=∠ACD=30∘．∵OC=OB，∠B=30∘，∴∠DOC=60∘，∴∠OCD=90∘．∵AB=2，∴OC=1，∴CD=OCtan30∘=√33=√3．应选D．衔接OC，先依据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90∘，再由∠B=30∘得出∠BAC=60∘，依据AC=AD可知∠D=∠ACD，由三角形外角的性质得出∠D=∠ACD=30∘，再由OC= OB，∠B=30∘得出∠DOC=60∘，故可得出∠OCD=90∘，再由AB=2可知OC=1，依据锐角三角函数的定义即可得出结论．此题考察的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．9. 解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC=∠AOC；∵∠ADC=12β，∠ADC=α；而α+β=180∘，∴{α+β=180∘α=12β，解得：β=120∘，α=60∘，∠ADC=60∘，应选：C．设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得{α+β=180∘α=12β，求出β即可处置效果．该题主要考察了圆周角定理及其运用效果；应结实掌握该定理并能灵敏运用．10. 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCF=∠A=55∘，∵∠CBF是△ABE的一个外角，∴∠CBF=∠A+∠E=85∘，∴∠F=180∘−∠BCF−∠CBF=40∘，应选：C．依据圆内接四边形的性质求出∠BCF，依据三角形的外角的性质求出∠CBF，依据三角形内角和定理计算即可．此题考察的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的恣意一个外角等于它的内对角是解题的关键．11. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵∠ABD=62∘，∴∠A=90∘−∠ABD=28∘，∴∠BCD=∠A=28∘．故答案为28∘．依据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB=90∘，再应用互余计算出∠A= 90∘−∠ABD=28∘，然后再依据圆周角定理求∠BCD的度数．此题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．12. 解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60∘，∴∠APO=30∘，△PAB是等边三角形，∴PA=√3AO=√3，∴△PAB的周长=3√3．故答案为：3√3．依据切线的性质失掉OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，依据直角三角形的性质失掉PA=√3AO=√3，于是失掉结论．此题考察了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13. 解：依据圆锥的正面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．依据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接应用圆锥的正面积公式求出它的正面积．此题主要考察了圆锥正面积公式.掌握圆锥正面积公式：S侧=πrl是处置效果的关键．14. 解：∵2∠ACB=260∘，∴∠AOB=360∘−260∘=100∘．故答案为100∘．依据圆周角定理即可得出结论．此题考察了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．15. 解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90∘，∵∠CAD=30∘，∴∠OAD=60∘，∴∠BOD=2∠BAD=120∘，故答案为：120．依据切线的性质求出∠BAC=90∘，求出∠OAD=60∘，依据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．此题考察了切线的性质和圆周角定理，能依据定理得出∠BAC=90∘和∠BOD=2∠BAD 是解此题的关键．16. 解：衔接OD、OE，如下图：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60∘，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60∘，∴∠DOE=60∘，∵OA=12AB=3，∴DE⏜的长=60π×3180=π；故答案为：π．衔接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60∘，求出∠DOE=60∘，再由弧长公式即可得出答案．此题考察了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是处置效果的关键．17. 解：如图，∵点M，N区分是AB，AC的中点，∴MN=12BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，衔接BO并延伸交⊙O于点C′，衔接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90∘．∵∠ACB=45∘，AB=5，∴∠AC′B=45∘，∴BC′=ABsin45∘=√22=5√2，∴MN最大=5√22．故答案为：5√22．依据中位线定理失掉MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．此题考察了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时分MN的值最大，难度不大．18. 解：∵∠AOB=120∘，∴∠ACB=120∘×12=60∘，故答案为：60．依据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考察了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．19. 解：∵∠BOD=160∘，∴∠BAD=12∠BOD=80∘，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘，故答案为：100∘．依据圆周角定理求出∠BAD，依据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180∘，即可求出答案．此题考察了圆内接四边形的性质，处置此题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180∘．20. 解：∵弦CD//AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=∠COD360⋅π⋅(AB2)2=90∘360×π×(22)2=π4．故答案为：π4．由CD//AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，依据扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD.此题属于基础题，难度不大，处置该题型标题时，经过火割图形找出面积之间的关系是关键．21. (1)衔接OD，由BD=CD，OB=OA，失掉OD为三角形ABC的中位线，失掉OD 与AC平行，依据DF垂直于AC，失掉DF垂直于OD，即可得证；(2)由直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，应用两直线平行同位角相等求出∠ODB的度数，再由OB=OD，应用等边对等角求出∠B的度数，设BD=x，应用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解失掉x的值，即可确定出圆的半径．此题考察了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解此题的关键．22. (1)由直径所对的圆周角为直角失掉∠BAC为直角，再由AD为角平分线，失掉一对角相等，依据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直失掉OD与PD垂直，即可得证；(2)由PD与BC平行，失掉一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换失掉∠P=∠ACD，依据同角的补角相等失掉一对角相等，应用两对角相等的三角形相似即可得证；(3)由三角形ABC为直角三角形，应用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，失掉DB=DC，依据(2)的相似，得比例，求出所求即可．此题考察了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解此题的关键．23. (I)衔接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90∘，依据切线的判定推出即可；(II)证△AEO∽△ACB，推出OEBC =AEAC，求出OEBC=√22，解直角三角形求出即可．此题考察了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的运用，主要考察先生综合运用性质停止推理和计算的才干．24. (1)由垂径定理知，B^C=B^D，∴∠DCB=∠CAB=30∘；CD=3，AB是直径，∴∠ACB=90∘，(2)由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=12再求出AC的长，应用∠A的余弦即可求解．此题应用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．25. (1)衔接OE，由于BE是角平分线，那么有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么应用内错角相等，两直线平行，可得OE//BC；又∠C=90∘，所以∠AEO=90∘，即AC是⊙O的切线；(2)连结DE，先依据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．(3)先证得△EHF∽△BEF，依据相似三角形的性质求得BF=10，进而依据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．此题主要考察了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等.要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，衔接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．26. (1)衔接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而失掉OC//AE，于是失掉OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)区分求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，应用S阴影=S△COD−S扇形OBC即可失掉答案．此题主要考察了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度普通．。

冀教新版九年级上学期《28.1 圆的概念及性质》同步练习卷一．选择题（共31小题）1．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列说法错误的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧4．下列说法中，错误的是（）A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆C．过圆心的线段是直径D．直径是弦5．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm6．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦7．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆8．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2B．3C．4D．以上均不正确10．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧11．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．512．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B 13．若圆的半径为R，圆的面积为S，则S与R之间的关系式为（）A．S＝2πR B．S＝πR2C．S＝4πR2D．S＝14．下列说法错误的是（）A．圆上的点到圆心的距离相等B．过圆心的线段是直径C．直径是圆中最长的弦D．半径相等的圆是等圆15．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．半径是弦D．弧是半圆17．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短18．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB 于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10°B．15°C．20°D．25°20．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．长度相等的两条弧是等弧21．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π22．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆23．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°24．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1B．2C．3D．425．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等26．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多B．篮球多C．一样多D．不能确定27．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等28．一个圆半径是R，圆周率π，周长C是（）A．S＝πR B．S＝πR2C．C＝2πR D．C＝2πR2 29．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径30．已知，在同圆中有两条互相平分的弦，那么下列结论中正确的是（）A．这两条弦都是直径B．这两条弦最多有一条是直径C．这两条弦都不是直径D．这两条弦至少有一条是直径31．下列语句中，不正确的有（）①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③C．②D．②④二．填空题（共8小题）32．点A、B在⊙O上，若∠AOB＝40°，则∠OAB＝．33．线段AB＝10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．34．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．35．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为．36．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）37．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是．38．