2020年4月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(2)(原卷版)

2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}320A x R x =∈+>，{}2230B x R x x =∈-->，则A B =I （ ） A ．{}1x R x ∈<- B ．213x R x ⎧⎫∈-<<-⎨⎬⎩⎭C ．233x R x ⎧⎫∈-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}3x R x ∈> 【答案】D【解析】2{|}3A x R x =∈-＞，B={x ∈R|x ＜﹣1，或x ＞3}，∴A∩B={x ∈R|x ＞3}，故选D ． 2．已知i 为虚数单位，若复数221z i i=++，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】()()()2212121311i iz i i i i i i-=+=--=-+-Q ，13z i ∴=+，对应点的坐标为()1,3，z ∴对应的点位于第一象限，故选A ．3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（ ）A ．1y x=B ．tan y x =C ．x xy e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间；对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，∴()()0f x f x +-=∴()x xf x e e-=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，∴xy e -=-单调递增，∴函数xxy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，∴()()0g x g x +-≠，∴函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数，故选C ．4．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ） A ．y =2x +1 B ．11y x =+ C ．y =log 2|x | D ．y =x 2+1【答案】A【解析】选项A 中，21x y =+，∵20x >，∴211x +>，即21xy =+的值域为()1,+∞；选项B 中，11y x =+，是由函数1y x =向左平移1个单位得到的，∴11y x =+的值域为()(),00,-∞⋃+∞；选项C 中，函数2 log y x =，值域为(),-∞+∞；选项D 中，函数21y x =+，值域为[)1,+∞，故选A ．5．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．2 B ．2 C ．2或 D ．22-【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =．∵OAB ∆为正三角形，则圆心O到直线0x y m -+=的距离为22r =，即2d ==，解得2=m 或2m =-，故选D ． 6．已知0ω>，0ϕ<<π，直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4【答案】A 【解析】∵直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，522π,441T ωππ⎛⎫∴=-= ⎪∴⎭=⎝，并且sin 4ϕπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 4ϕ5π⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别是最大值与最小值，0ϕ<<π，4ϕπ∴=． 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A ．4B ．CD ．2【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得11PC PD ==，∴该四棱锥的最长棱为B ．8．已知()0,1m ∈，令2log 2,,2mm a b m c ===，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b << 【答案】C ．【解析】∵(0,1)m ∈，∴log 20m a =<，2(0,1)b m =∈，21m c =>，即a b c <<，故选C ．9．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d ”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d =3d ，a 9=a 1+8d =9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d ”的必要条件．综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件，故选C ．10．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是（ ）A ．随着车流密度增大，车流速度增大B ．随着车流密度增大，交通流量增大C ．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D ．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 【答案】D 【解析】由00=(1)KV v k -，得：000=k K k V v -，由单位关系，得：Q ＝VK ＝000()k V k V v -＝2000k V k V v -+，可以是看成是Q 与V 的二次函数，开口向下，图象先增大，再减小，∴随着车流速度V 的增大，交通流量Q 先增大、后减小，故选D ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线22:14x C y -=的离心率是 ．【解析】222224,15a b c a b ==∴=+=，∴离心率e c a ==． 12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u v u u u v的最小值是________．【答案】3-【解析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B，(C ，AC中点12N ⎛-⎝⎭． 设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+u u u u r，3,22BN ⎛=- ⎝⎭u u u r，3(1)2AM BN x y ⋅=-++u u u u r u u u r ． ∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x y =，∴3AM BN ⋅=-u u u u r u u u r，∵0y 剟0y =时，AM BN ⋅u u u u v u u u v的最小值为3-．13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2,0)F ，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则EF = ． 【答案】52【解析】由抛物线焦点为,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭可得22p =，∴4p =．∴抛物线方程为28y x =，分析可知点()3,2A 在抛物线的内部，由点()3,2A 向抛物线的准线2x =-作垂线，此垂线方程为2y =，将2y =代入抛物线方程28y x =可得12x =，即1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴52EF ==． 14．在ABC △中，3a =，b =，60B =o ，则c = ；ABC △的面积为_______．【答案】，【解析】由余弦定理，得，解得．由三角形的面积公式得．15．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12x x ,，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12y y ,，使得()()12f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．则①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，四个函数中为不严格增函数的是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 【答案】①③【解析】由已知中：函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12x x ,，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12y y ,，使得()()12f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，当x 12π=-，x 2∈（2π-，2π），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，当x 112=，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数，故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC，PA AB =，22AD BC ==，M 是PD 的中点．（1）求证：CM ∥平面P AB ；（2）求二面角M AC D --的余弦值．【解析】（1）证明：如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM ．,E M Q 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴，又//BC AD 且2AD BC =，//EM BC ∴，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//MC ∴平面PAB ．（2）解：由题意知：,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0D，)C，M ⎛ ⎝⎭，(P，)AC ∴=u u u r，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭u u u u r，(AP =u u ur ，设平面MAC 的法向量(),,n x y z =r，则002AC n y AM n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u u v v，令y =，则1x =-，2z =-，()2n ∴=--r．PA ⊥Q 平面ABCD ，AP ∴u u u r 为平面ACD的一个法向量，cos ,AP n AP n AP n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r ． Q 二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --．17．（本小题14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）解：①③不能使{}n a 成等比数列．②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==．Q 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）解：由（1）知()14222n k n a k k k -+=⋅=，∴当k =12n n a +=．∵12241+=-n n n a b n ，∴2141n b n =-，∴1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 18．（本小题14分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）【解析】（1）解：由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35． （2）解：结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2，P （ξ＝0）343615C C ==，P （ξ＝1）21423635C C C ⋅==，P （ξ＝2）12423615C C C ⋅==，∴ξ的分布列为：∴E （ξ）＝015⨯+15⨯+25⨯=1． （3）解：由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞． 19．（本小题15分）已知：函数21()(1)2f x x ax ln x =--+，其中a R ∈． （Ⅰ）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅰ）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意． （Ⅰ）解：① 当0a =时，()1xf x x =+'，故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-． ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：∴()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和(1,)a-+∞． 当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：∴()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-． 综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，减区间是(1,0)-； 当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞； 当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． （Ⅰ）解：由（Ⅰ）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意． 当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a -，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减，可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意． ∴()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞． 20．（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C上不同于A 、B 的任一点，若直线P A 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线P A ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切．切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【解析】（1）解：设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y ab +=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，∴由①②得：24a =，23b =；∴椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）解：由（1）得(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++， 令0x =，则22n y m =+，∴M 的坐标2(0,)2nm+， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，∴坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=Q ∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-g． 21．（本小题14分）给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N ∈L ，，，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，an变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （2）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．【解析】（1）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．…（2）证明：经过k 次变换后，数列记为()()()12kkkna a a L ，，，，k ＝1，2，…． 取()11212c a a =+，则()()11121212a a a a ==-，即经T 1（c 1）后，前两项相等；取()()()1122312c a a =+，则()()()()()222111233212a a a a a ===-，即经T 2（c 2）后，前3项相等；… 设进行变换T k （c k ）时，其中()()()11112k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为()()()()()()12312k k k k k k k k n a a a a a a ++L L ，，，，，，，，则()()()()1231k k k k k a a a a +====L ； 那么，进行第k +1次变换时，取()()()11212k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为()()()()()()()1111111123123k k k k k k k k k k na a a a a a a ++++++++++L L ，，，，，，，，， 显然有()()()()()1111112312k k k k k k k a a a a a +++++++=====L ；… 经过n ﹣1次变换后，显然有()()()()()111111231n n n n n n na a a a a ------=====L ； 最后，取()1n n n c a -=，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0，∴对任意数列，都存在“n 次归零变换”．（3）解：不存在“n ﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j （c j ）时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是∵，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j （c j ）后，再进行T j +1（c j +1），由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣（c j +c j +1）|，即等价于一次变换T j （c j +c j +1），同理，进行某一步T j （c j ）时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换”． （1）当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立． （由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：125322T T ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，） （2）假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”． 当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，（k +1）k +1存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1ki c k ≤≤，i ＝1，2，…，k ．∵()111212|(1)|(1)k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++≥L L L （k +1）k +1﹣k •k k ＞0∴（k +1）k +1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾，∴当n ＝k +1时不存在“k 次归零变换”． 由（1）（2）命题得证．。

