2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛

一、选择题（每小题6分，共36分）

16=的实数解的个数为（ A ） ()0A ()1B ()2C ()D 大于2

2．正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ B ）

()0A ()1B ()C 大于1 ()D 与分割的方法有关

3．已知关于参数()0a a >的二次函数()2211344y ax a a x R a =++--+∈的最小值是关于a 的函数()f a ，则()f a 的最小值为（ A ） ()2A - ()13764B - ()14

C - ()

D 以上结果都不对

4．已知,a b 为正整数，a b ≤，实数,x y 满足4x y +=，若x y +的最大值为40，则满足条件的数对(),a b 的数目为（ C ）

()1A ()3B ()5C ()7D 。

5．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >。已知实数a b >，则满足111x a x b

+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ D ） ()1A ()B a b - ()C a b + ()2D

6．过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切于

点D ，且与平面ABC 相切。若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=︒∠=︒，则四面体ABCD 的外接球的半径r 为（ C ）

()

2A ()B ()3C ()D 答 选C 。

二、填空题（每小题9分，共54分）

7．若关于,x y 的方程组221,10

ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 。32

8．方程2232007x y +=的所有正整数解为 。42,9x y ==

9．若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的内切圆半径分别为12,r r

，若12r r +=，则满足条件的点D 有两个，分别设为12,D D ，则12,D D 之间的距离为

。

10．方程()()()()()()()()()33333333149214911493149x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---++++++= ⎪ ⎪++++++⎝⎭

的不同非零整数解的个数为 。4

11．设集合{}{}

222221234512345,,,,,,,,,A a a a a a B a a a a a ==，其中12345,,,,a a a a a 是五个不同的正整数，{}123451414,,,10a a a a a A B a a a a <<<<=+= ，若A B 中所有元素的和为246，则满足条件的集合A 的个数为 。2

12．在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为()1212,d P Q x x y y =-+-。若(),C x y 到点()()1,3,6,9A B 的交通距离相等，其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为

。)51

三、论述题（每小题20分，共60分）

13．已知ABC ∆的外心为O ，90A ∠<︒，P 为OBC ∆的外接圆上且在ABC ∆内部的任意一点，以OA 为直径的圆分别与,AB AC 交于点,D E ， ,OD OE 分别与,PB PC 或其延长线交于点,F G ，求证,,A F G 三点共线。

14．已知数列{}()0n a n ≥满足010,1a a ==，对于所有正整数n ，有1122007n n n a a a +-=+，求使得2008n a 成立的最小正整数n 。

15．排成一排的10名学生生日的月份均不相同，有n 名教师，依次挑选这些学生参加n 个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求n 的最小值。