2011数模第一次模拟竞赛试题A

数学建模竞赛试题1、磁盘的最大存储量现有一张半径为R 的磁盘,它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大存储量。

2、新工人的学习曲线在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。

在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。

纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。

观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。

3、工人数量调整问题一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为2(,)f x y x y =现有16名技术工人和32名非技术工人，而厂长计划再雇佣一名技术工人。

试求厂长如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？4、乙酸回收的最好效果在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。

这种方法就是化工中的萃取过程。

现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。

进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？5、陈酒出售的最佳时机某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。

而银行利率为0.05r =。

试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。

6、森林救火模型森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越大。

2011年厦门理工学院数学建模竞赛题目（请先阅读“论文封面及格式要求”）A题 推土机生产计划厦门市某重型机械厂通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并给合今年上半年可能出现的影响推土机销售的因素，预测该厂2011年上半年的销售情况如下表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售量（台）42 32 41 67 25 29该厂的推土机2010年12月的销售均价为48万元/台，今年上半年的售价保持不变。

2010年12月末尚有49台未售出。

推土机从计划生产到售出会发生下列费用：（1）生产成本，包括固定成本（主要是指厂房、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、其他材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2010年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与推土机生产台数的平方成正比，比例系数为0.5。

且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。

（2）销售费用，与当月的销售金额成正比。

（3）贮存费，生产出的推土机未售出的必须贮存，即该厂生产的推土机平均每台每月的贮存费为0.1万元。

2010年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。

预计的增长速度（以2010年12月的价格为基准）见下表：月份 1 2 3 4 5 6 增长速度10% 10% 20% 20% 30% 30%该厂希望在上半年就把生产的推土机全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2011年1月到6月每月的生产计划（即每月完成多少台）。

（1）如果该厂的月生产能力没有限制，并且允许期货（即尚未下线的推土机）销售，但在6月底前要全部完成交货，如何制定月生产计划？（2）如果该厂每月的生产能力限于33台，并且允许期货（即尚未下线的推土机）销售，但在6月底前要全部完成交货，又该如何制定月生产计划？2011年厦门理工学院数学建模竞赛题目（请先阅读“论文封面及格式要求”）B题：放射性气体扩散的预测2011年3月11日, 日本近海发生9.0级地震并引发了大海啸，沿海的核电站受到破坏，开始释放出大量具有放射性的物质。

A: 网络舆论的形成、发展与控制持有、接受、表达某种相同、相似的观点的人在社会人群中所占的比例超过一定的阀值，这时候这种观点就上升为舆论（opinions）。

舆论在特定的条件下，产生巨大的社会力量，能够左右社会大众和政府的行为。

如今，互联网作为一个开放自由的平台，已经成为了世界的“第四媒体”。

显然，网络舆论与传统舆论在形成、发展等方面有着诸多不同的特点，如何控制和引导网络舆论的形成与发展是当今社会的一个重要课题。

作为开放的网络平台，加上其虚拟性、隐蔽性、发散性、渗透性和随意性等特点，越来越多的人们愿意通过互联网来表达自己的个人想法。

现今，互联网已成为新闻集散地、观点集散地和民声集散地。

互联网上的信息内容庞杂多样，容纳了各种人群、各类思潮，对于社会上的一些敏感问题出现在网上而引起一些人的共鸣应是一种正常现象，但是由于各种复杂因素使这些敏感问题向热点演变，最后形成网络舆论并引起社会群众的违规和过激行动时，将影响到社会安定和其他政治问题，因此网络舆论的爆发将以“内容威胁”的形式对社会公共安全形成威胁，对网上的信息内容进行管理和控制将成为互联网进一步发展的必然趋势。

请在上述背景基础上，解决如下问题：（1）请在查找资料的基础上，给出网络舆论的基本概念和特性，分析影响网络舆论的各种因素；（2）运用你们所掌握数学知识，建立网络舆论形成的数学模型，使其能够对网络舆论的发展、变化趋势做出有效的判断，并能对网络舆论的态势做出客观的表述；（3）基于上述模型的基础上，请描述在网络舆论形成后，如何利用你们的模型来网络舆论的发展趋势。

