八年级数学上册 14.3《因式分解》十字相乘法学案(无答案)(新版)新人教版

14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案1. 教学目标•掌握使用十字相乘法进行因式分解的方法；•能够将给定的型式子进行因式分解；•培养学生观察、分析和解决问题的能力。

2. 教学重点•十字相乘法的具体步骤；•如何根据给定的型式子进行因式分解。

3. 教学难点•处理较复杂的型式子时的因式分解方法；•让学生理解并掌握十字相乘法的原理。

4. 教学准备•教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、教学课件；•学生准备：课本、练习册。

5. 教学过程步骤1：导入教师可通过举例、提问等方式，引导学生回顾已学过的因式分解的知识，如何将一个多项式进行因式分解，并复习求解乘法的方法。

步骤2：引入十字相乘法教师通过板书或教学课件展示十字相乘法的具体步骤：将一个多项式的乘积用十字形式表示，然后根据十字相乘法的步骤进行因式分解。

步骤3：示范与讲解教师以具体的例子，进行十字相乘法的讲解与示范。

例如，给出一个多项式的乘积，并指导学生筛选出可能的因式，并使用十字相乘法进行因式分解。

步骤4：学生练习教师提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习。

教师可以根据学生的实际情况，调整题目的难度和数量。

步骤5：巩固与拓展教师与学生共同讨论和总结使用十字相乘法进行因式分解的方法和技巧。

教师可提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固所学内容。

步骤6：作业布置教师布置相关的作业，要求学生在课后完成。

作业可以包括练习册上的相关习题，以及设计一些探究性的问题，提高学生的解决问题的能力。

6. 教学反思本节课通过引入十字相乘法的方法，让学生掌握了因式分解的新技巧，并通过练习和讨论，促使学生理解和掌握了十字相乘法的原理和步骤。

通过教材上的习题和作业的设计，提高了学生的解决问题的能力和应用能力。

同时，教师在教学过程中注重与学生的互动和讨论，激发学生的学习兴趣，培养了学生的思维能力和分析问题的能力。

第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解一．学习目标1．理解因式分解的意义；学会用提公因式，公式和十字相乘法分解因式。

2．在学习过程中，感悟数与式的共同点，体验类比思想；培养学生的逆向思维。

3．在学习中树立学生的整体换元意识和体验成功的快乐。

二．学习重难点因式分解的意义和方法的应用。

三．学习过程第一课时分解因式——提公因式法（一）构建新知1．阅读教材114～115页（1）乘法的分配律：ab＋ac=_____________。

（2）因式分解就是把一个多项式化成_______的形式。

（3）多项式ax＋bx－x中共同的因式是_____；2．归纳与理解（1）公因式就是多项式中___项都有的______式。

（2）多项式8m2n＋2mn2，2a（y－z）－3b（z－y）中，含有的公因式分别是_______和_______，因此分解因式后8m2n＋2mn2 =____________，2a（y－z）－3b（z－y）=___________________。

（二）合作学习1．提公因式分解因式：（1）4x（a2+x2）－a2－x2（2）（a－b）（a＋b）2－（a+b）（a－b）2+2b（a2＋b2）（三）课堂检查1．因式分解：（1）4a（x－2）2－2b（2－x）3（2）12a2b－18ab2－24a3b32．求值：（1）若ab=5，a －b=4，求－a 3b 2＋a 2b 3的值．（2）不管a 取何值，求证多项式－3a 2（a 2－2a －3）+3a （a 3－2a 2－3a ）+2005的值恒不变。

（3）已知x 、y ，满足方程组 ⎩⎨⎧=+=-112122y x y x ，求（2x －y ）3－（2x －y ）2（x －3y ）的值。

3．解方程：（1）（45x+30）（33x+15）－（45x+30）（33x+16）=0（2）2x+3－2x+1=48．4．填空：（1）若多项式3ab （a －b ）＋M 分解因式是ab （a －b ）（3－2a ＋2b ），则M=____________。

