平均数、中位数和众数的综合应用【能力培优】

第二十章数据的分析
20.1 数据的代表
专题二平均数、中位数、众数的综合应用
1.十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，
设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a
2. 芦山地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，某市5位在外打工人员也捐款献爱心.
已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了200元，最多的(只有1人)捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________.
3. 某校举办校园歌唱比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合
理方案来确定演唱者的最后得分(每个评委打分最高10分).
方案1：所有评委给分的平均分.
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分.
方案3：所有评委给分的中位数.
方案4：所有评委给分的众数.
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，右侧是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；
(2) 根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
【温馨提示】
1. 加权平均数是算术平均数的特例，加权平均数的实质是考虑不同权重的平均数.
2. 一组数据的中位数是唯一的，而一组数据的众数可以有一个，也可以有多个；一组数据
的中位数可以是这组数据中的数，也可以不是，但一组数据的众数一定是这组数据中的数. 【方法技巧】
1. 中位数的求法：现将一组数据中的数据按照大小顺序排列好，如果这组数据有n 个数，
当n 为奇数时，第21 n 个数为中位数；当n 为偶数时，第2n 个和第2
n +1个数的平均数是这组数据的中位数.
2. 求一组数据的众数时，先看各数据出现的次数是否都相同，若相同，则这组数据没有众
数；若不相同，找出出现次数最多的数据即为众数，简记为“一看二找”.
参考答案
1. B 【分析】从小到大排列此数据为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
平均数为（10+12+14×2+15×2+16+17×3）=14.7；数据17出现了三次，17为众数；
在第5位、第6位均是15，故15为中位数．
2. 600元、600元或500元、700元【分析】由题意可知这5个数据中最小的是200，最
大的是800,而中位数是600，所以其余的两个数据应位于中位数的两侧，由平均数可得5人共捐款2800元，所以剩余两数的和为1200，再结合“每人捐款数额均为百元的整数倍”的条件，我们要进行分类讨论:若两人捐款数相相等，则两人的捐款额都是600元；
当两人捐款额不等时，我们结合题目中的条件，可得只有500元和700元符合要求.
3. 解：(1) 方案1：平均数=1 3.217.017.83838.419.8
7.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=,
方案2：平均数=17.017.83838.4
8
8
⨯+⨯+⨯+⨯
=,
方案3：中位数是8,
方案4：众数是8和8.4,
（2）方案1中求所有数据的平均数，这样的平均数受个别数据的太大或太小的影响较大，如一个评委给3.2分，一个评委给9.8，带有主观性.故方案1不适合作为这个同学演唱的最后得分.方案4中有两个众数，无法确定该选手得分，故方案4也不适合作为这个同学演唱的最后得分.。