2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛

2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。

过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。

O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。

求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。

如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。

现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。

问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。

求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。

求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。

同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。

综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。

因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。

2008年全国高中数学联赛天津赛区预赛
李果民
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知二次函数f（x）=x^2-3x＋2．则方程f（f（x））：0不同实数根的数目为（）．
【总页数】5页(P30-34)
【作者】李果民
【作者单位】
【正文语种】中文
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2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007年9月16日上午和2007年10月14日上午分别进行.我市有11081人参加了预赛,有227人参加了决赛.在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩,获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列,其中全省获全国一等奖的43人中就有我市的15人，达到全省的近30%.有4人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖(共63人)1.全国一等奖共15人韦东奕(240分,山师附中) 王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)王储(190分,实验中学) 刘青阳 (177分, 山师附中) 鲁悦(172分,山师附中)冯龙(152分,实验中学) 禹泽西(150分, 实验中学) 方延博(150分,实验中学)路若洲(143分,实验中学) 刘宁(141分, 实验中学) 高茉人(130分,实验中学)楚天翔(124分,实验中学) 孙晨正(123分, 山师附中) 姜晖(122分,山师附中)2.全国二等奖共 27人梅潇(119分, 实验中学) 隋春宁（117分，山师附中）贺兆印（116分，历城一中）丁寰宇（114分,实验中学）刘光强（110分，山师附中）王哲（110分,实验中学）王振中(105分,山师附中) 徐硕（105分，实验中学）申晓斌（104分，实验中学）丛亚（103分，实验中学）李凤麟 (103分,山师附中) 曲焜 (101分, 实验中学)宋超逸(101分, 实验中学) 窦欣元(101分, 实验中学) 韩谡越（ 99分，章丘四中）牟象禹（97分，山师附中）胡颖凯（96分，山师附中）马万里 ( 94分, 实验中学)王飞（94分，山师附中）孔陆洋（94分，山师附中）孟庆迪 ( 93分, 实验中学)丁晋（93分，实验中学）翟晓辉（138分，山师附中）张赛峥（92分，实验中学）顾然（92分，山师附中）刘筱宁（92分，外语学校）杨晓婉（92分，实验中学）3.全国三等奖共 21人孙振宇（91分，实验中学）陈邦锐（91分，实验中学）王越（91分，实验中学）李鑫业（89分，山师附中）秦立煜（88分，实验中学）刘毅（87分，实验中学）岑昊（86分，山师附中）栾义龙 (86分, 实验中学) 石敬玉（86分，章丘四中）张天宇（86分，实验中学）姜怡然（86分，山师附中）吕林超（85分，实验中学）陈诚（85分，济南中学）孙染（84分，实验中学）王元（84分，实验中学）张棋（84分，山师附中）郝克（83分，外语学校）黄杨（83分，山师附中）王雨（82分，外语学校）王梁（82分，实验中学）杨云钊（81分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛,根据竞赛成绩,学生获奖情况如下:（注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励）1.