14.3 因式分解：十字相乘法和分组分解法教案一、教学目标1.了解因式分解的基本概念和作用；2.掌握因式分解中的十字相乘法和分组分解法；3.运用十字相乘法和分组分解法进行因式分解；4.培养学生逻辑思维和综合运算能力。

二、教学重点1.十字相乘法的运用；2.分组分解法的运用。

三、教学难点1.结合具体题目，选择合适的因式分解方法；2.解决实际问题中的因式分解问题。

四、教学过程1. 导入新知识（5分钟）教师简单介绍因式分解的基本概念和作用，向学生解释因式分解在数学中的重要性和应用场景，以引发学生的兴趣。

2. 十字相乘法（15分钟）1.解释十字相乘法的基本原理：对于一个二次三项式ax^2 + bx + c，通过找到两个数m和n，使得m n等于a c，并且m + n等于b，就可以通过十字相乘法将二次三项式进行因式分解。

2.通过示例进行讲解和演示，呈现具体的步骤和应用技巧。

3. 分组分解法（15分钟）1.解释分组分解法的基本概念：对于一个二次四项式ax^2 + bx + cy + d，通过将这个四项式分成两组，然后利用两个组之间的关系进行因式分解。

2.通过示例进行讲解和演示，呈现具体的步骤和应用技巧。

4. 综合应用（15分钟）1.教师讲解一些综合应用题，涵盖十字相乘法和分组分解法的题型；2.学生进行课堂练习，要求学生根据题目选择合适的因式分解方法进行解答；3.教师进行讲解和点评，引导学生总结方法和思路。

5. 拓展延伸（10分钟）1.教师提出一些拓展问题，要求学生运用所学的因式分解方法解决问题；2.学生进行思考和讨论，寻找解决问题的思路和方法；3.教师进行讲解和指导，引导学生扩展思维和应用能力。

