2017-2018学年北京市海淀区高二数学上期末考试(理)试题(附答案)

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。

2017海淀区高二（上）期末数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），43．（4分）若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣14．（4分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（4分）实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）双曲线=1的渐近线方程是．10．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．11．（4分）已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是（真命题/假命题）．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为．13．（4分）已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为．14．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程．16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】直线x﹣y+1=0的斜率==1．故选：A．2．【解答】把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故选C．3．【解答】∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，∴=﹣1，解得a=4．故选：A．4．【解答】在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）．故选：D．5．【解答】三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．【解答】若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．7．【解答】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．8．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（a﹣1，a），化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ，由图可知，当直线y=2x﹣μ过A时，直线在y轴上的截距最大，μ有最小值为：2（a﹣1）﹣a=﹣4，即a=﹣2．故选：C．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．10．【解答】由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．11．【解答】∵命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，∴￢p：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1时，恒成立，故￢p为假命题，故答案为：假命题12．【解答】A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．13．【解答】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：114．【解答】∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=2，E=0，F=﹣3…（3分）故圆M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=…（5分）此时|MN|==1．…（6分）当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意…（7分）当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，…（8分）解得：k=，…（9分）故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…（10分）综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=016．【解答】（Ⅰ）由题意F（1，0），当AB的斜率为1时，l：y=x﹣1 …（1分）代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8，…（3分）点M到直线AB的距离d==2…（4分）∴△ABM的面积S==8；…（5分）（Ⅱ）易知直线l⊥x时不符合题意．可设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4∵MA⊥MB，=（x1﹣5，y1），=（x2﹣5，y2），∴=x1x2﹣5（x1+x2）+25+y1y2=22﹣5×（2+）=0，∴k=．…（9分）故L的方程为y=（x﹣1）…（10分）17．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（3分）（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…（4分）∴D（），=（﹣）．…（5分）平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）．…（11分）记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，则cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）18．【解答】（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…（3分）椭圆的离心率e==；…（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…（5分）整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1•y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0 …（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…（5分）可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1•x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）。

高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-． 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |． 所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。

