国家级精品课程课件——计量经济学 第八讲

东北财经大学数量经济系
一、帕克检验（3） 帕克检验（
帕克检验的步骤： 1.作普通最小二乘回归，不考虑异方差问题。 2.从原始回归方程中求得残差序列ei ,并求其平 方,再取对数形式。 3.利用原始模型中的一个解释变量做回归；如果 有多个解释变量，则对每个解释变量作上面形式的 回归，或者作被解释变量估计值的回归。 4.检验零假设:B2=0。 5.如果拒绝零假设，则原模型中存在异方差问题； 如果接受零假设，则表示为同方差。 东北财经大学数量经济系
^ ε2 yes ^ ε2 yes ^ ε2 yes
^ Y ^ ε2 yes ^ ε2 yes
^ Y
^ Y ^ ε2 no heteroscedasticity
^ ^ Y Y 东北财经大学数量经济系
^ Y
Yes, heteroscedasticity
Yes, heteroscedasticity
Yes, heteroscedasticity
1 1 i i 1 1
^ ^ Var (β1) = E (β1 - β1)2 = E (Σwi εi)2 β = E (w12 ε12 + w22 ε22 + …. + 2w1w2 ε1 ε2 + …) = w12 σ12 + w22 σ22 + … …..+ 0 + ... = σi2 Σ wi2 = σ i2 Σ x2 (Σ xi2)2 = if σ12 ≠ σ22 ≠ σ32 ≠ … i.e., heteroscedasticity if σ12 = σ22 = σ32 = … i.e., homoscedasticity
σ =σ X
2 i 2
2
i
作如下变换： Yi ui 1 =B + B2 + 1 Xi Xi Xi
1 =B + B2 + vi 1 Xi
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Homoscedastic pattern of errors
yi . . .. . . .. . . . . .. . .. ... .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . 0
三、怀特检验（1） 怀特检验（ 假定有如下回归模型：
Yi = B + B2 X2i + B3 X3i + ui 1
怀特检验步骤： 1.首先用OLS估计回归方程，获得残差ei。 2.作辅助回归：
e = A + A X2i + A X3i 1 2 3
2 i 2 2 + A X2i + A X3i + A X2i X3i + ui 4 5 6
2 i
2 i
注意这样一个事实，在给定X的条件下：
Var(Yi ) = Var(ui )
异方差问题多存在于横截面数据中。
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第二节
异方差的后果 异方差的后果
1. OLS估计量仍然是线性无偏的。 2. OLS估计量不再具有最小方差性。 3. 样本方差不再是总体方差的无偏估计量。 4. OLS估计量的方差的估计量是有偏的。 5. t检验和F检验失效。
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加权最小二乘法 WLS（3） WLS（ 为未知的情况 σi2 情形1：误差方差与Xi成比例：
σi2 = σ 2 Xi
作如下变换： Yi
Xi =B 1 =B 1 Xi ui 1 + B2 + Xi Xi Xi 1 + B2 Xi + vi Xi
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WLS（ 加权最小二乘法 WLS（4） 情形2：误差方差与Xi2成比例：
这就是我们通常所说的帕克检验。注意，在帕 克检验中模型的函数形式是不唯一的。
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一、帕克检验（2） 帕克检验（
在实际应用中，帕克建议用 到下面的回归模型：
2 i
ei2 来代替 σi2，得
ln e = B1 + B2 ln Xi + vi
注意：在帕克检验的方程中误差项也可能存在 异方差问题。
2 σiΣ x 2 i ^ σ2 Var (β1) = β Σ xi2 东北财经大学数量经济系
Consequences of heteroscedasticity
1. OLS estimators are still linear and unbiased ^ 2. Var ( βi )s are not minimum. => not the best => not efficiency => not BLUE ^ 3. Var ( β1) = ^ 4. σ2 = ε Σ^i2
Suspected variable that causes heteroscedasticity
i.e., i.e.,
Var( εi ) = σ2 Var( εi ) = σi2
4. Use t-test to test H0 : β2* = 0 (Homoscedasticity) If t* > tc ==> reject H0
Var(εi) = E(εi2) = σi2 ≠ σ2 ε ε
Refer to lecture notes Supplement #03A
Yi = β0 + β 1 X1i + εi
^ = ∑ xy = ∑ w Y = ∑w (β + β X + ε ) β1 i i i 0 1 i i ∑ x2 ^ ^ => β = β + Σw ε E(β ) = β unbiased
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三、怀特检验（2） 怀特检验（
3.求辅助回归方程的R2值。在零假设:不存在异方差 2 下，怀特证明了R2值与样本容量n的乘积服从 χ分布:
nR2 ~ χ 2 (d. f .)
自由度等于辅助回归方程中解释变量的个数,不包 括截距项。 4.如果从辅助回归方程中计算得到的统计量值大于 所选显著水平下分布的临界值，则拒绝零假设，表 示存在异方差。如果计算的统计量的值小于临界值， 则不能拒绝零假设。 东北财经大学数量经济系
二、 Glejser检验 Glejser检验
从原始模型中获得残差ei之后，格莱舍尔建议做残差 的绝对值|ei|对Xi的回归分析。函数形式如下:
ei = B + B2 Xi + vi 1 1 ei = B + B2 + vi 1 X i
ei = B + B2 Xi + vi 1
在每种情形下，若都接受零假设：B2=0，则表示不 存在异方差；如果有一种情况拒绝零假设，则表明可 能存在着异方差。 东北财经大学数量经济系
2 σ i2 ^ )= σ instead of Var( β1 2 Σx Σx2
Two-variable case
^ is biased, E(σ2) ≠ σ2 E(σ n-k-1 Y = β 0+ β 1 X + ε
5. t and F statistics are unreliable unreliable. ^ SEE = σ RSS = Σ ^ 2 ε
i
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Cannot be min.
Detection of heteroscedasticity
1. Graphical method :
^ plot the estimated residual ( ^i ) or squared (εi 2 ) against the ε ^ predicted dependent Variable (Yi) or any independent variable(Xi).
The scattered points spread out quite unequally 东北财经大学数量经济系
.
. .
.
large εi associated with large value of Xi
xi
Definition of Heteroscedasticity: Two-variable regression:
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加权最小二乘法 WLS（1） WLS（ 考虑双变量回归模型：
Yi = B1 + B2 Xi + ui
假设误差方差 σ
(1)
2 i 已知，对模型作如下变换：
1 Xi ui = B + B2 + 1 σ σ σi σi i i Yi
令
(2)
vi = ui / σi ，把它称为变换后的误差项。
Heteroscedastic pattern of errors
. yi
Small εi associated with small value of Xi
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
==> heteroscedasticity exists
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第三节
异方差的检验 异方差的检验
检验回归模型中是否存在异方差问题，也就 是检验对于不同的观测点i，随机扰动项ui的方 差是否相同。 然而，我们很少能够知道整个总体的信息。 更一般地，我们仅仅知道一个样本。也就是说 我们仅有与给定变量X值相对应的单独的一个Y 值。而根据单独的这个Y值无法确定对应于给 定X值的Y的条件分布的方差。
The scattered points spread out quite equally 东北财经大学数量经济系
xi
Heteroscedasticity Case
f(Yi)