专题04 数列通项公式的求解策略-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)

利用数列通项公式解决实际问题的步骤数列通项公式是数学中一个重要的工具，可以用来求解各种实际问题。

本文将介绍利用数列通项公式解决实际问题的具体步骤，并通过实例来说明。

一、理解数列通项公式的概念和意义数列通项公式是指数列中第n项与n的关系式。

它可以用来确定数列中任意一项的值，或者通过已知的项数和项值来确定通项公式。

掌握数列通项公式的概念和意义对解决实际问题非常重要。

二、确定数列的规律在解决实际问题时，首先要观察数列中的规律，找出其中的特点和规律性的变化。

可以通过列举几个数项，观察数值之间的关系，寻找共同的特点。

例如，如果数列的项之间的差值是等差数列，我们可以通过求解差分方程来确定数列的通项公式。

三、推导数列的通项公式根据数列的规律，我们可以推导出数列的通项公式。

对于等差数列，我们可以通过求差分方程的解来确定通项公式。

对于等比数列，我们可以通过求比值的关系来确定通项公式。

当然，对于其他类型的数列，也有相应的求解方法。

四、验证数列的通项公式在得到数列的通项公式之后，我们需要进行验证，确保公式的正确性。

可以选取几个已知项进行代入计算，看是否满足数列的规律。

如果验证通过，就可以进一步应用数列通项公式解决实际问题。

五、应用数列通项公式解决实际问题最后一步是应用数列通项公式解决具体的实际问题。

根据问题的描述，确定已知的项数和项值，代入数列通项公式，求解未知的项数和项值。

通过应用数列通项公式解决实际问题，可以大大简化计算过程，并提高解题的效率。

通过以上步骤，我们可以利用数列通项公式解决实际问题。

下面通过一个例子来进一步说明。

例：某公司的销售额呈等差数列增长，前三个季度分别为100万、120万和140万，求第n个季度的销售额。

解：观察前三个季度销售额的数值，可以发现差值为20万，因此可以确定该数列为等差数列。

下一步，我们根据已知项数和项值来推导数列的通项公式。

已知第1个季度的销售额为100万，项数为1，代入通项公式an = a1 + (n-1)d，得到：100 = a1 + (1-1) * 20则a1 = 100根据已知值，可以进一步确定通项公式为an = 100 + (n-1)*20最后，我们可以应用这个通项公式解决实际问题。

高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
数列
专题四：数列求通项（构造法）
一、必备秘籍
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如（p，q为常数，pq不等于0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。

类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。

（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。

二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍:注意判断已知条件是否符合
标准形式）
类型1：用“待定系数法”
构造等比数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造1、注意判断题目给的已
等差数列(1)知条件是否符合类型2(1)
的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造
等差数列(2)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(2)的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列
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数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．题型1 已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目： 1．数列的通项n a = ．2．数列1111,,,12233445--⨯⨯⨯⨯的通项n a = ． 3．数列222213571,1,1,12468+-+-的通项n a = ．1、n a=0为奇数为偶数n n ⎧⎪ 2、n a =11(1)（）nn n -+ 3、n a =12211(2)1+（）n n n ---．练习例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：例3:写出下面数列的一个通项公式：2222221314151(1),,,(;234151)1n n a n +----=+-1111(2),,,.122334411)()5(1n n a n n --⨯⨯⨯⨯=-+((1)(65)1)1,7,13,19,;nn a n =----(2)7,77,777,7777,7777(101)977,;n n a =-(3)5,0,5,0,5,0,5,0,.5sin 2n n a π--=31313(1)1,,,,,1(1),24562;3n n a n-+-=-⋅-31537(2),,,,,.5211717232n n a n +=+题型2 由a n 与S n 的关系求通项公式1、已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n n =+，则n a = ． 2、已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，则n a =3、设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n *∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．4、数列{a n }的前n 项和 S n =3·2n-3,求数列的通项公式.5、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2+3n+2，求通项a n 的表达式，并指出此数列是否为等差数列.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且na n+1=S n +n(n+1)，求a n ．7、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1．（Ⅰ）写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++<. 7、解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒ a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.故121(1)233nn n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n n n a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得：232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++--11111[1]2351121=+++++11111[1]2351020<+++++511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208m -=-<=<=.故4511178m a a a +++<( m >4).题型3 已知数列递推公式求通项公式(公式法)1、 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = ．2、数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式 ．3、已知数列{}n a 满足11=a ，1111=-+nn a a ，求n a ． 4、数列{}n a 中，1121,2nn n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 ． 5、已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=≥，则n a = ． 6、 已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = ．（累加法与累积法）1、数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，求{}n a 的通项公式 ．2、数列{}n a 中，1111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式 ．3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