2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集1，2，3，4，，集合1，，，那么A. 1，B. 4，C. 4，D. 1，2，2.已知三个函数，，，则A. 定义域都为RB. 值域都为RC. 在其定义域上都是增函数D. 都是奇函数3.平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为A. B. C. D.4.双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D.5.已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能为A. B.C. D.6.已知向量，，，那么下列结论正确的是A. 与为共线向量B. 与垂直C. 与的夹角为钝角D. 与的夹角为锐角7.九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”一步米意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米8.已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知一个几何体的三视图如图所示，正主视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧左视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是A. B. C. D.10.函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知给出下列四个判断：对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，函数既有对称轴又有对称中心；当时，的值只有0或．其中正确判断的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数的共轭复数为______．12.已知，则的值为______．13.设，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：若，，则；若，，则；若，，则．其中，正确结论的序号为______．14.从下列四个条件；；；中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是____填写相应的序号，所选三个条件下的c的值为______．15.配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期假设这种配件每天产能可以足够大配件的存储费为每件每天2元当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD中，，，，，E为AD中点．将沿BE折起到的位置，如图．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ若，求与平面所成角的正弦值．17.已知为等比数列，其前n项和为，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图_____，的图象经过A，B两个点．Ⅰ求；Ⅱ若存在正整数n，使得，求n的最小值．从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．18.某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知，．Ⅰ求甲同学至多获得三个项目招募的概率；Ⅱ求a，b的值；Ⅲ假设有十名报了项目A的志愿者不包含甲调整到项目D，试判断如何变化结论不要求证明．19.已知椭圆C：的一个顶点坐标为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若直线与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点，求证：点M不在以AB为直径的圆上．20.已知．Ⅰ当时，求证：在上单调递减；Ⅱ若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ若有最小值，请直接给出实数a的取值范围．21.设数列：A：，，，，B：，，，已知，，2，，n；，2，，，定义数表，其中．Ⅰ若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出；Ⅱ若A，B是不同的数列，求证：数表满足“2，，n；，2，，n；”的充分必要条件为“2，，”；Ⅲ若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：1，2，3，4，，1，，，4，，4，．故选：B．进行补集和并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，补集和并集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：函数的定义域为，即A错误；函数的值域是，即B错误；函数和是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：设，点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，，，解得，，点的坐标为．故选：A．设，由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．本题考查点的坐标的求法，考查平面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，与联立可得，所以，由题意可得，解得，，所以双曲线的离心率，故选：D．由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线联立求出的值，进而求出的值，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，属于基础题．5.答案：D解析：解：结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．6.答案：B解析：解：根据题意，向量，，，则，又由，有，则与不是共线向量，，则，则与垂直；故选：B．根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．本题考查向量平行、垂直的判断，涉及向量的坐标计算，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为平方米．故选：B．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．8.答案：A解析：解：的定义域是，，时，，在递增，故递增，是充分条件，由递增，得或，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道常规题．9.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为，高为1的半个圆柱．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：对于，要使成立，即，当时，，都符合，故正确；对于，要使成立，即，取，此时，故正确；对于，当，时，为将左移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，当时，为将左移个单位，此时，当时，为将左移T个单位，此时，故正确，错误；故选：C．对于，易知当时，，都符合；对于，即成立，取即可证明结论成立；对于，分别取，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出对错；综合即可得出正确选项．本题考查分段函数的综合运用，涉及了函数性质，函数图象的变换等知识点，考查了推理能力，创新意识等，属于难题．11.答案：解析：解：，．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.答案：解析：解：由，得，即；所以．故答案为：．由求得的值，再化简并计算所求三角函数值．本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．13.答案：解析：解：，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，对于，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故正确；对于，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故正确；对于，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确．故答案为：．由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题．14.答案：，，或者，解析：解：由结合正弦定理可得，，所以，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有，故只能是或，若选，，，由余弦定理可得，，解可得，；若选，，，，，且B为钝角，由正弦定理可得，，解可得，．故答案为，，，．由结合正弦定理可得，，可求sin A，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有，只能是或，若选，结合余弦定理可求c；若选，结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．15.答案：5解析：解：每个周期内的总费用为，每个周期内每天的平均费用为：，当且仅当即时取等号．故答案为：5．求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．本题考查了数列求和，不等式的应用，属于基础题．16.答案：Ⅰ证明：因为四边形ABCD中，，，，，E为AD中点，所以．故图中，，．又因为，，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．Ⅱ解：由得，又，，因此，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得0，，0，，1，，1，，，，设平面的法向量为y，，则即，令得，，所以1，是平面的一个法向量．又，设直线与平面所成角为，所以．解析：Ⅰ证明，然后证明平面即可证明平面平面．Ⅱ建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系求出平面的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦函数值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设为公比为q的等比数列，由，，得，即，，所以，．所以；Ⅱ由图知：，，可判断，数列是递减数列；而递增，由于，所以选择不满足“存在n，使得”；由图知：，，可判断，数列是递增数列；由图知：，，可判断，数列是递增数列．所以选择均可能满足“存在n，使得”第一种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4，5，6，7时，不成立，当时，，所以使得成立的n的最小值为8．第二种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4时，不成立，当时，成立，所以使得成立的n的最小值为5．解析：Ⅰ设为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；Ⅱ分别考虑图、、，判断数列的单调性，选择均可能满足“存在n，使得”讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和方程思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ因为，所以，且．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是，Ⅱ由题意可知，，，解得，．Ⅲ变大．解析：Ⅰ由，得，且设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．Ⅱ由题意可知，，，由此能求出a，b．Ⅲ变大．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件的概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：Ⅰ解：由题意可知解得所以椭圆C的方程为．Ⅱ证明：设，，由得，所以．所以当k为任何实数时，都有．所以，．因为线段PQ的中点为M，所以，，因为，所以，．所以．又因为，，所以，所以点M不在以AB为直径的圆上．解析：Ⅰ利用已知条件列出求出a，b然后得到椭圆方程．Ⅱ证明：设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ 的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：Ⅰ解：，，当时，，，所以．所以在上单调递减．Ⅱ解：当时，，对于，命题成立，当时，设，则．因为，，所以，在上单调递增．又，所以．所以在上单调递增，且．当时，，所以在上单调递增．因为，所以恒成立．当时，，因为在上单调递增，又当时，，所以存在，对于，恒成立．所以在上单调递减，所以当时，，不合题意．综上，当时，对于，恒成立．Ⅲ解：．解析：把代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；结合最值与极值及导数关系可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，还考查了不等式的恒成立求解参数范围问题，属于难题．21.答案：Ⅰ解：．Ⅱ证明：充分性若2，，，由于，，令A：，，，，由此数列B：，，，．由于．从而有2，，n；，2，，n；．必要性若2，，n；，2，，n；．由于A，B是不同的数列，设，，对任意的正整数，若，可得，，所以．若，可得，，所以．同理可证，时，有2，，成立．设，，对任意的正整数，若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．同理可证，时，A，B是相同的数列，不符合要求．综上，有数表满足“”的充分必要条件为“2，，”．Ⅲ证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，由此，A中0的个数为，B中1的个数为，B中0的个数为p．若，则数表的第i行为数列B：，，，，若，则数表的第i行为数列B：，，，，所以数表中1的个数为．所以数表中1的个数不大于．解析：根据得出的各行各列的数值；根据证明充分性，根据，的各种不同取值分类证明必要性；讨论的不同取值，计算的第i行中1的个数，从而得出中1的总数，利用基本不等式得出结论．本题考查了充要条件的判断，考查对新定义的理解和应用，属于中档题．。

2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（）A．y=2x+1B．C．y=log2|x|D．y=x2+15．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（）A．B．C．或D．或6．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（）A．B．C．D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4B．C．D．28．已知，令，那么之间的大小关系为（）A．B．C．D．9．已知等差数列的首项为，公差，则“成等比数列” 是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，和满足一个线性关系，即（其中是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线的离心率是．12．如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________．13．已知抛物线的焦点为，过点向其准线作垂线，记与抛物线的交点为，则．14．在中，，，，则；的面积为_______．15．如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，当时，都有，且存在两个不相等的自变量值，使得，就称为定义域上的不严格的增函数．则①，②，③，④，四个函数中为不严格增函数的是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，P A⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点．（1）求证：CM∥平面P AB；（2）求二面角的余弦值．17．（本小题14分）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和．18．（本小题14分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）19．（本小题15分）已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅰ）若在上的最大值是，求的取值范围．20．（本小题14分）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线P A与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线P A，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N 的圆G相切．切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．21．（本小题14分）给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，a n变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|a n﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为T k（c k），其中c k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，T k（c k）为“k次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，B={x∈R|x＜﹣1，或x＞3}，∴A∩B={x∈R|x＞3}，故选D．2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，，对应点的坐标为，对应的点位于第一象限，故选．3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A选项，反比例函数，它有两个减区间；对于B选项，由正切函数的图像可知不符合题意；对于C选项，令知，∴∴为奇函数，又在定义内单调递增，∴单调递增，∴函数在定义域内单调递增；对于D，令，则，∴，∴函数不是奇函数，故选C．4．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（）A．y=2x+1B．C．y=log2|x|D．y=x2+1【答案】A【解析】选项A中，，∵，∴，即的值域为；选项B中，，是由函数向左平移个单位得到的，∴的值域为；选项C中，函数，值域为；选项D中，函数，值域为，故选A．5．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径．∵为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D．6．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，，并且与分别是最大值与最小值，，．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4B．C．D．2【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，∴该四棱锥的最长棱为，故选B．8．已知，令，那么之间的大小关系为（）A ．B．C．D．【答案】C．【解析】∵，∴，，，即，故选C．9．已知等差数列的首项为，公差，则“成等比数列” 是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，设数列的公差为d，若成等比数列，则，即（a 1+2d）2=a 1•（a1+8d），变形可得：a1=d，则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件；若a 1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件．综合可得：“成等比数列”是“”的充要条件，故选C．10．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，和满足一个线性关系，即（其中是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小【答案】D【解析】由，得：，由单位关系，得：Q＝VK＝＝，可以是看成是Q与V的二次函数，开口向下，图象先增大，再减小，∴随着车流速度V的增大，交通流量Q先增大、后减小，故选D．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线的离心率是．【答案】【解析】，∴离心率．12．如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________．【答案】【解析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点．设，则，，．∵在直线上，∴，∴，∵，∴当时，的最小值为．13．已知抛物线的焦点为，过点向其准线作垂线，记与抛物线的交点为，则．【答案】【解析】由抛物线焦点为可得，∴．∴抛物线方程为，分析可知点在抛物线的内部，由点向抛物线的准线作垂线，此垂线方程为，将代入抛物线方程可得，即，∴．14．在中，，，，则；的面积为_______．【答案】，【解析】由余弦定理，得，解得．由三角形的面积公式得．15．如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，当时，都有，且存在两个不相等的自变量值，使得，就称为定义域上的不严格的增函数．则①，②，③，④，四个函数中为不严格增函数的是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．【答案】①③【解析】由已知中：函数定义域内任意的两个自变量的值，当时，都有，且存在两个不相等的自变量值，使得，就称为定义域上的不严格的增函数．①，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；②，当x1，x2∈（，），f（x1）＞f（x2），故不是不严格的增函数；③，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；④，当x1，x2∈（1，），f（x1）＞f（x2），故不是不严格的增函数，故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，P A⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点．（1）求证：CM∥平面P AB；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接．分别为的中点，，又且，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：由题意知：两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，．平面，为平面的一个法向量，．二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．17．（本小题14分）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和．【解析】（1）解：①③不能使成等比数列．②可以：由题意，即，得，且，．常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，∴当时，．∵，∴，∴，．18．（本小题14分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）【解析】（1）解：由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为．（2）解：结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），∴ξ的分布列为：∴E（ξ）＝0121．（3）解：由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而．19．（本小题15分）已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅰ）若在上的最大值是，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）解：．依题意，令，解得．经检验，时，符合题意．（Ⅰ）解：①当时，，故的单调增区间是；单调减区间是．②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：∴的单调增区间是；单调减区间是和．当时，的单调减区间是．当时，，与的情况如下：∴的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．（Ⅰ）解：由（Ⅰ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．