B题：水资源短缺风险综合评价水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。

主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

城市表层土壤重金属污染分析摘要本文通过对城市表层土壤受重金属污染的过程、实际情况和相关数据的分析， 运用多种数学模型对问题进行求解。

在求解第1问时运用Matlab 软件编程绘出二维等高线图，建立图形模型。

直观地给出了各金属元素的空间分布，见正文第6页图1。

根据内梅罗污染指数模型：2p 最大平均+=p p对数据整合依次得到各功能区的指数值（见正文第8页），再与背景值的指数值作比较得到生活区、工业区和交通区的污染程度较大，山区和公园绿地区的污染程度较小的结论，同时在第一问的基础下，生成了有关各元素浓度与功能区之间的统计直方图，建立统计模型，通过分析找到了重金属污染的主要原因为：工业污染、交通污染和居民生活污染。

污染程度较大的几种元素是：Cr 、Cu 、Pb 和Zn 。

求解第三问时，将重金属在土壤中的传播等效为一种物质的紊流扩散，建立了菲克扩散模型：c m z y x F z cy c x c D w c z v c z v c y v c x t c +∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂-⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂)()()()()(222222 通过逐步降维和高斯分布得到反应传播特征函数：Exvy E z w evExh Qy x c 452002),(--=π根据分布曲线特征并结合图1找到了污染比较严重的几种元素污染源的位置为： Cr （3000，6000），Cu （2700，3500），Pb （2300，3500）， Zn （3000，6000）、Zn （9500，4500）、Zn （13500，9500）。

由于建立的菲克扩散模型时忽略了很多外在因素，为了更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集诸如当地的自然环境（降雨量，温度等），地质情况，自然危害（地震，泥石流等），人类活动因素的叠加，包括对资源的开发，人类对环境的破坏以及保护等信息。

而对流-弥散方程模型对扩散问题的研究是一个考虑了多方面因素逐步精确化的模型，所以在第四问中我们选择了建立对流-弥散方程模型：)),,(),,(()),,(),,((),,(2222yt y x C x t y x C D y t y x C x t y x C v t t y x C ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂αα 得到以下结论：空间相关性体现于：同一时刻空间上其他点对某一点的浓度都有影响，这种非局域性是的扩散过程加快，即随着空间分数阶阶数γ的减小，溶质扩散速度越快。

城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日益突出，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，可将城市划分为生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区等，不同区域环境受人类活动影响的程度不同。

对于问题一，利用附件中所给数据，通过MATLAB插值法建立城市地形的三维模型，以及八种重金属元素空间浓度分布图（共8幅），通过模型我们可以清楚地看到不同元素在不同区域的分布情况。

分析不同地区污染程度时我们采用了Muller指数将污染情况分成0—6共7个等级，并列表统计不同功能区不同金属元素的污染等级。

通过比较可以清楚地看到该城区不同区域重金属的污染程度，按严重程度依次为工业区主干道路区生活区公园绿地区山区。

对于问题二，通过问题一我们发现工业区、主干道路区和生活区是重金属污染较为严重的区域。

由于目前我国在重金属冶炼、开采、加工等领域生产方式粗放，造成了大量的重金属元素如Pb、Hg、Cu等进入空气、水体以及土壤，造成了严重的重金属污染。

人类生活中日常使用的一些物品含有大量重金属元素，如电池中含有大量Hg、Zn、Ni等重金属元素，他们通过自然和生物降解，随雨水进入水体和土壤中。

对于问题三，我们通过分析前两问得出的结论，即重金属元素从高海拔向低海拔，从高浓度向低浓度扩散，我们建立数学模型，通过求解函数极值，可确定污染源位置。

对于问题四，我们仔细分析了上述数学模型的优缺点，为了更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该城市盛行风风向、水流流向、人类活动、土壤中生物活动情况、土壤本身的性质情况以及各污染源污染强度、持续时间、当地的空气污染情况等信息。

综合各因子的作用效果，通过回归分析解决新模型。

关键词：插值法；Muller；扩散模型；回归分析1一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

2011年数学建模模拟训练题目第1题A 题 越野长跑团体赛记分规则的公平性越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名。

