2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(一)理科数学

2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知i 为虚数单位，复数(2)i z i-=在复平面对应点Z 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 试题解析：()212i z i i-==--，对应点在第三象限，故选 C ．考点：复数与复平面内的点的对应关系．点评：本题考查了复数的运算，根据复数的实部和虚部确定复数对应点所在的象限． 2.11a<成立的充要条件是（ ） A. 1a > B. 0a <C. 0a ≠D. 1a >或0a <【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式即可得解； 【详解】解：因为11a <，110a ∴-<，10a a -∴<，即10a a->，解得1a >或0a <，即()(),01,a ∈-∞+∞U ， 故11a<成立的充要条件是“1a >或0a <”. 故选：D【点睛】本题考查分式不等式的解法及充要条件的理解，属于基础题. 3.已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V ，则下列总成立的是（ ） A. 8V π≥ B. 8V π≤ C. V π≥ D. V π≤【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，圆柱的底面半径r 和高h 满足等式4212r h +=，即26r h +=．由此结合基本不等式，可得28V r h ππ=≤，即可得到本题答案．【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意 得：4212r h +=，即26r h +=，∴体积为()33218633V r h r r h ππππ⎡⎤⎛⎫=++=⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭… 当且仅当r h =时取等号，由此可得8V π≤恒成立 故选：B ．【点睛】本题给出圆柱的轴截面周长为定值，讨论圆柱体积的最值．着重考查了圆柱的体积公式和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．4.设α，β为两个不同平面，a ，b 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）A. 若a b ⊥r r，b α⊥，则//a αB. 若a α⊂，b β⊂，则a 与b 是异面直线C. 若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥ D. 若b αβ=I ，//a b 则//a α且//a β 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】解：对于A ：由a b ⊥r r，b α⊥，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ：若a α⊂，b β⊂，则a 与b 可能是异面直线、平行或相交，故B 错误； 对于C ：若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥，故C 正确；对于D ：若b αβ=I ，//a b ，则//a α或a α⊂或a β⊂，故D 错误； 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．5.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是（ ） A. 1y x =- B. 2y x =- C. 21y x =- D. 22y x =-【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程． 【详解】解：()f x x lnx =+的导数为1()1f x x'=+， ()11121f ∴'=+=可得()f x x lnx =+在1x =处的切线斜率为2， 切点为(1,1)，即有()f x x lnx =+在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-， 即为21y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．6.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（ ） A. sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B. sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭D. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭考点：几何概型7.直线2y x =绕原点顺时针旋转45°得到直线l ，若直线l 的倾斜角为α，则cos2=α（ ） A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，求得tan α 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值．【详解】解：由题意可知tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，1tan 3α∴=，222222222211cos sin 1tan 43cos 2cos sin cos sin 1tan 5113ααααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴=-====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相关知识，属于基础题．8.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.(0,0)2a bab a b +≥>> B. 22(0,0)a b ab a b +≥>>C.2(0,0)abab a b a b≤>>+ D. 220,0)22a b a b a b ++≤>>【答案】D 【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a b r +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2222a b a b ++≤本题答案选Ｄ．9.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当01x ≤≤时，()3f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 278-B. 18-C. 18D. 278【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据()f x 是奇函数，且当01x 剟时，3()f x x =，从而得出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，即可得解． 【详解】解：依题意，()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311122f f ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()f x 是定义域为R 的奇函数，()()f x f x -=-，即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为当01x ≤≤时，()3f x x =，3111228f ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故51112228f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题． 10.若{},1,0,1,2a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为( ) A.1316B.78C.34D.58【答案】A 【解析】【详解】试题分析：显然总的方法中数为：16种当0a =时：()2f x x b =+无论b 取{}1,0,1,2-中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；当0a ≠时，函数2()2f x ax x b =++为二次函数，若有零点须使：0∆≥即440ab -≥即1ab ≤，所以,a b 取值组成的数对分别为：()()()()()()()()()1,0,1,0,2,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1-------共9种， 综上符合条件的概率为：94131616+=，所以答案为：A. 解法二：（排除法）总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有0a ≠且∆<0即1ab >，所以此时,a b 取值组成的数对分别为：()()()1,2,2,1,2,2共3种，所以所求有零点的概率为：31311616-=，答案为A. 考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.11.已知A ，B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，且|2AB =u u u r ，2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r．若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅=u u u r u u u u r（ ）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A 【解析】利用已知向量表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．【详解】解：由2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r， 所以2211111332262213OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g， 又OAB ∆为等边三角形，所以22cos602OA OB =⨯⨯︒=u u u r u u u rg ．221111114423623623OC OM OA OB OA OB =++=⨯+⨯+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则OC OM u u u r u u u u r g 的值为：3．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．12.已知c 是椭圆()222210x ya b a b+=>>的半焦距，则b c a +取得最大值时椭圆的离心率为（ ）A.12B.13C.2【答案】C 【解析】 【分析】由b c b a a +=+，结合01b a <<，可设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4b c a πθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．可知当4πθ=，即2b a =时，b c a +取最大值，由此求得椭圆的离心率．详解】解：b c b c b b a a a a a +=+==0a b >>Q ，01ba∴<<．设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin cos 4b c a πθθθθ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．∴当4πθ=，即b a =时，b c a +取最大值，此时2c e a ====．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角函数知识，正确换元是关键，属于中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为______．【答案】【解析】 【分析】求出与已知直线平行且与椭圆221169x y +=相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点P 到直线50x y --=的最大值．【详解】解：设直线0x y m -+=与椭圆221169x y +=相切联解消去y ，得222532161440x mx m ++-=∴()()2232425161440m m ∆=-⨯⨯-=，解得5m =或5-∴与直线50x y --=平行且与椭圆相切的直线方程为50x y -±=其中与直线50x y --=距离较远的是50x y -+=，且距离为d ==P ∴到直线50x y --=的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．14.已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】根据等差中项的性质可得4a b +=，则14a b+=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >，且a ，2，b 依次成等差数列， 所以22a b +=⨯，14a b+∴= 所以1414141495524444a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当且仅当4b a a b =，即43a =，83b =时取等号，故14a b+的最小值为94，故答案为：94【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，属于中档题. 15.已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【详解】解：PC ⊥Q 平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=在ABC ∆中，=BC AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，故24R ==，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16.已知函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且()()010f f >，设1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则12x x -的取值范围为______．【答案】23⎫⎪⎣⎭【解析】 【分析】由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，由韦达定理得，1223b x x a+=-，123c x x a =，于是求212||x x -224129b ac a -=，又0a b c ++=，从而有2212444||933b b x x a a ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f >，可求得21ba-<<-，代入①即可求得212||x x -的范围，从而得解． 【详解】解：()()320g x ax bx cx d a =+++≠Q()232g x ax bx c ∴=++由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x Q ，2x 是方程()0f x =的两个根，故1223bx x a +=-，123c x x a=， ∴()222121212241249b acx x x x x x a --=+-=g ，又0a b c ++=，c a b ∴=--代入上式，∴222221222412()1241244499933b a a b a b ab b b x x a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-===++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f ⋅>Q ，()(2)0a b a b ∴++<，即22230a ab b ++<，0a ≠Q ，两边同除以2a 得：2320b b a a ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21b a ∴-<<-，代入①得21214||,39x x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭， 1232||,3x x ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎪⎣⎭． 