∴在上的最大值是时，的取值范围是．20．（本小题14分）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线P A与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线P A，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切．切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．【解析】（1）解：设，由题意得，，，而得：①，又过②，∴由①②得：，；∴椭圆的方程：；（2）解：由（1）得，设，，则直线的方程，令，则，∴的坐标，直线的方程：，令，，∴坐标，（圆的切割线定理），再联立，．21．（本小题14分）给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，a n变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|a n﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为T k（c k），其中c k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，T k（c k）为“k次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．【解析】（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…（2）证明：经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…．取，则，即经T1（c1）后，前两项相等；取，则，即经T2（c2）后，前3项相等；…设进行变换T k（c k）时，其中，变换后数列变为，则；那么，进行第k+1次变换时，取，则变换后数列变为，显然有；…经过n﹣1次变换后，显然有；最后，取，经过变换T n（c n）后，数列各项均为0，∴对任意数列，都存在“n次归零变换”．（3）解：不存在“n﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j（c j）时，c j＜min{a1，a2，…，a n}，那么此变换次数便不是最少．这是∵，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j（c j）后，再进行T j+1（c j+1），由||a i﹣c j|﹣c j+1|＝|a i﹣（c j+c j+1）|，即等价于一次变换T j（c j+c j+1），同理，进行某一步T j（c j）时，c j＞max{a1，a2，…，a n}；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i满足min{a1，a2，…，a n}≤c i≤max{a1，a2，…，a n}．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”．（1）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：）（2）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，k k不存在“k﹣1次归零变换”．当n＝k+1时，假设1，22，33，…，k k，（k+1）k+1存在“k次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k不存在“k﹣1次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换c i一定满足，i＝1，2，…，k．∵（k+1）k+1﹣k•k k＞0∴（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾，∴当n＝k+1时不存在“k次归零变换”．由（1）（2）命题得证．。

北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 2．设()f x x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6B ．6C ．-6D ．1324．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．62C ．33D 36．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N7．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4h 2π+π+B ．216(2h π+π+C ．2(821)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．39．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π11．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．21912．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪（∁R B）＝（）A．（1，2]B．[2，4）C．[1，+∞）D．（1，+∞）3．下列函数中，在（0，+∞）内单调递增，并且是偶函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝cos x+1C．y＝lg|x|+2D．y＝2x4．函数y＝2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．5．在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．24D．366．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin4x D．y＝cos4x7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．28．已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]9．已知数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，则“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班二.填空题（共5小题）11．已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为．12．已知向量＝（1，1），＝（﹣3，m），若向量2﹣与向量共线，则实数m＝．13．如果抛物线y2＝2px上一点A（4，m）到准线的距离是6，那么m＝．14．在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC＝，cos∠BCD＝．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是．三.解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，∠ABC ＝60°，△PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E 在线段BC上，且CE：EB＝1：3．（1）求证：DE⊥平面PAD．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．17．已知函数f（x）＝log k x（k为常数，k＞0且k≠1）．（1）在下列条件中选择一个使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f（a n）}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f（a n）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k＝时，设a n b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知函数f（x）＝+a2x+alnx，实数a＞0．（1）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性；（2）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．20．椭圆C的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为．（I）求椭圆C的方程：（II）设P是直线x＝a2上任意一点，过点P作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．21．定义：若数列{a n}满足所有的项均由﹣1，1构成且其中﹣1有m个，1有p个（m+p≥3），则称{a n}为“（m，p）﹣数列”．（1）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有多少种？（2）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（m，p）﹣数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．参考答案一.选择题（共10小题）1．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，＝2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．2．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪（∁R B）＝（）A．（1，2]B．[2，4）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【分析】根据题意，求出集合A、B，进而由集合的运算分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}＝（1，4），B＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，2），则∁R B＝[2，+∞），则A∪（∁R B）＝（1，+∞）；故选：D．3．下列函数中，在（0，+∞）内单调递增，并且是偶函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝cos x+1C．y＝lg|x|+2D．y＝2x【分析】根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判定即可．解：A．y＝﹣（x﹣1）2的对称轴为x＝1，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝cos x+1是偶函数，但在（0，+∞）内不是单调函数，不满足条件．C．y＝lg|x|+2为偶函数，在（0，+∞）内单调递增，满足条件，D．y＝2x，（0，+∞）内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．4．函数y＝2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．【分析】由结合指数函数的单调性求解．解：∵，∴，则y＝2+1≥2．∴函数y＝2+1的值域为[2，+∞）．故选：C．5．在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．24D．36【分析】根据题意，把圆M的方程化为标准方程，分析其圆心坐标与圆的半径，结合直线与圆的位置关系可得AC、BD的值，进而分析可得答案．解：根据题意，圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，其圆心为（2，2），半径r＝3，过点E（0，1）的最长弦AC为圆M的直径，则|AC|＝6，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，且|ME|＝＝则有|BD|＝2×＝4，又由AC⊥BD，则四边形ABCD的面积S＝2×S△ABC＝2×（×AC×BE）＝12；故选：B．6．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin4x D．y＝cos4x【分析】根据三角函数图象平移变换进行求解即可．解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，C1的解析式为，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，C2的解析式为．故选：B．7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为＝2．故选：C．8．已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，1）D．（﹣1，0]【分析】作出y＝f（x）的图象，由题意可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，讨论k≤0，k＞0，结合平移和导数的几何意义，计算可得所求范围．解：作出函数f（x）＝的图象，由不等式f（x）≤|x﹣k|对任意的x∈R恒成立，可得y＝f（x）的图象不在y＝|x﹣k|的图象的上方，且y＝|x﹣k|的图象关于直线x＝k对称，当k≤0时，满足题意；当y＝|x﹣k|的图象与y＝f（x）的图象相切，即有y＝x﹣k为切线，设切点为（m，n），可得切线的斜率为＝1，则m＝1，n＝lnm＝0，k＝1，则0＜k≤1时，也满足题意．综上可得，k的范围是（﹣∞，1]．故选：A．9．已知数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，则“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由2a3＞a1+a5，得a1＜0，q≠±1，得＜0，充分性成立；举例说明必要性不成立．解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由2a3＞a1+a5，得＞，若a1＞0，则q4﹣2q2+1＜0，即（q2﹣1）2＜0，此式不成立；若a1＜0，则q4﹣2q2+1＞0，即（q2﹣1）2＞0，则q≠±1，此时＜0，充分性成立；反之，a n＝﹣1，满足S2n﹣1＜0，此时2a3＝a1+a5，必要性不成立．∴“2a3＞a1+a5”是“S2n﹣1＜0”的充分不必要条件．故选：B．10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，∴14班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴7班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，∴7班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．二.填空题（共5小题）11．已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为．【分析】由题意可得P在y轴右侧，所以可得等腰三角形的两边，由两点间的距离公式及a，c，b之间的关系，及离心率的范围求出双曲线的离心率．解：由题意可得左右焦点分别为：F1（﹣c，0），F2（c，0），因为P在y轴的右侧，所以相等的两边为PF1＝F1F2或PF2＝F1F2由题意可得：（2a+c）2+b2＝4c2整理可得：2c2﹣4ac﹣3a2＝0，即2e2﹣4e＝3＝0，e＞1，解得e＝，或（2a﹣c）2+b2＝4c2可得：2e2+4e﹣3＝0，e＞1，解得e＝＜1，不符合双曲线的条件；综上所述，离心率e＝，故答案为：．12．已知向量＝（1，1），＝（﹣3，m），若向量2﹣与向量共线，则实数m＝﹣3．【分析】先求出向量2﹣的坐标（5，2﹣m），这样根据向量平行时的坐标关系即可建立关于m的方程，解出m．解：因为向量＝（1，1），＝（﹣3，m），所以向量2﹣＝（5，2﹣m）；∵2﹣与向量共线；∴5m﹣（2﹣m）×（﹣3）＝0⇒m＝﹣3；故答案为：﹣3．13．如果抛物线y2＝2px上一点A（4，m）到准线的距离是6，那么m＝．【分析】首先求出抛物线y2＝2px的准线方程，然后根据点M（4，m）到准线的距离为6，列出4+＝6，直接求出结果．解：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，由题意得4+，解得p＝4．∵点A（4，m）在抛物线y2＝2px上，∴m2＝2×4×4，∴，故答案为：±4，．14．在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC＝，cos∠BCD＝﹣．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出AC的值，再利用勾股定理的逆定理判断∠ACD＝90°，由正弦定理和诱导公式求出cos∠BCD的值．解：如图所示，四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC2＝12+22﹣2×1×2×cos120°＝7，所以AC＝；又AC2+CD2＝7+9＝16＝AD2，所以∠ACD＝90°；由＝，sin∠ACB＝＝＝，cos∠BCD＝cos（∠ACB+90°）＝﹣sin∠ACB＝﹣．故答案为：，﹣．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是[0，9）．【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围．解：由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2），∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0；解得0≤m＜9；故答案为：[0，9）．三.解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，∠ABC ＝60°，△PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E 在线段BC上，且CE：EB＝1：3．（1）求证：DE⊥平面PAD．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG，通过证明PG⊥DE．然后证明DE⊥平面PAD；（2）取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y 轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC的法向量，平面DPC的法向量，平面APC与平面DPC的夹角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD中，∵点E在线段BC上，且CE：EB＝1：3，∴点E为BC上靠近C点的四等分点由平面几何知识可得DE⊥AD．∵点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG，∴PG⊥平面ABCD．∵DE⊂平面ABCD，∴PG⊥DE．又AD∩PG＝G，AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD．∴DE⊥平面PAD；（2）解：取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由（1）易知，DE⊥CB，CE＝1．又∠ABC＝∠DCB＝60°，∴．∵AD＝2，△PAD为等边三角形，∴．则G（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），，．∴，，，设平面APC的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令，则y1＝3，z1＝1，∴．设平面DPC的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即．令，则y2＝1，z2＝﹣1，∴．设平面APC与平面DPC的夹角为θ，则，∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．17．已知函数f（x）＝log k x（k为常数，k＞0且k≠1）．（1）在下列条件中选择一个②使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f（a n）}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f（a n）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k＝时，设a n b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）选②，由f（x）和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；（2）运用等比数列的通项公式可得a n，进而得到b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）①③不能使数列{a n}是等比数列，②可以．由题意f（a n）＝4+2（n﹣1）＝2n+2，即log k a n＝2n+2，可得a n＝k2n+2，且a1＝k4≠0，＝＝k2，由常数k＞0且k≠1，可得k2为非零常数，则{a n}是k4为首项、k2为公比的等比数列；（2）由（1）可得a n＝k4•（k2）n﹣1＝k2n+2，当k＝时，a n＝2n+1，a n b n＝，可得b n＝＝＝（﹣），前n项和T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【分析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，由此能求出甲参赛的概率．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，利用列举法能求出甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：（1，2，1，2），（1，2，1，3），（1，2，1，4），（1，2，2，3），（1，2，2，4），（1，2，3，4），（1，3，1，2），（1，3，1，3），（1，3，1，4），（1，3，2，3），（1，3，2，4），（1，3，3，4），其中满足条件的有（1，2，3，4），（1，3，2，4）两种，故所求概率p＝．19．已知函数f（x）＝+a2x+alnx，实数a＞0．（1）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性；（2）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）＝，令f′（x）＝0，可得x＝，分①当时，．②当0时，讨论．（2）⇔存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，（x＞0），利用导数可得g（x）min＝，只需a+aln2﹣alna﹣2＜0即可．令h（x）＝x+xln2﹣xlnx﹣2 利用导数求解．解：（1）＝＝．，（x＞0），令f′（x）＝0，可得x＝，x＝﹣（舍）．①当时，．函数f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，10）上的单调递增；②当0时，函数f（x）在区间（0，10）上单调递减．