省一等奖共158人（排名不分先后）实验中学（6人）：夏靓116分王晓熙113分王冬雨111分刘毅110分钟睿106分梁健102分，山师附中（9人）：董跃振111分刘苏方108分李鑫业102分曲士眹 99分黄杨 96分韩蕾 94分刘海 93分罗荣钧 90分姜怡然90分济南一中（1 人）：陈双 94分济南二中（ 5人）：宫庆凯 76分于昌灏 70分郭晓宁 64分姜玉玺 63分李祺龙58分济南三中（ 6人）：蒋丽 84分孙新利 71分张虎 67分卫成林 66分商和宁 66分张婷婷 66分济南七中（2人）: 肖玉淼 49分陈晨 45分济南九中（2人）：鞠佳 69分王紫辉 66分济十一中（2人）：李中华 70分王春喜 63分济南52中（1人）：赵芳亮 57分济南中学（13人）：王瑞 90分邹世俊83分外语学校（ 2人）：杨金龙100分郝克 98分英才高中（ 6人）：孟宇 73分张译文 56分王路 54分高建辉50分陈徭 50分济钢中学（ 7人）：李泳江 90分陈琛 88分李霖 85分刘一畅 83分刘梦晨 82分马长琳 81分秦汉唐 79分三职高中（4人）：王阿冉53分李强51分徐桂亮 49分王珂 49分历城区（14人）：历城一中：曹芳106分贺兆印97分胡春晖93分王超 90分陈磊 90分历城二中：李双江102分高昊鸥99分张广乐96分刘红霞95分李延龙 93分历城四中：蔡荣峰 94分刘振83分历城五中：马业兴84分洪楼高中：张金花98分章丘市（32人）：章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅 81分刘波80分章丘四中：李喆 140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴 94分索金召 93分党灿93分柏杨93分许昊93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分韩成龙 90分靳丰晨 89分刘洋槐84分王海景 83分郭红 80分郑伟 80分鲁家刚80分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森95分宋涛93分甄爱香93分平阴县（ 8人）：张文选119分刘聪102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达96分张子键 93分路文高 93分马世杰81分，长清区（16人）：李娇102分安玮100分孟强97分钟涵94分朱有云93分焦裕龙 88分段学苇87分张越86分赵鹏85分朱存良85分段益雪100分张毓胜98分兰英新87分齐本明87分田德洲83分杨洪伟83分商河县（ 4人）：王光龙87分于和善86分李良金85分周祥政83分济阳县（18人）：王钊114分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99分胥燕燕 95分菅秀峰 95分冯涛 93分李超119分齐震112分卢乾坤101分李国栋100分韩涛104分闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森 96分华震 96分2.省二等奖共202人实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分李文硕98分王越 98分栾义龙 98分李可扬96分孙棋 96分孙振宇96分叶梦醒 96分邹宗航 96分栗榛96分山师附中（13人）：杜宏 87分宋建浩 87分张志浩 86分付强 85分曹旭 85分赵玉祯 84分杨云钊 82分宋晓楠 81分刘青华 79分王聪 79分李丹蕾 78分陈飞 78分刘雯 78分济南二中（9人）：韩长龙 57分李丽丽 57分李征 56分丘化凯 55分姚运华 55分吕诚哲 54分杨霖 54分崔然旭 54分孙波 54分济南三中（4人）：孙志超 64分朱婷婷 60分王振坤 60分龙玉梅60分济南七中（ 3人）：胡勇超 44分崔燕 43分孙彬 43分济南九中（ 3人）：周淑灿 60分隋宏远 60分马宝强60分济十一中（ 2人）：唐智55分宋怀杰 54分济52中（ 2人）：王淑芬 53分朱婷婷53分济南中学（ 3人）：杨晓煜 82分吴凌雪81 分王芯 81分外语学校（ 5人）：万伟 90分宋瑞雪 89分袁心 88分罗丁 85分张庆辰 85分济钢高中（ 9人）：冯博宇 78分赵晓丹 78分朱鑫鹏 77分潘红 76分金岩76分王智飞 75分周婷婷75分李璐 75分宿波75分英才高中（ 8人）：韩晓松 48分肖剑辉 48分赵院 48分张天佑 48分薛桐 48分李晓 47分李晓明 44分苏志勇 44分三职高中（ 4人）：赵殿龙 48分毛文靓 45分季淑玉 45分王梅梅44分历城区（17人）：历城一中：金增奇89分陈荣荣89分柴柏晓87分杨小龙85分张强84分历城二中：颜庆87分杜文帅85分翟凤婷85分靳若安85分杨登平85分历城四中：孙光军64分李明64分钱宇63分历城五中：王兴英78分苏志南78分洪楼高中：赵志勇88分王金振78分章丘市（41人）：章丘一中：孙月红77分蒋全芝75分刘乃龙72分张永亮71分张强70分刘凤翔70分章丘四中：石敬玉92分张学超92分蔡云云92分陈龙桥92分李娜 