到点O的距离等于8的点的集合是．39．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为°．三．解答题（共1小题）40．已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．冀教新版九年级上学期《28.1 圆的概念及性质》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弧的分类、圆的性质对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①直径是最长的弦，故本小题正确；②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题正确；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆的认识，熟知圆周角定理、等弧的概念以及弦的定义．注意熟记定理与公式是关键．2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．【点评】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．3．下列说法错误的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【分析】利用等弧的定义、等圆的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；B、直径是圆中最长的弦，正确；C、面积相等的两个圆是等圆，正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：A．【点评】本题考查了圆的认识的知识，了解圆的有关定义是解答本题的关键，难度不大．4．下列说法中，错误的是（）A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆C．过圆心的线段是直径D．直径是弦【分析】根据圆的有关概念进行判断．【解答】解：A、半圆是弧，所以A选项的说法正确；B、半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；C、过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；D、直径是弦，所以D选项的说法正确．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．5．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm【分析】根据圆的认识进行解答即可．【解答】解：∵AB＝2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．【点评】此题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．6．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选：D．【点评】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型．7．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；B、半圆是弧，正确；C、过圆心的弦是直径，故错误；D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．8．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据各小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误；在一个三角形中至少有一个角不大于60°，故③正确；过圆内一点可以画无数条弦，故④正确；矩形的四个角都相等，都等于90°，而矩形不是正四边形，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是明确题意，正确的命题说出根据，错误的命题说出错误的原因或者举出反例．9．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2B．3C．4D．以上均不正确【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识．连接圆上任意两点的线段叫弦，理解弦的定义是解决本题的关键．10．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．11．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．12．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B【分析】设相同的面积为未知数，进而判断出相应的周长，比较即可．【解答】解：设面积是S．则正方形的边长是，则周长L A＝4＝＝4；长方形的一边长x，则另一边长为，则周长L B＝2（x+），∵（x+）2≥0∴x+≥2，∴L B≥4，即L B≥；圆的半径为，L C＝2π×＝，∵＜，∴L C＜L A＜L B．故选：D．【点评】考查圆的认识的相关知识；应用（a+b）2≥0这个知识点进行解答是解决本题的难点．13．若圆的半径为R，圆的面积为S，则S与R之间的关系式为（）A．S＝2πR B．S＝πR2C．S＝4πR2D．S＝【分析】直接利用圆的面积公式求解．【解答】解：S＝πR2．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．14．下列说法错误的是（）A．圆上的点到圆心的距离相等B．过圆心的线段是直径C．直径是圆中最长的弦D．半径相等的圆是等圆【分析】根据圆、直径、弦、等圆的定义即可一一判断．【解答】解：A、正确．圆上的点到圆心的距离相等；B、错误．过圆心的线段不一定是直径；C、正确．直径是圆中最长的弦；D、正确．半径相等的圆是等圆；故选：B．【点评】本题考查圆的认识、直径、弦、等圆的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．【解答】解：（1）长度相等的弧是等弧，错误；（2）半径相等的圆是等圆，正确；（3）等弧能够重合，正确；（4）半径是圆中最长的弦，错误；【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．16．下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．半径是弦D．弧是半圆【分析】根据弧、弦的定义一一判断即可．【解答】解：A、错误．长度相等的两条弧不一定是等弧；B、正确．C、错误．半径不是弦；D、错误．半圆是弧，弧不一定是半圆；故选：B．【点评】本题考查整式的化简求值、去括号法则、合并同类项法则等知识，解题的关键是熟练掌握整式是加减法则，属于中考常考题型．17．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短【分析】根据圆的有关概念根据圆周角定理及其推论进行逐一分析判断．【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；B、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理，等弧、等圆以及优弧、劣弧的定义．注意掌握各定理定义的前提条件：在同圆或等圆中是解此题的关键．18．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等弧的定义，直径、弦的定义、等圆进行分析，解答即可．【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；故选：B．【点评】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握等弧的定义、直径的定义，圆的面积计算公式．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB 于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，∵CD＝CB，∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．20．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．长度相等的两条弧是等弧【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；D、长度相等的两条弧是等弧，错误，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了圆的认识的知识，能够了解圆的有关的定义是解答本题的关键，难度不大．21．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，即π×52﹣π×32＝16π，故选：C．【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．22．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．【点评】本题考查圆的认识，学习中要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．23．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝50°，∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．24．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．25．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．26．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多B．篮球多C．一样多D．不能确定【分析】首先假设出两圆形那个的半径，再都增加1m，然后表示出增加后的周长，即可比较出增加与否．【解答】解：根据圆的周长公式为：2πr，假设地球的半径为R，篮球的半径为r，地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长将变为：2π（R+1）和2π（r+1），即：2π（R+1）＝2πR+2π，2π（r+1）＝2πr+2π，∴周长都增加了：2π．故选：C．【点评】此题主要考查了圆的面积公式的变形，直接表示出两圆形的周长是解决问题的关键．27．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等【分析】根据圆的有关概念根据圆周角定理及其推论进行逐一分析判断．【解答】解：A、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误；B、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；C、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；D、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，等弧、等圆以及优弧、劣弧的定义．注意掌握各定理定义的前提条件：在同圆或等圆中是解此题的关键．28．一个圆半径是R，圆周率π，周长C是（）A．S＝πR B．S＝πR2C．C＝2πR D．C＝2πR2【分析】根据圆周长的计算公式可得：【解答】解：根据圆周长的计算公式可得：C＝2πR；故选：C．【点评】本题考查圆的认识，圆的周长公式等知识，解题的关键是记住圆的周长公式．29．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径【分析】依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择．【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．故选：B．【点评】考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念．30．已知，在同圆中有两条互相平分的弦，那么下列结论中正确的是（）A．这两条弦都是直径B．这两条弦最多有一条是直径C．这两条弦都不是直径D．这两条弦至少有一条是直径【分析】利用圆的直径的定义和垂径定理可对各选项进行判断．【解答】解：在同圆中有两条互相平分的弦，则两弦有两条直径．故选：A．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理．31．下列语句中，不正确的有（）①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③C．②D．②④【分析】根据直径、弧以及等弧的定义即可作出判断．【解答】解：①直径是弦，正确；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，命题错误；③经过圆内一定点可以作无数条弦，正确；④等弧是能重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧．故选：D．【点评】本题考查了直径、弧以及等弧的定义，理解定义是关键．二．填空题（共8小题）32．点A、B在⊙O上，若∠AOB＝40°，则∠OAB＝70°．【分析】由∠AOB＝40°，OA＝OB知∠OAB＝∠OBA＝，代入计算可得．【解答】解：如图，∵∠AOB＝40°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝70°，故答案为：70°．【点评】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的所有半径都相等及等腰三角形的性质．33．线段AB＝10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有2个．【分析】以A为圆心，5cm长为半径作圆，与以AB为直径的圆交于2点，依此即可求解．【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了圆的认识，关键是熟悉圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合的知识点．34．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．。