（2）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立⇔存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，（x＞0），，∵a＞0，∴g′（x）＞0⇒x＞，g°（x）＜0⇒0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴g（x）min＝，依题意只需a+aln2﹣alna﹣2＜0即可．令h（x）＝x+xln2﹣xlnx﹣2，h′（x）＝1+ln2﹣lnx﹣1＝ln2﹣lnx＝0，可得x＝2．∴h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，且h（2）＝0．∴实数a的取值范围（0，2）∪（2，+∞）．20．椭圆C的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为．（I）求椭圆C的方程：（II）设P是直线x＝a2上任意一点，过点P作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．【分析】（I）根据椭圆的离心率公式，及，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（II）方法一：设P点坐标，根据直线的斜率公式，化简，求得直线MN的方程，即可求证直线MN恒过一个定点；方法二：根据圆的性质，求得MN所在的圆的方程，与x2+y2＝2联立，化简，求得直线直线MN的方程，同理可得直线MN恒过一个定点；方法三：根据圆的极点与极线，求得直线MN的方程，因此可以证明直线MN恒过一个定点．解：（I）由题意可知，，解得，b＝c＝1，所以椭圆的标准方程；（II）证明：方法一：设点P（2，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）．其中，，由PM⊥OM，PN⊥ON，，，即，，注意到，，于是，2﹣2x1﹣y1y0＝0，2﹣2x2﹣y2y0＝0，所以，M，N满足2﹣2x﹣yy0＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．方法二：设点P（2，y0），过点P且与圆x2+y2＝2相切的直线PM，PN，切点分别为M，N，由圆的知识可知，M，N是圆以OP为直径的圆和圆x2+y2＝2的两个交点，由，消去二次项得直线MN方程为2﹣2x﹣yy0＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．方法三：由圆的极点极线可知，已知M（x0，y0）为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为，特殊地，知M（x0，y0）为圆C：x2+y2＝R2外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为．设点P（2，y0），由极点与极线可知，直线MN的方程2x+yy0＝2，即2x+yy0﹣2＝0，由y0的任意性可知，x＝1，y＝0，即直线MN恒过一个定点（1，0）．所以直线MN恒过一个定点（1，0）．21．定义：若数列{a n}满足所有的项均由﹣1，1构成且其中﹣1有m个，1有p个（m+p≥3），则称{a n}为“（m，p）﹣数列”．（1）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有多少种？（2）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（m，p）﹣数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．【分析】（1）三个数乘积为1有两种情况：“﹣1，﹣1，1”，“1，1，1”，其中“﹣1，﹣1，1”共有：＝12种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理能求出使得a i a j a k＝1的取法种数．（2）“﹣1，﹣1，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“（m，p）﹣数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：＝，再根据组合数的计算公式能得到（p﹣m）（p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2）＝0，利用p＝m和p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m ﹣2＝0分类讨论，能求出存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“﹣1，﹣1，1”，“1，1，1”，其中“﹣1，﹣1，1”共有：＝12种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理得：a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有：12+4＝16种．（2）与（1）基本同理，“﹣1，﹣1，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“（m，p）﹣数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：＝，再根据组合数的计算公式能得到：（p﹣m）（p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2）＝0，①p＝m时，应满足，∴（m，p）＝（k，k），k∈{2，3，4，…，100}，共99个，②p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时，应满足，视m为常数，可解得p＝，∵m≥1，∴，根据p≥m可知，p＝，（否则p≤m﹣1），下设k＝，则由于p为正整数知k必为正整数，∵1≤m≤100，∴5≤k≤49，化简上式关系式可以知道：m＝＝，∴k﹣1，k+1均为偶数，∴设k＝2t+1，（t∈N*），则2≤t≤24，∴m＝，由于t，t+1中必存在偶数，∴只需t，t+1中存在数为3的倍数即可，∴t＝2，3，5，6，8，9，11，…，23，24，∴k＝5，11，13，…，47，49．检验：p＝＝≤＝100，符合题意，∴共有16个，综上所述：共有99+16＝115个数对（m，p）符合题意．。

北京市2020年4月高考数学模拟试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|30M x x x =-<，{}|17N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．{}|13≤<x xB ．{}3|1x x <<C ．{}|07x x <<D ．{}|07x x <≤【答案】A 【解析】集合{}{}{}2|30|(3)0|03M x x x x x x x x =-<=-<=<<，故{}|13M N x x =≤<I .故选A ． 2．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】()322(1)21i i z i i i ==---()()111i i i +=-+-1122i =--，则1122z i =-+， z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限故选B ．3．曲线方程2240x y Ex y ++-+=表示一个圆的充要条件为（ ） A ．15E >B ．15E ≥C ．215E >D ．215E ≥【解析】表示圆的充要条件是()221440E +--⨯>，即215E >.故选C ． 4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 5．不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（-∞,2]B ．（-2,2]C ．（-2,2）D ．（-∞,2) 【答案】B【解析】因为不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则对二次项系数是否为零，分为两种情况来解得，求解得到a 的取值范围是（-2,2] ，故选B ． 6．若二项式22()nx x+的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中x 的系数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由展开式中二项式系数之和为16，即216n =，得4n =.展开式中44314422()2r rr r r r r T C xC x x--+== ， 令431r -=，得1r =，故x 的系数为11428C =，故选C ． 7．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72 D ．120【答案】C【解析】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C ．8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【解析】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--.根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.故选D ． 9．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．1316【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，所以灯泡亮的概率为31311616-=,故本题选D ． 10．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．15D ．25【答案】B【解析】分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n 6636=⨯=，共有36个基本事件；事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，故事件A 的概率为()121P 363A ==，故选B ． 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．向量a b r r ，的夹角为120°，且1,2a b ==r r ，则a b -rr 等于______． 【答案】【解析】Q 1||||cos12012()12a b a b ⋅==⨯⨯-=-or r r r∴2222||22(11)27a b ab b a -=-+=-⨯-+=r r r r r r故答案为．12．以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号）①若两非零向量,a b r r ，若0a b ⋅>r r ，则,a b r r 的夹角为锐角；②若a b ⊥r r ，则0a b ⋅=r r ，反之也对；③在ABC ∆中，若a b >，则sin sin A B >，反之也对； ④在锐角ABC ∆中，若2B A =，则,.64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【答案】③④【解析】对于①，a r 与 b r 同向时，若0a b ⋅>r r ，夹角为0o ，不是锐角，故①错误；对于②，若0a rr=时，则0a b ⋅=rr ，a r与 b r平行，故②错误；对于③，由正弦定理得，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B >⇔>⇔>,故③正确；对于④，由02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得64A ππ<<，即,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故④正确，故答案为③④.13．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得222212121122x x y y x y x y +++0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数： ①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>； ③2()28f x x =+ ④2()28f x x =-其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 【答案】① ④设()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v ，由向量的数量积的可得||||||OA OB OA OB ⋅≤⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，当且仅当向量OA OB u u u v u u u v ，共线（,,O A B 三点共线）时等号成立．故222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0时，当且仅当,,O A B 三点共线时成立．所以函数()f x 是“柯西函数”等价于函数()f x 的图象上存在不同的两点,A B ，使得,,O A B 三点共线． 对于①，函数()ln (03)f x x x =<<图象上不存在满足题意的点； 对于②，函数()1(0)f x x x x=+>图象上存在满足题意的点； 对于③，函数()228f x x =+图象上存在满足题意的点； 对于④，函数()228f x x =-图象不存在满足题意的点．故函数① ④是“柯西函数”．14．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 【答案】2 -0e x y = 【解析】设切点坐标为()2,tt e，()2xf x e=Q ，()22xf x e '∴=，()22tf t e '=，则曲线()y f x =在点()2,tt e处的切线方程为()222tty e ex t -=-，由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =，因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 15．函数()142(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是______．【答案】()1,6【解析】令x ﹣1=0，解得：x=1，此时y=4+2=6，故函数恒过定点（1，6），四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连接ME ，1B CM Q ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =,又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =I ，11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD Q 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A，()0,1,2M，)14A ，D （0，-1,0）1,,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭Q 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=o BAD ∴∆为等边三角形DF AB ∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴u u u r为平面1AMA 的一个法向量，且3,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)11,2MA =-u u u u r，3,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu ur 120302n MA y z n MN y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v ru u u u v r，令x =1y =，1z =-)1n ∴=-rcos ,5DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u rr sin ,5DF n ∴<>=u u u r r ∴二面角1A MA N --的正弦值为5 17．（本小题14分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）（1）212n na -=；（2）2n S n =.【解析】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，2.2)112(n n n n S n =+-=18．（本小题14分）2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量Y ，试求随机变量Y 的分布列及方差.【答案】(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=. （2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元）. （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为 Y 01 2 P11638916∴随机变量Y 的方差313()2448D Y =⨯⨯=． 19．（本小题15分）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】(1) a=212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=aex –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a=212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x<2时，f ′（x ）<0；当x>2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1ex x --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x<1时，g′（x ）<0；当x>1时，g′（x ）>0．所以x=1是g （x ）的最小值点．故当x>0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 20．（本小题14分）在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:MN x my =22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且12y y +=，122202y y m -=<+由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+，解得227m =，即7m =±，所以直线MN的方程为07x y -=或07x y ++=． 21．（本小题14分） 对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2nk =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是11 每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==； 当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.。

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望； （III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为， 在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人； （II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2， 则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。