试回答以下问题：（1） 此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。

（2）试讨论在不计时、仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？（3）试根据（2）中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。

B 题 西瓜种植方案张三、李四和王五是自由市场上仅有的三个出售西瓜的农民，设三人种植西瓜的数量分别为z q 、l q 与w q （单位：个），成本分别为（单位：元/个）0.55,250000.50,25000z z z q C q ≤⎧=⎨>⎩ 0.55,200000.50,20000l l l q C q ≤⎧=⎨>⎩0.60,200000.50,20000w w w q C q ≤⎧=⎨>⎩西瓜的市场价格为375000250000,75000z l w z l w z l w q q q q q q p q q q ++⎧-++≤⎪=⎨⎪++>⎩， （1）张三、李四和王五同时播种，且三人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息，在互相不通种植信息的前提下求各自的决策，以及在此决策下各自的产量和收益。

（2）若李四和王五按上述决策执行，但张三没有按上述决策执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量。

那么，张三能否提高收益？其产量及收益分别是多少？（3）若李四与王五知道了张三的上述“计谋”，因此，根据他们自己的种植量l w q q +，就可以推算出张三的种植量,从而推算出市场价格以及自己的利润。

李四与王五为使他们的总利润最大，应该选择怎样的种植数量？同时，他们两人之间又应如何划分种植数量？收益各如何？（4）若三人决定合作，问应如何合作？各自的产量及收益分别是多少？。

2011年数学建模模拟训练题目第1题A 越野长跑团体赛记分规则的公平性越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名。

试回答以下问题：（1） 此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。

（2）试讨论在不计时、仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？（3）试根据（2）中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。

B 新股申购策略当前股市中有一部分投资者以“打新”为主要投资手段。

由于新股开盘价大多都高于申购价，而申购新股不需要任何交易成本，如果策略得当，每年的收益可以超过 10％，大大高于其他无风险收益（银行存款和国债年收益率都低于 4％）。

因此，打新股成为一种风险较低的理财投资方式。

股民们对于新股申购的热情也是一浪高过一浪。

但同时新股的发行速度也越来越快，有时甚至一天内同时有四五个新股可以申购，这也使得一些股民产生茫然，有的分散资金投资，有的集中一个投资。

那么，到底应当采用何种投资策略呢？新形势下申购新股的收益又会有多少呢？新股的申购分为网下询价申购和网上定价申购两种模式。

网下申购限于专用资金（比如某证券公司、基金公司等），所配售的新股一般在其上市以后三个月才能流通；网上申购限于非专用资金（一般指的是个人资金），所中签的新股上市首日即可买卖交易，具体的申购流程及手续可参见 。

现在你被授权管理一笔私人资金，用于投资新股。

该资金仅限用于上海证券交易所和深圳证券交易所A 股的网上申购，具体时间范围规定为自 2010年下半年发行的所有新股（所有数据可以参阅 ）。

请建模分析，解决如下问题：（1）你管理一笔私人资金，数目为50 万人民币，用于网上申购新股，对于中签的新股，要求在其上市首日即卖出。

问：应当如何投资才能获得最大的收益，并计算你的收益率。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？题目A题城市表层土壤重金属污染分析摘要：本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。

循环比赛的名次问题摘要本文主要应用柯西分布隶属函数，研究六支球队循环比赛结果排名的问题。

首先，据题图，规定一种判断胜负的方法，初步得出六值各球队的实力水平，将其划分为四个实力等级，运用柯西分布隶属函数解出四个等级的权重。

其次，用一个六阶“0-1矩阵”表示各队之间的比赛结果，由此求出每支队伍的实力水平。

最后，由实力等级权重和实力水平的组合矩阵X,得到六支球队的最终排名。

ij关键词：偏大型柯西分布隶属函数 0-1整数规划一 问题重述n 支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。

6支球队比赛结果如下图：要求通过建立模型，给出六支球队的排名，说明理由；若认为比赛安排不合理，试重新安排比赛。

二 问题分析题目给出六支球队的循环赛结果图，共比赛15场，每场只记胜负，没有平局，可以确定出各队伍的胜负情况，由胜场数排出名次，再根据每队的胜负情况得出一个类似于0-1整数规划的矩阵，最终得出排名。