核心素养高中数列通项公式解题技巧数列通项公式是指数列中第n项与n的关系式，用来求解数列中任意一项的特定数值。

在高中数学中，学习数列通项公式解题的技巧可以帮助我们更好地理解和应用数列。

以下是一些核心素养高中数列通项公式解题技巧：1.观察找规律：对于已知的数列，观察数列中各项之间的关系，尽可能找出规律。

例如，如果数列中相邻两项之差是一个固定的数，那么这个数列可能是等差数列，可以用形如an = an-1 + d的通项公式表示。

2.列方程求解：对于一些复杂的数列问题，可以列出一些方程进行求解。

例如，对于一些递推关系式，可以列出n项与n-1项的关系式，并解方程求解。

3.多项式求解：对于一些复杂的数列，可以写出数列的前几项，然后根据这些已知条件建立多项式方程，利用方程求解出后续项。

例如，斐波那契数列就是一个可以通过多项式求解的数列。

4.将数列转化为数学函数：有时候，数列可以转化为某个数学函数来表示，通过函数的性质求解。

例如，等差数列的通项公式就可以转化为线性函数，通过函数的性质求解。

5.利用数列性质：数列通项公式解题还可以利用数列的一些性质，如等差数列和等比数列的性质，来求解特定的数值。

例如，利用等差数列的和公式和等比数列的通项公式，可以求解数列的和或某一项的值。

拓展：除了基本的数列通项公式解题技巧以外，高中数学还有一些拓展的应用，如倒序区间数列、二次递推数列等。

对于这些特殊类型的数列，可以根据其特点进行分析和求解。

同时，还可以通过数学建模等综合应用解决实际问题中的数列问题。

所以，在学习数列通项公式解题技巧的基础上，拓展应用能够更好地理解和应用数列知识。

数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。

数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。

在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。

本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。

方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。

它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。

例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。

因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。

通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。

方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。

对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。

例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。

因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。

通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。

方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。

这种方法常用于一些复杂的数列。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。

通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。

因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。

方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。

生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。

求数列通项公式的几种策略专题一 、公式法：二 、作差法（作商法）：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥。

三 、 累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）。

四 、 累乘法：利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如： 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法五、构造新数列: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过1()()n n a x q a x ++=+将原递推公式变成1()11n n d d a q a q q ++=+--的方法叫构造新数列。

六、 倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成1111n n d a c a c +=+ 的形式的方法叫倒数变换。

七、通过证明题求通项公式1.等差数列的证明 、2.等比数列的证明 、练习一：请自己出题，分别用到以上的几种方法练习：1、已知等差数列{a n }满足：a 5=11，a 2+a 6=18（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n +3n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．3、在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（1）求与；（2）证明：．4、在数列中，，并且当时，。

（1）求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式。

5、设数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n=（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=lg，T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求证：数列{T n}中的最小值．6、数列中，已知，时，．数列满足：．（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前项和为，求的取值范围.7、已知等比数列的公比，且成等差数列，数列满足：.（I）求数列和的通项公式；（II）若恒成立，求实数m的最小值.。

高考数学复习方法大全：求解数列通项问题通过对这一段时刻对同学们在数列方面提问的问题的总结，大致能够得出以下的这些问题：数列通项公式的求解，面对常规数列的时候，同学们都会按照差不多公式求出数列的通项公式。

而当数列形式稍加变形不是按照正常形式给出时，同学们往往变得束手无策。

究其全然，部分同学是关于差不多知识点把握不牢靠所致。

但也有一部分同学是被自己的思维方法所困住了，只是生搬硬套课本上面的知识点，而没有认真去摸索更深层次的问题，因此造成了专门多同学表示看不明白数列是什么形式的现象，然而面对这一类数列题型并不是通过公式就能够将通项公式给出的，那个时候就需要我们把题目抽丝剥茧，一步一步的解开题目设置的重重陷阱，而不是一味的想着按照原先的套路去套答案，那模样只会把自己越套越糊涂。