北京市高考模拟北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件北京市高考模拟（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是 （A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增 （8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u u r u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为 （A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）北京市高考模拟（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}则()A. A⊆BB. A⊇BC. A⊆∁U BD. B⊆∁U A2.下列函数是偶函数且值域为[0,+∞)的是()①y=|x|②y=x3③y=2|x|④y=x2+|x|A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于()A. 2B. 3C. 4D. 54.设两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β.下列命题正确的是()．A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β5.在△ABC中，a=15，b=10，A=π3，则cos B等于()A. √33B. √63C. −√63D. ±√636.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 8B. 4C. 83D. 438.命题“a>b”是命题“ac2>bc2”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()A.B.C.D.10. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A. 10B. 15C. 20D. 24二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若复数(1+i)(a −i)为纯虚数，则实数a =______．12. 若双曲线的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点为(4,0)，则该双曲线的标准方程为________． 13. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1+2a n =0(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n =______．14. 已知O 为坐标原点，点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π.若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，则OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为S n .又___，且S 5=40，是否存在大于1的正整数k ，使得S k =S 1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．从①a 1=4，②d =−2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD//BC，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点．(1)求证：AM//平面PCD；DC，求直线MN与平面PCD所成角的(2)若∠ABC=90°，点N是线段CD上一点，且DN=13正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(Ⅰ)估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；(Ⅱ)据统计，该地区被访者的签约率约为44％.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−2,1)，且C 的离心率为√32． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求l 的方程．20. 已知函数f(x)=e x (sinx +cosx)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求证：曲线y =f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．21.已知集合U={1,2，…，n}(n∈N∗,n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=⌀，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)．(1)写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A⊇B．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能判断集合A和B的包含关系．本题考查两个集合的包含关系的判断，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．由函数的奇偶性与值域逐一判断，即可找出正确选项．解：①函数y=f(x)=|x|，可得f(−x)=|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f(x)=x3，可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，②错误；③易知y=2|x|为偶函数，但值域为[1,+∞)，故③错误；④y=f(x)=x2+|x|，可得f(−x)=(−x)2+|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且y= x2+|x|≥0，故④正确．故选C．3.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．故选B．4.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，属于基础题，根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明，逐个选项判断即可．解：A中，m与n可垂直、可异面、可平行、可相交，故A错误，B中m与n可平行、可异面，故B错误，C中若α//β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误，D中，m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴在β内存在一直线l//n，且l⊥α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．解：∵a=15，b=10，A=π3，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa=10×√3215=√33，∵a>b，可得B为锐角，。

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合A={x|x＞2，x∈R}，B={x|x2-2x-3＞0}，则A∩B=（）A. （3，+∞）B. （-∞，-1）∪（3，+∞）C. （2，+∞）D. （2，3）2.已知复数z=a2i-2a-i是正实数，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. ±13.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A. y=x+2B. y=sin xC. y=x-x3D. y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2，a1+a4=5，则S6=（）A. 10B. 9C. 8D. 75.在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A. -B. -C.D. -6.设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A. a+b＞cB. ab＞c2C.D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A. 2，且∉SB. 2，且∈SC. ，且D. ，且8.已知点M（2，0），点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A. B. 2（-1） C. 4 D. 49.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④10.设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（a∈R）有四个实数解x i（i=1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3-x4）的取值范围是（）A. （0，101]B. （0，99]C. （0，100]D. （0，+∞）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为______．12.若向量满足，则实数x的取值范围是______．13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①______．②______．14.函数的最小正周期为______；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为______．15.集合A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，B={（x，y）||xy|+1=|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为______．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x=是函数f（x）的对称轴；③f（）=0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO=AD=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O-PC-D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19.设函数f（x）=a ln x+x2-（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f （x）＞-e2．20.设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n=0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21.对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k≤n，且a1+a2+…+a k=n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，a k=b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）答案和解析【答案】1. A2. C3. C4. B5. A6. C7. D8. D9. D10. B11. 6012. （-3，1）13. 甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展14. π15. ②③16. 解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω==2；又x=是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ=+kπ，k∈Z；解得φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=；所以f（x）=sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17. 解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD=2BC=2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA=BC=1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD=CD=1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O-PC-D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s-2）=λ（1，1，-2）=（λ，λ，-2λ），故，即E （λ，λ，2-2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18. 解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1=5万人；（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X=0，1，2，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，x01 2 p故E（X）=0，（III）m的最小值为4．19. （Ⅰ）解：根据条件f′（x）=+2x-（a+2），则当x=2时，f′（2）=+4-（a+2）=-+2=tan=1，解得a=2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）=+2x-（a+2）=，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）=0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）=a ln+-（a+2）=a lna--（1+ln2）a，设g（x）=x lnx--（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）=ln x+1--（1+ln2）=ln x--ln2，则g′′（x）=-＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）=2e ln2e-e2-2e（1+ln2）=-e2＜g（2），所以g（x）＞-e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞-e2．20. 解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x=ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2-2=0，∴，且△=4m2t2-4（t2+2）（m2-2）＞0，即t2-m2+2＞0，∴==，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|=|CD|，即m2=n2，由m≠n，故m=-n，即m+n=0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m=-n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|=|OB|，那么，则，∴x1=x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21. 解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1=a2=…=a k=2，k=，当n为奇数时，a1=a2=…=a k-1=2，a k=3，k=．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n=0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1-1，a2-1，…，a k-1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n=2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2=g2；当n=4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4=g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4．【解析】1. 解：A={x|x＞2，x∈R}，B={x|x2-2x-3＞0}={x|x＞3或者x＜-1}，则A∩B=（3，+∞），故选：A．求出集合B，再求出交集考查集合的运算及其交集，基础题．2. 解：因为z=a2i-2a-i是正实数，所以，解可得a=-1．故选：C．结合已知及复数的概念进行求解即可．本题主要考查了复数概念的简单应用，属于基础试题．3. 解：A：y=x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y=sin x的值域[-1，1]，不符合题意；C：y=x-x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y=2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．本题主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断及值域的求解，属于基础试题．4. 解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2，a1+a4=5，∴a3-2d+a3+d=5，∴4-d=5，解得d=-1，∴a1=2+2=4，a6=a1+5d=4-5=-1，∴S6===9，故选：B．先求出公差，再根据求和公式即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．5. 解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi=（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x +yi=-2+i，∴x=-2，y=1，即B（-2，1）．由题意，sin（α-90°）==-cosα，∴cosα=-=-，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，属于基础题．6. 解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．本题考查不等式性质的运用，属于基础题．7. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB=BC=CD=AD=DE=2，AE=CE=2，BE=．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8. 解：设P（x，y），可得===x≥2=4．当且仅当x=2时取得最小值4．故选：D．设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．本题考查抛物线的简单性质以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．9. 解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．结合图象直接观察得解．本题主要考查函数图象的变换，考查数形结合思想，属于基础题．10. 解：函数f（x）=的图象如右：关于x的方程f（x）=a（a∈R）有四个实数解，可得y=f（x）的图象与直线y=a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2=2×（-5）=-10，|lg x3|=|lg x4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得-lg x3=lg x4，即lg x3+lg x4=0，即有x3x4=1，x4=，故（x1+x2）（x3-x4）=-10（x3-），又由函数y=x-在[，1）上递增，可得函数y=x-在[，1）上的值域为[-9.9，0），可知-10（x3-）的取值范围为（0，99]．故选：B．由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y=x-在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．本题考查函数图象的运用及函数方程的关系，考查数形结合思想，正确作出函数图象，并从图象中挖掘出有效信息是解题的关键，属于中档题．11. 解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1=•x12-2r•2r=2r•x12-2r，令12-2r=8，解得r=2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22=60，故答案为：60．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12. 解：因为：向量；∴=x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒-3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（-3，1）．故答案为：（-3，1）．先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．本题考查向量数量积的坐标运算，不等式的解法，属于基础题目．13. 【分析】本题考查频率折线图，考查学生读取图表的能力，属于基础题．直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14. 解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x=0时，2x+=；当x=a时，2x+=2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．15. 解：A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y=a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成-x，-y方程不变，因此|x|+|y|=a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1=|x|+|y|∴|xy|-|x|-|y|+1=0即（|x|-1）（|y|-1）=0∴|x|=1或|y|=1即x=±1，y=±1B={（x，y）|x=±1，或x=±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB=45°又A（1，a-1），∴tan∠xOA=a-1，tan∠AOB=tan2∠xOA===1，即2a-2=2a-a2，∴a2=2∵a＞0，∴a=②如图2，∠AOB=45°又A（a-1，1）∴tan∠xOA=，tan∠AOB=tan2∠xOA====1，即2a-2=-2a+a2，∴a2-4a+2=0，解得a=2+或a=2-（舍），综上a=或a=2+．故答案为：②③．根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，利用曲线的轨迹，结合两角和差的正切公式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．16. （Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．本题主要考查三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17. （Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．本题考查线面平行的判定，空间向量与二面角以及通过数量积来证明线线垂直，考查逻辑推理能力，运算求解能力，数形结合思想等，属于中档题．18. （I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X=0，1，2，求出分布列和数学期望；（III）根据题意，求出即可．本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能力和实际应用能力，中档题．19. （Ⅰ）求出函数在x=2处的导数f′（2）=-+2=tan=1，解得a=2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）=0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）=x lnx--（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查导数的综合应用，属于难题20. （Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|=|CD|，可得m2=n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了弦长公式以及点到直线的距离公式的运用，考查逻辑推理能力以及计算求解能力，属于中档题．21. （Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n=0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n=2时，f2=g2；当n=4时，f4=g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．本题考查正整数分拆的定义及应用，最大的实数值的求法，考查不等式的证明，考查分类讨论思想，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．。

