空间角(异面直线所成角,线面角,二面角)

立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。

第四讲 空间角（异面直线所成角线面角二面角）A 组题一、选择题1.下面正确的序号是①两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.②直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ③两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.④两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，直线与平面所成角的范围是0090⎡⎤⎣⎦，，二面角的范围是[0，1800] ( ).A.①B.②C.③D.④【答案】D【解析】对于①，因为两异面直线夹角的范围是(00,90⎤⎦，而两直线的方向向量所成的角可能为钝角. 所以①错. 对于②，直线的方向向量和平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角或其补角. 所以②错.对于③，两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 所以③错. 故选D .2. (人教A 必修2习题改编)如图，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与C N 所成的角是( ). A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】A【解析】取AA′的中点Q ，连接QN ，B Q ，且B Q 与B′M 相交于点H ，则QN 綉AD 綉BC ，从而有四边形NQ BC 为平行四边形，所以N C ∥Q B ，则有∠B′H B 为异面直线B′M 与C N 所成的角. 又∵B′B ＝BA ，∠B′B M ＝∠BA Q ＝90°，B M ＝A Q ，∴△B′B M ≌△BA Q ， ∴∠M B′B ＝∠Q B M .而∠B′M B ＋∠M B′B ＝90°，从而∠B′M B ＋∠Q B M ＝90°，∴∠MH B ＝90°.故选A. 3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与P B 所成角的大小为( ) A.90° B.75° C.60° D.45°【答案】 A【解析】如图，过点B 作直线B E ∥CD ，交DA 的延长线于点E ，连接PE .∴∠P B E (或其补角)是异面直线CD 与P B 所成角.∵△P AB 和△P AD 都是等边三角形，∴∠P AD ＝60°，DA ＝P A ＝AB ＝P B ＝A E ，∴∠P A E ＝120°.设P A ＝AB ＝P B ＝A E ＝a ，则PE ＝3a .又∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴∠BA E ＝90°，∴B E ＝2a ，∴在△P B E 中，P B 2＋B E 2＝PE 2，∴∠P B E ＝90°.即异面直线CD 与P B 所成角为90°.故选A.4.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线B E 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35【答案】C【解析】如图，连接BA 1,因为BA 1∥CD 1，所以∠E B A 1是异面直线B E 与CD 1所成角，设AB ＝1,则112,1,5EB A E A B ===,作EF ⊥BA 1, 115A E AB EF A B ⋅==35FB =∠E B A 1310.选C.5. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB, 则异面直线A P 与BC 所成角的大小； A.90°B. 60°C. 75°D.45°ABC DPE F【答案】B【解法】∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ， ∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ． 则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AFPF=＝3，∴异面直线P A 与BC 所成的角为60°．选B.6. 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形，AB EF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与B F 所成角的余弦值. A.42 B. 22 C. 23 D.3【答案】A 【解析】∵CB ∥AD, ∴∠CB F 为异面直线AD 与B F 所成的角.连接C F 、C E 设正方形ABCD 的边长为α,则B F ＝a 2∵CB ⊥AB, E B ⊥AB ∴∠C E B 为平面ABCD 与平面AB EF 所成的角,∴∠CB E ＝∠60ο ∴C E ＝a F C ＝a 2 ,∴cos ∠CB F ＝42,选A. 7. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，则面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】 底面是菱形， BD AC ⊥∴ 又⊥B B 1 面ABCD ，⊂AC 面ABCD B B AC 1⊥∴，⊥∴AC 面11B BDD 又AC MF // ⊥∴MF 面11B BDD 延长F D 1、DE 交于点E ，F 是A A 1的中点且ABCD 是菱形AB AE DA ==∴ 又 60=∠DAB 90=∠∴DBE ∴BE B D ⊥1 BD D 1∠∴为所求角 在菱形ABCD 中， 60=∠DAB BD BC 3=∴ 3tan 11==∠BDDD BD D 601=∠∴BD D ,选C .8.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A【解析】如图，二面角α－l －β为45°，AB β，且与棱l 成45°角，过A 作A O ⊥α于O ，作A H ⊥l 于H .连接OH 、O B ，则∠A HO 为二面角α－l －β的平面角，∠AB O 为AB 与平面α所成角．不妨设A H ＝2，在Rt △A OH 中，易得A O ＝1；在Rt △AB H 中，易得AB ＝2.故在Rt △AB O 中，sin ∠AB O ＝12AO AB =，∴∠AB O ＝30°，为所求线面角．选A. 二、填空题9. 如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为S C 的中点，则BD 与S A 所成角的余弦值是________．A BC DA 1B 1C 1D 1FMOE【答案】36【解析】取AC 中点E ，连接D E ，B E ，则BD 与D E 所成的角即为BD 与S A 所成的角．设S A ＝a ，则BD ＝B E ＝32a ，D E ＝2a .由余弦定理知cos ∠BD E ＝36.10. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小的正切为23，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】22【解析】由题意得111122tan 223332DD DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=. 11. A 、B 是直二面角α－l －β的棱l 上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l 的线段AC ，BD ，已知AB ＝AC ＝BD ＝1，那么CD 的长为【答案】3【解析】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC ，BD 分别在α，β内垂直于棱l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，作出以线段AB ，BD ，AC 为棱的正方体，CD 即为正方体的对角线，由正方体的性质知， 222=1+1+1=3CD . 故填3．三、解答题12. 如图，三棱锥P —ABC 中， P C ⊥平面ABC ，P C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是P B 上一点，且CD ⊥平面P AB ．(1) 求证：AB ⊥平面P CB ；(2 求异面直线A P 与BC 所成角的大小；（3π） 【解析】(1) ∵P C ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ，∴P C ⊥AB ．∵CD ⊥平面P AB ，⊂A B 平面P AB ，P∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面P CB ．(2) 过点A 作A F //BC ，且A F ＝BC ，连结PF ，C F ．则 PAF ∠为异面直线P A 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴C F ⊥A F ．由三垂线定理，得PF ⊥A F ．则A F ＝C F ＝2，PF ＝6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠P A F ＝26AF PF =＝3， ∴异面直线P A 与BC 所成的角为3π．13.（2015安徽）如图所示，在多面体111A B D DCBA中，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD均为正方形，点E 为11B D的中点，过点1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F .（1）求证：1//EF B C ；(2)求二面角11EA DB ﹣﹣余弦值.【解析】（1）证明：由题可得1//AD B C ，又因为1A D ⊄平面11B CD ，1B C ⊂平面11B CD ，所以1//A D 平面11B CD ．又平面1A DEF平面11B CD EF =，所以1//A D EF ．又因为11//A D B C ，所以1//EF B C ．（2）将原图形补全成正方体，如图所示，则平面1A CD 即为平面1A EFD ，所以求二面角11E A D B --的余弦值可以转化为求二面角111C A D B --的余弦值。