6. 小结复习（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调重点和难点，帮助学生梳理知识框架。

五、教学反思本节课通过简单介绍因式分解的基本概念和作用，引发学生的兴趣。

然后分别讲解了十字相乘法和分组分解法的基本原理和应用技巧，并通过示例进行演示和讲解。

14.3 因式分解教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重点难点1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的 2 个问题：问题 1： 720 能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题 2：当 a=102， b=98 时，求 a2－ b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1． ma+mb+mc=（）（）；2． x2－ 4=（）（）；3． x2－ 2xy+y 2=（）2．【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究【问题牵引】（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（ x+1）（ x－ 1） =x2－ 1；② a2－ 1+b2=（ a+1）（ a－ 1） +b2；③ 7x－ 7=7（ x－ 1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．① 9x2（ ______） +y2=（ 3x+y ）（ _______）；② x2－ 4xy+（ _______） =（ x－ _______）2．四、随堂练习，巩固深化补充练习．【探研时空】计算： 993－ 99 能被 100 整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破补充题．板书设计14.3因式分解1、因式分解例：练习：14.3.1提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重点难点1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母． ?公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（ 1） 2x2 +4=2（ x2+2）；（2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；（3） x2+4xy － y2=x（x+4y ）－ y2；（ 4） m（ x+y）=mx+my；（5） x2－ 2xy+y 2=（ x－ y）2．问题：1．多项式 mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式 4x2－ x 和 xy 2－ yz －y 呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在 4x 2－ x 中的公因式是x，在 xy 2－ yz－ y 中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式 4x 2－ 8x6， 16a3b2－ 4a3b2－ 8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例 1】把－ 4x2yz －12xy 2z+4xyz 分解因式．解：－ 4x2yz － 12xy2z+4xyz= －（ 4x2 yz+12xy 2z－4xyz ）= － 4xyz （ x+3y －1）【例 2】分解因式， 3a2（ x－y）3－ 4b2（ y－ x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－ x）2或（ x－ y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（ y－ x）3和（ x－ y）2=（ y－ x）2，从而得到下面两种分解方法．解法 1：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=－ 3a2（ y－ x）3－ 4b2（y－ x）2=－ [ （ y－ x）2· 3a2（y－ x） +4b2（ y－ x）2]=－（ y－x）2 [3a 2（y－ x） +4b2]=－（ y－x）2（ 3a2y－3a2x+4b2）解法 2：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=（ x－ y）2· 3a2（ x－y）－ 4b2（x－ y）2=（ x－ y）2 [3a 2（ x－y）－ 4b2 ]=（ x－ y）2（ 3a2x－ 3a2y－ 4b2）【例 3】用简便的方法计算：0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 ×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解： 0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 × 12=12 ×（ 0.84+0.6 －0.44 ）=12 × 1=12．【教师活动】在学生完全例 3 之后，指出例 3 是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例 3 的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化【探研时空】利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236× 8.69+2.478× 8.69+5.704× 8.69五、课堂总结，发展潜能1 ．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．?在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 1、 4（ 1）、 6 题．练习：板书设计14.3.1提公因式法1、提公因式法例：14.3.2公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重点难点1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式， ?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（ a+5）（ a－ 5）；（2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（ a+5）（ a－ 5） =a2－ 52=a2－ 25；2222（ 2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）=（ 4m）－（ 3n） =16m－ 9n．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－ 25； 2 ．分解因式16m2－ 9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1） a2－ 25=a2－ 52=（ a+5）（ a－5）．2222（ 2） 16m－ 9n =（ 4m）－（ 3n）=（4m+3n）（ 4m－ 3n）．【教师活动】引导学生完成a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）．评析：平方差公式中的字母 a 、 b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（ 1） x2－ 9y2；（2）16x4－y4；（ 3） 12a2x2－ 27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）．【思路点拨】在观察中发现 1 ～ 5 题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（ 1） x2－ 9y2=（x+3y ）（ x－ 3y）；（2） 16x4－ y4=（ 4x2+y2）（ 4x2－ y2） =（ 4x2+y2）（ 2x+y）（ 2x－ y）；2 2 2 2 2 222（3） 12a x － 27b y =3（ 4a x － 9b y ） =3（ 2ax+3by ）（ 2ax－ 3by ）；（4）（ x+2y ）2－（ x－ 3y）2=[ （ x+2y ） +（ x－3y） ][ （ x+2y）－（ x－ 3y） ] =5y （ 2x－ y）；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）=（ 16x －y）（ m2－ n2） =（ 16x－ y）（ m+n）（ m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本 P117 练习第 1、 2 题．【探研时空】1 ．求证：当n 是正整数时， n3－ n 的值一定是 6 的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 2、 4（ 2）、 11 题．板书设计14.3 .2公式法（一）1、平方差公式：例：a 2－ b2=（ a+b）（ a－ b）练习：14.3.2公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重点难点1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，?达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－ 9x2+4y2；（2）（ x+3y）2－（ x－3y）2；（ 3）x2－ 0.01y 2．【知识迁移】2．计算下列各式：（ 1）（ m－ 4n）2；（2）（m+4n）2；（ 3）（ a+b）2；（4）（a－b）2．【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：2222（ 1） m－ 8mn+16n（ 2） m+8mn+16n；（ 3） a2+2ab+b2；（ 4） a2－2ab+b2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：222222解：（ 1） m－ 8mn+16n=（ m－4n）；（ 2） m+8mn+16n=（ m+4n）；222222 （ 3） a +2ab+b =（ a+b）；（ 4） a － 2ab+b =（ a－ b）．【归纳公式】完全平方公式a2± 2ab+b2=（a± b）2．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：223（2－4；（ 1）－ 4a b+12ab－9b；2）8a－ 4a（ 3）（ x+y ）2－ 14（ x+y ） +49；（4）+n4．【例 2】如果 x2+axy+16y 2是完全平方，求 a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出 a 的值，即可求出 a3．三、随堂练习，巩固深化课本 P119 练习第 1、 2 题．【探研时空】1．已知 x+y=7 ， xy=10 ，求下列各式的值．（1） x2+y2；（ 2）（ x－ y）22 ．已知 x+ =－ 3，求 x4+的值．四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－ b2=（ a+b）（ a－b）；a 2± ab+b2=（a± b）2．在运用公式因式分解时，要注意：（ 1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、?次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2） ?在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，?然后再运用公式分解．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 3、 5、 7、 8 题．板书设计14.3.2公式法（二）1、完全平方公式：例：a2± 2ab+b2=（ a± b）2练习：。