88分李臣88分陈光鹏88分刘敏87分徐家昌86分董彤阳85分孙广帅85分高云逸85分章丘五中：冯业飞79分张瑞谦79分黄立臣78分胡继伟78分徐昭萌78分孙盟 78分于巍巍78分柳庆娓78分吴鹏77分韩福芸77分范士凯 76分韩春超76分刘延清76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕90分董晓越90分曹林丽87分侯东明86分巩敏86分李鹏86分平阴县（8人）：乔珂欣91分王文华90分沙宗国90分张德水88分陈涛87分刘德福86分苏本民80分杜言铭75分长清区（26人）：王帅84分杜杰84分李君朋83分王华83分于晓菲82分卢婧82分王岩81分戴伟81分宋丙亮81分庄卫卫81分马晓81分杨仁俊80分韩传刚80分李珊80分邢庆涛80分孟维昌81分周恒80分王斌80分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷77分贾丹78分王倩74分蒋艳66分范升涛66分商河县（5人）：展长伟81分卢培义81分王伟81分孙发鲁79分张旭78分济阳县（27人）：罗宾甲 90分牛法富 90分牛佳瑞 90分裴建梁 89分张刚峰 89分李道通 87分艾杰 87分陈新斌 86分孙云飞 86分刘文静 95分王莉 93分刘超 93分杨骁 93分温明强 92分张元炜 91分李振 90分王彬 90分张蕊88分徐春花 88分李凯 88分吴鹏 87分张龙87分秦婷婷 87分张勇87分刘贵奇87分张滨 87分徐囡 87分3.省三等奖218人实验中学（5人）：孙染 95分王梁 95分李翔宇 94分陈邦锐 94分陈茜茜94分山师附中（13人）：杨晓星 76分翟毅 76分冯君淑 77分袁源 76分夏冰 75分孙晴川 75分张河慧 75分王睿 75分崔赛飞 75分陈琛 74分王尧 74分王迪 74分赵越 74分济南一中（ 1人）：李晨光 78分济南二中（5人）：陶然 51分赵元圆 50分孙吉隆 50分王越50分陈安 50分济南三中（ 6人）：崔丙伟 59分王官玲 57分李璐 57分刘海洋 57分商广义 57分杨润蕊56 分济南七中（ 2人）：胡尊飞 42分成龙 42分济南九中（ 5人）：史良 58分王明 58分刘讳58分刘帅帅 57分贾杰 57分济十一中（3人）：董丽君 51分牛邦龙 51分徐永龙 49分济南中学（2人）：陈栋 80分张望80分外语学校（5人）：于东宁 81分欧阳82分李千81分黄一成 81分郦龙 81分钢厂高中（13人）：彭高飞 74分赵冲 74分李辉73分耿浩 72分杨紫娇 71分李延文 71分张楠 72分柴宝臣 72分郭琦 72分林尧 72分刘爽 73分蒋薇 71分徐涛 70分英才高中（ 9人）：王华琳 42分金传铭 42分李超42分陈娜 42分李佳倩42分张鹏 42分王翰林 42分段晨彤42分玉叶 41分三职高中（5人）：付磊 43分于鸿 43分王硕 42分叶鑫42分宋晓艳 42分历城区（20人）：历城一中：王俊国83分刘丹82分张凤82分陈哲81分马超81分历城二中：张良82分韩豹81分杜磊81分李洪燕81分侯程广81分，李敏81分王曰儒81分历城四中：周晓琼59分彭延杰59分韩娟59分历城五中：陈世军76分赵成75分范圣男75分洪楼高中：刘玉娟70分卢长瑞68分章丘市（47人）：章丘一中：韩超69分张帅69分孙秀婷69分郭盼69分丁帅69分李豪杰69分宁建69分章丘四中：董道江84分李广84分马永岩84分鹿苗苗84分陈慧颖84分赵春雷84分程彬84分卢国华84分张晓彤84分韩继雷84分韩慧梅83分宁超众83分吕素华82章丘五中：王福荣75分牛凯峰75分韩强75分吕晓萌75分王沛阳75分孙方杰75分李中雨75分宋梅玲75分杨志敏75分李杰74分张运涛74分黄文娟74分郑兴花74分闫广霞74分冯业芝74分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏85分彭绍辉85分赵静84分郭嘉宾81分李跃81分刘元康80分平阴县（13人）：杨其资84分李霞84分丁姗姗84分李浩84分白哲84分刘兵83分高璇82分陈阳82分王蒙82分刘涛82分吴庆存82分王超82分王龙江72分长清区（28人）：于海龙78分苏军78分张晓旭78分刘天燕78分庄庆鹏78分田娜78分邵继美78分刘文雪78分李柱杰77分王佳77分韩聪77分李照垒76分张伟76分张其昌76分孔令燕76分杨崭76分薛德宝74分王东东74分李婷婷74分刘东73分孟凡荣73分赵双73分李善刚73分韩胜涛73分王元腾69分柴茂青72分张双双63分赵玉芹63分商河县（6人）：金冉78分芮法莹77分车召堂75分赵富燕75分赵华安75分徐超74分济阳县（30人）：王闯 85分高迪 85分呼燕 85分周讯 85分李三九 84分徐小青 84分孙志凌 84分李方吉 84分杜学知 84分王浩 84分刘志远 84分刘喆 84分袁新超 84分姚麒麟86分高帅 86分张强 86分杨吉伟 86分高扬 86分张震 84分高翠萍 85分王忠华 84分张传凯 84分朱学亮84分高荣祥 84分张红梅84分江继宽 84分李连玉84分陈国良84分常超 84分刘非84分注: 1.获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖,则不再发省奖。