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。

二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。

空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角图示定义在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（角）叫作异面直线所成角。

斜线与它在平面内的射影所成的锐角。

从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

表示异面直线a、b所成角线a与平面所成角范围备注平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？一.用定义求空间角的步骤1.作出所求的空间角<定位>2.证明所作的角符合定义<定性>3.构造三角形并求出所要求角<定量>简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”二典例分析例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。

解析：途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。

通过解△D1EF即可。

途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。

通过解△ＮＧＣ即可。

方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。

常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.（1）求证：A1p⊥平面AQD；（2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD，设A1p交AR与S，连接SQ即可。

由以上的作法可知即为所求角，只需解三角形SpQ即可。

方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。

由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。

例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。

解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角） 范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 。

二、直线与平面所成角（线面角） 范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 三、平面与平面所成角（面面角） 范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。

§8.6 几何法求空间角考试要求 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．理解异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的定义，并会求值．知识梳理1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角 若有①O ∈l ； ②OA ⊂α，OB ⊂β；③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB . (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l 1，l 2与同一个平面所成的角相等，则l 1∥l 2.( × )(2)异面直线所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补．( √ )(4)线面角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围为[0，π]．( √ ) 教材改编题1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角或其补角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°.2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，因为AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC ＝2.3.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：①二面角D ′－AB －D 的大小为________． ②二面角A ′－AB －D 的大小为________． 答案 ①45° ②90°解析 ①在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ′，AB ⊥AD ，因此∠D ′AD 为二面角D ′－AB －D 的平面角．在Rt △D ′DA 中，∠D ′AD ＝45°，所以二面角D ′－AB －D 的大小为45°.②因为AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ，AB ⊥AA ′，因此∠A ′AD 为二面角A ′－AB －D 的平面角，又∠A ′AD ＝90°，所以二面角A ′－AB －D 的大小为90°.题型一 异面直线所成的角例1 (1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55D.22答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理， 得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 延伸探究 若将本例(1)中题干条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值． 解 设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1， ∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910， 解得t ＝3，则AA 1＝3.(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222 B.53 C.1316 D.113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝3 2. ∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10.∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10. ∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝(10)2－⎝⎛⎭⎫3222322＝113.教师备选(2022·郑州模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E 分别是AB ，B 1C 1的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为( )A.33 B.13 C.5829D.38729答案 C解析 如图，取A 1C 1的中点F ，连接DF ，EF ，CF .易知EF 是△A 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥A 1B 1且EF ＝12A 1B 1.又AB ∥A 1B 1且AB ＝A 1B 1，D 为AB 的中点， 所以BD ∥A 1B 1且BD ＝12A 1B 1，所以EF ∥BD 且EF ＝BD . 所以四边形BDFE 是平行四边形， 所以DF ∥BE ，所以∠CDF 就是异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．因为AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E ，F 分别是AB ，B 1C 1，A 1C 1的中点， 所以C 1F ＝12A 1C 1＝2，B 1E ＝12B 1C 1＝2且CD ⊥AB .由勾股定理得AB ＝42＋42＝42，所以CD ＝AC ·BC AB ＝4×442＝2 2.由勾股定理得CF ＝29，DF ＝BE ＝29. 在△CDF 中，由余弦定理得cos ∠CDF ＝(29)2＋(22)2－(29)22×29×22＝5829.思维升华 求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt △C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6.方法二如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6.(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．答案2解析 如图，取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角等于异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.题型二直线与平面所成的角例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．(1)证明如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以EF ∥平面A 1ADD 1.(2)解 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为C 1D 1⊥平面A 1ADD 1，所以AC 1在平面A 1ADD 1中的射影为AD 1，所以∠C 1AD 1(或其补角)为直线AC 1与平面A 1ADD 1所成的角， 由题意知AC 1＝22＋22＋32＝17，在Rt △AD 1C 1中，sin ∠C 1AD 1＝C 1D 1AC 1＝217＝21717，即直线AC 1与平面A 1ADD 1所成角的正弦值为21717.教师备选如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ＝BC ＝1，二面角P －CD －A 为直二面角．(1)若E 为线段PC 的中点，求证：DE ⊥PB ； (2)若PC ＝3，求PC 与平面P AB 所成角的正弦值． (1)证明 ∵PD ＝DC ＝1，且E 为PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，又∵二面角P －CD －A 为直二面角， ∴平面PCD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊥CD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ， ∴BC ⊥平面PCD ， ∴BC ⊥DE .∵BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC ＝C ， ∴DE ⊥平面PBC ， 又∵PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB .(2)解 若PC ＝3，由余弦定理可求得∠PDC ＝120°，过点P 作PH ⊥CD 的延长线于H ，如图， 可得PH ⊥平面ABCD ， 在Rt △PHD 中， PH ＝PD sin 60°＝32， 过H 点作HG ∥DA ，且HG 与BA 的延长线交于G 点． 可得HG ⊥AB ，从而PG ⊥AB . 在Rt △PHG 中，PG ＝PH 2＋HG 2＝72， ∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PH ＝13×12×32＝312，设点C 到平面P AB 的距离为h ， 则三棱锥C －P AB 的体积 V ＝13S △ABP ·h ＝13×12×72h ＝312，解得h ＝37，设PC 与平面P AB 所成的角为θ， sin θ＝h PC ＝77，即PC 与平面P AB 所成角的正弦值为77. 思维升华 求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．跟踪训练2 (1)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．若AB ＝BC ＝BB 1，∠ABC ＝π2，则CC 1与平面BC 1D 所成角的正弦值为________．答案3 3解析过点C作CH⊥C1D于点H，如图，∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角，设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，∴sin∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.(2)(2022·贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．①求证：直线BD1∥平面P AC；②求直线BD1与平面ABCD所成角的正切值．①证明如图，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又∵P是DD1的中点，故PO∥BD1，又∵PO⊂平面P AC，BD1⊄平面P AC，∴直线BD1∥平面P AC.②解在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成的角，∵DD1＝2，BD＝AB2＋AD2＝2，∴tan∠D1BD＝22＝2，∴直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为 2.