九年级数学冀教版上册圆的基本概念与性质综合测试(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝120°，则∠M等于()A．30°B．60°C．90°D．120°2．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是() A．15°B．25°C．30°D．75°3．在半径为8cm的圆中有一条弧的长为4πcm，则这条弧所对的圆心角为() A．30°B．45°C．60°D．90°4．一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为5cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为()A．15πcm2B．30πcm2C．18πcm2D．12πcm25．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D＝()A．25°B．35°C．55°D．70°6．如图，已知AB，CD是⊙O的弦，且AB＝CD，∠AOB＝70°，则∠CED的度数为() A．70°B．60°C．45°D．35°7．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是()A．∠1＞∠2＞∠3B．∠3＞∠1＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1D．∠2＞∠1＞∠38．如图，O为锐角△ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列说法正确的是()A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D．O不是△AEB的外心，O 不是△AED的外心9．如图，⊙M经过点A(－3，5)，B(1，5)，C(4，2)，则圆心M的坐标是() A．(－1，－1)B．(1，0)C．(0，0)D．(－1，0)10．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，已知⊙O的半径为4，则折痕AB的长为()A．43B．8C．23D．411．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E.若∠AOB＝3∠ADB，则()A．DE＝EB B.2DE＝EB C.3DE＝DO D．DE＝OB12．如图，AB 为⊙C 的直径，四边形ABMO 内接于⊙C，∠BMO＝120°，OA＝4，则⊙C 的半径为()A．23B．4C．32D．4213．如图，直角三角形ABC 有一外接圆，其中∠B＝90°，AB＞BC，今欲在BC ︵上找一点P，使得BP ︵＝CP ︵，以下是甲、乙两人的作法：甲：(1)取AB 中点D；(2)过D 作直线AC 的平行线，交BC ︵于P，则P 即为所求．乙：(1)取AC 中点E；(2)过E 作直线AB 的平行线，交BC ︵于P，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确14．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为()A.13B．22C.24D.22315．如图，点A，B，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交⊙O 于点F，则∠BAF 等于()A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，四边形EFGB 也是正方形，以B 为圆心，BA 长为半径画AC ︵，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为()A．2πB．3πC．4πD.92π二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，且四边形OABC 是菱形．若点D 是圆上异于A，B，C 的另一点，则∠ADC 的度数是．18．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为8cm，母线OF 长为8cm，在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.19．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB＝90°，点C 是AB ︵上的一个动点(不与A，B 重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则∠DOE 的度数为，DE 的长度为．三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A，分别交BC，AD 于E，F 两点，交BA 的延长线于G，判断EF ︵和FG ︵是否相等，并说明理由．21．(本小题满分9分)如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC 绕B 点顺时针旋转而得，点A，B，C′在同一条直线上，在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，BC＝2，∠A＝30°，求斜边AB 旋转到A′B 所扫过的扇形面积.22.(本小题满分9分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，M 为AD ︵中点，连接BM，CM.(1)求证：BM＝CM；(2)∠BMC 的度数为，∠MCB 的度数为；(3)当⊙O 的半径为2时，BM ︵的长为．23．(本小题满分9分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆的中点，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC＝4，AD＝45，求AE 的长．24．(本小题满分10分)如图，有一直径是2米的圆形铁皮⊙O，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC.(1)求AB的长；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．25．(本小题满分10分)AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为F，直线BF交直线CD于点H.(1)如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠HBC；(2)如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AH，求证：EC＝EH.26．(本小题满分11分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，B(0，6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C，O，D 按逆时针方向排列)，连接AB.(1)当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；(2)连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值；(3)连接AD，当OC∥AD 时，求出点C 的坐标．答案一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678910111213141516答案ACDABDCBDADBDCBC二、填空题17．60°或120°．18．10cm.19．45°2．三、解答题20．解：EF ︵＝FG ︵.理由：连接AE.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB.∴∠GAF＝∠FAE.∴EF ︵＝FG ︵.21．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠ABC＝∠A′BC′＝60°，AB＝4.∵点A，B，C′在同一条直线上，∴∠A′BC＝60°.∴∠ABA′＝120°.∴斜边AB 旋转到A′B 所扫过的扇形面积为120π×42360＝16π3.22.(1)求证：BM＝CM；(2)∠BMC 的度数为45°，∠MCB 的度数为67.5°；(3)当⊙O 的半径为2时，BM ︵的长为32π．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝CD.∴AB ︵＝CD ︵.∵M 为AD ︵中点，∴AM ︵＝DM ︵.∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵，即BM ︵＝CM ︵.∴BM＝CM.23．解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠D＝∠C＝90°.∵AC ︵＝BC ︵，∴BC＝AC＝4.∵∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE.∴AE BE ＝AD BC ，即AE BE ＝454＝15.设AE＝x，则BE＝5x，CE＝4－x.在Rt△BCE 中，由勾股定理，得(4－x)2＋42＝(5x)2，解得x 1＝－43(舍去)，x 2＝1，∴AE＝1.24．解：(1)连接BC，∵∠BAC＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC＝2米．∴AB＝22BC＝1米．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米，根据题意，得2πr＝90π×1180，解得r＝14.∴所得圆锥的底面圆的半径为14米．25．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°.∵∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠D＝∠EBC.∵HF⊥AD，AE⊥DH，∴∠H＋∠D＝90°，∠H＋∠HBE＝90°.∴∠HBE＝∠D.∴∠HBE＝∠EBC，即BE 平分∠HBC.(2)连接CB.∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠ABC＋∠BCD＝90°，∠ABH＋∠BAD＝90°.∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABH.∵AB⊥CD，∴∠CEB＝∠HEB＝90°.在△BCE 和△BHE 中，∠ABC＝∠ABH，BE＝BE，∠BEC＝∠BEH，∴△BCE≌△BHE(ASA)．∴EC＝EH.26．(1)当OC∥AB 时，∠BOC 的度数为；(2)连接AC，BC，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值；(3)连接AD，当OC∥AD 时，求出点C 的坐标．解：(1)提示：∵A(6，0)，B(0，6)，∴OA＝OB＝6.∴△OAB 为等腰直角三角形．∴∠OBA＝45°.∵OC∥AB，∴当C 点在y 轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C 点在y 轴右侧时，∠BOC＝180°－∠OBA＝135°.图1(2)∵△OAB 为等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝6 2.当点C 到AB 的距离最大时，△ABC 的面积最大，过O 点作OE⊥AB 于E，EO 的延长线交⊙O 于C，如图1，此时C 点到AB 的距离最大，为CE 的长．∴OE＝12AB＝3 2.∴CE＝OC＋OE＝3＋3 2.图2∴S △ABC ＝12CE·AB＝12×(3＋32)×62＝92＋18.∴当点C 在⊙O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC 的面积最大，最大值为92＋18.(3)①如图2，过C 点作CF⊥x 轴于F.∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，∠ADO＝∠COD＝90°.∴∠ADO＝∠CFO＝90°.∴△OCF∽△AOD.∴CF OD ＝OC OA ，即CF 3＝36，解得CF＝32.图3在Rt△OCF 中，OF＝OC 2－CF 2＝332，∴C 点坐标为(－332，32)．②如图3，同理可得C 点的坐标为(332，32)．综上可得，点C 的坐标为(－332，32)或(332，32)．。

章节测试题1.【答题】下列说法错误的是（）A. 圆有无数条直径B. 连接圆上任意两点之间的线段叫做弦C. 过圆心的线段是直径D. 能够完全重合的圆叫做等圆【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，所以选项C错误，选C.2.【答题】用12.56分米长的铁丝围成下面图形，（）面积最大。

A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形【答案】C【分析】算出各图形的面积比较即可解答即可.【解答】在周长一定的情况下，所围成的平面图形的面积从大到小依次是圆、正方形、长方形、三角形，即越接近圆面积越大．选C.3.【答题】下列说法中，不正确的是（）A. 过圆心的弦是圆的直径B. 等弧的长度一定相等C. 周长相等的两个圆是等圆D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧【答案】D【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，说法正确；B、等弧的长度一定相等，说法正确；C、周长相等的两个圆是等圆，说法正确；D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；选D.4.【答题】下列命题中正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，选A.5.【答题】半径为5的圆的一条弦长不可能是( )A. 3B. 5C. 10D. 12【答案】D【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度.选D.6.【答题】在以下所给的命题中，正确的个数为（）①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，故④正确；长度相等的两条弧不一定能够重合，故⑤错误．选C.7.【答题】下列说法，正确的是( )A. 半径相等的两个圆大小相等B. 长度相等的两条弧是等弧C. 直径不一定是圆中最长的弦D. 圆上两点之间的部分叫做弦【答案】A【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】A选项中，根据“半径确定圆的大小”分析可知，A正确；B选项中，根据“等弧的概念”分析可知：长度相等的两条弧不一定能够重合，故B 错误；C选项中，根据“三角形的两边之和大于第三边”，可以证明直径是圆中最长的弦，故C错误；D选项中，因为“圆上任意两点间的部分叫弧”，故D错误．选A.8.【答题】把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据圆的面积公式解答即可.【解答】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积，∴ .选D.9.【答题】⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为( )A. a>bB. a≥bC. a<b【答案】B【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】∵直径是圆中最长的弦，∴.选B.10.【答题】在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合．由此说明( )A. 圆的直径互相平分B. 过圆心的线段是直径C. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴【答案】D【分析】本题考查了圆的对称性。

