[3]R = {…, -5, -1, 3, 7, 11, …} = [7]R = [-1]R = ……
每个等价类中的元素互相等价。
若R是整数集合Z上的模2等价关系，则等价类有
[0]R = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …} = [2]R = [-2]R = …… [1]R = {…, -3, -1, 1, 3, 5, …} = [3]R = [-1]R = ……
2012年12月17日星期一
划分
例4.3.5 将一张纸撕成几片，则所得的碎片的集合
2012年12月17日星期一
就是该纸的一个划分，该划分的秩就是碎片的张数
集合族{ {x, -x}|x 整数集合Z }是Z的一个划分，
其秩是无限的 自己尝试举出几个属于划分的例子。（课后思考）
商集 商集A/R是以R的所有等价类为元素的集合 商集A/R就是A的一个划分，并且不同的商集对应于不同的划分
等价类
[a]R = {x|x A ∧ aRx}
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定理1：设R是非空集合A上的等价关系，对于任意a,b A aRb [a]=[b]
证明：1) 若[a]=[b]，则a [a]=[b]，所以bRa，
xRa ∧ aRb xRb 2)若aRb，对于任意x [a]，有aRx，所以也有xRa 根据R的传递性，可知有xRb；根据R的对称性，可知有bRx 根据R的对称性，可知有：aRb
则x [b]，所以[a] [b]
同理可证：对于任意x [b]有x [a]，即[b] [a]
所以： [a]=[b]
等价类
若<a,b>R，则[a] [b]=
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定理2：设R是非空集合A上的等价关系，对于任意a,b A
证明：假设[a] [b] ≠ ，则存在某个x A，有 x [a] [b] x [a] ∧ x [b] aRx ∧ bRx aRx ∧ xRb aRb 与<a,b>R矛盾。因此[a] [b] = 。 也就是说，若A是非空集合，对于任意a,b A， 或者[a]=[b]，或者[a] [b]=
i=1 n
若除上述条件外，另有Ai Aj= (i ≠ j)则称B是A的划分
划分
利用非空集合A及其上的等价关系， 可以构造一个新的集合：商集。
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定义：设A是非空集合，若B={A1, A2, …, An} (Ai A) 且 Ai ≠ Ai Aj=
i=1
(i ≠ j)
因此，任给集合A及其上的等价关系R，必可写出A上各个元素的等价类
等价类
例4.3.2
2012年12月17日星期一
设A={a,b,c,d,e,f}, R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,
<b,b>,<c,c>,<d,d>,<d,e>,<d,f>,<e,d>,<e,e>,
<e,f>,<f,d>,<f,e>,<f,f>}，则等价关系R的关系图是：
等价关系
整数集合Z中的相等关系、 在全集U所有子集的集合中的相等关系， 以及命题演算中的命题集合的关系等
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都是等价关系
空集上的任意二元关系R是等价关系
等价关系Biblioteka 定义：2012年12月17日星期一
设m是一个正整数，a和b都是整数，若存在某整数k， 使得a-b=km，则称a与b是模m等价，记为
a b (mod m)
m叫作等价的模数
等价关系
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定理：模m等价是任何集合A Z上的等价关系。
证明：如果A= ，那么模m等价是A上的等价关系。
若A ≠ ，设任意a,b,c A，将模m等价记为R 1) 因为 a – a = 0·m，因此R是自反的 2) 假设有aRb，则存在一个整数k，使得a-b=k·m， 则b-a=-k·m，所以有bRa，所以R是对称的 3) 假设有aRb和bRc，则存在整数p和q，使得a-b=p·m， b-c=q·m，所以a-c=(a-b)+(b-c)=(p+q)·m
因此R1=R2
划分
集合的划分和覆盖
2012年12月17日星期一
定义：若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集，使得A
中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集
合叫做A的一个覆盖。如果A中每个元素属于且仅属于一个分块， 那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分。
