线性系统稳态误差计算

3.6线性系统的稳态误差一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态，控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。

稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。

例如，工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量，轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材，导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战，等等。

控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。

由于系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而会产生原理性稳态误差。

此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。

控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。

对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。

通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。

本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法，包括计算稳态误差的一般方法，静态误差系数法和动态误差系数法。

3.6.1 误差与稳态误差控制系统结构图一般可用图3-29（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图3-29（b）的形式。

系统的误差通常有两种定义方法：按输入端定义和按输出端定义。

⑴按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差，Hsss=（3-25）E-RC)()(s())(⑵按输出端定义的误差5758)()()()(s C s H s R s E -=' （3-26）按输入端定义的误差)(s E （即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。

两种误差定义之间存在如下关系：)()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。

稳态误差计算稳态误差是指控制系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差异。

在控制系统中，我们希望输出能够尽量接近期望输出，从而实现优化和准确的控制。

稳态误差的大小直接影响到控制系统的性能和精确度。

本文将介绍稳态误差的计算方法及其普通解法。

稳态误差的计算可以通过以下步骤进行：1.确定系统的开环传递函数系统的开环传递函数是控制系统的输入与输出之间的关系。

它描述了控制系统的动态特性。

通常，开环传递函数可以由系统的物理方程或实验数据拟合得出。

2.确定系统的期望输入信号期望输入信号是控制系统的期望输出值。

它可以是一个固定值或者一个随时间变化的函数。

期望输入信号决定了控制系统的目标。

3.计算系统的闭环传递函数闭环传递函数描述了控制系统的反馈路径对输出的影响。

它是开环传递函数与控制器传递函数的乘积。

4.计算系统的稳态误差在进行稳态误差计算之前，需要确定系统的类型。

根据系统是否包含积分环节，可以将系统分为4种类型：类型0系统、类型1系统、类型2系统和类型3系统。

-类型0系统：开环传递函数中不包含积分环节。

例如，开环传递函数为G(s)=K/(s+a)。

类型0系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。

对于阶数为n的输入信号，稳态误差为0。

-类型1系统：开环传递函数中包含一个积分环节。

例如，开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+a))。

类型1系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。

对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n+1)*K)。

-类型2系统：开环传递函数中包含两个积分环节。

例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^2*(s+a))。

类型2系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。

对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/(n*K)。

-类型3系统：开环传递函数中包含三个积分环节。

例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^3*(s+a))。

类型3系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。

对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n-1)*K)。

实验四 线性定常系统的稳态误差一、实验目的1．通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输入信号的形式、幅值大小之间的关系；2．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。

二、实验原理控制系统的方框图如图4-1所示。

其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。

图4-1 控制系统的方框图由图4-1求得)()()(11)(S R S H S G S E +=（4-1）由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，而且也与输入信号R(S)的形式和大小有关。

如果系统稳定，且误差的终值存在，则可用下列的终值定理求取系统的稳态误差：)(lim 0S SE e s ss →=（4-2）本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。

下面叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输入信号所产生的稳态误差ss e 。

1．0型二阶系统设0型二阶系统的方框图如图4-2所示。

根据式（4-2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输入时的稳态误差：图4-2 0型二阶系统的方框图● 单位阶跃输入（sS R 1)(=） 3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss （4-3） 输入输出响应曲线如图4-1所示，仿真图如图4-2所示。

图4-3 0型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-4 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为0.33，符合 4-3式计算的理论值。

● 单位斜坡输入（21)(sS R =） ∞=⨯+++++⨯=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim SS S S S S e S ss （4-4）输入输出响应曲线如图4-3所示，仿真图如图4-4所示。

图4-5 0型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-6 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差趋于无穷大，符合4-5式理论计算值。