第二十八章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)A．两点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．根据下列条件，可以确定圆的是( )A．已知圆心B．已知半径长C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径长3．如图，在⊙O中，弦的条数是( )A．2 B．3C．4 D．以上均不正确4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是( ) A．24° B．28° C．33° D．48°5．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )A．1 B. 2 C. 3 D．26．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．4 C．10 D．57．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为( )A．4 B．5 C．8 D．108．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，∠ABC ＝90°，AD ＝3，CD ＝2，则⊙O 的直径的长是( )A. 5 B ．4 C.11 D.139．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC ，BD.下列结论中不一定正确的是( ) A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°10．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB的长为( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 211．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B 转过的路径长为( )A.π3B.3π3C.2π3D ．π12．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是( ) A ．25 π B ．65 π C ．90 π D ．130 π13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝( )A．5 B．6C．7 D．814．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( ) A ．2 cm B. 3 cm C ．2 3 cm D ．2 5 cm15．如图，如果从半径为9 cm 的圆形纸片中剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( ) A ．6 cm B ．3 5 cm C ．8 cm D ．5 3 cm16．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( ) A.412 B.342C ．4D ．3二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是________．18．如图，AD为⊙O的直径，AD＝6 cm，∠DAC＝∠ABC，则AC＝________．19．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是(1，3)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为________．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E 在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．21．已知扇形的半径R＝30 cm，面积S＝300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥(无底，忽略接头部分)，则这个圆锥的高是多少？22．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.23．如图所示，在⊙O 中，AD ︵＝AC ︵，弦CD 与弦AB 交于点F ，连接BC. (1)求证：AC 2＝AB·AF；(2)若⊙O 的半径为2cm ，∠ABC ＝60°，求图中阴影部分的面积．24．如图，一座拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB ＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米． (1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱形公路桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4 5，cosC ＝55. (1)动手操作：利用尺规作以AC 为直径的⊙O ，并标出⊙O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)综合应用：在你所作的图中， ①求证：DE ︵＝CE ︵； ②求点D 到BC 的距离．26．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径长为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ，连接AP.(1)当∠B ＝30°时，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； (2)若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；(3)若tan ∠BPD ＝13，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数表达式．答案一、1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D 7．C 8.D 9.C 10.D 11.B 12.C 13．B 14.C15．B ：∵留下的扇形的弧长为23×2π×9＝12π(cm)．∴围成圆锥的底面圆半径r ＝12π2π＝6(cm)．又∵圆锥母线长l ＝9 cm ，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝92－62＝3 5(cm)． 16．D ：∵∠BAC ＋∠EAD ＝180°，∴可将△ABC 绕点A 旋转，让AC 和AD 重合，则AB 和AE 在一条直线上，如图所示． ∵BE 为直径， ∴∠BDE ＝90°.作AF ⊥DE ，垂足为F ，AG ⊥BD ，垂足为G ，则四边形AFDG 为矩形， ∴AG ＝DF ＝12DE ＝3.∴弦BC 的弦心距等于3.二、17.100° 18.3 2 cm19.π2 ：过O′作O′M⊥OA 于M ，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是(1，3)， ∴O′M＝3，OM ＝1. ∵AO ＝2， ∴AM ＝2－1＝1.∴tan ∠O′AM＝31＝ 3.∴∠O′AM＝60°.即旋转角为60°. ∴∠CAC′＝∠OAO ′＝60°.∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向转到△O′AC′， ∴S △OAC ＝S △O′AC′.∴阴影部分的面积S ＝S 扇形OAO′＋S △O′AC ′－S △OAC －S 扇形CAC′＝S 扇形OAO′－S 扇形CAC′＝60π×22360－60π×12360＝π2.三、20.解：(1)∵OD ⊥AB ，∴AD ︵＝DB ︵. ∴∠DEB ＝12∠AOD ＝26°.(2)在Rt △AOC 中，OC ＝3，OA ＝5，由勾股定理得AC ＝4.∵OD ⊥AB ， ∴AB ＝2AC ＝8.21．解：(1)∵扇形的半径R ＝30 cm ，面积S ＝300π cm2，∴扇形的弧长l ＝2S R ＝600π30＝20π (cm)．(2)设圆锥的底面圆半径为r cm ，根据题意，得2πr＝20π， ∴r ＝10.∴圆锥的高为302－102＝202(cm)． 22．证明：连接BM. ∵AP ⊥BC 于P ， ∴∠CAP ＝90°－∠C. ∵AM 为⊙O 的直径， ∴∠ABM ＝90°， ∴∠BAM ＝90°－∠M. 又∵∠M ＝∠C ， ∴∠BAM ＝∠CAP.23．(1)证明：∵AD ︵＝AC ︵， ∴∠ACD ＝∠B. 又∵∠BAC ＝∠CAF ， ∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AFAC，即AC 2＝AB·AF. (2)解：如图所示，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥AC ，垂足为点E. ∵∠ABC ＝60°， ∴∠AOC ＝120°.又∵OA ＝OC ，OE ⊥AC ， ∴∠AOE ＝∠COE ＝60°， ∴∠OAE ＝30°.∵在Rt △AOE 中，OA ＝2cm ， ∴OE ＝1cm ，∴AE ＝OA 2－OE 2＝3cm ， ∴AC ＝2AE ＝23cm ，∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △OAC ＝120π·22360－12×23×1＝4π3－3(cm 2)．24．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心． 过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ， 则CF ＝20米．由垂径定理知，F 是AB 的中点， ∴AF ＝FB ＝12AB ＝40米．设圆的半径是r 米，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF)2， 即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50.∴桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，设MN ＝60米，MN ∥AB ， 连接EM ，设EC 与MN 的交点为D. ∵EF ⊥AB ， ∴EF ⊥MN. ∴MD ＝30米．∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(米)． ∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(米)， ∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(米)． ∵10米>9米，∴这艘轮船能顺利通过． 25．(1)解：如图①所示． (2)①证明：如图②，连接AE. ∵AC 为直径，∴∠AEC ＝90°. 又∵AB ＝AC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴DE ︵＝CE ︵.②解：如图②，连接CD ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. ∵AB ＝AC ＝4 5，cos ∠ACB ＝55， ∴CE ＝AC·cos ∠ACB ＝4. ∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ， ∴BC ＝2CE ＝8，AE ＝AC 2－CE 2＝（4 5）2－42＝8. ∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB·CD.又∠AEC ＝90°，∴S △ABC ＝12AE·BC，∴12AB·CD＝12AE·BC. 可得CD ＝16 55，∴AD ＝AC 2－CD 2＝12 55，∴BD ＝AB －AD ＝8 55.∵S △DBC ＝12BD·CD，S △DBC ＝12DF·BC，∴BD·CD＝DF·BC， 可得DF ＝165， ∴点D 到BC 的距离为165. 26．解：(1)∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝60°.又AD ＝AE ，∴∠AED ＝60°＝∠PEC ，∴∠EPC ＝30°＝∠B ，∴△BPD 为等腰三角形．又∵△AEP 与△BDP 相似，∴∠B ＝∠BPD ＝∠EAP ＝∠APE ＝30°，∴EP ＝AE ＝1，∴CE ＝12PE ＝12×1＝12. (2)过A 作AF ⊥DE 交BC 于F ，过F 作FM ⊥AB 于M(如图所示)．易知∠FAC ＝∠BPD ，∵AF ⊥DE ，AD ＝AE ，∴∠FAC ＝∠FAM ，∵FM ⊥AB ，FC ⊥AC ，∴FM ＝FC ，∴Rt △AFM ≌Rt △AFC ，∴AC ＝AM.在Rt △ABC 中，设BC ＝BD ＝m ，则AB ＝m ＋1，AC ＝CE ＋AE ＝2＋1＝3，由AC 2＋BC 2＝AB 2，解得m ＝4.∴AB ＝5.又AM ＝3，∴BM ＝2.又tan B ＝AC BC ＝34，tan B ＝MF BM ＝MF 2，∴MF 2＝34，∴MF ＝FC ＝32，∴tan ∠FAC ＝FC AC ＝32 3 ＝12，即tan ∠BPD ＝12.(3)∵CE ＝x ，AE ＝1，∴AC ＝x ＋1.∵∠FAC ＝∠FAB ＝∠BPD ，又tan ∠BPD ＝13， ∴tan ∠CAF ＝13＝CF AC ＝CF x ＋1， ∴CF ＝13(B ＝∠ACB ＝90°， ∴△BFM ∽△BAC ，∴MF AC ＝BM BC ＝13（x ＋1）x ＋1＝13， ∴BM ＝13BC ， 设BM ＝a ，则BC ＝3a ，在Rt △BMF 中，由BM 2＋MF 2＝BF 2，有a 2＋19(x ＋1)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a －13（x ＋1）2， 即a 2＋19(x ＋1)2＝9a 2－2a(x ＋1)＋19(x ＋1)2，∵a>0，∴a ＝14(x ＋1)， ∴BC ＝3a ＝34(＋BM ＝x ＋1＋14(x ＋1)＝54(x ＋1)， ∴y ＝AB ＋AC ＋BC ＝54(x ＋1)＋(x ＋1)＋34(x ＋1)＝3(x ＋1)，即y ＝3x ＋3，其中x ＞0.。

28.1 圆的概念及性质一、选择题1．下列结论正确的是 ( ) A ．长度相等的两条弧是等弧 B ．半圆是弧 C ．半径是弦 D ．弧是半圆2．下列关于圆的对称性的说法中，正确的有( ) ①圆是中心对称图形； ②圆心是圆的对称中心；③每一条直径所在的直线都是圆的对称轴； ④圆的对称轴是直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图36－K －1，已知OA ，OB 是⊙O 的两条半径，∠OAB ＝45°，OA ＝5 cm ，则AB 的长为( )A ．2.5 cmB ．5 cmC ．5 2 cmD ．5 3 cm图37－K －1 图37－K －24．如图37－K －2，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状，大小随之变化，则AB 的长度( )A ．不变B ．变小C ．变大D ．不能确定 二、填空题5．半径为5的⊙O 中最大的弦长为________．6．如图37－K－3，点A，D，B，E都在⊙O上，且点A，O，C，B在一条直线上，则图中的弦是________________，________是直径，以点A为端点的劣弧有________，以点A为端点的优弧有__________________．图37－K－3 图37－K－47．如图37－K－4，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC＝20°，则∠BOC的度数为__________．8．如图37－K－5，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝________°.图37－K－5 图37－K－69．如图37－K－6，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE＝OB，∠AOC＝75°，则∠E＝________°.三、解答题10．如图37－K－7，两个圆的圆心为O，大圆半径OC，OD交小圆于点A，B，判断AB与CD的位置关系，并说明理由.图37－K－71．B [解析] A 选项，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A 选项错误；C 选项，半径不是弦，故C 选项错误；D 选项，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故D 选项错误．故选B.2．C3． C [解析] 由OA ＝OB ，可得∠A＝∠B＝45°， ∴△AOB 为等腰直角三角形．利用勾股定理可求AB 的长．4．A [解析] ∵矩形PAOB 是扇形MON 的内接矩形，∴AB ＝OP ＝半径，当点P 在MN ︵上移动时，半径一定，所以AB 的长度不变．故选A.5．10 [解析] 半径为5的⊙O 的直径为10，则半径为5的⊙O 中最大的弦是直径，其长度是10.故答案为10.6．AD ，AB ，DE AB AD ︵，AE ︵ ABE ︵，ABD ︵7．40°8．40 [解析] 因为AD∥OC，所以∠DAO ＝∠BOC ＝70°.因为OA ＝OD ，所以 ∠ADO＝∠DAO＝70°，然后利用三角形的内角和定理可求得∠AOD＝40°.9．25 [解析] 如图，连接OD.∵OB＝DE ，OB ＝OD ，∴OD ＝DE ，∴∠E ＝∠DOE.∵∠1＝∠DOE＋∠E ，∴∠1＝2∠E.∵OC＝OD ，∴∠C ＝∠1， ∴∠C ＝2∠E ，∴∠AOC ＝∠C＋∠E＝3∠E ，∴∠E ＝13∠AOC＝13×75°＝25°.10．解：AB∥CD.理由如下： ∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA，∠OCD ＝∠ODC，∴∠OAB ＝12(180°－∠O)，∠OCD ＝12(180°－∠O)，∴∠OAB＝∠OCD，∴AB∥CD.。

