分式的概念

分式的定义分式是由两个整式构成的比值，它通常写成$\frac{A(x)}{B(x)}$的形式，其中$A(x)$和$B(x)$是两个整式，$B(x)$不等于0。

分子$A(x)$是分式的分子，分母$B(x)$是分式的分母。

分数可以表示为带分数或小数，但分式只能表示为分式形式。

分子和分母都是整式的分式称为代数分式，而分子或分母中含有实数或变量的分式称为含有实数或变量的分式。

分数是初中数学中最简单和最重要的概念之一。

分式的含义是把一个整体分成若干份，并取其中的一份或几份，或者将分子分数与分母分数的比较简单的方法。

分式的定义把两个多项式的表达式用除法来表示，分母是被除数的表达式，分子是除数的表达式。

分式中的分式在代数上的意义是相同的。

例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$表示相同的数值，它们都代表同一个比值。

分式中不能出现分母为0的情况，因为任何数除以0都无法得到一个有意义的结果。

如果分母为0，那么分式就没有定义。

一个分式是简单分式，当分母和分子都为一次多项式时。

一个分式是复杂分式，当分子或分母中至少有一个高于一次的多项式时。

如果一个分子中的每一个项都是分母的因数，则该分式被称为真分式。

如果一个分式的分子是一个多项式，这个多项式可以被分解成独立的因子，每个因子都不是分母的因子，那么这个分式被称为带余式。

分式的基本运算要比整式复杂得多，因为要注意分母不能为零。

对于分式的四则运算来说，最重要的原则是分母化通，即把每个分式的分母化为相同的多项式，这样就能进行加减乘除了。

例如，如果要计算$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，那么需要把分母化为相同的多项式，最终结果才能以分式的形式表示。

因此，可以将分母通分为$bd$，然后得到等效的分式$\frac{ad+bc}{bd}$。

总之，分式是代数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种数学方面，包括高等数学，物理和工程学。

了解分式的基本概念和运算方法是理解更高级数学理论的关键。

分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。

分式的定义是什么数学中分式的定义是什么分式(fēn shì)是指有除法运算，而且除数中含有未知数的有理式。

如果A、B 表示两个整式，并且B中含有字母(B≠0)，那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

分式是不同于整式的另一类式子。

数学中分式的定义是什么?以下是本文库为大家整理的关于分式的定义，欢迎大家前来阅读!分式的概念定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式(fraction)。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

如是分式，还有也是分式。

要使分式有意义，则y不等于0.注意掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：(1)分式的分母中必须含有字母。

(2)分母的值不能为零。

若分母的值为零，则分式无意义。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式有意义的条件(1)分式有意义条件：分母不为0(2)分式无意义条件：分母为0;(3)分式值为0条件：分子为0且分母不为0;(4)分式值为正(负)数条件：同号得正，异号得负。

分式性质介绍1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：，(A,B,C为整式，且B、C≠0)。

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

分式的概念学科： 任课老师：学生姓名： 上课时间： 课次：一、知识点：1、分式的概念：两个整式A ，B 相除，即A B ÷时，可以表示为B A 的形式.形如BA(A ，B 表示的都是整式，B 中含有字母且B ≠0)的代数式，叫做分式（其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母）．注意：⑴分母中必须含有字母；⑵分母的值不能为0；⑶分式必须写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．3、分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的值为正、负的条件：分式的值为正数的条件：分子分母同号（分子，分母同正或同负）分式的值为负数的条件：分子分母异号（分子为正，分母为负或分子为负，分母为正）二、内容讲解： 考点一：考查分式的定义例1、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ （1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. （3）x 与y 的差与4的商是.例2、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？（1）94x +, （2）x 7 ,（3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）91-x （7）3πx-是分式的有 . 总结：动动手：1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ） A.1个 B. 2个 C 3个 D. 4个考点二：分式有意义的条件例3：求下列分式有意义的条件.⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21nm + ⑸22x y x y ++⑹2128x x -- ⑺293x x -+例4：x 为何值时，分式1111x ++有意义？例5：⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;总结：动动手： 1、若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对2、x 为何值时，分式29113x x-++有意义？3、当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）42xx -+ （2）x x 235-+ （3）2522+-x x4、要使分式23xx -有意义，则须满足的条件为 ．x考点三：分式值为零的条件例6：当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+⑵223(1)(2)x x x x --++⑶2656x x x ---⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x --⑺(8)(1)1x x x -+-例7：若分式23455x xx x ++-+值为零，，则x 的取值是.若分式233x x x--的值为0，则x 的取值是.总结：动动手：1、当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+2、如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是．若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x的取值范围是．3、x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？考点四：考查分式的值为正、负的条件例8：当x 取何值时，分式 2312-+x x（1）当时，分式有意义； （2）当时，分式无意义； （3）当时，分式的值为0； （4）当时，分式的值为1； （5）当时，分式的值为-1； （6）当时，分式的值大于0； （7）当时，分式的值小于0；总结：动动手：1、当x 取何值时，分式125x x +-（1）有意义；（2）值为0；（3）值为正数；（4）值为负数；（5）值为非负数；三、课后作业： （基础）一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式：（1）5()x y ÷-为_____. （2）(32)(3)x y x y +÷-为_____.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时．6．当x =______时，分式13-x x 没有意义．7．当x =______时，分式112--x x 的值为0．7．分式yx，当字母x y 、满足______时，值为1；当字母x y 、满足______时值为－1． 二、选择题 8．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠B ．1a ≠C ．1a ≠-D ．10a +>9．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab -有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义10．使分式5+x x值为0的x 值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－5 11．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 12．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．xx 12+B ．112--x x C ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题13、当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x （3） 2)3)(2(---x x x14．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x 15、若，试判断是否有意义。