2007全国高中数学联赛平面几何：证法2：充分性，若P 是△ABC 的垂心，由于△BDF 、△CDE 的外心分别是BP 、CP 的中点，因此，△ABC 的九点圆过F E O O ,,,21，即F E O O ,,,21四点共圆。

必要性。

若F E O O ,,,21四点共圆，则 180121=∠+∠EFO E O O 。

因为21,O O 分别是BP 、CP 的中点，所以21O O ∥BC ，且BCA APE AFE ∠=∠=∠， 所以E PO P O O E O O 22121∠+∠=∠PCE PCB ∠+∠=2PCE BCA ∠+∠=，11180BFO AFE EFO ∠-∠-=∠PBF BCA ∠-∠-=180，故ECP FPB ∠=∠。

方法1：由于△BP F ∽△CPE ，则CB DACDAB PEPF CDBP cos cos sin sin =∠∠==。

因为AC AB <，所以1cos cos ≠CB 。

故点P 在阿波罗尼斯（Apolonius ）圆上。

注意到AD 在BC 的上方与该圆恰有一个交点，且△ABC 的垂心H 满足，CB H B DH C D CHBH cos cos sin sin =∠∠=，故P 与H 重合，即P 是△ABC 的垂心。

方法2：由ECP FBP ∠=∠cos cos ，可得BPAB APBPAB⋅-+2222CPAC APCPAC⋅-+=2222，所以ECPCP AC FBPAP AB S S CDBD ACPABP ∠⋅∠⋅==∆∆sin 21sin 21222222APCPADAP BP AB -+-+=2222222222)()(PD AD CDPDCDADPD AD BD PD BD AD --+++--+++=PDAD CDPD AD BD ⋅+⋅+=222222，于是BDPD AD BD ⋅+CDPD AD CD ⋅+=，从而)(DC BD DCBD PD AD CD BD -⋅⋅=-，因为0≠-DC BD ，所以ADDCBD PD ⋅=。