第二十八章 圆1．·阜新如图28－Y －1，△ABC 内接于⊙O ，且OB ⊥OC ，则∠A 的度数是( )A ．90°B .50°C .45°D .30°图28－Y －1 图28－Y －22．·青岛如图28－Y －2，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为( )A ．100°B .110°C .115°D .120°3．·河北如图28－Y －3，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是( )A ．△ABEB .△ACFC .△ABD D .△ADE图28－Y －3 图28－Y －44．·广安如图28－Y －4，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为( ) A.23 B .56 C .1 D .765．·盐城如图28－Y －5，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB ︵上，点D 在AB ︵上，若∠ACB＝70°，则∠ADB ＝______．图28－Y －5 图28－Y －66．·十堰如图28－Y －6，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为________．7．·济南如图28－Y －7，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300π cm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为______cm.图28－Y －78．·黄石如图28－Y －8，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为______．图28－Y －89．·永州如图28－Y －9，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm ，高为12 cm 的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是______cm 2(结果保留π)．图28－Y －910．·贵阳如图28－Y －10，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .(1)求∠AFE 的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．图28－Y －10教师详解详析1．C [解析] ∵OB ⊥OC ，∴∠BOC ＝90°，∴∠A ＝12∠BOC ＝45°.故选C. 2．B [解析] 连接AC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠AED ＝20°，∴∠ACD ＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝110°.故选B.3．B4．D [解析] 如图，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD ＝∠BHD ＝90°.∵cos ∠CDB ＝DH BD ＝45，BD ＝5，∴DH ＝4， ∴BH ＝BD 2－DH 2＝3.设OH ＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3.在Rt △ODH 中，由勾股定理，得x 2＋42＝(x ＋3)2，解得x ＝76，∴OH ＝76.故选D. 5．110° [解析] 设点D 关于AB 的对称点为E ，连接AE ，BE .∵∠E ＋∠ACB ＝180°，∠ACB ＝70°，∴∠E ＝110°，∴∠ADB ＝110°.6．8 [解析] 如图，连接AD .∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴AD ＝BD ＝5 2.∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（52）2＋（52）2＝10.∵AC ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.7．20 [解析] 设AD ＝x cm ，则AB ＝3x cm.由题意，得300π＝120π×（3x ）2360，解得x ＝10，∴BD ＝2x ＝20 cm.8．2π [解析] 设扇形的半径是r ，则60π×r 2360＝6π，解得r ＝6.设扇形的弧长是l ，则12lr ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.9．65π [解析] 过点P 作PO ⊥AB 于点O .在Rt △P AO 中，P A ＝OP 2＋OA 2＝122＋52＝13(cm)． 由题意，得S 表面积＝S 侧面积＝12·l ·r ＝12×底面周长×母线长＝12×π×10×13＝65π(cm 2)． ∴做这个玩具所需纸板的面积是65π cm 2.10．解：(1)连接OD ，OC .∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，∴∠CAB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD ＝60°.∵OA ＝OD ，AB ＝4，∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2.∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.。

章节测试题1.【题文】已知:如图,OA,OB为☉O的半径,C,D分别为OA,OB的中点,求证:AD=BC.【答案】证明见解析.【分析】已知OA，OB为⊙O的半径，且有公共角∠O，可以利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BC．【解答】解：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，∴OA=OB，OC=OD．在△AOD与△BOC中，∵，∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴AD=BC．2.【答题】如图所示，半圆的直径AB=______.【答案】【分析】根据勾股定理算出圆的半径即可解答.【解答】解：由题意可知正方形的对角线即圆的半径为，所以圆的直径是.3.【答题】若点到⊙圆周上的最大距离为，最小距离为，则⊙的半径为______ cm.【答案】5cm或3cm【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】当P点在圆外，则圆的直径为8-2=6 cm，半径为3cm；当P点在圆内，则圆的直径为8+2=10 cm，所以半径为5cm.综上半径为 5cm或3cm.4.【答题】到定点O的距离等于4的点的集合是______．【答案】以定点O为圆心，4为半径的圆【分析】根据圆的定义解答即可.【解答】根据圆的定义可知，到定点O的距离等于4的点的集合是以点O为圆心，4为半径的圆。

5.【答题】如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于______．【答案】18【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为：18.6.【答题】如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD=______．【答案】30°【分析】根据平行线的性质以及等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵OC=OD，∴∠C=∠D，∵∠COD=120°，∴∠C=∠D=30°，∵AB∥CD，∴∠BOD=∠D=30°，故答案为30°．7.【答题】交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的______．【答案】圆的旋转不变性【分析】根据圆的旋转不变形解答即可.【解答】因为圆旋转任意角度都能与自身重合,因此圆具有旋转不变性,根据圆的旋转不变性制作车轮,在转动过程中车子比较平稳,故答案为:圆的旋转不变性.8.【答题】如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠ABO=30°，∠ADO=20°，则∠BAD=______．【答案】50°【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：连接OA，∵∴∴故答案为：50°．9.【答题】如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据确定圆的条件解答即可．【解答】解：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．选C.10.【答题】下列说法中正确的个数共有（）①如果圆心角相等,那么它们所对的弦一定相等．②平面内任意三点确定一个圆．③半圆所对的圆周角是直角．④半圆是弧．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等,故此选项错误；②不在同一直线上的三点可以确定一个圆,故此选项错误；③半圆（或直径）所对的圆周角是直角,故此选项正确；④半圆是弧,故此选项正确.选B.11.【答题】自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（）A. 圆是轴对称图形B. 直径是圆中最长的弦C. 圆上各点到圆心的距离相等D. 圆是中心对称图形【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】解：车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的旋转不变形.所以A 、B、 D 都不对.选C.12.【答题】下列命题中正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A. 1个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，选A.13.【答题】如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC 长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【分析】本题考查了圆的定义，量角器的使用，准确作图是解题的关键．【解答】根据题意作出图形，然后利用量角器测量即可，如图，∠AMB=110°，选B.14.【答题】下列结论正确的是（）A. 经过圆心的直线是圆的对称轴B. 直径是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与直径相交的直线是圆的对称轴【答案】A【分析】根据圆的对称性解答即可.【解答】因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确,B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误,C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误,D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.选A. 方法总结:本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性.15.【答题】下列命题：①长度相等的弧是等弧：②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．其中，真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】解：①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故B本项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．选B.16.【答题】下列命题为真命题的是（）A.平面内任意三点确定一个圆B.五边形的内角和为540°C.如果a>b，则ac2>bc2D.如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等【答案】B【分析】各选项依次分析即可.【解答】A项平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B项五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，故正确；C项当c＝0时，原式不成立，故错误；D项两直线平行，同位角相等，故错误．所以选B.17.【答题】下列语句中，不正确的个数是（）①弦是直径②半圆是弧③长度相等的弧是等弧④经过圆内一点可以作无数条直径A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确。

冀教版九年级数学上册第28章测试题及答案28.1 圆的概念及性质一.选择题1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧4．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多B．篮球多C．一样多D．不能确定5．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等6．生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（）A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理7．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题8．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）9．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．10．在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分．三．解答题（共4小题）11．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．12．如图AB=3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．13．已知点P、Q，且PQ=4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．14．已知线段AB=3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．答案1.B2.C3.B4.C5.B6.A7.B8. 70°9. 半径10. 9211.解：连结OC，如图，∵CE=AO，OA=OC，∴OC=EC，∴∠E=∠1，∴∠2=∠E+∠1=2∠E，∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，∴∠E+2∠E=75°，∴∠E=25°．12.解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：13.解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．14.解：如图：阴影部分就是到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形28.2 过三点的圆一.选择题1．根据下列条件，A，B，C三点能确定一个圆的是（）A．AB=2，BC=2，AC=4 B．AB=4.5，BC=5.5，AC=10C．AB=4，BC=3，AC=5 D．AB=﹣1，BC=+1，AC=22．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M3．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点4．