三 模型假设1.六个队的实力不同。

2.比赛结果不存在偶然性。

3.‘1→2’代表2胜1负。

4.只考虑胜场次数对综合排名的影响。

四 符号说明ijX ：i 队和j 队的比赛结果；iw ：第i 队的综合实力水平；五 模型的建立与求解4.1初步排名根据6支球队的胜场次数确定了每支球队的初步排名如表（1）：表（1）34564.2首先按照6支球队的排名不考虑负场只考虑胜场可以将其初步分为四个等级：第6队为第四等，队4和队5为第三等，队2和队3为第二等，队1为第一等。

然后按照柯西分布隶属函数对四个等级进行量化。

柯西分布隶属函数为：()12,14[1]()()1ln ,47x x f x a x b x αβ-⎧-≤≤⎪+-=⎨+≤≤⎪⎩设其中(4)0.8f =，(1)0.05f =解得：(3)0.67f =，(2)0.42f =， 2.99α=，0.54β=其结果如表（2）：按照（1）式的结果得到各队间对战结果权重矩阵如下：000.420000.0500.4200000000.670.80.050.420.420000.050.4200.67000.050.420.670.670ijX ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，主对角线元素为0，代表是自己与自己比，其余的0表示此队伍输。

城市表层土壤重金属污染分析摘要通过分析城市城区土壤地质环境数据，选取采集样本为研究对象，建立模型综合评价城区污染状况，分析确立重金属污染源及其污染的传播方式。

模型一：采用模糊综合评价模型通过建立各重金属浓度的隶属度函数进而求出模糊关系矩阵和模糊权重矩阵，最后求出模糊评价向量，按照最大隶属度原则计算得出各区污染程度的等级，其中生活区、山区、公园绿地属于一级污染，工业区和主干道路区属于二级污染。

模型二：采用改进单因子污染指数模型计算各种重金属污染指数，再根据标准确定各区主要污染因子及其污染程度。

本文得到山区和公园绿地区各种金属污染程度都较低。

生活区主要污染因子Cd和Zn，工业区主要污染因子Cd、Cu、Hg、、Zn，主干道路区主要污染因子Cd和Zn，最后由这些不同区域的不同属性判断重金属污染的原因主要包括生活垃圾，工业排放，汽车尾气等。

模型三：利用地统计学中的半方差函数公式描述八种重金属元素分布在整个城市区域上的浓度变化，分析出这八个变量的空间变异方式，即确定变量的传播方式。

利用克里克法对重金属含量进行插值，模拟出各种重金属的分布扩散区域图，其中As,Cd,Hg 在东北部的污染源全都为点状以小范围的方式向周围辐射，Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn等元素都城市东南部以大范围的方式向四周面状和带状扩散。

污染源中心为22号、8号、20号等许多采样点所处区域。

最后再收集数据，对模型三进行改进，重金属元素通过大气、河流和沉降进入土壤，但都需要经过植物根系主导的土壤水循环，以此建立微分方程模型研究重金属元素的迁移规律，分析地质环境演变。