二00七年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要在增加其它中间档次. 一、选择题(本题满分30分，每小题5分)1、A2、B3、C4、C5、B6、D 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）7、32- 8、}51|{<<-x x 9、9 10、}11|{<<>x a ax x 或 11、715 12、1207411 三、解答题（本大满分80分，每小题20分）13、如图，CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆的三条高，垂足分别为F E D ,,.以BC 为直径的圆O 和AD 交于G 点，过G 的直径的另一端点为K .若FK EK ,和BC 分别交于M ，N .求证：ON OM =.证明： CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆∴ 它们必相交于一点，记为H∴ H 为ABC ∆的垂心 （连结DE GM GE ,,∵ GK 是⊙O 的直径 ∴90=∠GEM∵90=∠GDM ，∴ E M D G ,,,四点共圆 ∴ GDE GME ∠=∠又 ∵ E C D H ,,,四点共圆， ∴ GDE ∠=∠∴ FKE HCE GME ∠=∠=∠， ∴ GM ∥FK （15分） ∴ ONK OMG ∠=∠，∵ KON GOM ∠=∠，KO GO =，∴ ONK OMG ∆≅∆， ∴ ON OM = （20分）14、若)2,0(π∈x ，求x x x x x f 3cos 2cos 6cos 3cos 2)(23--+=的最大值及取最大值时x 的值.解：因为x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+=x x x x x x c o s 3c o s 4)c o s 1(c o s 2c o s )1c o s 2(322-=---= （5分） 所以)cos 21(cos 3cos 6cos 3)(232x x x x x f -=-=91)3cos 21cos cos (33=-++≤x x x （15分）等号当且仅当x x cos 21cos -=，即31cos =x 时取得.所以，当31arccos =x 时，)(x f 有最大值91. （20分）15、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E 点，若椭圆的离心率22=e ，且1||=EF . （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若过F 的直线交椭圆于B A ,两点，且+与向量)2,4(-=共线，（其中，O 为坐标原点），求OA 与OB 的夹角.解：（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1222c ca a c ，解得1,2==c a ，从而1=b . （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,1(F ，显然直线AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：)1(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，消去y ，得0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k （10分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则2221214k k x x +=+，222121)1(2k k x x +-=22221212121222142)()1()1(k kk k k k k x x k x k x k y y +-=-+⋅=-+=-+-=+ 于是)212,214(),(2222121k kk k y y x x +-+=++=+依题意22124214222-+-=+k kk k ，即k 2=故2=k ，或0=k （舍去） 分）又[)1()1(22121=-⋅-=k x k x k y y 2222221421)1(2[k k k k k ++-+-=故02122121)1(22222222121=+-=+-+-=+=⋅kk k k k k y y x x 所以，与的夹角为90. （20分） 16、已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.解：（1）记},,2,1{n n S A =，显然111==S a .对于22121a a a S +=+=，有|}1|,1,,1{},,2,1{22222a a a S A -+== }4,3,2,1{=故412=+a ，所以32=a . （5分）（2）由题意知，集合},,,{21n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数；而集合},,,,{121+n n a a a a 按上述规则产生的1+n S 个正整数中，除n S ,,2,1 这n S 个正整数外，还有||,,11i a i a a n i n n -++++（n S i ,,2,1 =），共12+n S 个数.所以，13)12(1+=++=+n n n n S S S S . （10分） 因为 )21(3211+=++n n S S ，所以，21321213)21(111-⨯=-⨯+=++n n n S S （15分） 又因为当2≥n 时，1113)21321()21321(---=-⨯--⨯=-=n n n n n n S S a 而11=a 也满足13-=n n a .所以，13-=n n a （1≥n ）. （20分）。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，做PF ⊥AB ，垂足为F 。

O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。

求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。

如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。

现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。

问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

三、（本题满分50分）设集合P ={1，2，3，4，5}，对任意k ∈P和正整数m ，记f (m ，k )=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++5111i i k m ，其中[a ]表示不大于a 的最大整数。

求证：对任意正整数n ，存在k ∈P 和正整数m ，使得f (m ，k )=n 。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。

