2[1].3.2错位相减法

n 个9
分析：数列9，99，999，……，不是等比数
列，不能直接用公式求和，
但将它转化为 10－1，100－1，1000－1，……， 就可以解决了。
解： 原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+„+(10n－1)
=(10+100+1000+„„+10n)－n
1 0 (1 0 1)
3 n
n 1
(1 a ) S n a
2
2 a (1 a 1 a
)
( 2 n 1) a
n 1
Sn
2a
2a
2
n 1
(1 a )

a ( 2 n 1) a 1 a
n 1
5．求和 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
2 n
( x 0)
解：令 S n x 2 x ...... nx
2 n
（1）当 x 1时， S n 1 2 3 ...... n n n
2
2
( 2 )当 x 1时， xS n x 2 x ...... ( n 1) x nx
1-(1+n)xn+nxn+1 ∴ Sn= (1-x)2
错位相减法： {a } 设数列 是公差为d的等差数列（d不等于 {b n } 零），数列 是公比为q的等比数列(q不 {c cn {c 等于1），数列n } 满足： a n b n 则n } 的前n 项和用错位相减法求
n
例2 求和： x 2 x nx ,
n
等比且公比不等于1，我们称这类数列 { C n } 为“等差乘等比型”数列。 求这类数列前项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列 求和，这种方法即所谓的“错位相减法”
例1、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
错位相减法的应用
对于已知的等差、等比数列的求和问题，我们可以使用求前n项和公式来解 决，但对于一些特殊的数列，我们怎样来求它们的和呢？本课题将阐明一种 特定数列的求和方法--- 错位相减法 { 这类数列的主要特征是：已知数列 {C n } 满足 C n a n b n 其中 { a n } 等差，b }
2 3 n n 1
Sn x 2x
两式相减，得：
2
3 x ...... nx
3
n
（1 x） S n x x x ...... x nx
2 3 n
n 1
例3：求和 S n a 3 a 5 a ( 2 n 1) a ( a 0 )
n项
这时等式的右边是一个等 比数列的前n项和与一个 式子的和，这样我们就可 以化简求值。
例1、求和Sn =1+2x+3x2+ …… n-1 (x≠0,1) +nx
解：∵ Sn =1
∴xSn =
+ 2x +3x2 + …… +nxn-1 x + 2x2 + … + (n-1)xn-1+nxn
∴ ① -②，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ … + xn-1 - nxn 1-xn - nxn = 1-x
n
10 1
ห้องสมุดไป่ตู้
n

10 9
(1 0 1) n
n
例 2 ： 求 和 1 + a + a 2 + a 3 + + a n -1 .
变式练习：求和 （1 1 x ) (2 1 x
2
) (n
1 x
n
)( n N

x 0
小结： 错位相减法适用于一个等差数列an和一 个等比数列bn相乘（或相除）构成的新数列 (anbn)求和； 在应用错位相减法中，可以乘以等比数 列的公比q（或公比的倒数1/q）。
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① 相 减 xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 nxn
2 3 n
解: S n a 3 a 5 a ( 2 n 1) a
2 3
n

aS
n
a 3 a 5 a ( 2 n 1) a
2 3 4
n 1

n 1
- (1 a ) S
n
a 2(a
2
2
a a ) ( 2 n 1) a