故答案为：32,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“()()010f f >”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()()2log 15f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）(),4-∞ 【解析】【详解】（1）当2a =时，函数的定义域满足：|150x x a -+--，即152x x a -+->=．设()15g x x x =-+-，则()26,515{4,1562,1x x g x x x x x x -≥=-+-=<<-≤，()()()2min min 42,log 421g x a f x =>==-=．（2）因为函数的定义域为，所以不等式恒成立，只要即可； 又（当且仅当时取等号），所以，即的取值范围是．考点：1．函数的定义域；2．绝对值不等式；3．恒成立问题．【方法点睛】处理绝对值不等式问题，主要从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题；证明问题还往往涉及的应用．18.已知A ，B ，C 是ABC V 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足22sin sin C A --2sin sin sin A B B =．（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC V 3，M 为BC 的中点，求AM ．【答案】（1）23C π=；（2）7AM =【解析】 【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，余弦定理的应用求出结果． （2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin sin A A B B C --=， 利用正弦定理整理得：222c b a ab -=+，结合余弦定理：2221cos 22a b c C ab +-==-，由于：0C π<< 整理得：23C π=． （2）因为6A π=，ABC ∆3所以ABC ∆为等腰三角形， 且顶角23C π=． 因为13sin 324ABC S ab C ∆===， 所以：2a b ==．在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=， 所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-g g g 1412212=++⨯⨯⨯， 7=解得7AM=．【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，求面积公式，综合性较强，考查学生分析推理，计算化简的能力，属于中档题．19.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，3AB CD ==，2BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）34BCDFE V = 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD ⊥平面ABC ，再利用三角形的中位线定理可得：//EF CD ．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由（1）知//EF CD ，利用三角形相似的性质可得：14AEF ACD S S ∆∆=，得到14B AEF B ACD V V --=，求出B ACD V -即可得出．【详解】（1）证明：AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，//EF CD ∴．EF ∴⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）知//EF CD ， ~AEF ACD ∴∆∆．12AE AF EF AC AD CD ∴=== ∴14AEF ACD S S ∆∆=， ∴14B AEF B ACD V V --=，∴3311132444424BCDFE B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆====⨯⨯=g ． 【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧． 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =g，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．【详解】解：（1）Q 直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点， 故直线的直角坐标方程为y x =，Q 曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为0102:2x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=， 8||||3MA MB =Q g ，2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆…解得m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧．【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．21.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p =；（2）点N 在定直线3y =上． 【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2p y x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ===6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ， 1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r，∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u r u u u u r u u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 22.已知函数()2ln f x x mx =-，()()212g x mx x m R =+∈，令()()()F x f x g x =+ （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）2 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值； 【详解】解：（1）当12m =时，21(),02f x lnx x x =->211(),(0)x f x x x x x-∴'=-=>．令()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<．所以()f x 的单调递增区间为(0,1)． 令()0f x '<得210x -<又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞． 综上可得：()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）令21()()(1)(1)12G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+．所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m „时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>． 所以关于x不等式()0G x „不能恒成立．当0m >时，1()(1)()m x x mG x x-+'=-． 令()0G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0G x '>；当,1()mx ∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在,1()mx ∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为11()2G lnm m m=-． 令1()2h m lnm m =-，因为()1102h =>，()12204h ln =-<． 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m …时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．。

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（一）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,m n R ∈，集合{2,lg }A m =，{},2nB m =，若{1}A B ⋂=，则m n +=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D 【解析】集合{}2,lg A m =，{},2nB m =，若{}1A B ⋂=.所以lg 1m =，解得10m =. 所以21n =，解得0n =. 所以10m n +=. 故选D. 2.已知复数3412iZ i-=- ，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】341121255i z i z i -==+-Q 在复平面内对应的点Z 坐标为112(,)55在第一象限，故选A. 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如图所示，由图知该几何体的俯视图为D ，故选D.5.若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A. 9B.203C.103D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()10514,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，.作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点B 时，z 取得最小值，min 105202333z =+⨯=， 故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A. 12 B. 36C. 72D. 108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．7.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A. 8.执行如图的程序框图，则输出的n =( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m ，n 的值，当5m =，4n =时满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4，从而得解.【详解】模拟程序的运行，可得：1m =，1n = 执行循环体，不满足条件m n >，3m =，2n =不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件m n >， 2m =，3n = 不满足条件9m n +=，执行循环体，不满足条件m n >，5m =，4n = 满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4. 故选：A .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题.9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( ) A. 3 B.3C. 2D.2【答案】C 【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A (a ,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若30MNA ∠=︒,可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：sin 302bb =o， 可得：222b a b =+,即222223,3,2c b a c a a e a=-=∴==. 10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.26B.210C.3 D.310【答案】B 【解析】试题分析：以C 为原点，CA 为x 轴，在平面ABC 中过作AC 的垂线为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6， E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE=B 1E ，C 1F=13CC 1， ∴A 1（4，0，6），E （2，233），F （0，0，4），A （4，0，0），1A E u u u r =（-2，23-3），AF u u u r=（-4，0，4）， 设异面直线A 1E 与AF 所成角所成角为θ，则11·2cos 10425A E AF A E AF θ===⨯u u u r u u u ru u u r ．∴异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210考点：异面直线及其所成的角11.若曲线()ln (1)f x x a x =-+存在与直线210x y -+=垂直的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1(,)2-+∞ B. 1[,)2+∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C 【解析】函数()()ln 1f x x a x =-+，0x >，则()11f x a x'=--，若函数()f x 存在与直线210x y -+=垂直的切线，可得1 12a x --=-有大于0的解，则1 10a x=->，解得1a >，则实数a 的取值范围是()1,+∞，故选C.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数()()ln 1f x x a x =-+的导函数，结合与直线210x y -+=垂直的切线斜率为2-，可得112a x--=-有大于0的解，分离参数，求出实数a 的取值范围.12.已知ABC V 是腰长为4的等腰直角三角形，AB AC =，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为( ) A. 4- B. 43-C. 0D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】如图建立坐标系，设(,)P x y ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论.【详解】如图建立坐标系，(0,2)A ，(2,0)B -，2,0)C ，设(,)P x y ， 则(,22)PA x y =-u u u r ，2(2,2)PB PC PO x y +==--u u u r u u u r u u u r，∴2222()242222(2)44PA PB PC x y x y ⋅+=-+=+-≥-u u u v u u u v u u u v，∴最小值为4-， 故选：A .