关键字模糊综合评价单因子污染指数半方差函数微分方程1 问题重述土壤是人类赖以生存的最基本的自然资源之一，也是人类环境的重要组成成分。

随着工业化、城市化进程的不断加快，废弃物排放、农业化肥使用量增加，土壤重金属污染越来越严重。

土壤重金属污染是由于人类活动使重金属在土壤中的累计量明显高于土壤环境质量标准或土壤环境背景值，致使土壤环境质量下降和生态环境恶化的现象。

2011数学建模国赛a题
2011年全国数学建模竞赛A题是关于制动器试验台的控制方法分析的问题。

制动器是汽车中非常重要的安全部件，它的设计直接关系到汽车和人身的安全。

为了测试制动器的性能，需要进行制动器试验。

题目要求对制动器试验台的控制方法进行分析。

在这个问题中，需要考虑的关键点包括：如何控制制动器试验台进行准确的制动测试；如何模拟实际道路的制动情况；如何评估制动器的性能等。

解题思路可以包括以下几个步骤：
1. 确定制动器试验台的控制目标：例如，控制制动器的制动力、制动速度、制动距离等。

2. 分析制动器试验台的控制系统：了解试验台的硬件组成和软件控制逻辑，分析如何通过控制输入信号来控制试验台的输出。

3. 设计合理的控制策略：根据制动器试验的要求，设计适当的控制算法或策略，如PID控制、模糊控制等，以满足制动测试的准确性、稳定性和安全性。

4. 进行仿真或实验验证：使用数学模型或实际数据进行仿真分析，或搭建试验台进行实际测试，以验证所设计的控制策略的有效性和可行性。

5. 评估制动器性能：根据测试结果，对制动器的性能进行评估，包括制动力、制动距离、制动稳定性等方面的评估。

6. 优化制动器设计：根据测试结果和评估结论，对制动器设计进行优化，提高其性能和可靠性。

具体解答还需要查阅相关的资料和专业文献，并结合实际问题进行深入分析和探讨。

同时，建议在进行建模和仿真时采用适当的数学方法和计算机编程技巧，以提高模型的精度和求解效率。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20111663 所属学校（请填写完整的全名）：南京邮电大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘超舟2. 刘立亿3. 董睿指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2011 年 9 月12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题城市表层土壤重金属污染分析一．摘要二．问题重述三．符号约定四．基本假设五．建模与求解5.1问题（1）的建模与求解5.1.1问题分析根据采样的坐标，我们可以得到一个大概的区域分布散点图，如下图：图5.1.1 功能区采样点分布散点图图中各功能区得分布无规律，采样间隔比较大，很难建立各重金属测量值与样本采集点坐标的平滑函数，故采用等高线图来描述各种重金属在该城区的空间分布。

附件中给了采样点的三维坐标和各重金属元素的含量值，由于我们只需要考虑该区域的污染程度，因此不需要考虑坐标，只用知道采样地点位于某一区即可。

我们从采集样本的样本值中可以分析出每一区域的污染程度。

由于重金属分子的相对分子质量较大，取样时只对表层土壤0~10厘米深度进行取样，从收集的资料来看，可对取样值污染程度采用地积累指数分析法进行评级分析。

2 21 数一模考1答案(15)求极限(1) B (2) C ( 3) D(4) B(5) D(6) B(7) B (8) A二、填空题/c 、 1237(9) a -(10) 9(4)(11) 1.(12)(13)) 3312、选择题 15—23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置 (14)1三、解答题: 【解】：lim X x.XlimX X X X(根式有理化)lim X (16) 求微分方程 2y '' y(0) 的解(y')2,y'(0)令 y' p ,则y''2pdprli iu ，得到——udyy 为关于y 的一阶线性方程|x 02 2p (0) [ y' (0)]1ce y所以 u |Xy (o)cey(0)2 1 ce 20.1, dydxC 1,y(0) 2,得到f X 得解曲1(17)设函数f (X)在闭区间［0,1］上连续,在开区间 (0,1)内大于零，并满足•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2又由已知条件得旋转体的体积为5时，旋转体体积最小.—sinx k 在开区间(0,—)内根的个数，并证明你的结论2 2【解】设f(x) x —sinx,23axf (x) f (x)X 2(a 为常数)，又曲线yf(x)与x 1, y 0所围的图形S 的面积值为2，求函数y2f(x),并问a 为何值时，图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小 【解】由题设知，当 x 0时, xf (x) f (x) 3a x 2 d f (x) dx 3a 2 根据此并由f (x)在点x 0处的连续性，得 f(x)23axCx,x [0,1]V (a) 又因V(a)/ 1 2(a 30 / 1 1、 15 3a1f 2(x)dx5.1 (a) — 0 153 2ax 2(42a)x dx则 f(x)在[0,—]上连续.由 f (x)21(3ax 2 2Cx)dx』ax 32)|01 a 2即 因此C 4 a.3 2ax2f(x)(4 a)x.(18)就k 的不同取值情况，确定方程跨校考研全程辅导专家2得f(x)在(0,—)内的唯一的驻点x 02—cosx 0, 22 arc cos —由于当x (0, X o)时，f (x) 0,所以f(x)在［0, x o］上单调减少，在［X。