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形有且只有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形5．直角三角形的外心在（）A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点6．在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，则△ABC的外心在（）A．△ABC的内部B．△ABC的外部C．△ABC的边上D．不确定7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆的半径为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm8．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块9．如图，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB的中点B．BC的中点C．AC的中点D．∠C的平分线与AB的交点二.非选择题10．经过两点M，N可以作______个圆，圆心在______．11．如图，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作______个．12．一只猫观察到一老鼠洞的三个出口，它们在同一平面上，但不在同一直线上，这只猫应蹲在______，才能最省力地顾及到三个洞口．13．如图，已知直线l和A，B两点，求作经过A，B两点的圆，使圆心在直线l上．14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．15．已知直线l：y=x+4和点A（0，4），B（﹣4，0），设点C为直线l上一点，判断A，B，C是否在同一个圆上．16．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．答案2. C 2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.B9.A10.无数MN的垂直平分线上11. 312. 12.这三个出口所在圆的圆心上13.解：（1）连接AB ；（2）作AB 的垂直平分线，交直线l 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆，即得经过A,B 两点的圆.图略.14.解：（1）①作AB ，AC 的垂直平分线，交于点O ； ②以O 为圆心，AO 长为半径作圆，即得花坛的位置.(作△ABC 的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心) （2）由题意知圆形花坛的直径为BC 的长，BC=106822=+(米).所以花坛的半径为5米，所以小明家圆形花坛的面积为25π米2.15. 解：由题意知A,B 在直线l 上，所以点A,B,C 在直线l 上，所以A ，B ，C 不在同一个圆上. 16. 解：（1）作AB,AC 的垂直平分线，它们的交点即为该轮的圆心，图略. (2)R=325cm. 28.3 圆心角和圆周角一.选择题 1．下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数是圆心角的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C=30°，则∠ABD 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°3．如图，D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．37．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°8．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（）A．m B．180°﹣C．90°+D．9．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=110°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°二.非选择题10．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=______．11．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器______台．12．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=12cm，弦BC=16cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD 的长．13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B两点），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，求y与x的函数关系式．14．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于点D，求证：BE=CF．15．如图，⊙C经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于A﹑D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为（2，0），求点D的坐标和圆心C的坐标．16．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点C是劣弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．答案1. A2.D3.B4.B5.C6.C7.D8.B9.A 10. 150° 11. 312.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴AD=DB=22AB. ∵AC=12 cm ，BC=16 cm ，∴AB=20 cm. ∴AD=102cm.13. 解：连接AQ.∴∠AQP=x°.∵AB 是直径，∴∠AQP+∠PQB=90°，即x+y=90. 14. 证明：∵AE 是圆O 的直径，∴∠ABE=90°. ∵AF ⊥BC ，∴∠CBA+∠BAF=90°. 又∵∠EBC+∠CBA=90°，∴∠EBC=∠BAF.又∵∠EBC=∠EAC ，∴∠EAC=∠BAF ，∴∠BAE=∠FAC ，∴BE=CF. 15. 解：连接OC ，OA ，过点C 作CE ⊥OD 于点E. ∵∠OBA=30°，∴∠OCA=60°. 又∵点A(2，0)，所以OC=CA=OA=2. ∵∠COA=60°，∴∠DOC=30°，∴EC=21OC=1，∴EO=3，OD=32. ∴点D(0，32)，C(1，3).16. 解：（1）∵α=35°，OA=OB ，∴∠AOB=110°，∴β=180°-21×110°=125°.(2) β=90°+α.证明如下：∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=α，∴∠AOB=180°-2α. ∠ACB=180°-21∠AOB=90°+α.即β=90°+α. 28.4 垂径定理一、选择题1. 已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ） A. 2cm B.cm C.cm 或cm D.cm 或cm2. 如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 3. 如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是（ ）A. CE=DEB. AE=OEC. BC=BDD. △OCE ≌△ODE 4. 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 85. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为，则a 的值是（ ）A. 4B.C.D.6. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A. 5B. 7C. 9D. 117. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A. 3B. 2.5C. 4D. 3.58. ⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A. B. C. D. 39. 已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A. 3B. 3C.D.10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD 的距离为（）A. cmB. 3cmC. 3cmD. 6cm二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为_____________．12. 如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为___________．13. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为____________．14. 如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA 的余弦值为___________．15. 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于____________°．16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=_______．17. 如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA 的值是______________．18. 如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=__________．三、解答题19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．20. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．21. 如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA•PB=PC•PD.（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD.（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．22. 如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE.（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由.（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．23. 如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若tan∠C=，求弦MN的长．答案1.C 【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=cm.故选C.2.B 【解析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选B．3.B 【解析】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B．4.D 【解析】∵CE＝２，DE＝８，∴CD＝１０，∴OB=OC=5，∴OE=OC-CE=3，∵CD⊥AB，∴∠OEB=90°，AB=2BE，∴BE==4，∴AB=8.故选D．5.B 【解析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图.∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．6.A 【解析】∵ON⊥AB，∴AN=AB=12，∴在Rt△AON中，ON===5.故选A.7.C 【解析】试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AP=AB=×6=3，利用勾股定理得OP==4.故选C．8.C 【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．故选C．9.C 【解析】试题分析：作出图形如图，连接OB，AO并延长交BC于点H，则AC⊥BC且BH=CH，∠OBH=300.∵⊙O的面积为2π，∴.∴.∴.∴.故选C．10.A 【解析】试题分析：连接BC，根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC=5，即可在Rt△OCE中求OE=．故选A.11.1012.【解析】试题分析：根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA=.13.【解析】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得r=．14.【解析】如图，连接AM.∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°.由射影定理得：BM2=AB•CB，∴BM=4，cos∠MBA==.15. 60 【解析】∵点A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=AC=2.,∴∠BAC=60°.16.【解析】如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴OE==，∴BE=OB﹣OE=．17.【解析】试题分析：作OM⊥AB于M，如图所示：则AM=BM=AB=4cm，∴OM===（cm），∵PM=PB+BM=6cm，∴tan∠OPA===．18.【解析】如图，连接BD.∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC=6.由勾股定理得：AE=.∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°.由射影定理得：AB2=AE•AD，∴AD==，∴OC= AD=.19.解：（1）作OE⊥AB.∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE=，AE=，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．20.解：连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C.又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC.∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC＝60°.21.(1)证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴P A⋅PB=PC⋅PD.(2)证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，∴FP=FC，∴∠C=∠CPF.又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°，∴∠DPE+∠D=90°，∴EF⊥AD;(3)解：作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,∴OM ² =() ²−4 ² =4,ON² () ²−3 ² =11，∵AB⊥CD,∴四边形MONP是矩形，∴OP==.22.(1)证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE.(2)解：四边形BFCD是菱形．∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE.在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形.∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形.(3)解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．23.解：（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，即.又OA=3，AC=2，∴OB=3，∴，∴OD=5.（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，∵tan∠C=，即=，∴设OE=，则CE=，在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即，解得，在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即，解得ME=2．∴MN=4，∴弦MN的长为4．28.5 弧长和扇形面积的计算55552.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（）A．6厘米B．12厘米C．厘米6434.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π5.若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（）A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm 6.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，那么扇形的弧长为（）A ．4B ．2C ．4πD ．2π7.一个商标的图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，AB=8cm，BC=4cm ，以点A 为圆心，A D 长为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积是（ ） A ．（4π+8）cm 2B ．（4π+16）cm 2C ．（3π+8）cm 2D ．（3π+16）cm 28.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m 2 B .6π m 2 C.12 m 2 D .12π m 2 9.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( )A.aB.33a C.3a D.415a10.在Rt △ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 11.制作一个底面直径为30 cm 、高为40 cm 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为( )A .1 425π cm 2B .1 650π cm 2C .2 100π cm 2D .2 625π cm 2 12.在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．13.如图，⊙O 过△ABC 的顶点A 、B 、C ，且∠C=30°，AB=3，则弧AB 的长为__________.14.如图，将半径为1、圆心角为︒60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为_________.15.已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为_________． 16.如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是 .17.如图，已知点A 、B 、C 、D 均在以BC 为直径的圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC=120°，四边形ABCD 的周长为10，则图中阴影部分的面积为___________.18．如图，将绕点逆时针旋转到使A 、B 、C’在同一直线上，若，，则图中阴影部分的面积为 cm 2．第17题图 第18题图19.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm ，高为________ cm ，侧面积为________ cm 2.[来源:学§科§网]20.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm 2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).21.如图，在△ABC 中，AB=4cm ，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ． （1）求弧CE 的长； （2）求CF 的长．22.如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？ABC △B A BC ''△90BCA ∠=°304cm BAC AB ∠==°，′23.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧⌒BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ ADB＝30°.（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.24.一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面圆的半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.答案1.B2.A3.D4.D5.C6.C7.A8.B9.D 10.A 11.A 12. 1 13.π14.π3415. 54π 16. 150° 17.3 18. 4π 19. 5 12 65π 20. 300π 21.解：(1)∵∠B=30°，∠C=45°，∴∠A=180°-30°-45°=105°. 过点A 作AD ⊥CB 于点D. 由题意知AD=21AB=2(cm). ∵∠C=45°，AD ⊥CB ，∴AD=CD=2cm ，∴AC=22cm. ∴弧CE=π62718022π105=⨯(cm).（2）连接AF.∵∠C=45°，∴∠CFA=45°.由（1）知AC=22 cm ，∴CF=4 cm. 22.解：过点B 作BG ⊥AD 于点G.由题意知BE=DG=2米，AB=3米，AD=3+0.5=3.5（米）， ∴AG=AD-DG=3.5-2=1.5（米）. ∵AG=21AB ，∴∠BAG=60°.∴∠BAF=120°， ∴该秋千所荡过的圆弧长为6.3π21803π120≈=⨯（米）. 23.解：（1）∵BC ⊥OA ，OA 是半径，∴弧BA=弧AC. ∵∠ADB=30°，∴∠AOC=60°.(2)由（1）知弧BC 的圆心角为120°. ∵BC=6 cm ，∴CE=3cm.又∵∠AOC=60°，∴OC=23cm ，OE=3cm.∴阴影部分的面积为33-π43621360)3(2π1202=⨯⨯-⨯（cm 2）.24.解：（1）∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴r lπ2180π180=，得2=r l .即圆锥母线与底面圆的半径的比是2:1.（2）由（1）知圆锥母线与底面圆的半径的比为2:1，∴锥角为60°. （3）∵圆锥的高为33cm ，∴圆锥底面圆的半径为3cm ，圆锥母线为6cm. ∴圆锥的全面积为).π(cm 2763π2213π22=⨯⨯⨯+⨯。

第二十八章圆一、选择题（本大题共16个小题，1〜10小题，每小题3分；11〜16小题，每小题2分, 共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. （淮安中考）如图，四边形ABCD 是0O 的内接四边形，若ZA=70°,则ZC 的度数是2. 如图，AABC 是＜30的内接三角形，若ZABC = 70°,则ZAOC 的度数等于（ ）A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°3. 高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心 的圆的一部分，路面AB=10米，净髙CD=7米，则此圆的半径为（ ）37 37A. 5米B. 7米C.*■米D 号米4. （保定期中）如图，点A 、B 、C 都在OO 上，O0的半径为2, ZACB = 30°,则応的 长是（）2 1 A. B.兀 C/pr °邓B. 110°A. 100° C. 120°5•如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为I,则这个圆锥的底面半径为（）A.j B 誓 C.y[2 D. 2^26. （台湾中考）如图，AB 为圆0的直径，BC 为圆0的一弦，自0点作BC 的垂线，且7. 如图，AABC 内接于OO, D 为线段AB 的屮点，延长OD 交G»0于点E,连接AE, BE,则下列五个结论：©AB 丄DE,②AE = BE,③OD = DE,④ZAEO=ZC,⑤忑=*近3, 正确结论的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的 坐标为（一2, 4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A. （-1, 2）B. （1, -1）C. （-1, 1）D. （2, 1）9. 如图，点A 、B 、P 在00 ±,则所有符合条件的点”有（1个 B. 2个 C. 3个三角形,A.且ZAPB = 50°,若点M 是动点，要使AABM 为等腰 ）交BC 于D 点.若AB=16, BC=12,则AOBD 的面积为（ ） 8题图10.如图，王大爷家屋后有一块长12加，宽8加的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时■拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子可以选用的长度为A. 3mB. 5tnC. 7mD. 9m11.已知G>0 的半径为13cm,眩AB〃CD, AB=24cw, CD=10CM,贝9 AB、CD 之间的距离为（）A. 17cm B・ 7cmC. 12cm D• 11cm或1cm12.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，己知桥AB长100〃?，测得圆周角ZACB=45°,则这个人工湖的直径AD为（）A. 50y[2mB. 100^213.如图，小华同学设计了一个圆形的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF =6个单位，则圆的直径为（）A. 12个单位10个单位C. 4个单位D. 15个单位14.如图，是AABC的外接圆，ZBAC = 60°,若（DO的半径0C为2,则弦BC的长为（）A. 1 B£ C. 2 D. 2^315.如图，在△ABC44, CA=CB, ZACB=90°, AB=2,点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90。

28.1 圆的概念及性质知|识|目|标1．经历抽象和建立圆的概念的过程，理解圆的基本概念．2．通过实际操作，理解圆的对称性，并会进行简单的计算与证明．目标一理解圆的基本概念例1 教材补充例题根据你对圆的相关概念的理解，判断下列说法是否正确．(1)直径是弦．( )(2)弦是直径．( )(3)半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )(4)弧分为优弧和劣弧两类．( )(5)半径相等的两个半圆是等弧．( )(6)两条长度相等的弧是等弧．( )(7)半径相等的圆叫做等圆．( )【归纳总结】圆的相关概念中的易混点辨析(1)直径与弦的区别：直径是弦，但弦不一定是直径；(2)弧与半圆的区别：半圆是一种特殊的弧，但弧不一定是半圆；(3)弦与弧的区别：弦是圆上两点间的线段，而弧是圆上两点间的部分，弧是曲线，一条弦对着两条弧；(4)等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧．目标二应用圆的概念进行计算与证明例2 教材补充例题如图28－1－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为( )图28－1－1A．120°B．125°C．130° D．135°【归纳总结】同圆或等圆中，直径与半径之间的关系(1)所有的直径都相等，所有的半径都相等；(2)直径等于半径的2倍；(3)连接圆心与圆上任意两点(三点不共线)，构成的三角形是等腰三角形．知识点一与圆有关的概念1．圆的定义：平面上，到定点的距离等于________的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条________叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．2．弦、直径：圆上任意两点间的________叫做这个圆的一条弦，________的弦叫做这个圆的直径．3．弧、优弧、劣弧：(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．(2)圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆．(3)________的弧叫做优弧，________的弧叫做劣弧．4．等圆、等弧：(1)________的两个圆叫做等圆．(2)________的两条弧叫做等弧．知识点二圆的对称性1．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．圆的对称轴有无数条，__________________都是圆的对称轴．3．________是圆的对称中心．直径是圆的对称轴，这种说法对吗？请说明理由．教师详解详析备课资源详解详析【目标突破】例1 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)√[解析] (2)弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径．(4)弧可以分为半圆、优弧和劣弧．(6)长度相等的弧不一定是等弧，只有能够完全重合的弧才是等弧，它们不但弧长相等，而且弧度也相同．例2 C [解析] ∵∠ACB＝90°，∠A ＝40°， ∴∠B ＝50°. ∵CD ＝CB ，∴∠CDB ＝∠B＝50°， ∴∠ADC ＝180°－50°＝130°. 故选C. 【总结反思】[小结]知识点一1．定长定长2．线段过圆心3．(3)大于半圆小于半圆4．(1)能够完全重合(2)能够完全重合知识点二 2.过圆心的每一条直线 3.圆心[反思] 解：这种说法不对．因为对称轴是一条直线，而直径是一条线段，所以这种说法是错误的．正确的说法为：直径所在的直线是圆的对称轴，或过圆心的直线是圆的对称轴．。