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（ ） A. {|1x x <} B. {1x x }C. {|01x x <<}D. ∅【答案】C 【解析】 试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】将直线,m n 放入正方体1111ABCD A B C D -中,进而判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,设1m AD =,n AB =,若m n ⊥,即1AD AB ⊥, 但平面1ABD 和平面ABCD 不垂直,即α与β不垂直,故充分性不成立 ；设m BC =,11n A D =,若αβ⊥,则平面ABCD ⊥平面11A ADD ,但BC 和11A D 不垂直,即m 与n 不垂直,故必要性不成立. 故选:D.【点睛】本题考查两命题的充分性和必要性的判断,考查直线间,平面间的空间的位置关系.3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13-B. 12-C.13D.12【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D. 2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.． 【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯n =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题． 6.对于函数()21x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A. 关于点()1,0对称 B. 关于点()0,1对称 C. 关于直线1x =对称 D. 关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】整理()f x 为()111x x e f x e -=++,设()()11xx e g x x R e -=∈+,可判断()g x 是奇函数,进而利用图象变换得到()f x 的图象性质.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++,令()()11xx e g x x R e -=∈+,则()()1111x x x xe e g x g x e e -----===-++,∴()g x 为奇函数,则其图象关于原点对称.将其图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象,所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查判断函数的对称性.7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A. 22y x =- B. 1y x =- C. 22y x =-+ D. 1y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】由,A B 在抛物线上可得2114y x =①,2224y x =②,由AB 的中点在直线1y =上,可得1212y y +=,利用①-②可得直线AB 的斜率为2,即可设:2AB y x b =+,将焦点坐标代入求解即可.【详解】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查求直线方程.8.已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线12x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，所以2sin 13πφ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--u u u v u u u v， 故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为2-．选C ．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 10πB. 4πC. 16πD. 8π【答案】D 【解析】【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==,故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（）【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b⨯=，从而可得四边形12PFQF的面积，然后求出点圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b，可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a-=，①222124PF PF c+=，②2-②①得2122PF PF b⨯=，∴四边形12PFQF的面积为21121222S PF PF b=⨯⨯=，由222x y cby xa⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y>>，解得,x a y b==，∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b.∴四边形ABCD的面积24S ab=，∵224b ab=，∴2ba=，即2224,c a cea a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.对任意实数()222,,22a aa b e b e a a b-+++的最小值是（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】整理条件可得()()()2222222a a a e b e a a b a b e b-+++=-+-,设()(),,,aM a eN b b ,则M 为函数x y e =图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222a a e b e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,进而利用导函数的几何意义求解即可.【详解】由于()()()2222222a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-,设()(),,,aM a e N b b ,则M 为函数xy e=图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222aa eb e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,令1x y e '==,∴0x =,因此,点()0,1到直线y x =的距离最小,其值为2,故所求最小值为12.故选:B.【点睛】本题考查曲线上一点到直线上一点的距离最值问题,考查导函数的几何意义的应用,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.53)x的展开式的常数项为__________． 【答案】15- 【解析】 【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)?3?r r r r r T C x -+=-， 令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-， 故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.某次考试后，对全班同学数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】 【分析】由表格中数据可知各分数段的学生数学成绩的频率,即直方图中每个矩形的面积,而中位数左侧的所有小矩形的面积之和应为0.5,进而求解即可.【详解】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1, 故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115.故答案为:115.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求中位数,考查数据处理能力.15.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 【答案】 (1). 43π (2). 25π 【解析】 【分析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,假设以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为()2211333V a b a a ππ==-,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为R ,则满足()22212R R =-+,进而求解即可.【详解】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<, 则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<, 所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1, 设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π故答案为:43π；25π 【点睛】本题考查旋转体的体积,考查外接球的表面积,考查利用导函数求最值.16.已知变量m 的取值完全由变量a b c d ,,,的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a b c d ,,,四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到表：则m 关于a b c d ,,,的表达式可能是______________. 【答案】()2a b m cd +=或()8m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式【解析】 【分析】本题为开放题,答案并不唯一,对比试验数据,进而求解即可.【详解】本题为开放题,答案并不唯一,例如,考生可对比试验①②推断m 与d 成反比, 对比试验②③推断m 与c 成反比,对比③④推断m 与+a b 成反比,由此可得a bm k cd+=, 代入试验①的数据,解得2k =,故()2a b m cd+=是一种可能的表达式， 此外,答案中列举的其他解析式均符合题意,故答案为:()2a b m cd+=或()8m a b cd =+或223a b m cd +=或其他符合条件的解析式. 【点睛】本题考查求解析式,考查数据处理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n ∈+N ，均有2423n n n S a a =+-.（1）求n a ； （2）求数列(){}1nn a -的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）()()111nn T n =-+-【解析】 【分析】（1）由题,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-,与条件作差可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,即()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,则120n n a a ---=,进而求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由2423n n n S a a =+-①可知,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-②,①-②得,2211422n n n n n a a a a a --=-+-,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,故120n n a a ---=, 故{}n a 是以2为公差的等差数列,又①中,当1n =时,可解得13a =或11a =-（舍）, 所以21n a n =+（2）根据题意,()()357121nn T n =-+-++-+L ③③⨯()1-,则()()()()135121121nn n T n n +-=-++--+-+L ④③-④,得()()()1232212121nn n T n +=-+-++---+L ()()()()1113212111n nn ---=-+⨯+-+-- ()()2122nn =-+-+则()()111nn T n =-+-【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力.18.已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，PBF ∆的面积为1，求直线PB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）0x =或220x y -+=【解析】 【分析】（1）由题可得左右顶点为())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,利用斜率公式处理1212PA PA k k ⋅=-,可求得2b ,即可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线PB 斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.【详解】（1）由题意知())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,因为12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--,解得21b =，故椭圆方程为2212x y +=（2）由题,上顶点为()0,1B ,右焦点为()1,0F ,当直线BP 斜率不存在时,BP 方程为0x =,易知此时BPF ∆面积为1,符合题意； 当直线BP 斜率存在时,设BP 方程为1y kx =+,联立22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()221240k x kx ++=,解得1224,012k x x k =-=+,∴122412k BP x k=-=+,点F 到直线BP,由24112BPF k S k ∆==+,解得12k =, 此时112y x =+,即220x y -+= 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆内的三角形面积的应用,考查运算能力.19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为10？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10. 