因此面对那个问题同学们不妨转化为通过求出相干数列的方式间接求解数列，采纳曲线救国的方式去求解数列的通项公式。

苏霍姆林斯基说过：明白得还不等于己知，明白得还不等于知识，为了取得更牢固的知识．还必须摸索。

因此最重要的是同学们关于问题的摸索，是在自己关于问题求解的过程中的探究过程的摸索，假如只是盲目的刷题而没有关于自己的知识点积存情形的总结和反思，那就只是会做了这道题而已，下一次遇到一个通过变形的类似的题目是仍旧依旧会困扰着你，反映出来的情形确实是专门多同学拿着同一个题目的变式来请教老师，而当老师点拨之后总是会发觉事实上那道题只只是换了一张脸（形式）而已。

多摸索多积存做过的题目的解题技巧和思维方法，不断提升自己的解题能力。

再一个问题确实是不自信，专门多同学事实上是专门有实力通过自己独立将题目解出来的，但往往是由于对题目难度把握不够而直截了当舍弃题目，题目难度稍有提升就开始怀疑自己的实力了。

这方面在答疑的反映出来的问题是通过老师点拨之后发觉事实上是由于自己不自信导致的大脑紧张临时短路所致。

这类问题假如不及时解决。

在考试的时候极易显现。

关于同学们而言假如说一开始就抱着做不出来的心理去答题的话，这是不自信的表现，假如不是，那就要考虑是不是自己这方面还存在着不足需要改进提高。

数列通项公式解法在高考中数列局部的考察既是重点又是难点，不管是选择题或填空题中对根底知识的考察，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

本文针对近几年高考常考题型进展分析和归类，总结出了求解数列通项公式的常用九种方法。

一． 观察法命题题型：数列前假设干项，求该数列的通项。

思路方法：一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

案例分析：例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 〔1〕9，99，999，9999，…〔2〕 ,17164,1093,542,211 〔3〕 ,52,21,32,1〔4〕 ,54,43,32,21--解：〔1〕变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a〔2〕;122++=n n n a n 〔3〕;12+=n a n 〔4〕1)1(1+⋅-=+n n a n n . 点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系。

变式练习：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 〔1〕4，44，444，4444，… 〔2〕 ,17164,1093,542,211 二、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例1：等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且,1a 3a ,9a 成等比数列，255a S =，求数列}{n a 的通项公式。

解：设数列}{n a 公差为d )0(>d∵,1a 3a ,9a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+，得d a d 12= ∵0≠d ，∴d a =1………………①∵255a S =∴211)4(2455d a d a +=⨯+………………② 由条件 01≠a∴由①②得：531=a ，53=d故 n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：此类题目或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

【方法点评】方法一 数学归纳法解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例1 若数列{}n a 的前n 项和为n s ，且方程20n n x a x a --=有一个根为n s －1，n=1,2,3... (1) 求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明【变式演练1】已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。

方法二 n S 法使用情景：已知()()n n n S f a S f n ==或解题模板：第一步 利用n S 满足条件p ，写出当2n ≥时，1n S -的表达式；第二步 利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出n a 或者转化为n a 的递推公式的形式；第三步 根据11a S =求出1a ，并代入{}n a 的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据1a 和{}n a 的递推公式求出n a .例2 数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n N +∈),求{n a }的通项公式。

【答案】n a =213(2)n n -⎧⎨⨯≥⎩ (n=1)2所以n a =213(2)n n -⎧⎨⨯≥⎩(n=1)2。

【变式演练2】在数列{}n a 中，11=a ，)(21......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.【答案】（1）21,123,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩；(2)13方法三 累加法使用情景：型如1()n n a a f n +-=或1()n n a a f n +=+ 解题模板：第一步 将递推公式写成1()n n a a f n +-=；第二步 依次写出121,,n n a a a a --⋅⋅⋅-，并将它们累加起来； 第三步 得到1n a a -的值，解出n a ；第四步 检验1a 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例3 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

