计算力学课堂教学课件第2章

0dV,
Pe ε0
VeBTD0d
V
(2.3.
•PF 结点集中力列阵
•（2．3．14）式是计算单元等效结点载 荷列阵的普遍公式。
h
12
6．引入强制边界条件
7．解方程得到结点位移
8．进行需要的辅助计算
如利用（2．3．6）、（2．3．7）式计算 单元应变和应力，也可按需要计算其他项 目。
h
13
由上面过程可以看到：
中国矿业大学 xxx
суббота, 19 декабря 2020 г.
h
1
2.3 广义坐标有限元法的一般格式
h
2
常见的单元类型：
h
3
2.3.1 选择单元位移函数的一般原则 （1）位移模式中的待定系数（广义坐标）个数，
应与单元的结点位移数相等；
u12x3y（2.2.1）
v45x6y
（2）位移模式中，常数项 与一次项必须完备；
ΠΩ1 2C()C()bdΩb.t
假设泛函 中含有：
,d,d2,,dm 且 d m
dx dx2 dxm
dx m
为非零的，
则近似函数~至少为 m 次多项式，即
h
19
~ 0 1 x 2 x 2 3 x 3 p x p pm
d d ~ x1 22 x 33 x 2 pp x p 1
（取完全多项式） （C0 类连续）
Ritz 法在全域上假设近似函数 u，
近似函数 u可以有多种类型。 FEM 法在单元上假设近似函数 u，
近似函数 u一般都为简单多项式。
问题： 在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，
FEM 法的解趋于精h 确解？
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引例： 设一标量场：
A ()L()b0
存在标量泛函：
当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1
而使求解广义坐标成为不可能。
同时，当单元结点较多时，解广义坐标的 过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标 直接构造单元的插值函数，这样就可以避 免求解广义坐标的过程，建立有限元的方 程和求解只需从第4步开始。
本章第5节将结合矩形单元和高精度三角形 单元讨论直接建立单元插值函数的方法， 关于建立单元插值函数更系统方法将在下 一章中给出。
1～3是假定位移模式、求解广义坐标，最后 得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限 元的特征。
4～5是利用变分原理建立有限元格式的一般 方法。这里用的是最小位能原理，建立以位 移为基本场变量的有限元求解方程，求解平 衡问题。
6～8是建立有限元方程后的一般解法和计算 步骤。
h
14
广义坐标有限元可能产生的困难是：
x4 x3yx2y2 x3yy4 四次
Pascal 三角形
（4）当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考 虑多项式应具有对称性，如：
u12x3y4xy
v56x7y8xy
4节点 矩形单元
h
5
2.3.2 广义坐标有限单元的一般格式
（1）以广义坐标 为待定参数，给出单元内位移
分布 u ；
和作用在结点上的集中力两部分。
•为了方便起见可以将这两部分外载分开，将
T作为分布面力，结点集h 中力用F表示，则载11
PPf PSPσ0 Pε0 PF
GTPfePSePσe0Pεe0 PF (2.3.1)3
e
PfeVeNTfdV, PS eSe NTTdS
σ ε Pe σ0
BT Ve
p eV eU d V eS e dS ( 2 .3 .8 )
•将（2．3．5）～（2．3．7）式代入上式并 将单元结点位移ae用结构结点位移a表示， •即ae=Ga，（2．3．8）式即为
p aT
e
GT(1 2
BTDBd
Ve
VGa
Ve
BTDε0d
V
Ve BT0dV Ve NT fdV Se NTT~dS)
对于二维问题：
uΦβ （2.3.1）
u
uv ,
β12
Φ
0
0
对于3ห้องสมุดไป่ตู้点三角形单元：
u12x3y
v45x6y
β12 6 1xy h
3
2 1 3节点 三角形单元 6
2．用单元结点位移 a~ e 表示广义坐标
惯用的单元结点位移排列是
a e u 1v 1u 2 v 2 T
为便于求解广义坐标，可采用另一表示方法，如
h
15
2.4 有限单元解的性质与收敛性
h
16
一. Ritz法的收敛准则 对连续介质问题，有泛函：
其中: 要求试函数必须满足：
1） 完备的函数系列（完备性）
2）
应满足连续性要h 求（协调性）
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Ritz 法的收敛条件：
（1）近似函数 u 具有完备性 （2）试探函数 u 具有连续性 FEM 法与Ritz 法的区别：
（3）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取 完全的多项式，以提高单元的精度；如：
u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 x y 6 y 2
v 7 8 x 9 y h1x 2 0 1x 1 y 1y 2 2 4
1
0次
xy
一次
x2 xy y2
二次
x3 x2y xy2 y3 三次
a ~ e u 1u 2 v 1v 2 T
（2．3．1）式中代入单元结点坐标得到
β a ~ e A
二维问题
A
A~
0
(2 .3 .2 )
0 A~
用（2．3．2）式解出 h A -a ~ 1e (2 .3 .3 7)
3．以单元结点位移ae 表示单元位移函数u，
得到单元插值函数矩阵N将（2．3．3）式
代入（2．3．l）式
u Φ A 1 a ~ e N ~ a ~ e
(2.3
二维问题
N~
N*
0
0
N*
N * Φ A ~ 1 N 1 N 2
将结点位移 改为一般排列顺序ae ，则有
uNea
(2.3.5)
N N 1 N 2 h N 3 8
4．以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应
1aTKa-aTP (2h.3.9)
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2
总位能的变分
p 0
得到有限元求解方程 K aP (2.3.1)0
其中 K G T keG
(2 .3 .1)1
e
keB TDdB V (2.3.1)2 V e
•式（2．3．12）是单元刚度矩阵的普遍公
式
•（2．3．9）式中的是作用在连续体边界上
的力，包括作用在有关单元边界上的分布力
变：
εL u B (x,y)ae
(26 ).3
BLN
应力：由弹性变形产生的应力
σDεDBe a
当有初应力和初应变时，应力的一般式是
σεεσ εσ D - 0 0 D e D 0 B 0 ( 2 a . 3 . 7 )
h
9
5．用最小位能原理建立离散体系的结点 平衡方程
系统总位能的离散形式