【解析】【详解】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥ (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u u v v ==-，设平面AED 的一个法向量为m v，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB ∥交AD 于D ，1AB BC ==Q ，2AD =，90DAB ABC o ∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD △中，2CD =，在ACD V 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥ 90,PAD PA AD o Q ∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥ ,PA AC ⊂Q 平面PAC ，且PA AC A =ICD \^平面PAC CD AE ∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD ∠=∴⊥o Q又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=u u u v u u u v假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为10，令CE CP λ=u u u v u u u v Q 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--u u u v u u u vQ()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AE u u u vλλλ=--，CD ⊥Q 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u uv v ==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =v由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭v 取(),0,1m λλ=--v()2210cos ,12m n m n m n λλ⋅∴===+-⨯v vv vv v 化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈ 23λ∴= 存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为10. 20.某人某天的工作是：驾车从A 地出发，到B C 、两地办事，最后返回A 地，,,A B C 三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案： 方案甲：上午从A 地出发到B 地办事，然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地， 办事后返回A 地.（1）设此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 【答案】（1）0.598；（2）甲方案 【解析】 【分析】（1）若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点,则若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,进而求解即可；（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则()()11EX x p x p x p =-++=+,进而讨论每一路段行驶时间的期望,再得到方案甲、乙的总行驶时间的期望,比较即可.【详解】（1）由题意可知,若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点, 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,记事件123,,M M M 分别表示在上午AB 路段降水,上午BC 降水,下午CA 路段降水,则所求概率()()()()123123123123P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则该路段行驶时间X 的分布列为:故()()11EX x p x p x p =-++=+设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为,Y Z ,则2.3 2.23.98.4EY =++=, 2.6 2.7 3.38.6EZ =++=,8.48.6<,因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查两点分布的分别列和期望,考查数据处理能力.21.已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <. 【答案】（1）最大值为3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得()21ln 1ln x x f x x--'=,设()1ln 1F x x x=--,由()F x '可判断()F x 在()1,+∞上为增函数,由()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->可得()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,则()()0min f x f x =,进而求解即可；（2）要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->,设()21ln x x h x x e -=-,利用导函数判断()h x 的单调性,由()10h =,进而求解即可.【详解】（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3（2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln xx h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <.【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分22.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+.以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）224936x y +=；（2）max 9S =+【解析】 【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设()3cos ,2sin P θθ，则矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题. 23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,21 36,2 x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．【详解】(1)当1a=时，()215f x x ax=-+-=14,2136,2x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x≥，得1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x≤-或2x≥，故不等式()0f x≥的解集为{x|4x≤-或2x≥}．(2)令()f x=0，得215x ax-=-，则函数()f x恰有两个不同的零点转化为21y x=-与5y ax=-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a-<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a-<<时，函数()f x恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为0 1 2 3 4∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为0 1 2 3 4∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

【衡水金卷】河北省衡水中学2020届高考模拟押题卷（一）理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Si28Fe56第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞中某些物质的叙述，错误的是A．组成纤维素、淀粉、糖原的单体是相同的B．RNA可以在细胞核或某些细胞器中合成C．抗体的形成与分泌需要ATP直接提供能量D．激素和神经递质的合成是在核糖体上进行的2．甲乙两种物质在胰岛B细胞内、外的浓度情况如图所示，下列相关叙述正确的是A．甲可以是Na+，胰岛B细胞兴奋时Na+内流会导致细胞内Na+浓度高于细胞外B．甲可以是氧气，其进入细胞后可以在细胞质基质或线粒体参与相关反应C．乙可以是DNA，其运出细胞后可将遗传信息传递给其他细胞D．乙可以是胰岛素，其运出细胞时不需要载体的协助3．如图表示生物体内遗传信息的传递和表达过程，下列叙述不正确的是A．上述过程均需要模板、酶、能量和原料，并且均遵循碱基互补配对原则B．在神经细胞和甲状腺细胞中均能进行2过程，并且形成的RNA也相同C．过程3中涉及到5种碱基和8种核苷酸D．RNA发生改变，通过5过程形成的蛋白质不一定发生改变4．下列关于植物激素、植物生长调节剂的叙述中，不合理的是A．植物激素不直接参与细胞代谢，只传递调节代谢的信息B．用一定浓度的赤霉素处理种子可以促进其萌发C．给去掉尖端的胚芽鞘放置含生长素的琼脂块后仍能生长，说明生长素可促进生长D．生长素和细胞分裂素在促进植株生长方面存在协同关系5．下图是某家族甲病(A-a)和乙病(B-b)的遗传系谱图。

2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（十）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，2{|20}B x x x =-<，则A B =I （） A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求得集合={|1}A x x <，{|02}B x x =<<，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}=|10{|1}A x x x x -<=<，2{|20}{|02}B x x x x x =-<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（） A. 4- B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A. ()()P A P M >B. ()()P A P M <C. ()()P A P M =D. ()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-， 阴影部分M 的面积为：22221211122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）A. 1900是闰年，2400是闰年 B. 1900是闰年，2400是平年 C. 1900平年，2400是闰年D. 1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】 【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，19001000b MOD == 1900400c MOD == 3输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 24001000b MOD == 24004000c MOD == 输出2400是润年， 故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若sin 78m =o ，则sin 6=o （）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==o o ，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==oooo， 又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=o ，所以sin 6=o B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（） A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，）， 因为PO PF =，可得点P 的横坐标为2x c=， 代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c a S c a a a+=⨯⨯===V 11442a a +≥=，当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是（） A. 10 B. 0 C. 10 D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由二项的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为：332255101(0)(1)01C C =-++--=,故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.直线330x +=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率是（） A.31B.31- C. 222D.21【解析】 【分析】由直线0x +=过椭圆的左焦点F，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r，求得3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得2a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x =所以c =，即椭圆的左焦点为(F ，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C，所以，1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b += ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2a =， 所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =. 故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12.设函数()()(ln )x m f x e ax x ax -=--，若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则m 的取值范围是（） A. (],0-∞B. [)0,2C. ()2+∞，D.(),2-∞【解析】 【分析】由存在实数a 使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0,0x m e xa a x x x---<>恒成立，得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e xa x x x x--<<，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数()()(ln )x mf x eax x ax -=--的定义域为(0,)x ∈+∞，要使得存在实数a 使得()0f x <恒成立，即()(ln )0x meax x ax ---<恒成立， 只需ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，即ln ()()0x m e xa a x x ---<恒成立，即ln ln min{,}max{,}x m x m e x e x a x x x x--<<设()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=， 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以当x e =时，函数()g x 取得最大值，最大值为1e，即ln 1x x e ≤， 设(),0x m e h x x x -=>，则()22(1)x m x m x m e x e e x h x x x---⋅-⋅-'== 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为1me -，即1x mm e e x--≥，所以只需11me e->，解得2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞， 故选D.