北京市北大附中2017-2018年高二期末考试数学(理)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题1．设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个黑球与都是黑球 B. 至少有1个黑球与至少有1个红球C. 恰有1个黑球与恰有2个黑球D. 至少有1个黑球与都是红球3．某学校开设A 类选修课3门,B 类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程各至少选1门,则不同的选法共有（ ）A. 30种B. 31种C. 35种D. 60种 4．已知命题p :∃x ∈R ,使sin x =52;命题q :∀x ∈R ,都有x 2+x +1>0.给出下列结论:（ ）A. 命题p 是真命题B. 命题“¬p ∧q ”是真命题C. 命题“p ∧q ”是真命题D. 命题“¬p ∨¬q ”是假命题 5．在二项式(x2−2x)6的展开式中,含x 6的项的系数是（ ） A. −15 B. 15 C. −60 D. 606．将五枚硬币同时抛掷在桌面上,至少出现两次正面朝上的概率是（ ） A. 516 B. 1316 C. 2132 D. 27327．(1−2x )5(2+x )的展开式中x 3的项的系数是（ ） A. 100 B. −100 C. 120 D. −1208．2位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是（ ）A. 72B. 60C. 36D. 24 9．若(3x 3 x)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 710．在[−1,1]上随机的取一个实数k ,则事件“直线y =kx 与圆(x −5)2+y 2=9相交”发生的概率为（ ）A. 12B. 14C. 34D.91611．若(1−13x )2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018(x ∈R ),则3a 1+32a 2+33a 3+⋯+32018a 2018的值为（ ）A. 2B. 0C. −1D. −2 12．有下列命题:（ ） ①面积相等的三角形是全等三角形;②“若xy =0,则|x |+|y | =0”的逆命题; ③“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④13．在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出3个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为（ ）A. 36B. 108C. 216D. 64814．一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的两个数字之积是0的概率为（ ）A. 14B. 12C. 23D. 34第II 卷（非选择题）二、填空题15．命题“∀x ∈R ,x 2−x +14≥0”的否定是___________.16．在( x 3−2x)n 的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于___________.17．从0,1,2,3,4,5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,其中能被5整除的概率为___________（用数字作答）.18．有6名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务,每一个地方至少有一人,则不同的分配方案有___________种（用数字作答）.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号19．已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为___________（用数字作答）.20．对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,⋯,i n)（n是不小于3的正整数）,对于任意的p,q∈{1,2,3,⋯,n},当p<q时有i p>i q,则称i p,i q是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(3,1,4,2)中的逆序数为___________;若数组(i1,i2,i3,⋯,i n)中的逆序数为n−1,则数组(i n,i n−1,⋯,i1)中的逆序数为___________.三、解答题21．某单位从一所学校招收某类特殊人才,对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人.由于部分数据丢失,只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.（Ⅰ）求a,b的值;（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.22．已知,如图,在直二面角D−AB−E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,且∠AEB=90∘.（Ⅰ）求证:AE⊥平面BCE;（Ⅱ）求二面角E−AC−B的余弦值;（Ⅲ）在线段AC（不包含端点）上是否存在点F,使得EF与平面ABC所成的角为45∘;若存在,写出AFAC的值,若不存在,说明理由.23．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得−10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率为12,且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题总分不低于10分就算闯关成功.（Ⅰ）求至少回答对一个问题的概率;（Ⅱ）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列;（Ⅲ）求这位挑战者闯关成功的概率.24．已知椭圆C:x2a+y2b=1 (a>b>0)经过点(1,32),离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）直线y=k(x−1)(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与y轴交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在一个定点N使得NP⊥NQ?若是,求出定点N的坐标;若不是,说明理由.25．已知集合A={1,2,3,⋯,2n}(n∈N∗).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有s1−s2≠m,则称S具有性质P.（Ⅰ）当n=8时,试判断集合B={x∈A|x>7}和C={x∈A|x=3k−2,k∈N∗}是否具有性质P?并说明理由.（Ⅱ）若n=1009时，①若集合S具有性质P,那么集合T={2019−x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值北京市北大附中2017-2018年高二期末考试数学(理)答案1．A【解析】由已知a∈R，则由“a>1”可以得到“a2>1”，但当“a2>1”时，可得“a>1”或“a<1”,故“a>1”是“a2>1”的充分非必要条件2．C【解析】依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球A至少有1个黑球包含都是黑球，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故B错误，C恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C正确D至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D错误，故答案为C3．