2020年5月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1iz i =-，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i ?i 1i z =--=--，1i z ∴=-+，故选C ． 2．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2- C ．{}2,0,2- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】{}{}333A x x x x =<=-<<Q ，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-I ，故选C ．3．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（ ） A ．3()2x f x =-+ B ．12()log ||f x x = C ．3()3f x x x =- D ．()sin f x x =【答案】C【解析】对于A ，()3()2f x f x x -=+≠-，不是奇函数，故A 错误；对于B ，()12()log ||f x x f x -=-=，∴()f x 为偶函数不是奇函数，故B 错误；对于C ，()3()3f x x x f x -=-+=-，∴()f x 为奇函数；由()2()31f x x '-=-，当()0,1x ∈时，()0f x '-<，故()f x 在()0,1上单调递减，故C 正确；对于D ，由正弦函数的单调性可知，函数()sin f x x =在()0,1上单调递增，故D 错误．故选C ．4．函数1y =+的值域为（ ）A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】Q0，∴1，则12y =+…，∴函数1y =+的值域为[2，)+∞，故选C ．5．已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A【解析】由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tantan 033c ππ===，故01c b a <<<<，故选A ． 6．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋(y ＋1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋1)2＋y 2＝1 【答案】D【解析】由题可知：圆C 的圆心()1,0C -，半径为1，∴圆C 的方程为：()2211x y ++=，故选D ．7．将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A ．()g x 为偶函数 B ．02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D【解析】由题意得()sin 2g x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由(0)sin12g πω==，得出cos02πω=，则()sin sin coscos sincos 222g x x x x x ππωπωωωωωω⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭．对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数；对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2x k k Z ππ=+∈得：,105k x k Z ππ=+∈．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，x \可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点；对D 项，由22,k x k k Z πωππ≤+∈…，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 在区间0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．∵()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴5ππω≤，解得05ω<≤，即ω的最大值为5，故选D ． 8．当[]0,1x ∈时，若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭ C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时，又∵m 为正实数，函数()()21f x mx =-的图象二次函数，在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在区间1,1m 骣琪琪桫为增函数；函数()22m m g x x x =+=+，是斜率为1的一次函数，最小值为()min 2m g x =，最大值为()max 12mg x =+． ①当11m≥时，即01m <≤时，函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数，()2m g x x =+在区间[]0,1为增函数，()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点，则()()max min f x g x ≥，()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥，解得2m ≤，∴01m <≤． ②当101m <<时，即1m >时，函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在区间1,1m 骣琪琪桫为增函数，()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数，()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点，则()()max min f x g x ≥，()()max min 00f g ≥，即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点，()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩，()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩，解得12m <≤或52m >．综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，故选B ．9．若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不妨设1r =，则11p p a a a ，+=12p p a a ，+∴=12p pa a +\= {}n a ∴为等比数列；故充分性成立，反之若{}n a 为等比数列，不妨设公比为q ，111=2p r r p r p q a a q ++-+-=，22214p r p r p r a a a q q +-+-==．当2q ¹时p r p r a a a +≠，∴必要性不成立，故选A ．10． 为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则（ ）A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A【解析】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次．故选A ． 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．若双曲线()2221016x y a a -=>经过点()2,0，则该双曲线渐近线的方程为 ．【答案】2y x =±【解析】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程得241a =，0a >Q ，可得2a =，∴双曲线的方程为221416x y -=，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±． 12． 已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于 ．【答案】12 【解析】∵//a b r r ，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =．13．抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ．【答案】(3,±【解析】∵焦点(1,0)F ，∴2p =．设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±，∴点M 的坐标为(3,±．14．在△ABC 中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD = ；△ACD 的面积为 ．【答案】 【解析】2,3ADC Q π∠=,3ADB π∴∠=在ABD △中由正弦定理得：sinB sin AD ABADB=∠，sinB 4sin sin3AB AD ADB ππ===∠在ACD V中，11sin 2222ACD S AD DC CDA V =⨯∠=⨯⨯=； 15．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 【答案】①②【解析】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x=对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点,22A，(22B -，(22C --，,22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确．故答案为：①② 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC （2）已知1AP =，AD =，AB =求二面角D AE C --的余弦值．【解析】(1)以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,AB a AD b AP c ===， 由几何关系有：()()()()0,0,,,0,0,0,0,0,0,,,,,022b c P c B a A E C a b ⎛⎫⎪⎝⎭， 则直线PB 的方向向量为：(),0,PB a c =-u u u v，()0,,,,,022b c AE AC a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 设平面AEC 的法向量(),,m x y z =u r ，则：0220b c m AE y z m AC ax by ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 据此可得：平面AEC 的一个法向量为(),,m bc ac ab =-v，结合0PB m abc abc ⋅=-=u u u v v 可知：PB m ⊥u u u v v，据此可得：//PB 平面AEC ．(2)结合(1)的结论可知：1a b c ===，则平面AEC 的一个法向量为(),,m bc ac ab =-=v．由AB ⊥平面DAE 可知平面DAE的一个法向量为：(n AB ==u u uv v ，据此可得：m n m n ⋅====v v v vcos ,11m n m n m n ⋅===⨯v v v v v v ，观察可知二面角D AE C --的平面角为锐角，故二面角D AE C --． 17． （本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列，______，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？ 【解析】方案①设等比数列{}n b 的公比为q ，等差数列{}n a 的公差d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=得：3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--，又511a b ==-，4427a b ==，5428d a a ∴=-=-，()127328111a ∴=-⨯-=，28139n a n ∴=-+，由1k k S S ->且1k k S S +<可得：11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，即()1281390211390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，解得：1111392828k <<，又k 为正整数，4k ∴=，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案②设等比数列{}n b 的公比为q ，等差数列{}n a 的公差d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=得：3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--，又511a b ==-，252a b +=，25283a b ∴=-=，522852a a d -∴==--，()127328111a ∴=-⨯-=，28139n a n ∴=-+．由1k k S S ->且1k k S S +<可得：11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，即()1281390211390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，解得：1111392828k <<，又k 为正整数，4k ∴=，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案③设等比数列{}n b 的公比为q ，等差数列{}n a 的公差d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=得：3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--，又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得：111128a d =⎧⎨=-⎩，28139n a n ∴=-+． 由1k k S S ->且1k k S S +<可得：11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，即()1281390211390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩， 解得：1111392828k <<，又k 为正整数，4k ∴=，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ︒）平均在36C 37C ︒-︒之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热（有生命危险）：40T >．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：（I ）请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值；（II ）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查，记X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；（III ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由． 【解析】（I ）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C ︒，记平均体温为x ，()139.439.740.139.939.239.039.55C 6x =+++++=︒． ∴患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C ︒． （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，()3032351010C C P X C ===，()213235631105C C P X C ====，()1232353210C C P X C ===， 则X 的分布列为： ∴()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）“抗生素C ”治疗效果最佳，理由如下：①“抗生素B ”使用期间先连续两天降温后又回升0.1C ︒，“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C ︒，说明“抗生素C ”降温效果最好，故“抗生素C ”治疗效果最佳②“抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C ︒，方差约为0．0156：“抗生素C ”平均体温38C ︒，方差约为0．1067，“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C ”治疗效果最佳． 19．（本小题15分） 已知函数()11xx f x e x +=--． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线．【解析】（1）∵()11xx f x e x +=--， ∴001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+．∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （2）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠．∵22()e 0(1)xf 'x x =+>-， ∴()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．∵(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，∴()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．∵2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，∴()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+．设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e x x =，031ex x =，30y x =-，即切点为001(,)e x x -． ∴曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--． ∵0x 是()f x 的一个零点，∴00011x x ex +=-． ∴00000000011e e e (1)(1)1x x x x x x x x x -+-+=-=-=--．∴这两条切线重合，∴结论成立． 20．（本小题14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2．(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形．【解析】(I)由题意得2221222c a ab b c a ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===2214x y +=．(II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -，设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+， ()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫⎪-+-+⎝⎭．又直线1A M 的直线方程为()22n y x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+． ()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫⎪++++⎝⎭．22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=． 2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++()()222264(44)02222mn m n n m n m +-==-+++，22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形．21．（本小题14分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i ，j =1，2，3，…，n )表示位于第i 行第j 列的实数，且a ij ∈{1，-1}．记S (n ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于()A n n ∈，，记r i (A )为A 的第i 行各数之积，c j (A )为A 的第j 列各数之积．令()()()11n niji j l A r A c A ===+∑∑（Ⅱ）请写出一个A ∈S (4，4)，使得l (A )=0； （Ⅱ）是否存在A ∈S (9，9)，使得l (A )=0？说明理由；（Ⅱ）给定正整数n ，对于所有的A ∈S (n ，n )，求l (A )的取值集合． 【解析】（Ⅱ）答案不唯一，如图所示数表符合要求．（Ⅱ）不存在A ∈S (9，9)，使得l (A )=0，证明如下： 假如存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．∵(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}129)3(j c A i j ∈-=⋯，,,,,， ∴1()r A ，2()r A ，．．．，9()r A ，1()c A ，2()c A ，．．．，9()c A 这18个数中有9个1，9个-1． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋯⋅⋅⋯．一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而9(1)1M =-=-①，另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋯表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋯也表示m ，从而21M m ==②，①，②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． （Ⅱ）记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋯； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋯； 从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋯=⋅⋯③， 注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}(1,1)j c A i n j n ∈-≤≤≤≤，下面考虑1()r A ，2()r A ，．．．，()n r A ，1()c A ，2()c A ，．．．，()n c A 中-1的个数，由③知，上述2n 个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤，则1的个数为2n -2k ， ∴()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-， 对数表0:1(,1,2,3,,)ij A a i j n ==⋯，显然()02l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为-1，得到数表1A ，显然()124l A n =-， 将数表1A 中的22a 由1变为-1，得到数表2A ，显然()228l A n =-， 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为-1，得到数表k A ， 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ==⋯==-≤≤，其余1ij a =， ∴12()()()1k r A r A r A ==⋯==-，12()()()1k c A c A c A ==⋯==-， ∴()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-，由k 的任意性知，l （A ）的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=⋯．。