题型三二面角例3(2022·上海市延安中学模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD.(1)证明：平面ACE⊥平面BDEF；(2)若点M是线段BF上的一点，且满足DM⊥平面ACE，求二面角A－DM－B的正切值．(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由四边形BDEF是正方形有DE⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，又BD∩DE＝D，且BD，DE⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，由AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDEF.(2)解设O是AC，BD的交点，连接OE交DM于G，连接AG，如图．由DM⊥平面ACE，AG，OE⊂平面ACE，∴AG⊥DM，OE⊥DM，∴∠AGO是二面角A－DM－B的平面角，由射影定理知，OD2＝OG·OE，OD＝1，DE＝2，则OE＝5，OG＝55.∴tan∠AGO＝AOOG＝15，∴二面角A－DM－B的正切值为15.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.(1)求λ的值；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值．解 (1)过E 作EG ⊥D 1D 于G ，连接GA ，如图．则EG ∥CD ，而CD ∥F A ，所以EG ∥F A . 因为EF ∥平面ADD 1A 1，EF ⊂平面EF AG ， 平面EGAF ∩平面ADD 1A 1＝GA ，所以EF ∥GA ， 所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE ＝AF . 因为CE ＝2ED 1， 所以GE DC ＝D 1E D 1C ＝13.所以AF AB ＝13，即AF FB ＝12，所以λ＝12.(2)过E 作EH ⊥CD 于H ，过H 作HM ⊥DF 于M ，连接EM ，如图．因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，EH ⊥CD ， 所以EH ⊥平面ABCD .因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH ⊥DF . 又HM ⊥DF ，HM ∩EH ＝H ，HM ，EH ⊂平面EMH ， 所以DF ⊥平面EMH .因为EM ⊂平面EMH ，所以DF ⊥EM . 所以∠EMH 是二面角E －DF －C 的平面角． 设正方体的棱长为3a ，则EH ＝2a .在Rt △DHF 中，DH ＝a ，HF ＝3a ，DF ＝10a ， 所以HM ＝DH ·HF DF ＝a ×3a 10a ＝310a .在Rt △EHM 中，求得EM ＝EH 2＋HM 2＝710a ， 所以cos ∠EMH ＝HM EM ＝37，所以二面角E －DF －C 的余弦值为37.思维升华 作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB .(1)求三棱锥P －AMN 的体积； (2)求二面角M －AN －D 的正切值． 解 (1)∵PB ＝PC ， ∴PN ⊥BC ，又∵PN ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， AB ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PN ⊥平面ABCD ，∵AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2， ∴PN ＝3，M 为PD 的中点，V P －AMN ＝V D －AMN ＝V M －ADN ， ∴V P －AMN ＝12V P －ADN ＝14V P －ABCD ＝14×13×4×3＝33.(2)如图，取DN 的中点E ，连接ME ，∵M ，E 分别为PD ，DN 的中点， ∴ME ∥PN ， ∵PN ⊥平面ABCD ， ∴ME ⊥平面ABCD ， 过E 作EQ ⊥AN ，连接MQ ，又ME ⊥AN ，EQ ∩ME ＝E ，EQ ，ME ⊂平面MEQ ， ∴AN ⊥平面MEQ ， ∴AN ⊥MQ ，∠MQE 即为二面角M －AN －D 的平面角， ∴tan ∠MQE ＝MEQE ，∵PN ＝3， ∴ME ＝32， ∵AN ＝DN ＝5，AD ＝2， ∴QE ＝255，∴tan ∠MQE ＝154. 即该二面角的正切值为154.课时精练1.(2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°答案 B解析如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.2.如图，P A⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，P A＝4，BC ＝5，则PB与平面P AC所成角的正弦值为()A.22 B.12C.32 D.175答案 A解析 根据题意，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，则BC ⊥AC ， 又由P A ⊥圆O 所在平面，则P A ⊥BC ， 因为P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，则BC ⊥平面P AC ，故∠BPC 是PB 与平面P AC 所成的角，在△ACB 中，AC ＝3，BC ＝5，AC ⊥BC ， 则AB ＝AC 2＋BC 2＝34，在△P AB 中，AB ＝34，P A ＝4，P A ⊥AB ， 则PB ＝P A 2＋AB 2＝52，在Rt △PCB 中，BC ＝5，PB ＝52， 则sin ∠BPC ＝BC PB ＝22.3．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105D.33答案 C解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D ， ∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos 60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5，易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ，因此cos ∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105.4．在正四面体P －ABC 中，点M 是棱BC 上的动点(包含端点)，记异面直线PM 与AB 所成的角为α，直线PM 与平面ABC 所成的角为β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．α≥β D ．