A【解析】由题意，7门课程选3门有C73种方法，若选择的课程均为A课程，有C33种方法，选择的课程均为B课程，有C43种方法，满足题意的选择方法有：C73−C33−C43=35−1−4=30种.本题选择A选项.4．B【解析】∵52>1，而sin x∈−1,1，据此可得命题p是假命题；x2+x+1= x+122+34>0，则命题q为真命题；据此可得：命题“¬p∧q”是真命题，命题“p∧q”是假命题，命题“¬p∨¬q”是真命题.本题选择B选项.5．D【解析】二项式展开式的通项公式：T r+1=C6r x26−r −2x r=−2r C6r x12−3r，令12−3r=6可得：r=2，则含x6的项的系数是−22C62=4×15=60. 本题选择D选项.6．B【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：125，一次正面朝上的概率为：C51121124，则至少出现两次正面朝上的概率是1−125−C51121124=1316.本题选择B选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．7．D【解析】1−2x5展开式的通项公式为：C5r−2x r=−2r C5r x r，当r=3时，1−2x5展开项为−23C53=−80，当r=2时，1−2x5展开项为−22C52=40，则(1−2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是2×−80+40=−120.本题选择D选项.点睛：二项展开式的通项T k+1=C n k a n−k b k是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．8．A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C32A22=6种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有C32A22A32A22=72种，本题选择A选项.9．D【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：T r+1=C n r3x3n−rxr=3n−r C n r x3n−7r，展开式中含有常数项，则：3n−72r=0有正整数解，满足题意的最小的正整数为：r=6,n=7.本题选择D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．10．C【解析】直线与圆相交，则：k2+1<3，解得：−34<k<34，结合长度型几何概型公式可得满足题意的概率为：p=34− −341−−1=34.本题选择C选项.11．C【解析】令x =0可得：a 0=1，令x =3可得：a 0+3a 1+32a 2+33a 3+⋯+32018a 2018=0， 则：3a 1+32a 2+33a 3+⋯+32018a 2018=−a 0=−1. 本题选择C 选项. 12．B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;②“若xy =0,则|x |+|y | =0”的逆命题为“若|x |+|y | =0,则xy =0”，该命题正确; ③“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题为“若a ≤b ,则a +c ≤b +c ”，该命题正确; ④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择B 选项. 13．B【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：C 43×3×3×3=4×27=108种.本题选择B 选项. 14．D【解析】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零， 两次数字均不为零的概率为：12×12=14， 则满足题意的概率值：p =1−14=34.本题选择D 选项.15．∃x ∈R ,x 2−x +14<0【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题“∀x ∈R ,x 2−x +14≥0”的否定是∃x ∈R ,x 2−x +14<0. 16．112【解析】由题意可得：2n=256,∴n =8， 结合二项式展开式通项公式可得：T r +1=C 8r x 38−r −2x r= −2 r C 8rx 8−4r，令8−4r 3=0可得：r =2，则常数项为： −2 2C 82=4×28=112.17．925【解析】选出的3个数字含有0时，有C 52C 21A 22=40种方法，选出的3个数字不含有0时，有A 53=60种方法， 其中能被5整除的三位数末位必为0或5.①末位为0的三位数其首次两位从1∼5的5个数中任取2个排列而成方法数为A 52=20，②末位为5的三位数,首位从非0,5的4个数中选1个,有C 41种挑法,再挑十位,还有C 41种挑法，∴合要求的数有C 41×C 41=16种。

北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到范围．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为1或﹣1．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是④．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先判断PA表示P到直线AA1的距离，从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD 的距离，利用抛物线的定义，可得结论．解答：解：设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．解答：解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．解答：解：（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

2018年北京市海淀区高二数学上期末试卷(理有答案和解
释）
5
2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知圆（x+1）2+2=2，则其圆心和半径分别为（）
A．（1，0），2B．（﹣1，0），2c． D．
【考点】圆的标准方程．
【分析】利用圆的标准方程的性质求解．
【解答】解圆（x+1）2+2=2的圆心为（﹣1，0），
半径为．
故选D．
2．抛物线x2=4的焦点到准线的距离为（）
A． B．1c．2D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】解抛物线x2=4的焦点到准线的距离为P=2．
故选c．
3．双曲线4x2﹣2=1的一条渐近线的方程为（）
A．2x+=0B．2x+=1c．x+2=0D．x+2=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线。