八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案（新版）新人教版1、会用字相乘法把形x2+px+q的二次三项式分解因式；2、培养自己的观察、分析、抽象、概括的能力、学习重点：能熟练地用字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。

学习难点：把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b,使ab=q、a+b=p、学习过程：一、自主学习：(一)课前检测，回顾旧知：1、分解因式：（1）x2-4x+4；（2）x2+6x+9、2、填空：（ x+a）（x+b）= 反之，x2+（a+b）x+ab=(二)基础知识导学，感受新知：由上面的回顾旧知可知形如x2+px+q的二次三项式，如果常数项 q 能分解成两个因数a、b的积，并且a+b 恰好等于一次项系数p,那么它就能分解因式，即x2+px+q= x2+（a+b）x+ab=（ x+a）（x+b）例如：（1）x2+7x+6=（x+1）（x+6）（2） x2+6x-7=(x+7)(x-1) X2分解为6分解为 x2分解为1像这样借助字交叉线分解因式的方法，通常叫字相乘法。

顺口溜:竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

步骤：（1）竖分二次项与常数项；（2）交叉相乘和相加；（3）检验正确，横写因式、二、合作交流探究与展示1、在例（1）中6为什么不分解成23呢？或者分解成（-1）（-6）呢？每一根对角线上的两项的积的和是多少？正好等于谁？2、（1）如果常数项是正数，那么它分解成的两个因数有什么特点？（2）如果常数项是负数，那么它分解成的两个因数又是什么特点？（3）你有什么发现？三、当堂检测：必做1、用字相乘法分解下例因式（1）y2+9y+8; (2)x2-5x+6; (3)x2+2x-3; (4)a2-3a-10; (5)x2+x-30、 B组2、用字相乘法分解下例因式（1）x2-5xy+6y2; (2)x4+2x2-3;(3)y4+3y2-28; (4)3 x2-2x-8、。

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十字相乘法学习目标：掌握运用十字相乘法分解因式的方法，能正确运用十字相乘法把多项式分解因式 学习重点：运用十字相乘法分解因式 学习过程：一、知识回顾：1．分解因式：（1）3xy 2-9y 2； （2）4x 2-16y 2； （3）x 2+16x +64 (4) x 2+4x+3问题：第(4)小题能不能用提供因式、公式法分解？它如何分解因式呢？练一练：分解因式：（1）x 2+3x+2； （2）x 2-7x+10； （3）x 2-x-6 (4) x 2+5x-6三、范例学习：例1 把下列各式分解因式：(1) a 2+6a +8 (2) x 2-8x +12 (3) x 2+13x +12 (4) x 2+6xy+5y21．计算下列各式： （1）（x +2）（x +4）= （2）（x +2）（x -4）= （3）（x -2）（x +4）= 2.根据左面的算式将可得到如下分解因式： （1） = （2） = （3） = （4） =练习1 分解因式：(1) x 2-5x +6 (2) x 2-8x -20 (3) x 2+6x -16 (4) x 2-4xy-5y 2例2 把下列各式分解因式：(1) 2x 2+7x +3 (2) 3x 2-11x +6 (3) (a +b)2+10(a +b )+9归纳：对于形如：2ax bx c ++的多项式，如果二次项能分解成1a x练习2分解因式：(1) x 2+7x +6 (2) 2x 2-9x +9 (3) 3x 2-5x +2(4) 2x 2+7x +5 (5) 4x 2-15x +7 (6) 6x 2-12x -18(7) (a +2b)2+3(a +2b )+2 (8) (a -b)2-5(a -b )+6本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。

