用列举法计算概率 冷艳丽

用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。

对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。

以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。

这些结果应该是互不相同
且穷尽的。

2.计算感兴趣事件发生的次数。

根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。

3.计算总的可能性数目。

确定随机试验的总结果数目。

4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。

其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。

例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。

1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。

2.感兴趣事件是正面向上。

3.总的可能性数目是2。

4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。

P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。

使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。

然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。

用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。

该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。

下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。

例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。

现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。

首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。

1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。

通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。

对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。

当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。

只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。

最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。

掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。

用列举法求概率
用列举法求概率指的是通过对事件包含的所有可能情况进行数量计算，从而得出该事件发生的概率。

它可以用来计算单个或多个独立事件的概率。

一般步骤如下：
（1）首先确定所要求的概率事件；
（2）然后将该事件分解成一个或多个独立事件；
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来；
（4）统计满足条件的可能性的数量；
（5）最后计算出概率值。

例如：在一副有52张牌的扑克牌中抽出一张，问抽到的是黑桃的概率。

（1）首先确定所要求的概率事件：抽到的是黑桃
（2）将该事件分解成一个独立事件：抽到的是黑色；抽到的是桃子
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来：抽到的是黑桃、黑红桃、黑方块、红桃、红红桃、红方块、梅花、梅红桃、梅方块；
（4）统计满足条件的可能性的数量：抽到的是黑桃的可能性有1种；
（5）最后计算出概率值：P(抽到的是黑桃)=1/9=0.11。

25.2 用列举法求概率1、用列举法求概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=mn。

2、用列表法求概率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。

3、用树形图法求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。

树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。

（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。

（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。

题型一列举法求概率【例1】两人一组，每人在纸上随机写一个不大于3的正整数，两人所写的正整数的和恰好是偶数的概率是（）A．59B．49C．12D．13【变式11】株洲市一中音乐节活动中，来自漫画社团、街舞社团、文学社团的三名选手准备在同一节目中依次表演，若他们出场先后的机会是均等的，则按“漫画社团—文学社团—街舞社团”顺序演奏的概率是（）A．16B．13C．112D．23【变式12】有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（）A．12B．13C．14D．34【变式13】由于疫情原因，我校在校门口建立A、B两个体温检测通道，九（3）班甲乙两位同学上午从两个通道中任意一个通道进入校园，求下列事件发生的概率．（1）甲同学从A通道进入的概率是；（2）求甲乙两位同学都从A通道进入的概率．（请写出分析过程）【变式14】不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱子里任意摸出两个球，并记下数．（1）用适当的方法列举出所有的可能结果；（2）求两个数的积是偶数的概率．题型二列表法求概率【例2】某校矩形以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲．小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（）A．13B．16C．14D．12【变式21】箱子中装有除颜色外完全相同的三个小球，其中2个红球一个白球，从箱子中随机摸出两个球，这两个球的颜色相同的概率是.【变式22】将分别标有“中”“国”“心”汉字的三个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别．随机摸出一个球后放回搅匀，随机摸出一个球，两次摸出的球上的汉字能组成“中国”的概率是．【变式23】某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．【变式24】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日8月8日在成都举行．彬彬和明明申请足球A、篮球B、排球C、乒乓球D．四项赛事中某一项的志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．（1）“彬彬被分配到乒乓球D．赛事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)．（2）请用画树状图法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的概率．题型三树状图法求概率【例3】一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1､2､3､4､5､6，掷两次所得点数之和为11的概率为（）A．118B．136C．112D．115【变式31】如图，某公园有一个入口，A、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率是（）A．12B．13C．14D．16【变式32】现在从“−3，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为．【变式33】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为___________；（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回．．、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．【变式34】在2022年高考中，西安某中学考生小玲高考673分，选择报考C9名校西安交通大学．西安交通大学有国家一级专业：A材料科学与工程、B动力工程、C电气工程、D生物医学工程，小玲可以选择填写两个志愿．（填写志愿和顺序无关）（1）小玲填写两个志愿中有A志愿的概率是；（2）小玲的第一志愿在A、B、C、D中选择一个，第二志愿在剩下的三个专业中选择一个，求小玲填写不选C志愿的概率．题型四游戏的公平性【例4】小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则（填“公平“或“不公平”）．【变式41】甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级．（填“公平”或“不公平”）【变式42】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（）A．公平B．对小颖有利C．对小明有利D．无法确定【变式43】在一个不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出2枚棋子．（1）请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率．（2）若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【变式44】一个不透明的盒子中装有两个白色乒乓球和一个黄色乒乓球，它们只有颜色的不同，甲、乙两人玩摸球游戏，每次只能摸出一个球．规则如下：甲摸一次，摸到黄乒乓球，得1分，否则得0分；乙摸两次，先摸出1个球，放回后，再摸出1个球，如果两次摸到的都是白色乒乓球，则得1分，否则不得分，得分多者获胜，如果平分，则再来一次，问此游戏是否公平，并请通过计算说明理由．。