等价定义：令A为给定非空集合， B={A1, A2, …, An} (Ai A)，Ai ≠ 且 Ai=A，则集合B称作A的覆盖；
第三节 关系类型
一、等价关系 定义： 设R是集合A上的二元关系，
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若R是自反的、对称的和可传递的，
则称R是A上的等价关系。 若<x,y> R，或者xRy，称x等价y，记做x~y
等价关系
2012年12月17日星期一
因为R是自反的，因此R的关系图中每个结点都有有向环 因为R是对称的，因此R的关系图中的有向弧都是成对出 现，即若有从a到b的弧，必定有从b到a的弧(任意两个结
因此R是传递的
综上所述，R是自反的、对称的和传递的，所以它是等价关系。
等价类
定义：
2012年12月17日星期一
按照R等价类的定义，是由集合A中与a有等价关系R的 所有元素，构成集合[a]R。常用[a]代替[a]R
设R是非空集合A上的等价关系，对于任意a A，令 [a]R = {x|x A ∧ aRx} 称[a]R是a关于R的等价类，简称a的等价类，简记为[a]。称 a为[a]R的表示元素。（[a]R称为元素a形成的R的等价类） 若等价类个数有限，则R的不同等价类的个数叫作R的秩。 对于任意a A ， [a]R非空，因为a [a]R
2012年12月17日星期一 若a与b在同一分块中，b与a也必须在同一分块中， 设集合A有一个划分B，现定义一个关系R，aRb当且 商集若a与b在同一分块中，b与c在同一分块中，因为： 即：aRb bRa 仅当a，b在同一分块中(a与a在同一分块中，故aRa) Ai Aj=，即b属于且仅属于一个分块，故a，c同块 定理：设B={A1, A2, …, An}是非空集合A上的任意划分， 即：aRb ∧ bRc aRc 则A的二元关系 R={<a,b>|(Ai) AiB ∧ a,b Ai} 或
n
b,c Aj，根据划分的定义可知，或者AiAj＝或者Ai＝Aj，
因此 Ai＝Aj，因此有a,c Ai，因此有aRc，因此R是传递的。 所以：R是A上的等价关系。并且A/R就是划分B
商集
例4.3.6 试给出A={a,b,c}上的所有等价关系
解：A的所有划分为：与各划分对应的等价关系为： B1={{a,b,c}} B2={{a,b},{c}} B3={{a,c},{b}} R1= {a,b,c} × {a,b,c}
问：哪些是S的划分？秩是多少？
划分
例4.3.4 设S = {1, 2, 3} A={ {1,2}, {2,3} } B={ {1}, {1,2}, {1,3} } C={ {1}, {2,3} } D={ {1,2,3} } E={ {1}, {2}, {3} } F={ {1}, {1,2} } 秩为2 秩为1 秩为3
等价关系
2012年12月17日星期一
假设a和b住在同一房间，d和e和f住在同一房间，c住一间。则 R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<d,e>,< d,f>,<e,d>,<e,e>,<e,f>,<f,d>,<f,e>,<f,f>} 关系图为： d a b c e f
定义：设A是非空集合，R是A上等价关系， R的所有等价类集合 {[a]R|a A}
2012年12月17日星期一
是A的划分，称为A对R的商集A/R，也叫作A模R 定理：设R1和R2是A的等价关系，则 R1=R2 A/R1=A/R2 该定理说明： A上的等价关系可以诱导出A的划分，且是唯一的。 反之，A的划分也可以诱导出A上的等价关系
R= (Ai×Ai)是A上的等价关系。
证明：1) 因为对于任意一个a A，都有aRa，因此R是自反的 2) 假设有aRb，那么存在某块Ai ，使得a Ai且b Ai ，因此有 bRa，所以R是对称的。 3) 假设有aRb，并且有bRc，则存在Ai和Aj ，使得a,b Ai且
i=1
d a b c e 等价关系R的等价类如下： [a]R = [b]R = {a, b}， [d]R = [e]R = [f]R = {d, e, f} [c]R = {c} f
等价关系R的秩是3
等价类
例4.3.3
2012年12月17日星期一
若R是整数集合Z上的模4等价关系，则等价类有：
[0]R = {…, -8, -4, 0, 4, 8, …} = [4]R = [-4]R = …… [1]R = {…, -7, -3, 1, 5, 9, …} = [5]R = [-3]R = …… [2]R = {…, -6, -2, 2, 6, 10, …} = [6]R = [-2]R = ……
Ai=A 则称B是A的划分，称B中的元素为A的划分块。 若划分是有限的，则|B|称为划分的秩。
n
划分
例4.3.4 设S = {1, 2, 3} {1,2} {2,3} ≠ A={ {1,2}, {2,3} }