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x +1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ． 2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ） A ．2x +y=0 B ．2x +y=1 C ．x +2y=0 D ．x +2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x +1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my +2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x +ay ﹣1=0和直线ax +4y +2=0互相平行，则a 的取值是（ ） A ．2 B ．±2 C ．﹣2 D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列中正确的为（ ） A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥α B ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥α C ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥b D ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB |=|PA |，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述中正确的序号为．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0 B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P的坐标，设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos∠APB．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD 上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2 C． D．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m＞0且m﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述中正确的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC是直角三角形；（2）求出△ABC的外接圆的方程，利用△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC1∥AA1，AD∥BC，从而平面AA1D∥平面CC1B，由此能证明AE ∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：推导出AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1D⊥平面ABE．法2：推导出AA1⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥A1D，再由AE⊥A1D，能证明A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）推导出平面EFD⊥平面ABE，从而二面角D﹣EF﹣B为90°，设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），再由A1D⊥BG，能求出CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．2016年7月31日。

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1所示，∠OCB=45°，令∠OAB=22.5°，∴AC=BC，点C满足题意；如图2所示，∠OAN=45°，令∠OMN=22.5°，则AN=AM，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆心O（0，0）到直线的距离：d==，∴直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为：|AB|=2=2=．故答案为：．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=﹣．【解答】解：=（x﹣1，1，﹣1），=（3，y﹣2，2），∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得：=k，∴，解得k=﹣，x=﹣，y=0．∴x+y=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程x=0，y=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，0）、（1，1）；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是[0，] ．【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，分析可得，有[x2+（﹣y）2]3=8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，又由有[（﹣x）2+y2]3=8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为x=0，y=0；②，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，有（02+02）3=8×02×02，（12+12）3=8×12×12，点（0，0）与（1，1）都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；③，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t=，（t≥0）又由x2y2≤（）2，则有（x2+y2）3≤（）2，即有t6≤，变形可得：0≤t≤，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D是BC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．证明如下：∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE，同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由AB=2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），则=（0，3，），=（，0，0），=（0，﹣1，），∵=0，=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，∵EO∩OG=0，∴FD⊥平面ECO．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为=（0，3，），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（﹣2，，﹣1），∴cos＜，＞==，∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为﹣．