14．3因式分解14.3.3 十字相乘法教学内容14.3.3 十字相乘法课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：十字相乘法要求学生在已有的方法上，培养学生的观察能力和理解运用的能力.2.会用数学的思维思考现实世界：在对十字相乘法因式分解的探究中，深入学习整式的乘法与因式分解的关系，培养逆向思维能力.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对运用十字相乘法进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，培养类比归纳的能力逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.2.能正确使用十字相乘法进行因式分解.教学重点理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.教学难点正确使用十字相乘法进行因式分解.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、回顾导入二、探究新知一、旧知回顾，导入新知1.因式分解和整式乘法的关系是？师生活动：教师引导学生分析因式分解和整式乘法的关系：得出：两者是方向相反的变形.2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？师生活动：教师引导学生回忆与总结：二、小组合作，探究概念和性质知识点：十字相乘法因式分解合作探究探究：1.计算：(1) ( x + 2 )( x + 3 ) = ___________；(2) ( x- 4 )( x + 1 ) =____________；(3) ( x + 4 )( x- 2 ) =____________；设计意图：通过问题串的形式，引导学生独立思考，实现从整数到整式的过渡，培养类比数的性质学习整式的学习方法.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生感悟出多项式的乘法中有着特殊计算结果的算式，培养学生的观察总结的能力.2. 根据题1 和等式的性质填空：(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；(2) x2- 3x- 4 =_______________；(3) x2 + 2x- 8 =_______________；师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现并总结运算规律.观察因式分解算结果，你能发现什么规律？师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现运算规律并提出猜想. 教师完成总结：十字相乘法求因式分解：运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.典例精析例1 分解因式：x2−5x + 6 .师生活动：学生根据十字相乘法的条件特点，尝试进行运算，选一名学生板书，教师在旁整理分析，总结计算方法.练一练1. 把下列多项式因式分解：(1) x2- 6x + 8；(2) x2 + 4x- 5 .师生活动：学生独立完成运算，选一名学生板书，教师与其余学生共同评价与完善板书.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生观察总结能够用十字相乘法进行因式分解的多项式的特征.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，规范正确的解题步骤.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，培养学生建立几何与数式之间的联系.三、当堂练习，巩固所学三、当堂练习，巩固所学1.下列因式分解正确的是( )A．x3－4x = x(x2－4)B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2)C．x2 + 2x－1 = (x－1)2D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 12.把多项式x2 + m x－5因式分解成(x + 5)(x－n)，则m的值为( ).A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 53.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2；(2) -3a2 + 18a- 24.4. 已知整式A = x(x＋3)＋5，整式B = ax－1.(1) 若A＋B＝(x－2)2，求a的值；(2) 若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，求a的值.设计意图：考查学生因式分解的概念的掌握.设计意图：考查学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用.设计意图：检验学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用的掌握情况.板书设计14.3.3 十字相乘法运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。

因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)（4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。