分式的意义概念分式是数学中常见的一种表示形式，它由分子和分母组成，形式通常为a/b，其中a和b都是整数，b不等于0。

分式可以用来表示比例、比率、部分的整体等概念，也可以用来解决实际问题中的分割、比较、加减乘除等计算问题。

在数学、物理、化学、经济学等领域都有广泛的应用。

首先，分式的意义之一是表示比例和比率。

在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种比例和比率的问题。

比如商店打折促销，某种商品的原价是100元，现在打8折，我们可以用分式1/10来表示折扣的比例，即原价的十分之一。

再比如，小明和小华两人合伙做生意，他们的投资比例是3:5，我们可以用分式3/5来表示小明和小华的投资比率。

分式的分子和分母分别表示了两个不同的部分，而它们的比值则表示了两者之间的比例关系，帮助我们更直观地理解和计算比例和比率的问题。

其次，分式还可以表示部分和整体的关系。

在日常生活中，我们常常需要计算一部分占整体的比例。

比如我们想知道全班学生中男生的比例，全班学生有60人，其中男生有30人，我们可以用分式30/60或简化后的1/2来表示男生占全班学生的比例。

再比如一个容器里有300毫升的水，现在倒出了100毫升，我们可以用分式1/3来表示倒出的水占原来水量的比例。

这种表示方法直观清晰地展现了部分和整体的关系，帮助我们更容易地进行计算和理解。

此外，分式还可以用来解决实际问题中的分割、比较、加减乘除等计算问题。

在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要分割物品、比较数值大小、对不同比例的物品进行合并等问题。

比如，一块土地被分成3等份，我们想知道其中一份占总土地面积的比例，这时我们就可以用分式1/3来表示；再比如，小明和小华两人分别做了不同的作业题数，我们需要计算他们完成的总题数，这时我们可以用分式相加来表示他们的完成比例。

而乘法和除法运算中，分式同样也发挥着重要的作用，比如在物理学中，力的计算问题中，就需要进行分式的乘除运算。

总的来说，分式是数学中一个非常重要的概念，它在日常生活和各个学科领域中都有广泛的应用。

公因式 如32262464=÷÷=(公因式是2) b a b b b ab b ab 33322=÷÷=（公因式是b ）y x y x y x y x y x y x y x y x +-=++-+=+-))(())(()(222最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆例子6,9的最小公倍数是6×9÷3=18；4,6的最小公倍数是4×6÷2=12；3，4的最小公倍数是3×4=12 如23，32 通分得693233=⨯⨯，642322=⨯⨯（最小公分母是2×3=6）最小公分母，即分母的最小公倍数 a 3，b 2通分得ab b b a b 33=⨯⨯，aba ab a 22=⨯⨯（最小公分母是a ×b=ab ） d b a 23，mbc 2通分得dm b am md b m a 2233=⨯⨯，dm b cbd bd mb bd c 222=⨯⨯（d mb mb d b 32=⨯,不是最小公分母，d mb 2才是） 22y x x -，2)(y x y -， 注意))((22y x y x y x +-=- ，))(()(2y x y x y x --=-由此可得两式的最小分母是 ))()((y x y x y x +--，即通分得))()(())()(()(2y x y x y x xy x y x y x y x y x x +---=+--- ))()(())()(()(2y x y x y x y xy y x y x y x y x y +--+=+--+ 四、分式的运算1）分式的乘除用到的知识是约分，分式的加减用到的知识是通分 2）分式的加减要通分令分母相同，分子再进行相加减，得出结果后，看能否约分，假如能约分，则需约分，假如不能约分，则不需约分。

分式的概念运算分式是指两个整数之间的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母，用分数线表示。

分数线上面的数字叫做分子，分数线下面的数字叫做分母。

分式也可以是代数表达式的形式，其中含有变量。

分式可以进行加减乘除的运算。

下面将分别介绍这四种运算。

1. 分式的加法运算：分式的加法运算就是将两个分式相加。

首先需要找到两个分式的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。

最后将得到的分子除以公分母即可得到结果，如果可以再进行约分的话，也可以进行约分。

例如：计算1/2 + 2/3首先，找到两个分数的公分母为6，然后将分子相加得到5，保持分母为6，所以结果为5/6。

2. 分式的减法运算：分式的减法运算和加法运算类似，也是要找到两个分式的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。

最后将得到的分子除以公分母即可得到结果，如果可以再进行约分的话，也可以进行约分。

例如：计算3/4 - 1/2首先，找到两个分数的公分母为4，然后将分子相减得到1，保持分母为4，所以结果为1/4。

3. 分式的乘法运算：分式的乘法运算就是将两个分式的分子相乘，分母相乘。

最后得到的结果不一定是最简形式，可以再进行约分。

例如：计算3/4 ×2/3将两个分数的分子相乘得到6，分母相乘得到12，所以结果为6/12。

可以进行约分，得到1/2。

4. 分式的除法运算：分式的除法运算就是将一个分式的分子和另一个分式的倒数相乘。

其中另一个分式的倒数是将分子和分母调换位置得到的。

最后得到的结果不一定是最简形式，可以再进行约分。

例如：计算3/4 ÷2/3将2/3的倒数变为3/2，然后将分数相乘得到9/8。

可以进行约分，得到9/8。

以上是关于分式的运算的简单介绍，当然还有很多更复杂的情况需要进一步学习和练习。

在实际应用中，分式的运算可以帮助我们解决一些实际问题，比如比例、百分数等计算。

希望这些内容对你有所帮助。