第二十八章 圆检测题参考答案1.B 解析：选项A 中有4条对称轴，选项B 中有6条对称轴, 选项C 中有3条对称轴，选项D 中有2条对称轴，故选B.2.D 解析：因为圆心角的顶点必须在圆心，所以A 、B 、C 均不正确，故选D ．3.A 解析：①②③④均正确.4.A 解析：∵ ，∴ ∠ °，∴ ∠∠ °.故选A ．5.D 解析：由垂径定理知，A 、C 正确；再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，知B 正确.6.A 解析：只有（5）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三个点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形．7.D 解析：∵ ，∴ ∠ ∠ °.再根据三角形的内角和是180°，得 ∠ ° ° °．8.B 解析：∵ O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，∴ 弧AB 的长为.9.C 解析：22120612cm 360S⨯π⨯==π扇形（）. 10.C 解析：根据圆周角定理得∠BOC =2∠A =45,所以CE =4sin 45=4=根据垂径定理得CD =2CE=.11.30 解析：由垂径定理得 ∠ º又 ∴ ,∴ ∠ º，∴ ∠ º. 12.36° 解析：由题意知B ADC ∠=∠=54°． 又∵弦AB 是直径，∴ ACB ∠=90°， ∴BAC B ∠+∠=90°，∴∠BAC =90°-54°=36°. 13.2 解析：如图，连接OB .'2230,B C D ︒∠= 245.B O D B C D ︒∴∠=∠= ,AB CD⊥1122BE AE AB ∴===⨯=cm ）, △BOE 为等腰直角三角形，∴ OB =22=BE cm ，故⊙O 的半径为2 cm.14.弧 弧 或 (答案不唯一)15.35 解析：∵ 为 的直径，∴∠ °.∵ ∠ °，∴ ∠ ° ∠ °， ∴ ∠ ∠ °．故答案为35．16. 解析：因为此题中每一条弧所对的圆心角是90º，弧所在的圆的半径是 ，所以所得到的两条弧的长度之和为2×17. 解析：连接 ， ，∵ 为半圆 的直径，点 、 是半圆的三等分点， ∴ ∠ ∠ ∠ °. 又∵ ， ∴ ∠ ∠ °，∴ ∠ ∠ .∴ ∥ .∴ △ 的面积与△ 的面积相等.∴ 阴影部分的面积 阴影 扇形．第13题答图18.解析：如图所示，连接、，∵∠30º，∴∠∠ºº.∴弧的长为．19.解：过点作，垂足为.∵，，∴.∵∠°，∴，=∴=20.解：,即阴影部分的面积为21.解：∵∠=，，∴∠=.又∵为直径，∴∠=，∴∠=.∵∠∠，∴∠∠，∴//，∴四边形是等腰梯形，∴.22.解：如图所示，作，则即为边上的高.设圆心到的距离为，则依据垂径定理得，所以.当圆心在三角形内部时,边上的高为；当圆心在三角形外部时,边上的高为.23.证明：∵，∠º，∴△是等边三角形.∴，∴弧弧弧，∴∠∠∠24.解：连接.∵∠º，∠º，∴∠º.∵，∴∠º，∴∠ºººº，∴弧的长为25.解：如图所示，过点作于.∵弦的长为，圆心到的距离，∴依据垂径定理得.在Rt△中,由勾股定理得，即的半径为.26.解：（1）如图①所示，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90︒.E第25题答图OA BD在Rt △ABE 中，∵ sin B =AEAB， ∴ AE =AB ·sin B =sin 45︒==3. 在Rt △ABE 中，∵ ∠B =45︒，∴ ∠BAE =45︒.∴ BE =AE =3.在Rt △ACE 中，∵ tan ∠ACE =AEEC，∴ EC=3tan tan60AE ACE ==∠︒∴ BC =BE +EC =3.① ②（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵ ∠EAC =30︒，EC，∴ AC =方法1：如图①所示，连接AO 并延长交⊙O 于点M ，连接CM . ∵ AM 为直径，∴ ∠ACM =90︒.在Rt △ACM 中，∵ ∠M =∠D =∠ACB =60︒，sin M =ACAM， ∴ AM =sin AC M4. ∴ ⊙O 的半径为2.方法2：如图②所示，连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，则AF =12AC∵ ∠D =∠ACB =60︒，∴ ∠AOC =120︒.∴ ∠AOF =12∠AOC =60︒. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AFAO， ∴ AO=sin AF AOF ∠2，即⊙O 的半径为2.27．解：（1）由已知，BC 为⊙O 的直径，得∠CAB ＝∠BDC ＝90°. 在Rt △CAB 中，BC ＝10，AB ＝6, ∴ AC ＝.86102222=-=-AB BC ∵ AD 平分∠CAB ， ∴ 弧CD ＝弧BD ， ∴ CD ＝BD.在Rt △BDC 中，BC ＝10，CD 2＋BD 2＝BC 2， ∴ BD 2＝CD 2＝50，∴ BD ＝CD ＝52. （2）如图，连接OB ，OD .∵ AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°， ∴ ∠DAB ＝21∠CAB ＝30°， ∴ ∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.第27题答图第26题答图又∵⊙O中OB＝OD，∴△OBD是等边三角形.∵⊙O的直径为10，∴OB＝5，∴BD＝5.初中数学试卷。

第二十八章圆一、选择题(每题4分，共24分)1．以下四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是()A．1 B.2 C.3 D.42．如图28－Z－1，AB为⊙O的直径，∠DCB＝20°，那么∠DBA的度数为()A．50°B.20°C.60°D.70°图28－Z－1 图28－Z－23．如图28－Z－2，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，那么⊙O的半径为()A.10B.2 3C.13D.3 24．如图28－Z－3所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．假设AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥BC于点D，那么BD的长为()A．1.5 cm B.3 cm C.5 cm D.6 cm图28－Z－3 图28－Z－45．如图28－Z－4，⊙O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130°，那么∠BAD 的度数是()图28－Z－5A．120°B.130°C.140°D.150°6．如图28－Z－5，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么AB的长为()A．3 B.23C.3 3D.2二、填空题(每题4分，共28分)7．如图28－Z－6，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，那么∠ADC的度数为________．图28－Z－68．如图28－Z－7，A，B，C，D是⊙O上的四个点，假设∠C＝110°，那么∠BOD＝________°图28－Z－79．如图28－Z－8，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用________次，就可以找到圆形工件的圆心．图28－Z－810．如图28－Z－9，在⊙O中，弦AC＝23，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，那么⊙O 的半径R＝________．图28－Z－911．如图28－Z－10，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC 于点E.假设∠DAC＝28°，那么∠B的度数为________．图28－Z－1012．如图28－Z －11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以点A ，B ，C 为圆心，AC 21长为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影局部的面积是________． 图28－Z －1113．如图28－Z －12，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 做无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，点A 经过的道路长为________．图28－Z －12三、解答题(共48分)14．(10分)如图28－Z －13，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°.(1)求∠B 的度数；(2)AD ＝6，求圆心O 到BD 的间隔 ．图28－Z －1315．(12分)如图28－Z －14，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E .(1)求∠OCA 的度数；(2)假设∠COB ＝3∠AOB ，OC ＝23，求图中阴影局部的面积(结果保存π和根号)．图28－Z －1416．(12分)如图28－Z －15，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ︵＝AC ︵，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE ＝BD .(1)求证：AD ＝CE ；(2)假如点G 在线段DC 上(点G 不与点D 重合)，且AG ＝AD .求证：四边形AGCE 是平行四边形．图28－Z －1517．(14分)如图28－Z －16，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且D 为BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形．(2)求DE 的长．(3)在线段AB 的延长线上是否存在一点P ，使△PBD ≌△AED ？假设存在，恳求出BP 的长；假设不存在，请说明理由．图28－Z －16老师详解详析1．B [解析] ①确定圆的条件是圆心与半径，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，故此说法正确．其中错误的说法是①③.2．D [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°－∠DCB ＝90°－20°＝70°，∴∠DBA ＝∠ACD ＝70°.3．C [解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .由题意可知AD 必过点O ，连接OB .∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝AD ＝3，∴OD ＝AD －OA ＝2. 在Rt △OBD 中，根据勾股定理，得OB ＝BD 2＋OD 2＝13.4．B [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°.∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10，∴根据勾股定理，得BC ＝6.又∵OD ⊥BC 于点D ，根据垂径定理，知OD 垂直平分BC ，∴BD ＝3.应选B.5．B [解析] 连接OD ，如图．∵BC ＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝130°，∴∠BOD ＝360°－2×130°＝100°，∴∠BCD ＝12∠BOD ＝50°，∴∠BAD ＝180°－∠BCD ＝180°－50°＝130°.应选B.6．A [解析] 连接BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴∠BDA ＝∠BCA ＝30°.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴BA ＝12AD ＝3. 应选A.7．110° [解析] ∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝2∠A ＝100°.∵∠B ＝30°，∠BOC ＝ ∠B ＋∠BDC ，∴∠BDC ＝∠BOC －∠B ＝100°－30°＝70°，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝110°.8．140 [解析] ∵A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∴四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠C ＋∠A ＝180°.∵∠C ＝110°，∴∠A ＝70°.∵∠BOD ＝2∠A ，∴∠BOD ＝140°.故答案为140.9．2 10.6 [解析] ∵∠ABC ＝45°，∴∠AOC ＝90°.∵OA ＝OC ＝R ，∴R 2＋R 2＝(23)2， 解得R ＝ 6.故答案为 6.11．62° [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝28°，∴∠B ＝62°.12．8－2π [解析] 因为CA ＝4，所以12AC ＝2.在△ABC 中，∠C ＋∠A ＋∠B ＝180°，因此，分别以点A ，B ，C 为圆心，12AC 长为半径画弧得到的三个扇形的面积和恰好是一个半径为2的半圆的面积，其面积为12×π×22＝2π.因为Rt △ABC 的面积为12AC ·BC ＝12×4× 4＝8，因此，阴影局部的面积是8－2π.13．6π [解析] AC ＝BD ＝BC 2＋AB 2＝5.如图为点A 经过的道路：当点A 第一次翻滚到点A ′位置时，经过的道路长为90π×3180＝32π； 当点A ′第一次翻滚到点A ″位置时，点A ′经过的道路长为90π×4180＝2π； 当点A ″第一次翻滚到点A 1位置时，点A ″经过的道路长为90π×5180＝52π； ∴当点A 第一次翻滚到点A 1的位置时，经过的道路长为32π＋2π＋52π＝6π. 14．解：(1)∵∠APD 是△ACP 的外角，∴∠C ＝∠APD －∠CAB ＝65°－40°＝25°.根据“同弧所对的圆周角相等〞，得∠B ＝∠C ＝25°.(2) 过点O 作OE ⊥BD ，垂足为E ，那么E 为BD 的中点．又∵O 是AB 的中点，∴OE ＝12AD ＝3，即圆心O 到BD 的间隔 为3. 15．解：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠D ＝180°.∵∠ABC ＝2∠D ，∴∠D ＋2∠D ＝180°，∴∠D ＝60°，∴∠AOC ＝2∠D ＝120°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°.(2)∵∠COB ＝3∠AOB ，∴∠AOC ＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°，∴∠AOB ＝30°，∴∠COB ＝∠AOC －∠AOB ＝90°.在Rt △OCE 中，OC ＝23，∴OE ＝OC ·tan ∠OCE ＝23×tan30°＝23×33＝2， ∴S △OEC ＝12OE ·OC ＝12×2×23＝2 3. 又∵S 扇形OBC ＝90π×〔23〕2360＝3π， ∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △OEC ＝3π－2 3.16．证明：(1)在⊙O 中，∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠EAC . 在△ABD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝CA ，∠B ＝∠EAC ，BD ＝AE ，∴△ABD ≌△CAE (SAS)，∴AD ＝CE .(2)连接AO 并延长，交边BC 于点H (如图)． 由AB ︵＝AC ︵，OA 为⊙O 的半径，易得AH ⊥BC ，∴BH ＝CH .∵AD ＝AG ，∴DH ＝HG ，∴BH －DH ＝CH －GH ，即BD ＝CG . ∵BD ＝AE ，∴CG ＝AE .∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．17．解：(1)证明：连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴AB ＝AC . 又∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形．(2)连接BE .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BEA ＝90°，∴E 是AC 的中点，∴DE 平行且等于12AB . ∵AB ＝2，∴DE ＝1.(3)存在点P .∵DE ∥AB ，∠BAE ＝60°，∴∠AED ＝120°. ∵∠ABC ＝60°，∴∠DBP ＝120°.∵AE ＝12AC ＝1，DE ＝1，BD ＝12BC ＝1， ∴当BP ＝1时，△PBD ≌△AED .。