十字相乘法【学习目标】1.掌握用十字相乘法分解因式2. 通过综合运用十字相乘法法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力． 通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．【学习重点】二次项系数为1的多项式的因式分解【学习难点】灵活应用十字相乘法对二次项系数为1的多项式因式分解【学前准备】阅读书P172 1. 回忆: （1）计算: ① ()()=++23x x ；② ()()=--23x x ；③ ()()=-+23x x ；④ ()()=+-23x x ；（2）猜想：()()+=++2x b x a x +x ，（3）试用（2）中的结论直接计算下列各式：①()()=+-15x x ； ②()()=--43x x ；③()()=++73x x ； ④()()=+-87x x .2. 将第1题中所有等式的左右两边的式子交换位置，实际上就是在做形如q px x ++2型的二次三项式的因式分解：即()()b x a x q px x ++=++2，其中b a p +=，ab q =.这种因式分解可用十字相乘法完成，即你能根据上面右图中的面积说明等式吗？【课堂探究】 例1 分解因式（请打“十字” ）（1）232++x x（2）652++x x （3）672++x x 解：原式()()21++=x x ax x ba x x bx x bax xb + + + +1 x x +2（4）6072--x x （5）672+-x x （6）1272+-x x例2分解因式（1）2243y xy x -+ （2）224814y xy x +- （3）400)(30)(2-+-+b a b a【随堂检测】（1） 872-+x x （2）45122-+x x （3）2243y xy x --（4）652--x x （5）652+-x x （6）8)(7)(2-+-+y x y x【课堂小结】因式分解的一般步骤：（1）多项式各项有公因式，先 ； （提公因式法优先考虑）（2）若多项式可以继续分解，要观察多项式的项数选择因式分解的方法； （项数定方法）二项式：使用 平方差公式()()b a b a b -+=-22三项式：使用 完全平方公式()2222b a b ab ±=+± 或 十字相乘法（3） 因式分解一定要分解到不能再分解为止．（分解要彻底）课后作业1416— — 十字相乘法班级： 姓名： 座号：1．选择题（1）多项式xyz xy y x 63922+-各项的公因式是（ ）A ．y 3B ．xz 3C ．xy 3D ．x 3（2）下列因式分解中，不正确．．．的是（ ）A ．)3(2622+=+x x x xB ．)(y x a a ay ax +=++C ．)2(51052--=+-x x x xD ．)1(+-=+-y x a a ay ax2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）①442++x x ；②1442--x x ； ③412+-x x ； ④2224n mn m ++ ；⑤2161a +； A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．因式分解（1）=+x x 22 ；（2）=++22242b ab a ．4.分解因式（1）432-+x x（2）762-+x x（3）442++x x（4）22365y xy x --（5）2312bc abc - （6）6480252+-a a（7）22312y x -（8）26)(11)(2-+++y x y x（9）p p p 3)1)(4(++-（10）2222264)16(y x y x -+5.分解因式（1）x x x 4523++（2）()()835---x x6.若关于x 的二次三项式122++ax x 能在整数范围内分解因式，请写出所有和条件的a 的值，并将相应的多项式分解因式.7．阅读下面例题： 把多项式233222++-+-y x y xy x 因式分解．解：原式2)(3)(2+---=y x y x()2)1(----=y x y x 依照上述方法因式分解：61054422---++y x y xy x = = ．。

十字相乘法进行因式分解【学习目标】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．学习重点：理解十字相乘法的根据。

学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。

学习过程：1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．2．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型例题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式． 例9 分解因式：22210235y aby b a -+．。

分解因式—十字相乘法方法总结将二次三项式x2+px+q分解因式，关键是选择a和b，使=q，=p （1）q为正数时，a，b ，且与p的符号。

（2）q为负数时，a，b ，其中绝对值（填“较大”或“较小”）的因数符号与p 。

（3）先把常数项q分解成两数之积，并且这两数之和等于一次项次数p。

基础测试题1.把12分解成两个整数的积，有几种不同的结果？请写出所有不同的结果。

2. 计算：(1) (x+2)(x+3)= (2) (x+2)(x-3)=(3) (x-2)(x+3)= (4) (x-2)(x-3)=(5) (x+a)(x+b)=3.(1)已知两数之积为-15，和为2，则此两数为(2)已知(x+a)(x+b)=x2+2x-15，且a≥b，则a= ，b= 。

4．思考：计算(x+a)(x+b)的结果中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。

5. 把下列各式分解因式(1) x2+3x+2= (2) x2-7x+6=(3) x2+4x-21 (4) x2-2x-15=(5)x2+9x+8 (6) x2-7x+12(7) b2-3b-28 (8) -a2-4a+216.把下列各式因式分解(1) X4-x2-20 (2) a2x2+7ax-8 (3) a2-9ab+14b2(4) –a3-4a2+12a 7. 把下列各式分解因式(1) X2+11x+18 (2) 25-26a+a2(3) a2-7ab-30b2(4) x2-3xy+2y2(5) x2y2-5x2y+6x2 (6)(x+y)2+(x+y)-208.计算(1) (2x+1)(x+3)= (2) (2x-1)(x-3)=(2) (2x+1)(x-3)= (4) (2x-1)(x+3)=9. 你能用十字相乘法分解下列各式吗？(1) 2x2-x-3 (2) 2x2+5x-7 (3) 3a2-2a-1 (4) 3b2+14b-5 10. 已知(x2+y2)(x2+y2-1)-12=0, 求x2+y2的值。

