如何求圆的切线方程

如何求圆的切线方程
广东省陆丰市启恩中学（516500）林敏燕
在直线与圆的位置关系中，相切是一个重要的位置关系。

众所周知，在圆上的点可以作一条直线与该圆相切，过圆外一点可以作二条直线与该圆相切。

在历年高考中，常常出现在选择题中。

本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论，供同学们参考。

1、 利用几何性质来求切线方程
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。

因此，利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程。

例1 已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，圆外一点P （3，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。

解：当过P 的直线的斜率不存在时，显然不是圆的切线。

故设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(3)y k x -=-。

由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离d 等于半径2，即：
2d ===
解之，得：35
k ±=
所以，切线方程为：32(3)5y x ±-=
- 点评：求切线方程时，点到直线的距离公式相当重要，不能记错。

设直线方程时，一定要考虑直线的斜率不存在时的情况，避免漏解。

2、 利用方程的判别式来求切线方程
当直线与圆相切时，直线与圆只有一个公共点，此时方程与直线联立方程，利用判别式等于零即可以求出切线方程。

例2 已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，圆外一点P （2，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。

解：当过P 的直线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线。

当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(2)y k x -=-。

直线方程与圆的方程联立，可得：222(1)2(12)4430k x k k x k k ++-+--= 因为直线与圆只有一个公共点，故22224(12)4(1)(443)0k k k k k ∆=--+--= 解之，得：34
k =- 故所求的切线方程是：32,2(2)4
x y x =-=-- 点评：利用判别式求解时，计算量比较大。

本题注意不能漏解了x=2。

3、 利用垂直关系求切线方程
当已知切点时，我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直，斜率之积为-1可以求出切线方程。

例3已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，求以P 为切点的切线方程。

解：设圆心O (0,1)，切线方程为：2(y k x -=
由直线OP l ⊥得：1OP k k k =-⇒=
所以切线方程为：2y x -=即：5y =+
点评：由直线垂直求出切线的斜率，可以避免繁杂的计算。

总之，在求圆的切线方程时，先判断切线方程有几条，再是注意特殊情况（如斜率不存在），三是注意使用哪种方法计算最简捷。