第二章 第十节

1 3 3 1 ＝3 x 2－＋ 1 0－9 ( ) x 2 2 2
3 2

1 2
3 2

1 2
＝ 9 x (1 12 ) 1.
2 x
(4)设μ=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成，
所以y′=y′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′ =5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4. (5)设y＝sin u，u＝2x＋ ，
x 0
lim
f 1 ＋x －f 1 x
＝__________(用数字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2.
＋x －f 1 由导数的定义得 lim f 1 ＝f 1 .
x 0
x
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2. 答案：2 －2
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝
)
1 ； x ln 2
③(sin )′＝cos ；④( 1 )′＝x.
3 3 ln x
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】选A.由求导公式可判断①②;③sin 为一常数，所以
3
1 1 1 x (sin ) 0; ④( ) , 求导运算正确的只有 2 2 3 ln x x ln x ln x
第十节 导数概念、导数的运算
1.了解导数概念的实际背景
2.理解导数的几何意义
考纲 3.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x, y=x3,y=x2,y=, y 1 , y x 的导数 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合 函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数
x
要求
1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度:若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻 t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)= 0时的极限.
f t d f t d
在d趋于
(2)函数f(x)在x=x0处的导数: ①定义：设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值
1 3 3 2 t － t ＋2t， 那么速率为零的时刻是( 3 2
)
(A)0秒 (C)2秒末
(B)1秒末 (D)1秒末和2秒末
【解析】选D.s′＝t2－3t＋2，令s′＝0，则t＝1或t＝2.
4.曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为(
(A)y＝2x－2 (C)y＝x－1 (B)y＝2x＋2 (D)y＝x＋1
(4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点，但是y=0不是抛 物线y2=x的切线. (5)错误.求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量 .在 这里自变量是x而不是a，故f′(x)=-2x+2a. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
1．下列函数求导运算正确的个数为(
f x 0 d f x 0 在d趋于0时(d≠0)趋于_____________ 确定的极限值 ，则称此 d
f′(x0) _______ 极限值 为函数f在x=x0处的导数或_____ 微商 ，记作_______. ②符号表示为
f x0 d f x0 d
)
【解析】选C.f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1，f(1)＝0.切线方 程为y＝1×(x－1)，即y＝x－1，故选C.
5.曲线f(x)= 1 x2在点 (1, 1 ) 处的切线方程为_____.
【解析】f′(x)=x，故曲线f(x)在点 (1, 1 ) 处的切线的斜率 k=f(1)=1,所以切线方程为y- 1 =x-1.即2x-2y-1=0.
→f′(x0) (d→0).
2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点，则d趋于0时，比值 f x d f x
d
f′(x) 的极限值叫作f(x)的导函数，记作_______.
(2)符号表示为 f x d f x →f′(x) (d→0).
f x x f x 二比：求平均变化率 y . x x
三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)= lim y .
x 0
x
【变式备选】
(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标
分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝__________；
x
(6)(logax)′=
1 (a>0,a≠1,x>0). xln a
(7)(sin x)′=cos x.
(8)(cos x)′=-sin x.
(9)(tan x)′=
1 . 2 cos x sin x
(10)(cot x)′= 12 . (公式对函数定义域内的自变量x有效)
5.导数运算法则 (1)(cf(x))′=cf′(x);
(5) ( g(x) ) = f x g x g x f x (f(x)≠0);
(f (x)) 2
(6)若y=f(u),u=g(x),则y′x=f′u·u′x.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
4 的导数. 2 x
(2)利用定义求函数 y
【思路点拨】(1)根据导数的定义，将极限符号内的表达式表
示成平均变化率的形式再求解.(2)先求Δy, y ，再求出当
x
Δx→0时的极限值.
【规范解答】(1)选B.Δx=(x0+h)-(x0-h)=2h,
Δy=f(x0+h)-f(x0-h)，所以