高中数列通项求解技巧在高中数学中，数列通项求解是一个非常重要的技巧。

通项公式可以帮助我们求解数列中的任意一项，进而计算出数列的各种性质和特征。

以下是一些高中数列通项求解的技巧和方法。

一、等差数列的通项求解等差数列是最常见的数列之一。

其特点是两项之间的差是常数，可以通过知道数列的首项和公差来求解通项。

1. 公式方法设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，那么等差数列的通项公式为：an = a + (n−1)d这个公式非常简单，通过这个公式可以直接求解出等差数列的任意一项。

2. 递推方法利用等差数列的递推关系可以求解通项。

代表方法是利用前项和后项之间的关系，即两项之和等于它们的平均值。

例如，设第n项为an，那么有：an = (an−1 + an+1)/2通过这个递推公式，可以通过已知的数列部分项来求解出新的数列项。

二、等比数列的通项求解等比数列也是非常常见的数列。

其特点是两项之间的比是常数，可以通过知道数列的首项和公比来求解通项。

1. 公式方法设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = ar^(n−1)通过这个公式可以直接求解出等比数列的任意一项。

2. 递推方法利用等比数列的递推关系可以求解通项。

与等差数列类似，等比数列的递推关系是利用前项和后项之间的关系。

设第n项为an，那么有：an = (an−1) * r通过这个递推公式，可以通过已知的数列部分项来求解出新的数列项。

三、特殊数列的通项求解除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列，其通项求解方法可能需要一些特殊技巧。

1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其定义是每一项等于前两项之和。

即：a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 (n≥3)可以通过递归的方式求解斐波那契数列的通项，但是递归方法效率较低。

更好的方法是使用通项公式：an = (1/√5) * ((1+√5)/2)^n −(1/√5) * ((1−√5)/2)^n2. 平方数列平方数列是一个特殊的数列，每一项都是一个完全平方数。

每天一题数列通项求解技巧数列通项是指一个数列中任意一项的公式表示，通过这个公式可以求得数列中任意一项的值。

求解数列通项的技巧有很多种，下面将介绍几种常用的方法。

1. 观察法观察法是最简单直接的方法，通过观察数列中的规律来推测数列通项。

这种方法通常适用于简单的数列，如等差数列、等比数列等。

观察数列中的差值或比值，找出它们之间的规律，然后编写出数列通项的表达式。

例如，我们观察以下数列：1, 3, 5, 7, ...可以观察到每一项都是奇数，并且每一项比前一项大2，所以数列通项可以表示为：a(n) = 2n+1，其中n为项数。

2. 递推法递推法是根据数列中前几项的值和数列的递推关系求得数列通项的方法。

递推法适用于数列中的每一项都是由前几项推出的情况。

例如，我们观察以下数列：1, 3, 6, 10, ...可以观察到每一项都比前一项多1、2、3、4，所以数列通项可以表示为：a(n) = a(n-1) + n，其中n为项数。

3. 代数法代数法是通过建立方程来求解数列通项的方法。

这种方法通常适用于较复杂的数列，如递归数列、斐波那契数列等。

例如，我们观察以下数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...可以观察到每一项都是前两项的和，所以我们可以建立以下方程：a(n) = a(n-1) + a(n-2)，其中n为项数，a(1) = 1，a(2) = 1。

解这个方程可以得到数列通项的表达式。

4. 差分法差分法是通过数列的差分来求解数列通项的方法。

差分法适用于数列中每一项与其前几项之差存在某种规律的情况。

例如，我们观察以下数列：1, 4, 13, 40, ...可以观察到每一项与前一项的差都是前一项的3倍加1，所以我们可以将数列写成差分表：1, 3, 10, 30, ...继续观察差分表，可以发现每一项都是前一项的3倍，所以数列通项可以表示为：a(n) = 3^n-1，其中n为项数。

以上是求解数列通项的几种常用技巧，每种方法都有其适用范围，需要根据具体的数列来选择合适的方法。

数列通项公式的求解方法数列的通项公式是数列的核心之一，在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。

求数列的通项公式的方法和类型可归纳为以下几种：一、累加法若数列{an}满足an+1-an＝f(n)(n∈N)，其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求通项，适用于差为特殊的数列。