求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。

同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。

综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。

2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2007年9月16日上午8：00-10：30)一、选择题(共6小题,每小题6分,满分36分,以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得零分)1．一个直角三角形的两条直角边长为b a ,满足不等式31634192622≤+-++-b b a a ,则这个直角三角形的斜边长为( )A ．5B ．30C ．6D ．40 答案：B解：原不等式化为34)32(1)23(22≤+-++-b a , 而3414)32(1)23(22=+≥+-++-b a , 所以32,23==b a ．于是,斜边长为30．2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的,但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有( )个．A ．336B ．360C ．432D ．504 答案：C解：在1,2,3,4,5,6中插入7,有6种放法,然后插入8和9,分别有8种和9种放法,所以,共有432986=⨯⨯个满足性质的九位数．3．一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为( )．A ．5102 B ．553 C ．3 D ．2 答案：B解：该三角形不是直角三角形．不妨设C B A ≤≤．则3tan ≤A ,又Z A ∈tan ,所以1tan =A ．非直角三角形中,有恒等式C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++, 即B tan 、C tan 是方程xy y x =++1的一组正整数解． 所以B tan =2,C tan =3． 易解得最长边为553(另外一条边长为5102)．4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8,则这个正三棱锥的体积的最大值为( )．A ．18B ．36C ．72D ．144 答案：D解：设正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ,高为h ,O 为三角形ABC 的中心,G 为侧面PBC 的重心,GH 垂直底面ABC ,垂足为H ．则a a AD AH h PO GH 934239898,3131=⋅====, 由222AG GH AH =+得6491271622=+h a ,故276431622⋅=+h a , 由平均不等式得322222238833882764h a a h a a ⋅⋅≥++=⋅,所以,35762≤h a ,于是144123312≤==∆-h a h S V ABC ABC P ． 当46=h a 时等号成立．故体积的最大值为144． 5．对每一个正整数k ,设ka k 1211 ++=,则49493212500)99753(a a a a a -++++等于（ ）A ．－1025B ．－1225C ．－1500D ．－2525 答案：B解： 49493212500)99753(a a a a a -++++＝4925004919931)9997(21)9975(1)9953(a -⨯++⨯++++⨯++++⨯+++ ＝492222222500491)4950(21)250(1)150(a -⨯-++⨯-+⨯- ＝4922500)4921()491211(50a -++-+++＝1225)4921(-=+++- ．6．集合{}7,6,5,4,3,2,1=S 的五元子集共有21个,每个子集的数从小到大排好后,取出中间的数,则所有这些数之和是（ ）A ．80B ．84C ．100D ．168ABCDPH OG ah第4题答题 图答案：B解：显然中间数只能是3,4,5．以3为中间数的子集有24C 个,以4为中间数的子集有2323C C ⨯个,以5为中间数的子集有24C 个． 所以,这些中间数的和为8454324232324=⨯+⨯⨯+⨯C C C C ．另解：对某个子集A ,用8－A 表示A 中每个元素被8减所得的集合,这个集合也是一个满足要求的5元子集．这是一个1－1对应．且这两个集合中中间数之和为8,平均为4．故所有的中间数的和为84421＝⨯．二．填空题（共6小题,每小题6分,满分36分．请直接将答案写在题中的横线上）7．函数32)(2+-=x x x f ,若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ,则实数a 的取值范围是 ． 答案：1＜a ＜4解：依题意知,21≤≤x 时,a x f -)(＜2恒成立．所以21≤≤x 时,－2＜a x f -)(＜2恒成立,即2)(-x f ＜a ＜2)(+x f 恒成立． 由于21≤≤x 时,32)(2+-=x x x f ＝2)1(2+-x 的最大值为3,最小值为2,因此,3－2＜a ＜2＋2,即1＜a ＜4．8．在直角坐标平面上,正方形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为（12,19）、（3,22）,则顶点B 、D 的坐标分别为 ．（A 、B 、C 、D 依逆时针顺序排列）答案：（9,25）、（6,16）解：设线段AC 的中点为M ,则点M 的坐标为)241,215(,利用复数知识不难得到顶点B 和D 的坐标分别为（9,25）、（6,16）．（或者利用向量知识）9．已知1F 、2F 分别是椭圆19222=+b y x （0＜b ＜3）的左、右焦点．若在椭圆的右准线上存在一点P,使得线段1PF 的垂直平分线过点2F ,则b 的取值范围是 ．答案：)6,0(解：线段1PF 的垂直平分线过点2F ,等价于212F F P F =． 设椭圆的右准线cx 9=交x 轴于点K ,则在椭圆的右准线上存在一点P,使得212F F P F =,等价于212F F K F ≤． 所以c c c29≤-,32≥c ． 因此692222≤-=-=c c a b 故b 的取值范围是]6,0(．10．方程10033100=+y x 的正整数解),(y x 有 组．答案：4解：由题设可知,10≤x ．两边模3,知)3(mod 1≡x ,所以,x ＝1,4,7,10,对应的y 分别为301,201,101,1．故满足方程的正整数解有4组．11．设x xx x f +-++=11lg521)(,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜51的解集为 ．答案：)4171,21()0,4171(+⋃- 解：原不等式即为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜)0(f ．