α≤β答案 C解析 根据题意，如图，作PO ⊥底面ABC ，连接OM ，则∠PMO 是直线PM 与平面ABC 所成的角， 即∠PMO ＝β，过点M 作l 平行于AB ，过点P 作PN ⊥l ，与l 交于点N ，∠PMN 是直线PM 与AB 所成的角，即∠PMN ＝α，在Rt △POM 和Rt △PMN 中，有PN ≥PO ，则sin α≥sin β，则α≥β. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1－AB －C 为( ) A.π3 B.2π3 C.3π4 D.π4答案 D解析 由图可知C 1B ⊥AB ，CB ⊥AB ，所以∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角， tan ∠C 1BC ＝C 1C BC ＝1，所以∠C 1BC ＝π4.6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法不正确的是( )A ．A 1C 1⊥BDB ．A 1C ⊥BDC ．B 1C 与BD 所成的角为60° D ．AC 1与平面ABCD 所成的角为45° 答案 D解析对于A，如图，由正方体性质可知B1D1⊥A1C1，又因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，故选项A正确；对于B，如图，由正方体ABCD－A1B1C1D1可得CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，由选项A可知A1C1⊥BD，又A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以BD⊥平面A1C1C，因为A1C⊂平面A1C1C，所以BD⊥A1C，故选项B正确；对于C，如图，由选项A 可知BD ∥B 1D 1，所以∠CB 1D 1为直线B 1C 与直线BD 所成的角， 由正方体性质可知△B 1CD 1为正三角形， 所以∠CB 1D 1＝60°，故选项C 正确； 对于D ，如图，由CC 1⊥平面ABCD ，所以∠C 1AC 为直线AC 1与平面ABCD 所成的角， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＝2CC 1， tan ∠CAC 1＝CC 1AC ＝22，所以∠CAC 1≠45°， 故选项D 错误．7．在正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，四棱锥的体积为43，则二面角P －AB －C 的大小为________． 答案 45°解析 如图，连接AC ，BD 交于点E ，依题意，PE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连接FE ，FP ，易知AB ⊥EF ，AB ⊥PF ，则∠PFE 为二面角P －AB －C 的平面角， 又V P －ABCD ＝13×2×2×PE ＝43，故PE ＝1，∴PE ＝EF ＝1， ∴△PEF 为等腰直角三角形， ∴∠PFE ＝45°.8．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，则AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ________. 答案217解析 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，SD ，过A 作AO ⊥SD ，交SD 于点O ，连接OB ，∵在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形， SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，SA ⊥AD ， ∵AD ∩SD ＝D ，AD ，SD ⊂平面SAD ， ∴BC ⊥平面SAD ， ∴BC ⊥AO ， AD ＝4－1＝3，SD ＝4＋4－1＝7，∵12×SA ×AD ＝12×SD ×AO ， ∴AO ＝2×37＝2217，∵AO ⊥SD ，SD ∩BC ＝D ，SD ，BC ⊂平面SBC ， ∴AO ⊥平面SBC ，∴∠ABO 是AB 与平面SBC 所成的角，∴AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 sin ∠ABO ＝AO AB ＝22172＝217.9.如图，已知在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AD ，BC ⊥AC ，BD ＝3，AD ＝1，AC ＝BC ，M 为线段AB 的中点．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求异面直线MD 与BC 所成角的余弦值； (3)求直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值．(1)证明 ∵平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AB 的中点， ∴MN ∥BC ，∴∠NMD (或其补角)为异面直线MD 与BC 所成的角， 由(1)知BC ⊥平面ACD ， ∴MN ⊥平面ACD ，MN ⊥ND ， ∵BD ＝3，AD ＝1，AB ⊥AD ， ∴AB ＝22，又∵AC ＝BC ，AC ⊥BC ，∴AC ＝BC ＝2， 在Rt △MND 中，MN ＝12BC ＝1，MD ＝AD 2＋AM 2＝3，∴cos ∠NMD ＝MN MD ＝33，即异面直线MD 与BC 所成角的余弦值为33. (3)解 由(2)知∠MDN 为直线MD 与平面ACD 所成的角， 在Rt △MND 中，ND ＝MD 2－MN 2＝2，∴cos ∠MDN ＝ND MD ＝23＝63， 即直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值为63. 10.如图，在三棱锥A －BCD 中，△ABD 为等边三角形，BC ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD 且BA ⊥BC .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求二面角A －CD －B 的正切值．(1)证明 如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ⊥BD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AE ⊂平面ABD ， 则AE ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，AB ∩AE ＝A ， AB ，AE ⊂平面ABD ，则BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ， 则BC ⊥AD .(2)解 如图，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，连接AF ，由(1)知AE ⊥CD ，AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ， 因为AF ⊂平面AEF ， 则CD ⊥AF ，所以∠AFE 为二面角A －CD －B 的平面角． 