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设=，∴，∴=0，∵B（，1，0），C（0，2，0），=（0，3，），=（﹣，0，）+（0，﹣λ，）=（﹣，﹣λ，），=0﹣3λ+3+3λ=3，这与=0矛盾，∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|=4+4=8，∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴点P到直线x=4的距离d为4﹣x0，∴S=|AB|•d=×8×（4﹣x0）=4，△PAB解得x0=3，当x0=3时，y0=2，∴点P的坐标为（3，2）；（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴P点的坐标（y02，y0），∴=（4﹣y02，4﹣y0），=（4﹣y02，﹣4﹣y0），∵PA⊥PB，∴•=（4﹣y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）=0，解得y0=0或y0=4，∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．∴|PA|=4，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），∵A（4，4），B（4，﹣4），则直线AP的方程为y﹣4=（x﹣4）=（x﹣4），直线BP的方程为y+4=（x﹣4）=（x﹣4），∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，∴令y=0，得x M=﹣y0，x N=﹣y0，∴△PMN的面积S=•|x M﹣x N|•y0=y02，△PMN=|4﹣x0|×8=16﹣y02，∵△PAB的面积S△PAB∴16﹣y02=y02，解得y02=8，∴S=8．△PMN。

主视图侧视图2018年清华附高二上期末数学（理）试卷一、选择题．（共8小题，共8×5=40分） 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）． A ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > C ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x ≥ D ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x >【答案】D【解析】p ⌝为命题p 的否定，即0x ∃∈R ，0sin 1x >． 故选：D ．【答案】A【解析】由双曲线标准方程可知，双曲线焦点在x 轴上，2a =，1b =．∴渐进线的方程为12y x =±．故选：A ．3．下列命题中的假命题是（ ）． A ．x ∀∈R ，120x -> B ．*x ∀∈N ，2(1)0x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x < D ．x ∃∈R ，tan 2x =【答案】B【解析】A 选项中，2的任意次方都是正数，正确．B选项中，当1x =时，2(1)0x -=．C 选项中，当10x <时，lg 1x <，正确．D 选项中，tan x 的取值范围是全体实数，正确．故选：B ．【答案】B【解析】223i (3i)34i 24i(1i)i 12i1i (1i)(1i)1i 2++++++====+--+-． 故选：B ．【答案】C【解析】由三视图可还原该几何体的直观图，如下所示，该几何体为四棱柱，底面ABCD 为正方形，边长PB ⊥底面ABCD ．=2PB ，PAB △≌PBC △，且均为直角三角形．12PAB S AB PB =⋅⋅△PAD △≌PCD △，PA =PD =．∴222PA AD PD +=．∴PA AD ⊥，12PAD S PA AD =⋅⋅=△．故选：C ．6．函数2()log 2f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】B【解析】易知()f x 在(0,)+∞上递增． 2(1)log 11210f =+-=-<． 2(2)log 22210f =+-=>．∴()f x 在(1,2)内有唯一零点．故选：B ．7．“0x >”是“sin 0x x +>”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分调价 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令()sin f x x x =+，()1cos 0f x x '=+>，可知()f x 在R 上单调递增． (0)0f =，当0x >时，()(0)f x f >，即sin 0x x +>．若sin 0x x +>，即()(0)f x f >． ∴()f x 在R 上单调递增． ∴0x >．故0x >是sin 0x x +>的充要条件．DCBA故选：C ．【答案】B【解析】取AD ，BC 中点F ，G ，连接1A F ，FG ，1B G ． 易知FG AB ∥，AB ⊥平面11BCC B ． ∴FG ⊥平面11BCC B ．∴FG BE ⊥，在正方形11BCC B 中，1B G BE ⊥． ∴BE ⊥平面11A B GF ． ∵P 在平面ABCD 中． ∴P 点的轨迹就是线段FG ．当P 与F 重合时，1A P 最短，此时1A P =． 当P 与G 重合时，1A P 最长，此时132A P =．故选：B ．二、填空题．（共6小题，共6×5=30分） 9．复数12i -的虚部为__________． 【答案】2-【解析】根据复数的定义，1为实部，2-为虚部，i 为虚数单位． 故答案为：2-．10．命题“若0x ≠，则20x >”的逆否命题为__________． 【答案】若0x ≤，则0x =【解析】原命题为若p 则q ，逆否命题为q ⌝，则p ⌝．故答案为：若0x ≤，则0x =．11．抛物线24x y =上的点到其焦点的最短距离为__________． 【答案】1【解析】抛物线焦点坐标(0,1)为，记200,4x P x ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线上任意一点，则P 到焦点的距离PF =． 当且仅当00x =时，PF 有最小值1． 故答案为：1．12．已知对x ∀∈R ，210ax x -+>恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令21y ax x =-+．由已知x ∀∈R ，0y >恒成立． ∴0140a a >∆=-<⎧⎨⎩．综上所述，14a >．故答案为：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．13．在下列四个命题：①x ∀∈R ，2310x x ++>；②x Q ∀∈，211132x x ++是有理数； ③,R αβ∃∈，使sin()sin sin αβαβ+=+；④,x y Z ∃∈，使3210x y -= 真命题的序号是 __________． 【答案】②③④【解析】①当1x =-时，2310x x ++<．∴错误． ②∵x ∈Q ，∴211132x x ++∈Q ，∴正确．③当0α=时，sin()sin αββ+=，sin sin sin0sin sin αβββ+=+=． ∴,αβ∃∈R ，使sin()sin sin αβαβ+=+． ④令2x =，2y =，则3210x y -=．故答案为：②③④．14．已知42(),()4,a x x a xf x x x a x ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩．（1）当1a =时，()3f x =，则x =__________．（2）当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，是它们成等差数列，则a =__________．【答案】（1）4．