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数a使得()0f x<恒成立，转化为ln()()0x me xa ax x---<恒成立，进而得得到ln lnmin{,}max{,}x m x me x e xax x x x--<<是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（共20分）13.若,x y满足约束条件20210220x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y=-的最大值为______.【答案】0【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y=-可化为直线3y x z=-，当直线3y x z=-过点C时，此时目标函数取得最大值，又由20210x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y==，即1,3C（），所以目标函数的最大值为3130z=⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.已知12,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，1212,2a e e b e e =-=-r u r u u r r u r u u r ，则a b ⋅=r r_____.【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23e e e b e e e a e e -⋅-=+-⋅=u r u u r u r u u r u r u u r u r r r g u u r 123123||||cos602e e +-⨯︒=u r u u r ＝. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 【答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，令()sin 14f x x πω⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，即()42x k k Z ππωπ+=+∈，解得()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点， 所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===，所以有1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤. 所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.故答案91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=o ，90PBA PCA ∠=∠=o ，PB PC ==P到底面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由90PBA PCA ∠=∠=o ，可知PA 为三棱锥P ABC -的外接球的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，可知AE 为ABC ∆外接圆的一条直径，计算出AE 的长度，再利用勾股定理计算出PA 的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA 的中点为点O ，90PBA PCA ∠=∠=o Q ，12OA OB OC OP PA ∴====， PA ∴为三棱锥P ABC -的外接球O 的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为点E ，BE Q 、CE 、AE ⊂平面ABC ，PE BE ∴⊥，PE CE ⊥，PE AE ⊥，3PB PC ==Q ，2PE =1BE CE ==，同理可知AC BC =， 60ABC ∠=o Q ，ABC ∆∴为等边三角形，设ABC ∆的外接圆圆心为点F ，连接OF ，则//OF PE ，且1222OF PE ==， 由中位线的性质可知点F 为AE 的中点，AE ∴为圆F 的一条直径，所以，90ABE ACE ∠=∠=o ，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC ∠=o ，30BCE CBE ∴∠=∠=o ，由正弦定理可得12sin sin 30BE AE BCE ===∠o，226PA PE AE ∴+=O 的表面积为26PA ππ⨯=，故答案为6π.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三．（解答题，共70分）17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为21tan 6S b A =. ()1证明：3cos b c A =； ()2若tan 2,22,A a ==求S .【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b AcsinA A=，即可作出证明；（2）因为2tanA =，求得5cosA =，由（1）得2252,3b bbccosA c ==理求得29b =，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）由三角形的面积公式，可得21126S bcsinA b tanA ==，即3csinA btanA =， 又因为sin cos A tanA A =，所以sin 3cos b AcsinA A=， 又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =. （2）因为2tanA =，由三角函数的基本关系式，可得55cosA =， 由（1）得2252,3b bbccosA c ==， 由余弦定理得222225282()3b b bc bccosA b =+-=++，解得29b =， 所以2111sin tan 923266S bc A b A ===⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：()1通过茎叶图比较,A B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；()2校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数 低于60分 60分到79分不低于80分 分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级记事件C “A 获得的分流等级高于B ”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）137400【解析】 【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A 得分数的平均值高于B 得分数的平均值，A 得分数比较集中，B 得分数比较分散；（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散.（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1A C 与2A C 互斥， 则()()()111222A B A B A B C C C C C C C =⋃⋃，()()()()111222A B A B A B P C C P C C P C C P C C ==++ ()()()()()()111222A B A B A B P C P C P C P C P C P C =++由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为811103,,,20202020. 故()1820A P C =，()21120A P C =，()11020B P C =，()2320B P C =，所以()81083113137202020202020400P C ⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.()1求证：//PA 平面BDE ；()2若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ；()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n r 和m u r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，，(,1,0)DB a =u u u v，(,)1,1PB a =-u u u r ，()0,1,1PC =-u u u r ，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =v，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =r ， 又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30o ，得21cos ,212DB n DB n DB n a ===+⨯u u u r r g u u u r r u u ur r ，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-u r，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯r u rr u r g r u r ，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】 【分析】（1）联立方程组224y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.()2由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k =-，即可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点；()2()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-1.4142≈，3.14π≈）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-g，利用作差比较，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0g x >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内没有零点，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220g cos =+>，且20332g ππ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭， 所以()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t .（2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-g， 因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=， 因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t --<，所以()20f t -<，故()2f x <.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. ()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，1 x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα= 【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t g ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t g的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=， 根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C ，整理得26320()3t t sin cos αα-++=， 所以63()A B t t sin cos αα+=+，32A B t t =g， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此(3)246A t sin cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<， 从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数()211f x x x =-++.()1画出()y f x =的图像；()2若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数()f x 的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值. 【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以()y f x =的图象如图所示：（2）由()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥， 又因为()()21|()31f x x x x ≥++=-，所以3m x n x +≥.(※)若3m ≥，(※)式明显成立；若3m <，则当3n x m>-时，(※)式不成立， 由图可知，当3m ≥，且2n ≥时，可得()f x m x n ≤+， 所以当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立， 因此m n +的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。

衡水金卷(一)理科数学试题含答案学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D.是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且， ，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3）， 只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512 C.514+ D.512+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

启用前★绝密2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试（一）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