高三数学试卷 第1页（共25页高三年级四月份测试题 数学试卷A 2020.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知命题p ：x ∀∈R ，e 1>x ，那么命题p 的否定为（A ）0R x ∃∈，0e 1x ≤ （B ）R x ∀∈，e 1<x （C ）0R x ∃∈，0e 1x >（D ）R x ∀∈，e 1≤x（2）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（A ）3()2f x x =-+（B ）12()log ||f x x =（C ）3()3=-f x x x （D ）()sin f x x =（3）设集合2{340}A x x x =∈-->Z |，2{|e 1}x B x -=<，则以下集合P 中，满足()P A B ⊆R I ð的是（A ）{1,0,1,2}- （B ）{1,2}（C ）{1}（D ）{2} （4）已知3log2=a ，0.2log 0.3=b ，11πtan 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）<<b a c （B ）<<c b a （C ）<<c a b （D ）<<b c a（5）若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为（A ）14（B ）12 （C ）34（D ）1高三数学试卷 第2页（共25页（6）已知向量(2,23)=a ，若(3)+⊥a b a ，则b 在a 上的投影是（A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-（7）已知△ABC ，则“sin cos A B =”是“△ABC 是直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为 （A ）5049 （B ）5050 （C ）5051 （D ）5101（9）已知双曲线2212-=y x 的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,)A a ，直线AB 过抛物线M的焦点，交抛物线M 于另一点B ，则AB 等于 （A ） 3.5（B ）4（C ）4.5（D ）5（10）关于函数2()(1)e xf x x ax =+-，有以下三个结论：① 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ② 函数的极值点不可能是1-； ③ 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（A ）3个 （B ）2个（C ）1个（D ）0个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={2,3，5，7，11}，B={x|x2>9}，则A∩B=()A. {3,5，7，11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7，11}2.若复数(a+1)+(a2−1)i(a∈R)是实数，则a=()A. −1B. 1C. ±1D. 不存在3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y=(12)xC. y=|x|D. y=−x34.等差数列{a n}中，a2+a5+a8=12，则前9项和S9=()A. 18B. 24C. 36D. 485.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=()A. −45B. −35C. 35D. 456.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D. 1a <1b7.某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A. 3∈AB. 5∈AC. 2√6∈AD. 4√3∈A8.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P(x,y)在抛物线C上，且x=1，则|PF|=()A. 98B. 32C. 178D. 529.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.10. 方程|lgx|+x −3=0实数解的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．12. 已知向量a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分别如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70]，2个．则样本在[10,50)上的频率是__________．14. 函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为___________．15. 已知|cos θ|=15，5π2<θ<3π，那么sin θ2=____. 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A >0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAC；(Ⅱ)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)求二面角A−PD−C的余弦值．18.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种，现邀请甲、乙两人试行10天．两种方案如下：甲无保底工资，送出50件以内(含50件)，每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每出送一件再支付2元．分别记录其10天的件数，得到如下茎叶图：若将频率视作概率，回答以下问题：(1)记甲的日工资额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(2)如果仅从日工资额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．+ln x−1．19.已知a∈R，函数f(x)=ax(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．20.椭圆C：x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限)．(Ⅰ)求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；(Ⅱ)求四边形APBQ面积的取值范围．21.设k为正整数，若数列{a n}满足a1=1，且(a n+1−a n)2=(n+1)k，则称数列{a n}为“k次方数列”．(1)设数列{a n}为“2次方数列”，且数列{a nn}为等差数列，求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}为“4次方数列”，且存在正整数m满足a m=15，求m的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={2,3，5，7，11}，B ={x|x 2>9}={x|x <−3或x >3}，∴A ∩B ={5,7，11}．故选：D ．2.答案：C解析：本题考查复数的概念.根据复数是实数，可知a 2−1=0，由此可得a 的值．解：∵复数(a +1)+(a 2−1)i(a ∈R)是实数，∴a 2−1=0，解得a =±1．故选C ．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，属于基础题．分别判断各选项函数的奇偶性、单调性即可．解：A.y =1x 是奇函数，在区间(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，但是在定义域内不是减函数，不符合题意；B .y =(12)x 是非奇非偶函数，不符合题意；C .y =|x| 是偶函数，不符合题意；D .y =−x 3是奇函数，且在定义域R 上单调递减，符合题意．故选D ．解析：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a5+a8=12，由等差数列的性质得：a5=13(a2+a5+a8)=4，∴前9项和为：S9=(a1+a9)×92=9×a5=36．故选：C．根据等差数列的性质求出a5的值，再根据前n项和公式求出S9即可．本题考查了等差数列的性质与前n项和公式的运用，是基础题目．5.答案：D解析：本题考查任意角的三角函数，属于基础题．直接根据三角函数的定义，即可求得结果．解：∵角α的终边过点P(3,4)，则|OP|=√32+42=5，，故选D．6.答案：A解析：本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．解析：本题考查几何体的三视图．由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，判断出线面的位置关系，由勾股定理求几何体的棱长，即可得答案．解：由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，如图所示，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥AB，DE⊥DC，DE⊥BD，所以EC=√DC2+DE2=4√2，EF=FB=√AF2+AB2=2√5，BE=√DE2+BD2=√42+4√22=4√3，A为此几何体所有棱的长度构成的集合，所以A={2,4,4√2,4√3,4√5}．故选D．8.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．解：由y=2x2，得x2=y2，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178．故选：C．9.答案：B解析：本题考查了图象的画法，由函数的性质结合特殊值可排除得答案．解：当x<0时，函数f(x)=1x +ln(−x)，由函数y=1x，y=ln(−x)都单调递减知函数f(x)=1x+ln(−x)单调递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln x，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，B正确，故选B．10.答案：C解析：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，结合图象得出结论．解：方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数为2，故选C．11.答案：32解析：本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．12.答案：2解析：解：由已知得到a⃗⋅b⃗ =2×(−3)+2×4=−6+8=2；故答案为：2．利用平面向量的数量积的坐标表示解答．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；a⃗=(x,y)，b⃗ =(m,n)，则a⃗⋅b⃗ =xm+yn．13.答案：710解析：本题考查频率的概念．本题属于容易题．解：由题知[10,50)上的频率为2+3+4+520=1420=710．故答案为：71014.答案：[−π,π3]解析：本题考查正弦函数的图象与性质，根据正弦函数的单调递增区间可得结果． 解：因为−π≤x ≤π2， 所以−π6≤12x +π3≤7π12，所以函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为： −π6≤12x +π3≤π2， 解得−π≤x ≤π3． 故答案为[−π,π3]．15.答案：−√155解析：本题考查了三角函数二倍角公式是应用，属于基础题.先将|cosθ|=15去绝对值得cosθ=−15，再由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15，解出sin θ2的值即可． 解：∵5π2<θ<3π，|cosθ|=15，∴cosθ=−15， 由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15， ∴2sin 2θ2=65，∴sin 2θ2=35， ∵sin θ2<0， 所以sin θ2=−√155．故答案为−√155．16.答案：解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中ω>0，A >0，|φ|<π2)的图象，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，∴φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3).(2)在[−π4,π6]上，2x +π3∈[−π6,2π3]，所以，当2x +π3=π2，即x =π12,f(x)max =f(π12)=1； 当2x +π3=−π6，即x =−π4,f(x)min =f(−π4)=−12． 所以函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． (2)利用正弦函数的定义域和值域，即可求得函数y =f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.答案：解：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PA ⊥底面ABCD.又因为∠BAD =90°， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AD =2，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，1)．(Ⅰ)证明：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 0, 1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, 1, 0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1, 1, 0)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC =A ，所以CD ⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)设侧棱PA 的中点是E ，则E(0,0,12)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)． 设平面PCD 的一个法向量是n =(x,y ，z)，则{n ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2, −1)， 所以{−x +y =02y −z =0取x =1，则n =(1,1，2)．所以n ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)⋅(−1,0,12)=0，所以n ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD.(8分)(Ⅲ)由已知，AB ⊥平面PAD ，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量． 由(Ⅱ)知，n =(1,1，2)为平面PCD 的一个法向量． 设二面角A −PD −C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 所以cosθ=n⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6×1=√66． 即二面角A −PD −C 的余弦值为√66.(13分)解析：(I)由已知易得，AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD 的方向向量及平面PAC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．(II)设侧棱PA 的中点是E ，我们求出直线BE 的方向向量及平面PCD 的法向量，代入判断及得E 点符合题目要求；(III)求现平面APD 的一个法向量及平面PCD 的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A −PD −C 的余弦值．利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18.答案：解：(1)设甲日送件量为a ，则当a =48时，X =48×3=144，当a =49时，X =49×3=147，当a =50时，X =50×3=150，当a =51时，X =50×3+5=155，当a =52时，X =50×3+5×2=160， ∴X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160． ∴X 的分布列为：所以E(X)=144×110+147×310+150×15+155×15+160×15=151.5(元); (2)乙日送件量为：48×0.2+49×0.1+50×0.2+51×0.3+52×0.2=50.2乙的日均工资额为：50+50.2×2=150.4(元)， 而甲的日均工资额为：151.5元，150.4元<151.5元， 因此，推荐该公司选择乙的方案．解析：本题考查茎叶图、离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． (1)根据离散型随机变量的性质求出分布列和数学期望即可； (2)根据甲、乙的均值判断即可．19.答案：解：函数定义域x ∈(0,+∞)，所以 f′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，x ∈(0,+∞)．因此 f′(2)=14.即曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 14． 又 f(2)=ln2−12，所以曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y −(ln2−12)=14(x −2)， 即x −4y +4ln2−4=0．(2)因为 f(x)=ax +lnx −1，所以 f′(x)=−ax 2+1x =x−a x 2.令f′(x)=0，得x =a ．①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上单调递减， 当x ∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上单调递增， 所以当x =a 时，函数f(x)取得最小值ln a ．③若a ≥e ，则当x ∈(0,e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，所以当x =e 时，函数f(x)取得最小值 ae .综上可知，当a ≤0时，函数f(x)在区间(0,e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae ．解析：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．(1)把a =1代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式，求出f′(x)，因为曲线的切点为(2,f(2))，所以把x =2代入到f′(x)中求出切线的斜率，把x =2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；(2)借助于导数，将函数f(x)=ax +lnx −1的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．20.答案：(Ⅰ)证明：设直线l 方程为：y =12x +b 代入椭圆C ：x 24+y 2=1并整理得：x 2+2bx +2b 2−2=0设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2bx 1x 2=2b 2−2．从而k AP +k BQ =y 1x1−2+y 2−1x 2=x 1x 2+(b−1)(x 1+x 2−2)(x 1−2)x 2=2b 2−2+(b−1)(−2b−2)(x 1−2)x 2=0，所以直线AP 、BQ 的斜率之和为定值0． (Ⅱ)设C ：x 24+y 2=1的左顶点和下顶点分别为C 、D ，则直线l 、BC 、AD 为互相平行的直线，所以A 、B 两点到直线l 的距离等于两平行线BC 、AD 间的距离d =√1+14．∵|PQ|=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14|x 2−x 1|，∴S APBQ =12d ⋅|PQ|=|x 2−x 1|=√8−4b 2，又p 点在第一象限， ∴−1<b <1， ∴S ∈(2,2√2]．解析：略21.答案：解：(1)因为数列{a n}为“2次方数列”，所以(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.又a1=1，故a2=−1或a2=3．当a2=3时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为12，所以a nn =1+(n−1)×12=12(n+1)，所以a n=12(n2+n)，经检验，满足题意;当a2=−1时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为−32，所以a nn =1−32(n−1)=−32n+52，所以a n=−32n2+52n，经检验，不满足题意，舍去．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=12(n2+n)．(2)因为数列{a n}为“4次方数列”，所以a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2．因为a m=15，当m≤3时，a m的最大值是1+22+32=14，所以m≤3时不成立;当m=4时，因为1±22±32±42等于−28，−20，−10，−2，4，12，22，30，所以m=4时不成立;当m=5时，因为1−22+32−42+52=15，所以m的最小值为5．综上所述，m的最小值为5．解析：本题考查新定义下的数列问题，属于较难题．(1)根据新定义：数列{a n}为“2次方数列”，则(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.}为等差数列，得到通项公又a1=1，故a2=−1或a2=3.分别对a2的两种情况讨论，借助于数列{a nn式；(2)根据数列{a n}为“4次方数列”，得到a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2.由a m=15，分别讨论当m≤3时当m=4时，当m=5时是否成立，成立即为所求．。