因为△ABD 为等边三角形，设BD ＝2， 则AE ＝3，EF ＝22， 则tan ∠AFE ＝AE EF ＝322＝ 6.所以二面角A －CD －B 的正切值为 6.11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，异面直线AB 与A 1C 所成角的大小为π3，则该长方体的侧面积与表面积的比值是( )A.4－227B.4－24C.8－227D.4－28答案 C解析 如图，连接B 1C ，因为AB ∥A 1B 1，所以∠B 1A 1C 是异面直线AB 与A 1C 所成的角， 即 ∠B 1A 1C ＝π3.设AB ＝x ，AA 1＝y ，在△A 1B 1C 中，B 1C 2＝x 2＋y 2，A 1C 2＝2x 2＋y 2， 则cos ∠B 1A 1C ＝x 2＋2x 2＋y 2－(x 2＋y 2)2x ·2x 2＋y 2＝12，整理得y ＝2x ，从而该长方体的侧面积S 1＝4xy ＝42x 2， 该长方体的表面积S 2＝4xy ＋2x 2＝(42＋2)x 2， 故S 1S 2＝42x 2(42＋2)x 2＝8－227. 12．某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 与底面所成的角为( )A.π3B.π4C.π6D.π2答案 A解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示﹐∠PEA 为PE 与底面所成的角． ∵P A ＝6，AE ＝2，∴tan ∠PEA ＝P AAE ＝3，∴∠PEA ＝π3.13．已知正四面体A －BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①∃F ∈BC ，EF ∥AC ； ②∀F ∈BC ，EF ≤3； ③∃F ∈BC ，EF 与AD 不垂直；④∀F ∈BC ，直线EF 与平面BCD 夹角正弦的最大值为33. 所有不正确的命题序号为________． 答案 ①③ 解析 如图，对∀F ∈BC ，EF 与AC 异面或相交，故①错误；当点F 为BC 的中点时，EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，当F 与B ，C 重合时，EF 取得最大值3，故②正确；因为AD ⊥BE ，AD ⊥CE ，BE ∩CE ＝E ，所以AD ⊥平面BEC ，故AD ⊥EF ，故③错误； 因为E 到平面BCD 的距离为定值d ，设直线EF 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ＝dEF ，当F为BC 的中点时，易知EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，sin θ＝dEF 有最大值，此时DF ＝3，DE ＝1，故EF ＝3－1＝2，在Rt △EFD 中，EF ·DE ＝DF ·d ，解得d ＝63，所以sin θ＝d EF ＝33，故④正确． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使折起后平面ADE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和CD 所成角的余弦值为________．答案63解析 由题意，取AB 的中点F ，连接CF ，DF ，则CF ∥AE ，可得直线AE 和CD 所成的角为∠DCF (或其补角)， 如图，取AE 的中点M ， 连接DM ，MF ，MC ， ∵AD ＝DE ， ∴DM ⊥AE ，又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ，DM ⊂平面ADE ， ∴DM ⊥平面ABCE ， ∴DM ⊥MF ， 且AM ＝DM ＝22， 结合平面图形可得FM ＝22， ∴DF ＝DM 2＋MF 2＝1，CF ＝2，又MC 2＝52，∴DC 2＝DM 2＋MC 2＝3，∴在△DFC 中，DC 2＝DF 2＋FC 2， ∴△DFC 是直角三角形且DF ⊥FC ， 可得cos ∠DCF ＝23＝63.15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为DD 1，AA 1，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线D 1P ∥平面EFG ，则D 1P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤33，22 B.⎣⎡⎦⎤22，1C ．[1，2] D.⎣⎡⎦⎤22，63 答案 B解析 由题意，如图所示，平面EFG 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上的截面为EFGH ，且H 为DC 的中点，因为D 1P ∥平面EFG ，而平面A 1BCD 1∥平面EFG ， 所以D 1P ⊂平面A 1BCD 1，又点P 为底面ABCD 上的一个动点，则点P 在BC 上， 所以D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠DPD 1， 当点P 与点B 重合时，∠DPD 1最小， 此时tan ∠DBD 1＝DD 1BD ＝22，当点P 与点C 重合时，∠DPD 1最大， 此时tan ∠DCD 1＝DD 1CD ＝1，所以tan ∠DPD 1∈⎣⎡⎦⎤22，1.16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为四边形，△ABD 是边长为2的正三角形，BC ⊥CD ，BC ＝CD ，PD ⊥AB ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若二面角C －PB －D 的平面角的余弦值为66，求PD 的长．(1)证明 如图所示，E 为BD 的中点，连接AE ，△ABD 是正三角形， 则AE ⊥BD .又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，AE ⊂平面ABCD ， 故AE ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ， 故AE ⊥PD .又PD ⊥AB ，AE ∩AB ＝A ，AE ，AB ⊂平面ABCD ， 故PD ⊥平面ABCD . (2)解 如图所示，过点E 作EF ⊥PB 于点F ， 连接CF .因为BC ⊥CD ，BC ＝CD ， E 为BD 的中点，故EC ⊥BD ， 又EC ⊥PD ，BD ∩PD ＝D ， 所以EC ⊥平面PBD ， 所以EC ⊥PB ，又EF ⊥PB ，EC ∩EF ＝E ， 所以PB ⊥平面EFC ，CF ⊥PB ，故∠EFC 为二面角C －PB －D 的平面角． cos ∠EFC ＝66， 故tan ∠EFC ＝5，EC ＝1，故EF ＝55. sin ∠PBD ＝EF EB ＝55，tan ∠PBD ＝12，即PD BD ＝12，所以PD ＝1.。

DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

专题:空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0,]2π。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。

（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO ==OA =B A 1与1AO 所成角的余弦。

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。

直线和平面所成角范围：[0，2π]。

（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角， 则有θϕϕcos cos cos 21= 。

由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。

AB O 1A1B1O考点二：直线和平面所成的角例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形，C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。

一、空间角说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。

在可以建立空间坐标系的前提下，以下的点的坐标可求出。

1．异面直线所成的角点A ，B 直线a,C ，D 直线b 。

构成向量。

∈∈CD AB ,所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与><CD AB CDAB CD AB ,,cos b(CD)所成的角。

例1．如图，已知直棱柱ABC-A 1B 1C 1，在ABC 中，∆CA=CB=1，，棱AA 1=2，求异面直线90=∠BCA BA 1，CB 1所成的角。

2．线面所成的角与的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面所成的角，所以AP n αθAP与的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面所成的角的正弦值。

n α><=∴n AP ,cos arcsin θ例2．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为C 1D 1、B 1C 1的中点，(1)求证：E 、F 、B 、D 共面；(2)求点A 1D 与平面EFBD 所成的角。

3．二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。

，则二面βα--l αm βn θ>=<n m ,ＱＱＱD ＱＱＱＱ1Ｑ11EF角的平面角为或π。

βα--l θθ-所以，(不要选择起点在棱上)，nm n m <,cos 当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当><n m ,两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。

><n m ,例2．如图，平面ABCD ，ADE 是等边三角形，ABCD ∆是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点，EC 与平面ABCD 成300的角。

(1)求证：EG 平面ABCD ；⊥(2)若AD=2，求二面角E-FG-G 的度数；(3)当AD 的长是多少时，点D 到平面EFG 的距离为2，请说明理由。

二、1．点到面的距离点P 北京佳尚财税http://101.1.28.35/到面的距离可以看成在平面的法向量的方向上αd AP αn 的射影的长度。

题型三 异面直线所成角、线面角1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；考点一 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 典型例题例1（2007年北京卷文）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．思路启迪：（II ）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法1：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE=O CADBEBC AD A 1α∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan 3．解法2：（I ）同解法1．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，， (0023)OA ∴=，，，(213)CD =-，，， cos OA CD OACD OA CD∴<>=，6642322==．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos 4．小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π.例2．（2006年广东卷）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE //AD . (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.命题目的：本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程： (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD ⊥AB , AD ⊥AF ,故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角.是矩形的直径，是圆、ABFC O BC AF ∴ ，是正方形，又ABFC AC AB ∴==6由于ABFC 是正方形，所以∠BAF ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD0186482cos ,.10||||10082BD FE BD FE BD FE ⋅++<>===⨯设异面直线BD 与EF 所成角为α，则 .82cos cos ,.10BD FE α=<>=故直线BD 与EF 所成的角为1082arccos .考点二 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容. 典型例题例3.（2007年全国卷Ⅰ理） 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ， 得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=- ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α=．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(2SA =-，，DBCASA(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，12G ⎫⎪⎪⎝⎭，．12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =．0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，()DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为．小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.。