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2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=（）中元素的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或22.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=，则M ，N 大小关系是（ ）A ． M ＞NB ． M =NC ．M ＜ND ． 不能确定4.设向量)25sin ,25(cos=a ，)20cos ,20(sin=b ，若t 是实数，且b t a u+=，则u的最小值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．22D ．125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ). A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是[0，＋∞)，则)(x g 的值域是 ( ). A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ). A.S =S +n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10nx8.函数)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 的图象关于4x π=对称，则3()4y f x π=-是（ ） A ．图象关于点），（0π对称的函数 B ．图象关于点302π（，）对称的函数C ．图象关于点），（02π对称的函数 D ．图象关于点），（04π对称的函数9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A. 21-B.()2421π-C.()2421π+D.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n ∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ） A ．B ．n 2nC ．（2n ）nD ．11.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (1,3]B.1111ln 2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．12 B ．22 C. 32 D ． 24二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 14． 210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为 ．15. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ．16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，2ABC=3π∠，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试（一）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

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7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C.D.4.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位5.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系（）A. B. C. D.7.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A.（B.（C.（3-，3） D.（3-，3）8.函数的图象可能是9.若函数的图象过点，则（ ）A. 点是的一个对称中心 B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.11.若平面向量，满足，且，，则（ ）A. 5B.C. 18D. 25 12.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C.D.第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合{}290A x x =-＜，{}B x x N =∈，则A B =I ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2. 已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A. 00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>， 3.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b +=( )A.1-B.12-C.12D.14. 已知双曲线22220,0():1x y C a a b b -=＞＞的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2 B ．103 C.10 D ．2 25. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()A．()()ln1f x x=+B．()1f x x-=C．()()()222,02,0x x xf xx x x⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D．()()()()200,012,,xxxf x xx⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩6.若(cos)cos2f x x=，则(sin)12fπ=()A．12-B．32-C．12D．327. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种B．36种C．54种D．72种9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．BC ．D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足，且，则椭圆C 的方程为A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y += 11. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )A ．15 B ．15C ．15D ．215 12. 已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B.()4,3-- C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2a =r ，3b =r ，,a b r r 的夹角为30o，//(2)(2)a b a b λ++r r r r ，则()()a b a b λ+•-=r rr r _________．14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的体积为________．15. 设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是_________．16. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_______ __． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．侧 俯主（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为，中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18.（本小题满分12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式和参考临界值见后：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考临界值：19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20. （本小题满分12分）从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值； （3）证明：11ln(2n 1).(n )2nk N +=>+∈（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.理科数学答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C B D B A D A A二.填空题13. 1 14. 43 15. 516. ①②④三.解答题17. （1）连接．因为，所以．因为，，所以．又，所以．而，所以．（2）因为且交于，，所以，则以为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，所以，．设平面的法向量，所以令，得．，所以平面的法向量为．由图知，由图知，所以，即二面角的大小为．18.解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p ＝80200＝25. 依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫1－253－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝1825.19. 解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②① －②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++L L L ()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦L()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．20. 解：（1）因为232pMF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ① 则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，② 由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点， 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ， 又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。

2020届河北省衡水中学新高考原创精准预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =ð（ ） A. []1,2 B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】解：(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2U B x x =<ð，则(){}12U A B x x ⋂=<<ð， 故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）B. 13C. 10【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。

【衡水金卷】河北省衡水中学届高考模拟押题卷（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是 (A) 12-(B) 32(C) 32- (D)2 (2)若集合{}{}222,20xA y yB x x x ==+=-++≥，则(A) A B ⊆ (B) A B R ⋃= (C) {}2A B ⋂= (D A B ⋂=∅(3)已知定义域为[]2,21a a --的奇函数()3sin 1f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为(A)0 (B)1(C)2 (D)不能确定(4)已知函数()()1201x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点A ，设抛物线24E y x =：上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d MA +的最小值为(A)5(B)(C)(D)42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的i x 值依次为(5)执行如图所示的程序框图，其中输入的x i 值依次为14，8，(A)78，96，74，49，50 (B)78，96，74，39，50 (C)78，96，74，50 (D)78，96，74(6)下列说法正确的是(A)“a R ∃∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ∀∈，方程220ax x a -+=有负实根”(B)命题“a b R ∈、，若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，若0a ≠，且b ≠0，则220a b +≠” (C)命题p ：若回归方程为1y x -=，则y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p ∨q 为真命题 (D)若X ～N(1，4)，则()()212P X t P X t <-=>成立的一个充分不必要条件是t =1(7)等差数列{}n a 中的两项22016a a 、恰好是关于x 的函数()()228f x x x a a R =++∈的两个零点，且100910100a a +>，则使{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的行为 (A)1009(B)1010(C)1009，1010D.2018(8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A 、B 两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有 (A)40种(B)48种 (C)60种(D)72种(9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是 (A)9146π- (B)91162π- (C) 91166π- (D)9186π-2019-2020编制：衡中同卷学问站　ｗｅｗｅｕ．ｃｏｍ 衡水中学总群　３８６４２９８７９点,06A B C π⎛⎫-⎪⎝⎭、、是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象(10)已知函数()()2sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，于D 、E 两点，点7012F π⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的图象的最高点在x 轴上的射影，则()()AD EAAC ω-的值是(A) 22π (B) 2π(C)2(D)以上答案均不正确(11)已知点12F F 、是双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（A ）()1,+∞（B）,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭（C）1,2⎛ ⎝⎦（D ）51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(12)已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()f x =()[](]1,1,1,1,3,t x x x ⎧-∈-∈则当8,27t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是(A)3 (B)4(C)5(D)6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（六）数学试卷（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知i 是虚数单位，则21ii=+（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i -D. 22i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()22122211111i i i i i i i i i-+===+++--. 故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.已知集合(){}|ln 1A x y x ==+，{}|210xB x =-≤，则A B =I （ ）A. {}|11x x -<„B. {}|10x x -<„C. {}|01x x <„D. {}|12x x -<„【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，由此能求出A B I .