2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1.已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}11B x x =-<<，则=A B U （ ） A. {}-11x x ≤≤ B. {}-10x x <≤ C. {}-11x x ≤< D. {}01x x <<【答案】C 【解析】 【分析】解集合{}10A x x =-≤≤，即可求A B ⋃．【详解】解一元二次不等(1)0x x +≤，可得{}10A x x =-≤≤，则=A B ⋃ {}-11x x ≤<，故选C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题． 2.已知复数12-=iz i（其中i 是虚数单位），则z =（ ）A.2C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模长的性质即可求解.【详解】Q 复数22111122222i i i i z i i i --+====---，z ∴==， 故选：A .【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2- B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)-【答案】B 【解析】试题分析：准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.考点：抛物线的性质. 4.设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A 【解析】 【分析】根据0x <即可根据基本不等式得出12x x-+≥-，从而可得出()4f x ≤-，并且1x =-时取等号，从而得出()f x 有最大值，由对勾函数的图象知()f x 在(,0)-∞没有单调性，从而得出正确的选项.【详解】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.【点睛】本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.5.已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若0a b >>，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0a b >->， 即0a >，0b <，满足a b >，即必要性成立，即“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A. 12 B. 36 C. 72 D. 720【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336A A =种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有222A =种情况，则有36272⨯=种不同的坐法. 故选：C.【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题. 7.已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ） A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心在直线y x =上，设出圆心坐标为(),a a ，利用圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.【详解】圆心在y x =上，设圆心为(),a a ，Q 圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a =⇒=，∴圆心坐标为()1,1，R == 圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.8.已知正项等比数列{}n a 中，51927a a a =，6a 与7a 的等差中项为9，则10a =（ ） A. 729 B. 332 C. 181 D. 96【答案】D 【解析】 【分析】正项等比数列{}n a 的公比设为q ，0q >，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q ，再由等比数列的通项公式计算可得所求值. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由51927a a a =，可得3527a =，即53a =，即413a q =，①6a 与7a 的等差中项为9，可得6718a a +=，即561118a q a q +=，②由①②可得260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍），则510533296a a q ==⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ） A. 10天 B. 15天 C. 19天 D. 2天【答案】C 【解析】 【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x 的范围，列出方程求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积()2xy a x *=⋅∈N ，根据题意，令()20222xa a ⋅=⋅，解得19x =，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题. 10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】将原问题转化为Venn 的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当b =c =e ＝0时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则{12,k k λ==，所以12λ=． 考点：向量共线．12.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α=______________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sin α的值. 【详解】Q 角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合， 将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，tan 6πα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭22,63k k Z ππαπ+=+∈，所以2,2k k Z παπ=+∈，sin sin(2)12k παπ=+=. 故答案为：1.【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】43【解析】 【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果. 【详解】由三视图知该几何体如图，V ＝12123⨯⨯⨯＝43故答案为43【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】28x y =或2y x = 【解析】 【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =； 故答案为：28x y =或2y x =【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本, 由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变, b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价, b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误; 故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k 和b 对一次函数图象的影响,是基础题.三、解答题16.如图1，在ABC V 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =.将ABC V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】 【分析】（1）由题意可得1AO DE ⊥，又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ，所以1A O ⊥平面BCED ，可证1AO BD ⊥； （2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，求平面1A BD 的法向量，用向量的方法求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.【详解】（1）连接1A O .图1中，AB AC =Q ，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=，即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥. 又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ， 1A O ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1A O BD ∴⊥.（2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1A O ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示25AB AC ==Q 4BC =，()22115,2,1,512A D DE OD AO ∴==∴=∴=-=.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--，()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,2A B A D AC AC ∴=--=--=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,1n n ∴=--=r r ，. 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111sin cos ,3AC n AC n AC n θ=〈〉===u u u r r u u u r r g u u u r r 所以直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3. 【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.17.在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.【答案】答案不唯一,具体见解析 【解析】 【分析】（1）选①222b a c =+,先用余弦定理求出角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. （2）选②,先用正弦定理的推论将cos sin a B b A =边化角,整理得角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可.【详解】解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===. （2）若选择②cos sin a B b A =, 则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以562 sin sin sin sin cos cos sin12464646 Cπππππππ+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以116233sin3222ABCS ab C∆++==⨯⨯⨯=.（3）若选择③sin cos2B B+=,则2sin24Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭,所以sin14Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭,因为(0,)Bπ∈,所以5,444Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以42Bππ+=,所以4Bπ=;由正弦定理sin sina bA B=,得2sinsin33sin2b AaBπ⋅===,因为3Aπ=,4Bπ=,所以53412Cππππ=--=,所以562 sin sin sin sin cos cos sin124646464Cπππππππ+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以116233sin3222ABCS ab C∆++==⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.18.为了解甲、乙两个快递公司工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【答案】（1）平均数为36，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. 【解析】 【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A 投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X 的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 【详解】（1）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为：()1323333383536393341403610x =+++++++++=， 众数为33.（2）设a 为乙公司员工B 投递件数，则 当34a =时，136X =元，当35a >时，()354357X a =⨯+-⨯元，∴X 的可能取值为136，147，154，189，203，()113610P X ==，()314710P X ==， ()215410P X ==，()318910P X ==，()120310P X ==，X 的分布列为：()132311655136147154189203165.5101010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）. （3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入36 4.5304860=⨯⨯=元， 乙公司被抽取员工该月收入165.5304965=⨯=元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19.已知函数()ln 1af x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【答案】(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数()g x ，根据()0af e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析： （1）由()ln 1af x x x=--得()221'(0)a x a f x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增，所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 +()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.20.已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【答案】（1）焦点()2,0F，离心率e （2）是过x 轴上的定点；定点()3,0 【解析】 【分析】（1）由椭圆的标准方程即可得出；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，可得():2l y k x =-，代入椭圆的标准方程可得：()222231121260kx k x k +-+-=.（依题意>0∆）.设()11,P x y ，()22,Q x y ，可得根与系数的关系，点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -.可得直线'P Q 的方程可以为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++，把根与系数的关系代入化简即可得出.【详解】（1）Q 椭圆22:162x yC +=，2224c a b ∴=-=，解得2c =，∴焦点()2,0F，离心率e .（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，2m k ∴=-，():2l y k x ∴=-.由()22362x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得()222231121260k x k x k +-+-=.（依题意>0∆）. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -⋅=+. Q 点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -.∴直线'P Q 的方程可以设为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++()()()211212224kx x kx x k x x -+-=+-()()121212224x x x x x x -+=+-22222212612223131312431k k k k k k -⨯-⨯++==⎛⎫- ⎪+⎝⎭. ∴直线'P Q 过x 轴上定点()3,0.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 21.各项均为非负整数的数列{}n a 同时满足下列条件：①1a m = ()m ∈*N ；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++L 的因数（1n ≥）．（1）当5m =时，写出数列{}n a 的前五项；（2）若数列{}n a 的前三项互不相等，且3n ≥时，n a 为常数，求m 的值； （3）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数． 【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）m 的值为2,3,4.（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得125,1,a a =≤ 而2是12a a +的因数，所以21a = ，依次求出后三项，（2）由前三项互不相等，可分类讨论：2323232301021012a a a a a a a a ========，；，；，；，；这四种情况即可，（3）令12n n S a a a =+++L ，则n S n 为正整数，易得n Sn为单调递减数列（可相等），当首项确定时，当n M >时，必有11n n S S n n +=+成立.而当11n n S S n n +=+成立时，可得1212n n n S S S n n n ++====++L 常数.【详解】解：（1）5，1，0，2，2.（2）因为01n a n ≤≤-，所以2301,02a a ≤≤≤≤，又数列{}n a 的前3项互不相等， 当20a =时，若31a =，则3451a a a ====L ， 且对3n ≥，()0221m n m nn++--=+都为整数，所以2m =； 若32a =，则3452a a a ====L ， 且对3n ≥，()02242m n m nn++--=+都为整数，所以4m =； 当21a =时，若30a =，则3450a a a ====L ，且对3n ≥，()1021m n m nn++⋅-+=都为整数，所以1m =-，不符合题意；若32a =，则3452a a a ====L ， 且对3n ≥，()12232m n m nn++--=+都为整数，所以3m =； 综上，m 的值为2,3,4. （3）对于1n ≥，令12n n S a a a =+++L ，则11111n n n n n nS S S a S n S n n n n n+++++<=≤=++. 又对每一个n ，n S n都为正整数，所以11n S n ++ 1...1n S Sm n ≤≤≤=，其中“<”至多出现1m -个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有11n nS S n n+=+成立. 当11n n S S n n +=+时，则()111n n n n n nn S S a S S S n n+++=-=-=.从而()2122121112222n n n n n n n n n a n a S a a S a aa n n n n ++++++++++++-===+++++. 由题设知211122n n a a n n n ++-+≤<++，又22n S n ++及1n a +均为整数，所以22n S n +=+ 1n a += 11n n S S n n +=+，故1212n n n S S Sn n n ++====++L 常数. 从而()111n nn n n nn S S a S S Snn+++=-=-==常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数.。