2011年数学竞赛模拟训练试题（1）详细解答一、填空题：共64分，每小题8分．1．由10个元素组成的集合M = {1, 99，-1, 0, 25，-36，-91, 19，-2, 11}，记M 的所有非空子集为i M ,i =1, 2，…，1023，每一个从中的所有元素之积为i m ，则10231ii m =∑= ．2．如图1, ⊙O的半径为，D, B, C 为⊙O 上的三点,∠BOC=120°,DC=DB+1,则DB= ．3．已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++- ，则tan x =．4．若实数,x y 满足22144x y -=，则21y x x -的取值范围是 ． 5．所有能使2[]5n 为质数的正整数n 的倒数和为 ．6．已知函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对任意的(0,1]x ∈恒有意义，则实数a 的取值范围 ．7．设三位数n abc =，若以,,a b c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n 有 个． 8，则它的表面积的最小值为 ． 二、解答题：共56分，第9题16分，第10、11题各20分．9．在椭圆2214x y +=中，AB O 为坐标原点，求AOB ∆的面积S 的取值范围．10．设二次函数()y f x =的图象过点O (0,0)，且满足231()62x f x x --≤≤+．数列{}n a 满足：111,()3n n a a f a +==． (l)确定()f x 的表达式； (2)证明：1n n a a +>；(3)证明：111330.5nn i ia +=≥--∑． 11．已知,,abc R +∈，且满足22()(4)kabc a b a b c a b c≥++++++，求 k 的最小值．参考答案1．-1．10231i i m =∑=(1+1)·（99+1）·（-1+1）·（0+1）·（25+1）·（-36+1）·（-91+1）·（19+1）·（-2 + 1)·（11+1）-1=-1.2．4．连接BC ．在△ABC 中，由余弦定理可得BC ==设DB x =，则1DC x =+．在△DBC 中，由余弦定理可得222(1)2(1)cos60x x x x =++-+ ,解得4x =或5x =-（舍去）.3sin cos 20cos sin 202cos cos10x x x +=,所以2cos10sin 20tan cos 20x -=． 又2cos10sin 202cos(3020)sin 20-=--2(cos30cos20sin30sin 20)sin 20=+-sin 20sin 20=+-= ，所以20tan cos 20x ==4．（-l, 1)．令 2sec ,2tan ,(,)22x y ππθθθ==∈-，则222111cos sin 1(sin 1)(1,1)22y x x θθθ-=-=-+∈-． 5．3760．1,2,3n =时，2[]5n 都不是质数；n =4时，2[]5n =3是质数；n =5时，2[]5n =5是质数；n =6 时，2[]5n =7是质数．当8n ≥时，可设5n k r =±（其中k 丧为不小于2的正整数，r =0,1，或2)，则 22222111(5)(2510)(52)5555n k r k kr r k k r r =±=±+=±+， 所以2[](52)5n k k r =±，因为2k ≥，所以522k r ±>, 所以2[](52)5n k k r =±不是质数．因此，能使2[]5n 为质数的正整数，只有4, 5, 6，它们的倒数和为1113745660++=．6．1[,1)(1,)2+∞ ．显然0a >且1a ≠．由题意知23210ax x a -++->对一切(0,1]x ∈恒成立，即2312x a x ->-对一切(0,1]x ∈恒成立．令231()2x g x x -=-，则2'22326()(2)x x g x x -+-=-，显然，对一切(0,1]x ∈，'()0g x <，所以函数231()2x g x x -=-在(0,1]x ∈上单调递减，因此，当(0,1]x ∈时，(1)()(0)g g x g ≤<，即12()2g x -≤<．因此，12a ≥．综合可知：实数a 的取值范围是 1[,1)(1,)2+∞ ．7．165．（2004年全国联赛题）解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0．即,,{1,2,...,9}a b c ∈．（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199n C ==．（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码．设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C ．但当大数为底时，设a>b ，必须满足2b a b <<．此时，不能构成三角形的数码是共20种情况．同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况．故2399(220)6(10)156n C C C =-=-=。