【详解】解：∵集合(){}{}|ln 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|210|0x B x x x =-≤=≤，∴{}|10B x x A -<=≤I ， 故选：B .【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题. 3.若1tan 3x =-，则sin 2x =（ ） A.35B. 35-C.310D. 310-【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出sin ,cos x x ，再利用二倍角的正弦即可求解. 【详解】因为1tan 03x =-<，所以x 为第二或第四象限的角； 若x为第二象限的角，则sin x =cos x =； 若x为第四象限的角，则sin x =，cos x =故3sin 22sin cos 5x x x ==-. 故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 4.在ABC ∆内部任取一点M ，使得MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13的概率为（ ） A.14B.13C.23D. 49【答案】D 【解析】 【分析】首先确定M 点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可. 【详解】如图取线段AB 靠近点B的三等分点D ，取线段AC 靠近点C 的三等分点E ，连结DE ，当点M 在线段DE 上运动时，MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值等于13，当点M 在图中阴影部分运动时，MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13， 因为ADE ABC V :V ，且相似比为2:3，故使得MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13的概率22439P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题考查面积型几何概型，是基础题.5.等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 12-C. 1或12-D. －1或12-【答案】C 【解析】试题分析：由已知等比数列{}n a 中，，又36a =，则，两式相除解得或，故选C ．考点：等比数列通项公式．6.执行如图所示的程序框图，输出的结果s 为（ ）A. －2B. －1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的,s n ，当5n =时满足条件4n >，退出循环，输出s 为3.【详解】由题意模拟执行程序时，1,1s n ==，第一次循环，()11110,2s n =+-⨯==，此时不满足4n >； 第二次循环，()20122,3s n =+-⨯==，此时不满足4n >； 第三次循环，()32131,4s n =+-⨯=-=，此时不满足4n >； 第四次循环，()41143,5s n =-+-⨯==，此时满足4n >； 故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为x 轴，圆心到水面的垂线为y 轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A 处开始计时，经过t 秒后转到P 点的位置，则点P 到水面的距离h 与时间t 的函数关系式为（ ）A. 3sin 1.5406h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B. 1.5cos 3406h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭C. 3cos 1.5403h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D. 1.5sin 3403h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出280πω=，再由三角函数的定义即可求解. 【详解】由2T πω=，80T =，解得240ππωω==，设圆的圆心为C ，由 1.5OC =，3CA =，则6CAO ACM π∠==，由正弦函数的定义可得经过t 秒后转到P 点的位置，则点P 到水面的距离h 与时间t 的函数关系式为3sin 1.5406h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题. 8.设0.2a π=，log 0.2b π=，0.2c π=，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得0b <，再利用指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2ππ<<，从而比较出大小.【详解】log 0.20b π=<；根据指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2ππ<<， 故b a c <<.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9.五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（ ） A. 360 B. 240C. 150D. 90【答案】C 【解析】 【分析】分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.【详解】先分堆再分配第一步分堆分两类()2,2,1和()3,1,1，则分堆方法有22353522C C A C +种； 第二步分配给三名学生有33A种分法；由分步计数乘法原理得：2233535322150N C A C C A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭种.故选：C.【点睛】本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10.如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球1O ；顶部为球2O ，其直径与正四面体的棱长a 相等，若这样设计奖杯，则球1O 与球2O 的半径之比12:r r =（ ）A. 1:6B. 16C. 1:3D. 3【答案】B【分析】设内切球1O 的半径1r ，正四面体的高为h ，利用等体积得，可得14r h =，由h即可求出112r a =，进而求出比值.【详解】设内切球1O 的半径1r ，正四面体的高为h ，利用等体积得，111433Sr Sh ⨯=， 所以14r h =，又3h a ==，则112r a =，球2O 的半径212r a =，所以12:r r =故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11.已知圆C ：228140x y y +-+=，直线l ：310mx y m --+=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点.设圆C 上任意一点P 到直线的距离l 为d ，若d 取最大值时，PAB ∆的面积（ ）A. B. 8 C. 6D.【答案】B 【解析】 【分析】直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ，当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，求出最大距离d 以及AB ，进而可得PAB ∆的面积.【详解】直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ， 圆C ：228140x y y +-+=的圆心()0,4C，半径r =当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，∵1MC k =-，∴1l k =，即直线l 方程为20x y --=， 则()2,0A ，()0,2B -，AB =，C 到直线l=则P 到直线l的最大距离d r ==此时PAB ∆的面积182S =⨯=， 故选：B .【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大是关键，是中档题.12.已知函数()ln x xf x a=，若不等式()2f x <仅有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3ln 2,ln 32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3ln 3,4ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 3ln 2,ln 32⎛⎤⎥⎝⎦D. 3ln 3,4ln 22⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】先求得导函数，并令()0f x '=求得极值点.根据导函数，讨论0a >与0a <两种情况，分别判断函数()f x 的单调区间，并根据不等式()2f x <仅有两个整数解，即可确定a 的取值范围. 【详解】由()ln x x f x a =，则由()1ln 0x f x a+'==.可得，1e x =， 当0a >时，10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，()0f x '<，()f x 单调递减，1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，则()2f x <有两个整数解为1，2，所以，2ln 22a <且3ln 32a ≥，解得3ln 2,ln 32a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当0a <时，1,e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x ，()0f x '<，()f x 单调递减，且()10f =，则()2f x <整数解有无数个，不满足题意. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数的单调性，分类讨论思想的综合应用，导数在不等式中的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r ，b r 满足1a =r，(b =r ，若()2a a b ⋅-=r r r ，则a r 与b r的夹角为______.【答案】120︒ 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式计算即可.【详解】由()2a a b ⋅-=r r r 知，22a a b -⋅=r r r， 又1a =r ，即21a =r则1a b ⋅=-r r，所以11cos ,122a b a b a b ⋅-===-⨯⋅r rr r r r ，故夹角为120︒， 故答案为：120︒.【点睛】本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14.一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a 个馒头，小和尚每餐每a 人吃1个馒头.若大和尚的人数用()f a 表示，则()f a =______. 【答案】1001a + 【解析】 【分析】设大和尚有x 人，根据题意可得关于x 的方程，解方程并对a 讨论，即可求解. 【详解】设大和尚有x 人，则()1100100ax x a+-=， 即()()211001x a a -=-，当1a =时，与生活实际不符，所以1a ≠，解得1001x a =+， 即()1001f a a =+，故答案为：1001a +. 【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题.15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H .若1PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为______.【解析】 【分析】利用双曲线的定义122PF PF a =+，从而可得12||||2PH PF PH PF a +=++，利用点到直线的距离公式可得2||PH PF b +=，由题意可得24b a a +=，进而求出离心率. 【详解】由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+， ∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ， 此时2||2PH PF a ++最小，且最小值为4a ， 易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以24b a a +=，即2b a =，225c a =，可求离心率e =【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项等于______. 【答案】89【解析】 【分析】利用1n n n a S S -=-得到1133122n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项公式，利用1n n a a +-的正负来确定数列{}n a 中最大项.【详解】因为22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭，得2n …时，11122663n n n S a ---⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭，两式相减得:1123223n n n a a --⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，即：1133122nn n n a a --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵123a =， ∴数列{}n b 是首项132123b =⨯=，公差为1的等差数列， 则n b n =，所以，23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11222213333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭=⎭，所以1234n a a a a a <=>>>L ， 故数列{}n a 中2389a a ==且最大， 故答案为:89. 【点睛】本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过1n n a a +-的正负来寻找，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos 2bc C c B ab +=. （1）求cb的值；（2）若a =ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）2（2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得； （2）由（1）及余弦定理可得2654cos b A=-，代入三角形面积公式可得54cos 6sin ABC ABC S S A A ∆∆-=，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.【详解】解：（1）由2cos cos 2bc C c B ab +=，得()cos cos 2c b C c B ab +=， 由正弦定理知：()sin cos sin cos 2sin c B C C B b A +=， 即()sin 2sin c B C b A +=，sin 2sin c A b A =， ∵sin 0A ≠， ∴2c b =，2cb∴=； （2）由余弦定理知，222222cos 54cos 6a c b cb A b b A =+-=-=， 则2654cos b A=-；∴216sin sin sin 254cos ABC A S bc A b A A∆===-， 即54cos 6sin ABC ABC S S A A ∆∆-=， ∴()23616sin 5ABC ABC S A S ϕ∆∆++=， ∴236165ABC ABC S S ∆∆+≥，解得2ABC S ∆≤，即ABC ∆的面积的最大值是2.