因为)(x f 的定义域为（－1,1）,且)(x f 为减函数．所以⎪⎩⎪⎨⎧----0)21(1)21(1 x x x x ．解得∈x )4171,21()0,4171(+⋃- 12．设函数1321)(+--=x x x f ,如果方程a x f =)(恰有两个不同的实数根v u ,,满足102≤-≤v u ,则实数a 的取值范围是 ．答案：345≤≤-a 解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤≤----+=.21,4211,251,4)(时当时，当时，当 x x x x x x x f当a ＞3时,a x f =)(无解；当a ＝3时,a x f =)(只有一个解．当329≤≤-a 时,直线a y =与4+=x y 和25--x y ＝有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解；当a ＜29-时,直线a y =与4+=x y 和4--=x y 有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解．对于上述两种情形,分别求出它们的解v u ,,然后解不等式102≤-≤v u ,可得实数a 的取值范围是345≤≤-a ． 三、解答题：（共4小题,每小题20分,满分80分．要求写出解题过程） 13．已知x x x f sin 22sin )(+=,xx x g 413)(+=,若对任意),0(,21∞+∈x x 恒有m x g x f +≥)()(21,试求m 的最大值．解：因为111sin 22sin )(x x x f +=, )1(cos sin 211+=x x[]31121)cos 1)(cos 1(4)(x x x f +-=)cos 1)(cos 1)(cos 1)(cos 33(341111x x x x +++-=41111)4cos 1cos 1cos 1cos 33(34x x x x ++++++-⨯≤＝427所以233)(1≤x f ．又3413)(222≥+=x x x g , 所以233233=-≤m ． 当63,321==x x π时,上述各式的等号成立,所以m 的最大值为23．14．已知1F 、2F 分别是双曲线1322=-y x 的左、右焦点,过1F 斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,过2F 且与1l 垂直的直线2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）设点P ),00y x （是直线1l 、2l 的交点为,求证：32020y x +＞34； （3）求四边形ABCD 面积的最小值．解：（1）由条件知,1l 、2l 的方程分别为)2(+=x k y 、)2(1--=x ky ．由⎩⎨⎧+==-)2(3322x k y y x ,得0344)3(2222=----k x k x k ． 由于1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,所以22334kk x x C A ---=⋅＜0,解得2k ＜3． 由⎪⎩⎪⎨⎧--==-)2(13322x k y y x ,得0344)13(222=--+-k x x k ． 由于2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点,所以133422---=⋅k k x x D B ＜0,解得2k ＞31．因此,31＜2k ＜3,k 的取值范围是)3,33()33,3(⋃--． （2）由条件知,21PF PF ⊥,点P 在以21F F 为直径的圆上．所以42020=+y x ．因此32020y x +＞332020y x +＝34．（3）由（1）知,2222222223)1(63344)34(11kk k k k k k x x k AC C A -+=---⨯--⋅+=-⋅+=． 13)1(613344)134()1(1)1(122222222-+=---⨯---⋅-+=-⋅-+=k k k k k k x x k BD D B ． ∴四边形ABCD 的面积)13)(3()1(18212222--+=⋅=k k k BD AC S ．由于)13)(3()1(182222--+=k k k S ＝18)11313(41181131318222222222=+-++-⨯≥+-⨯+-k k k k k k k k ．当且仅当 113132222+-=+-k k k k ,即1,12±==k k 时,等号成立． 所以,四边形ABCD 面积的最小值为18．15．如图,在锐角三角形ABC 中,1AA ,1BB 是两条角平分线,I,O,H 分别是ABC ∆的内心,外心,垂心,连接HO ,分别交AC,BC 于点P ,Q ．已知C,1A ,I,1B 四点共圆．（1）求证：︒=∠60C ；（2）求证：BQ AP PQ +=．证明：（1）因为C,1A ,I,1B 四点共圆,所以 AIB C ∠-︒=∠180C B A IBC IAB ∠-︒=∠+∠=∠+∠=21902121． 所以,︒=∠60C ．（2）因为︒=∠-︒=∠120180C AHB , ︒=∠=∠1202ACB AOB , 所以,B O H A ,,,四点共圆,于是︒=∠-︒=∠=∠30)180(21AOB OBA PHA ,又︒=∠-︒=∠3090C PAH , 所以PHA PAH ∠=∠, 于是PH AP =,同理可得 QH BQ = 故,BQ AP PQ +=第15题答题 图B第15题 图16．已知两个整数数列 ,,,210a a a 和 ,,,210b b b 满足 （1）对任意非负整数n ,有22≤-+n n a a ； （2）对任意非负整数,,n m 有 22n m n m b a a +=+证明：数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．证明：首先,一个整数若是4的倍数,则它一定能表示成22)2(n n -+,其中n 是非负整数．事实上,由22)1()1(4--+=k k k 便得．若,,n m （m ＞n ）的奇偶性相同,则22n m -是4的倍数,设 22n m -＝22)2(k k -+, 所以 2222)2(n k k m ++=+ 于是由条件（2）知n k n k k m k m a a b b a a +===+++++2)2(2222, 故k k n m a a a a -=-+2 所以,2≤-n m a a于是在 ,,,531a a a 中,任意两项的差的绝对值至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++a a a ．同样,在 ,,,420a a a 中,任意两项的差的绝对值也至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++b b b ．综上所述,数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．。