例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1,a1=1，求数列{an}的通项公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，则an=(an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=2n+2n-3+…+3+1,所以数列{an}的通项公式为an=n2。

二、累乘法若数列{an}满足=f(n)(n∈N)，其中数列{an}前n项积可求，则通项{an}可用逐项作商后求积得到，适用于积为特殊数列的数列。

例2：数列{an}中a1=3，an+1=2nan，求数列{an}的通项公式。

解：∵an+1=2nan，∴=21，=22，=23，…，=2n-1，··…=21·22·23…2n-1=21+2+3+…+（n-1），即an=3·2。

三、通用公式若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列{an}的通项an可用公式an=求解。

一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1，求{an}的通项公式。

解：a1=s1=0；当n≥2时，an=sn-sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1。

由于a1不适合于此等式，∴an=。

四、构造法当数列前一项an和后一项即an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为熟悉的数列（等比数列或等差数列）。

一．【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式. 二．【方法总结】1.利用通项公式,应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一,应善于运用函数观点认识数列,用函数的图象与性质研究数列性质.练习1.已知数列满足,,则数列的前40项的和为（）A.B. C. D. 【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。

首先数列求和选用的方法有,裂项求和,主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和,用于相邻两项之和是定值,或者有规律的；错位相减求和,用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。

练习2.数列满足,且对于任意的都有,则等于（ ）A.B. C. D. 【答案】D{}n a 11a =(){}1nn a -192032546241842041{}n a 11a =*n N ∈20162017403220172017201840342018【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有：①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 练习3.已知数列满足,,若,则数列的通项（） A.B. C. D. 【答案】B【解析】, , ,则,数列是首项为2,公比为2的等比数列, ,利用叠加法,,,则.选B. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列){}n a 11a =213a ={}n a n a =112n -121n -113n -1121n -+111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭121n n a =-等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况,可用处理.练习1.数列的一个通项公式可能是（）A. B. C. D. 【答案】D练习2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的通项公式是a n ＝( ) A. (10n －1) B. C. (10n －1) D.(10n －1).【答案】B 【解析】1－＝0.9,1－＝0.99,…,故原数列的通项公式为a n ＝.选B.练习3．两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为,则（）A. B.C. D.【答案】 C()112nn -()112n n -()1112n n --()1112n n --2017a 20175a -=10082023⨯20171008⨯【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 4.项和互化求通项例4.设是数列的前项和,且,则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：,考查所给选项：,则选项B 错误；当时：,即,考查ACD 选项：,则选项AC 错误, 本题选择D 选项.【方法规律总结】：给出与的递推关系,求a n ,常用思路是：一是利用转化为a n 的递推关系,再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系,再求a n . 练习1.设数列满足,通项公式是（）n a 11132n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭11223n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭11233n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭13n⎛⎫ ⎪⎝⎭2n =n S n a {}n aA. B. C. D. 【答案】C练习2.设数列满足,通项公式是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时,, …………...(1) ,……....(2),(1)-(2)得：,,符合,则通项公式是,选C. 练习3.已知正项数列的前项和为,且,,现有如下说法：①；②当为奇数时,；③．则上述说法正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】D12n a n =112n n a -=12n n a =112n n a +={}n a 12n a n =112n n a -=12n n a =112n n a +=1n =112a =1122n n a -=12n n a =112a =12n n a ={}n a n n S 1a m =25a =n【方法总结】：给出与的递推关系求,常用思路是：一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式；二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求通项 （1）的形式例5.数列满足则（）A. 33B. 32C. 31D. 34 【答案】A【解析】数列满足,是以2为公比的等比数列,首项为1,得到故答案为：A 。

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式∵31,,a a 即2(1a +∵0≠d ∵55a S =∴a n 53=项。

若用公式⎩⎨⎧⋅=1S S a nn 例2．解：由1a 当2≥n 21-=n a a 经验证1a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。

例3.已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)(12-a a 所以a n 211=a 类型2(2004n }的通项1n a ⎧=⎨⎩例4. 又1=a （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ，21)2(---=n n a n f a ，∙∙∙，12)1(a f a =依次向前代入，得1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，简记为111))((a k f a n k n -=∏=)1)(,1(01=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。