的求导法则进行求导. (2)将 sin x cos x 利用三角公式化简后，再求导.
2 2
(3)将根式化成幂的形式，再求导. (4)y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成. (5)y＝sin(2x＋ )是由y＝sin u，u＝2x+ 复合而成.
3 3
【规范解答】(1)方法一：可以先展开解析式，然后再求导： y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1， ∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′ =(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3. 方法二：可以利用乘积的求导法则进行求导： y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3.
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
)
) )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( (5)若f(x)=a3+2ax-x2，则f′(x)=3a2+2x.( )
【解析】(1)错误.f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代 表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函 数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0))′=0. (2)错误.应先求f′(x)，再求f′(x0). (3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线，但其交点个数有无数个.
(2)先使用三角公式进行化简得 y=x- sin x cos x x 1 sin x，
2 2 2
∴y′= (x 1 sin x) x ( 1 sin x) 1 1 cos x.
2 2 2
(3)∵y＝3x －x＋5－9x ， ∴y′＝(3x ) x＋ 5 －(9x )
f′(x)±g′(x) (2)(f(x)±g(x))′=_______________;
f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (3)(f(x)g(x))′=______________________;
f x (4) ( 1 ) = 2 (f(x)≠0);
f x
f (x)
f x
4
x x
2
4x 2x x 4 2 2 ， 2 x x x x
y 2x x 4 2 ， 2 x x x x
∴ lim y lim ［ 4
x 0
x
wk.baidu.comx 0
8 ］ 3. 2 2 x x x x
考向 2
导数的运算
【典例2】求下列函数的导数: (1)y=(2x2-1)(3x+1). (2)y=x- sin x cos x .
2 2
3x 2 x x 5 x 9 (3)y＝ . x
(4)y=(3-2x)5. (5)y＝sin(2x＋ ).
3
【思路点拨】(1)可以先展开解析式，然后再求导或利用乘积
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) _____________________.
4.基本初等函数的导数公式 (1)(c)′=0. (2)(xα )′=α xα -1(α ≠0). (3)(ex)′=ex. (4)(ax)=ax(ln a)(a>0,a≠1).
(5)(ln x)′= 1 (x>0).
2x x
【互动探究】在本例题(1)中，若f(x)= 1 x 3 2x 2 012， 且
3
x0=e，其他条件不变， 求 lim f x 0 h f x 0 h 的值.
h 0
h
【解析】∵f(x)= 1 x3+2x+2 012,∴f′(x)=x2+2，
3
故 lim
3
则y′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos(2x+ ).
3
【拓展提升】导数计算的原则和方法
h 0
f x0 h f x0 h h
lim ［ 2
h 0
f x0 h f x0 h 2h
］
＝ 2lim f x 0 h f x 0 h 2f (x ) 0
h 0
2h
=2f′(e)=2e2+4.
【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).
2 2 2 2
答案：2x-2y-1=0
考向 1
导数的概念及应用
【典例1】(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a, b)，则 lim f (x 0 h) f (x 0 h) 的值为(
h 0
)
h
(A)f′(x0) (C)-2f′(x0)
(B)2f′(x0) (D)0
lim
h 0
f x0 h f x0 h h 2h
f x0 h f x0 h = lim ［ 2 ］
h 0
= 2lim f x 0 h f x 0 h 2f x 0 ， 故选B.
h 0
2h
(2)Δy=
d
3.导数的实际意义
(1)物理意义:
若物体的运动方程为s=f(t),则f′(t)为物体在任意时刻t的
瞬时速度v(t) _____________.
(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) (x0,f(x0)) 处的___________. 切线的斜率 相应地，切线方程为 上点__________
(2)求函数 y 【解析】y
1 在x=1处的导数. x
1 1 1 1 x 1 x 1 1 x
=
x , 1 x (1 1 x )
y 1 , x 1 x (1 1 x ) y 1 1 lim ［ ］ . x 0 x x 0 2 1 x (1 1 x ) ∴f′(1)= 1 . 2 lim
②.故选A.
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( (A)2(x2－a2) (B)2(x2＋a2)
)
(C)3(x2－a2)
(D)3(x2＋a2)
【解析】选C.f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)［2(x－a)］
＝3(x2－a2)．
3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