07年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
安振平
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2007(000)011
【总页数】1页(P)
【作者】安振平
【作者单位】陕西省永寿县中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.模型、联想、转化:数学解题创新的关键点——2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛一道几何题的证明
2.一道2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题的探究
3.2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
4.2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
5.2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
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2008年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知二次函数()232f x x x =-+，则方程()()0ff x =不同实数根的数目为（ ）。

()1A ()2B ()3C ()4D答 选D 。

因为()()()()2224323233226103ff x x x x x x x x x =-+--++=-+-，所以有()()2123,433310,0,3,2x x x x x x x --+====，因此原方程有4个不同实根。

注 也可以讨论()0f x =根的分布情况。

因为当32x ≤时，函数()f x 单调下降，当32x >时，函数()f x 单调上升，且()0f x =的两个根为1,2，所以当32x ≤时，函数()[]1,1,24f x ⎡⎫∈-+∞⊃⎪⎢⎣⎭，因此()()0ff x =有两个不同实根；当32x >时，函数()[]1,1,24f x ⎛⎫∈-+∞⊃ ⎪⎝⎭，因此()()0f f x =也有两个不同实根。

综上所述，原方程有4个不同实根。

2．抛物线21y ax bx =++的参数,a b 满足2384a ab b +=，则当,a b 变动时，抛物线的顶点一定在（ ）上。

()A 抛物线 ()B 双曲线 ()C 圆或椭圆 ()D 直线答 选B 。

抛物线21y ax bx =++的顶点的坐标为24,24b a b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设24,24b a b x y a a -=-=，则有22,1142b b bx x y a a =-=-=+。

因为0a ≠，所以,a b 满足的条件等价于284b b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，于是有()()()28422422x b x x y +-=-=-，即1xy =。

3．已知ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,L M N ，,D E 分别是,BC AB 上的点，并满足,AD CE 均平分ABC ∆的周长，,P Q 分别是,D E 关于,L N 的对称点，PQ 与LM 交于点F ，若AB AC >，则AF 一定过ABC ∆（ ）。