【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题 18.如图，多面体ABCE 中，平面AEC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AE CD ⊥四边形BCDE 为平行四边形.（1）证明：AE EC ⊥； （2）若2AE EC CB ===D ACE --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）先通过平面AEC ⊥平面ABC 得到BC AE ⊥，再结合AE CD ⊥，可得AE ⊥平面BCDE ，进而可得结论；（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接OE ，OF ，以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DAC 的一个法向量以及平面ECA 的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面AEC ⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC BC ⊥， 所以BC ⊥平面AEC ，BC AE ∴⊥，又AE CD ⊥，CD BC C ⋂=， 则AE ⊥平面BCDE ，EC ⊂平面BCDE ， 所以，AE EC ⊥；（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面AEC ； 以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知2AE EC CB ===2AC =，1OE =，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0C -，()0,2,1D -，则()2,0,0AC =-u u u r，()1,2,1AD =--u u u r ，设平面DAC 的一个法向量(),,m x y z =u r，由0,0m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20x x z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令2y =，则0x =，2z =，即()2,2m =u r；平面ECA 的一个法向量为()0,1,0n =r；23cos ,324m n m n m n⋅===+u r ru r r u r r .所以二面角D AC E --的余弦值为33【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.19.已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点F 与抛物线2C ：24y x =的焦点重合，且离心率为2. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D两点，满足AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）10x y ±-=【解析】 【分析】（1）根据题意求出,,a b c ，即可写出椭圆的标准方程.（2）当直线l 不存在斜率时，可求出,,,A B C D四点，可验证AB ≠；当直线l 存在斜率时，设直线方程为()1y k x =-，将直线分别与椭圆1C 方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出AB 、CD，根据AB =解方程即可.【详解】解：（1）由已知椭圆的离心率ca=1c =，得a =1b =， 故椭圆1C 的标准方程为2212x y +=（2）当直线l 不存在斜率时，可求出()1,2A ，()1,2B -，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭，所以||4AB =，||CD =，不满足条件；当直线l 存在斜率时，设直线方程为()1y k x =-，代入椭圆1C 方程得：()2222124220k xk x k +-+-=，>0∆恒成立，设()11,C x y ，()22,D x y ，则()212221224,2121,21k x x k k x x k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩∴()()22222212222212214114212121k k k CD k x x k k k k -+⎛⎫=+-=+-⨯= ⎪+++⎝⎭将直线l ：()1y k x =-，代入抛物线2C 得()2222240k x k x k -++=，设()33,A x y ，()44,B x y ，则234224k x x k++=， 又因为()2234224124||2k k AB x x k k++=++==， 由||32||AB CD =得：()()2222412213221k k kk ++=⨯+，∴221321k k =+， 解得1k =±，所以直线l 的方程为10x y ±-=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t ），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中m 的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过2.5t 的概率为多少？（Ⅲ）若按月均用水量[)0.5,2.5和[]2.5,5.5分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间[]0.5,2.5的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）0.20m =，2.786，2.800；（Ⅱ）0.432；（Ⅲ）分布列见解析，()65E X = 【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1，即可求得m 的值；根据频率分布直方图各小组的频率，由中位数定义即可求解；结合平均数的求法，可用频率分布直方图求得平均数.（Ⅱ）先求得月均用水量超过2.5t 的概率，再结合独立重复试验中概率求法即可得恰有2户超过2.5t 的概率.（Ⅲ）按照分层抽样，先求得在月均用水量[)0.5,2.5和[]2.5,5.5在两个区间各自抽取的人数，可知来自用水量在区间[]0.5,2.5的人数为X 的取值有0，1，2，3，分别求得各自对应的概率即可得分布列，由分布列求得数学期望即可.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得：()0.100.300.350.0511m ++++⨯=，解得0.20m =，[)0.5,2.5的频率为0.10.30.4+=，[)2.5,3.5的频率为0.35，∴估计该社区居民月均用水量的中位数为：0.50.42.51 2.7860.35-+⨯≈平均值为：10.120.330.3540.250.05 2.800⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查3户居民的月均用水量， 月均用水量超过2.5t 的概率为：0.350.20.050.6++=，∴恰有2户超过2.5t 的概率为223C 0.60.40.432P =⨯⨯=.（Ⅲ）若按月均用水量[)0.5,2.5和[]2.5,5.5分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户， 月均用水量[)0.5,2.5中抽取：()100.10.34⨯+=户， 月均用水量[]2.5,5.5中抽取：()100.350.20.0056⨯++=户.从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间[]0.5,2.5的人数为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，3，()36310C 200C 120P X ===，()1246310C C 601C 120P X ===，()2146310C C 362C 120P X ===，()34310C 43C 120P X ===，∴X 的分布列为：数学期望()2060364601231201201201205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了补全频率分布直方图，由频率分布直方图求平均数和中位数，独立重复试验概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望求法，属于中档题. 21.已知函数()xf x e ax b =-+.其中,a b ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）函数()f x 在0x =处存在极值－1，且()1,x ∈-+∞时，()()21f x k x +>+恒成立，求实数k 的最大整数.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增;当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增（2）k 的最大整数为0.【解析】 【分析】（1）求导()e xf x a '=-，分0a ≤，0a >讨论()f x '的正负值，即函数()f x 的单调性；（2）先通过函数()f x 在0x =处存在极值－1，可求出()e 2xf x x =--，将()()21f x k x +>+恒成立，转化为e 1x xk x -<+，令()e 1x x h x x -=+，利用导数求()h x 的最小值.【详解】解：（1）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()0xf x e a '=-=，ln x a =，则(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),ln a -∞上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增. （2）函数()f x 在0x =处存在极值－1，由（1）知0a >，且()000f e a '=-=，()011f b =+=-，所以1a =，2b =-， 则()2xf x e x =--；因为()10xf x e '=-=，0x =，所以(),0x ∈-∞时，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增， 则()f x 在0x =处存在极值()01f =-满足题意；由题意()()21f x k x +>+恒成立，即()1xx x e k ->+，对()1,x ∈-+∞恒成立，即：1x x e x k -<+，设()1x x x e xh -=+，只需()min k h x <，因为()()()()211111xx x x e xxe h x x x e -+-+-'==++，又令()1xt x xe =-，()()1xxxt e xe x x e '=+=+，所以()t x 在()1,-+∞上单调递增，因为11102t ⎛⎫==<⎪⎝⎭，()110t e =->. 知存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00010x e t x x =-=， 即01x e x =， 且在()01,x -上，()0t x <，()0h x '<，()h x 单调递减，在()0,x +∞上，()0t x >，()0h x '>，()h x 单调递增，所以，()()00000min00011111x x x x h x h x x x x e --====-++，即01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()min 0110h x x =->， 又()01h =，知()()min 0,1h x ∈，所以k 的最大整数为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及恒成立问题，其中将恒成立问题通过参变分离转化为最值问题，是常见的解决恒成立问题的手段，考查了学生计算能力，是一道难度较大的题目.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线lsin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 的直角坐标为()1,0，若直线l 与曲线C 分别相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值. 【答案】（Ⅰ）22142x y +=，10x y +-=；（Ⅱ）3【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l 的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.【详解】（Ⅰ）曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.变形为cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨=,平方相加后可转化为直角坐标方程得22142x y +=.直线lsin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.sin cossincos 144ππρθρθ⎫+=⎪⎭,122y x ⎫+=⎪⎪⎭化简可得直角坐标方程为10x y +-=.（Ⅱ）把直线10x y +-=的方程为转换为标准参数方程可得1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.把直线的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22142x y +=，可得2360t --=，所以123t t +=，122t t =-， 所以由参数方程的几何意义可知121211t t PA PB t t -+==3==【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，属于中档题.23.已知函数()1f x x x =++. （Ⅰ）解关于x 的不等式()2f x ≥；（Ⅱ）若a ，b ，c +∈R ，函数()f x 的最小值为m ，若a b c m ++=，求证：13ab bc ac ++≤. 【答案】（Ⅰ）12x x ⎧≥⎨⎩或32x ⎫≤-⎬⎭；（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式，分类讨论解不等式，即可求得不等式()2f x ≥的解集.（Ⅱ）根据绝对值三角不等式，求得()f x 的最小值，结合基本不等式即可证明不等式成立.【详解】（Ⅰ）()2f x ≥即12x x ++≥，可得012x x x ≥⎧⎨++≥⎩或1012x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或112x x x <-⎧⎨---≥⎩， 解得12x ≥或x ∈∅或32x <-， 则原不等式的解集为1322x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或； （Ⅱ）证明：()111f x x x x x =++≥--=，当且仅当()10x x +≤，即10x -≤≤时上式取得等号，可得函数()f x 的最小值为1，则1a b c ++=，且a ，b ，c +∈R ，由()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ ()2223ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++，可得()31ab bc ca ++≤，当且仅当13a b c ===取得等号， 即13ab bc ac ++≤., 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式成立，属于中档题.。