分解因式—十字相乘法方法总结将二次三项式x2+px+q分解因式，关键是选择a和b，使=q，=p（1）q为正数时，a，b ，且与p的符号。

（2）q为负数时，a，b ，其中绝对值（填“较大”或“较小”）的因数符号与p 。

（3）先把常数项q分解成两数之积，并且这两数之和等于一次项次数p。

基础测试题1.把12分解成两个整数的积，有几种不同的结果？请写出所有不同的结果。

2. 计算：(1) (x+2)(x+3)= (2) (x+2)(x-3)=(3) (x-2)(x+3)= (4) (x-2)(x-3)=(5) (x+a)(x+b)=3.(1)已知两数之积为-15，和为2，则此两数为(2)已知(x+a)(x+b)=x2+2x-15，且a≥b，则a= ，b= 。

4．思考：计算(x+a)(x+b)的结果中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。

5. 把下列各式分解因式(1) x2+3x+2= (2) x2-7x+6=(3) x2+4x-21 (4) x2-2x-15=(5)x2+9x+8 (6) x2-7x+12(7) b2-3b-28 (8) -a2-4a+216.把下列各式因式分解(1) X4-x2-20 (2) a2x2+7ax-8 (3) a2-9ab+14b2(4) –a3-4a2+12a 7. 把下列各式分解因式(1) X2+11x+18 (2) 25-26a+a2(3) a2-7ab-30b2(4) x2-3xy+2y2(5) x2y2-5x2y+6x2 (6)(x+y)2+(x+y)-208.计算(1) (2x+1)(x+3)= (2) (2x-1)(x-3)=(2) (2x+1)(x-3)= (4) (2x-1)(x+3)=9. 你能用十字相乘法分解下列各式吗？(1) 2x2-x-3 (2) 2x2+5x-7 (3) 3a2-2a-1 (4) 3b2+14b-5 10. 已知(x2+y2)(x2+y2-1)-12=0, 求x2+y2的值。

十字相乘法因式分解学习目标：能运用十字相乘法将因式分解．（难点、重点）学习重点：用十字相乘法分解因式；学习难点：用十字相乘法分解因式.学习过程：一、温故知新：1、计算：（1）=________ （2）=_______（3）=_________ （4）=________我发现:利用多项式的乘法法则我们可以推导出：（x+p ）（x-p ）=x 2+px+qx+pq= 。

我们知道因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得到x 2+(p+q)x+pq=二、当堂训练：1.因式分解：(1)x 2+7x+10 (2)x 2-2x-8(3)y 2-7y+12 (4)y 2+7y-18(5)a 2-4a+4 (6)m 2+12m+36(7)x 2+2x+1 (8)y 2-14y+49三、理解运用，巩固提高：探索借助十字交叉线因式分解的方法，将下列多项式分解因式：（1） （2）（3） （4）四、达标检测，体验成功：（分解因式）：)2)(3(++x x )2)(3(-+x x )2)(3(+-x x )2)(3(--x x 232++x x 22-+x x 822--x x 232+-x x（1）（2）（3）（4）（5）（6）五、课后作业，巩固训练：x 2-x-6 x 2+5x+6x 2+5x-6m 2+10m+16 y 2-13y+36t 2-25t+24x 2-2x-63 y 2+15y+36p 2-3p-70x 2-2x-3 a 2-11a-26y 2+17y+52x 4+3x 2-4 (x+1)2-(x+1)-2(y-x)2+7(y-x)+101072++x x 822-+xx 1272+-x x 42132-+-x x 481622++xy y x 361324+-x x。