（2）116-． 【解析】（1）1a =时，42,1()4,1x x x f x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎧⎪⎪⎨=-⎪⎭⎪⎩≥．1x <时，423x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，该方程无解．1x ≥时，43x x-=，解得4x =或1x =-（舍去）． ∴4x =．（2）∵x a >时，()3f x =的解为4x =或1x =-． ∵123x x x <<，且它们依次成等差数列． ∴21x =-，34x =，16x =-，∴1a -≤． ∴x a <时，()3f x =只能有一个实数根6-．∵2(6)2633f a -=++=，∴116a =-． 故答案为：（1）4．（2）116-．三、解答题．（共6小题，共80分）15．设命题2:ln((1)1)p y x a x =+-+的定义域为R ，命题Q ：复数1(2)()z a a i a R =-+-∈表示的点在第四象限．若p q ∨为真,p q ∧为假,求a 的取值范围． 【答案】(1,1][2,3)-【解析】由题意可知，p 真q 假或p 假q 真． 若p 真，则令2(1)+1t x a x =+-，0∆<． 即2(1)40a --<，13a -<<． 若q 为真，则1020a a ->-<⎧⎨⎩，12a <<．∴p 真q 假时1312a a a -⎧⎨<⎩<≤或≥【注意有文字】．∴11a -<≤或23a ≤≤． p 假q 真时1312a a a -<⎧⎩<⎨≤或≥，a ∈∅．综上所述，a 的取值范围是(1,1][2,3)-．16．在ABC △中，内角A，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．已知3cos 20A -=，sin()A C C +=．（1）求tan C 的值；（2）若2a =，求ABC ∆的面积．【答案】（1．（2． 【解析】（1）由已知得2cos 3A =，∴sin A∴2sin()sin 3A C C C C +=+=．∴2sin 3C C =．∴tan C =（2）∵tan C =sin C =cos C ．∴sin sin()B A C C =+= ∵sin sin a cA C=，∴c =∴11sin 222ABC S ac B ==⨯△17由．【答案】（1）证明见解析．（2）π4．（3）存在，12BE BC =． 【解析】（1）证明：∵M ，N 分别为PB ，PC 中点，∴MN BC ∥．在矩形ABCD 中，BC AD ∥，∴MN AD ∥． ∵MN ⊄平面PAD ． ∴MN ∥平面PAD ．（2）取AB 中点O ，连接PO ． ∵PAB △为正三角形，∴PO AB ⊥． ∵平面PAB ⊥平面ABCD ． 平面PAB 平面ABCD AB =． ∴OP ⊥平面ABCD ，作Oy AB ⊥． 建立如图空间直角坐标系．PABCDMN设=2AB ，1AD =．设平面BAM 的一个法向量为m ，则m 可取(0,1,0)．A ，M ，C 坐标分别为(1,0,0)-，12⎛ ⎝⎭，(1,1,0)． 3,0,AM ⎛= ，(2,1,0)AC =设平面AMC 的一个法向量(,,)n x y z =则3n AM x ⋅=+，2n AC x ⋅=+1x =，则y 3，∴(1,2,n =--AM C -角为α22,12m n m n m n⋅-<>==⨯⋅由图可知α为锐角，∴cos PAB 平面ABCD ． 18．已知函数()e sin x f x x ax =-．（1）若0a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程． （2）若()f x 在π[0,]2上为单调函数，求a 的取值范围．【答案】（1）y x =．（2）1a ≤或π2e a ≥． 【解析】（1）0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+． (0)0f =，(0)1f '=．∴切线方程为y x =．（2）()e (sin cos )x f x x x a '=+-．令()()g x f x '=，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调等价于()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为负或非正．()2e cos x g x x '=，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥恒成立． ∴()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴π2maxπ()e 02g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭≤即π2e a ≥． 或min ()(0)10g x g a ==-≥即1a ≤． 综上所述：1a ≤或π2e a ≥． 19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴为AB ，如图所示，直线:2l x =与椭圆相切与B 点，且椭圆的离心率为e = （1）求椭圆方程．（2）设P 点为椭圆上的动点，过P 做x 轴的垂线，垂足为H ，延长HP 到Q ，使得||||PH PQ =，直线AQ 与直线l 交于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明．【答案】（1）2214x y +=．（2）相切．【解析】（1）由已知得：2a =，c e a =∴c ． ∴2221b a c =-=．∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设P 点的坐标为00(,)x y ，则Q 点的坐标为00(,2)x y ．又∵A 点的坐标为(2,0)-． ∴直线AQ 的方程为002(2)2y y x x =++．令2x =，则M 点的坐标为0082,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∴N 点的坐标为0042,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．由题意，直线QN 存在斜率，00000200422224QNy y x x y k x x -+==--．∵220014x y +=．∴000200242QN x y x k y y ==--．∴QN 的方程为00002()2x y y x x y -=--． 即220000002(4)240x x y y x y x x y y +-+=+-=． 原点O 到直线QN的距离422d ===与圆半径相等． ∴以AB 为直径的圆与QN 相切．20．设{}n a 为至少有三项的有限数列，若它满足：①120n a a a ≤<<…<．②i ∃，*j N ∈，1i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的某一项则称该数列为B -数列．（1）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6是否为B -数列． （2）设数列12,n a a a ,...是B -数列，求证112()2n n n a a a a a +++=…+． （3）求证：“数列12,n a a a ,...为B -数列”是“12,n a a a ,...是等差数列”的充分不必要条件．【答案】（1）①不是．②是．（2）证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】（1）数列1，2，4中，31a a -与21a a +均不在该数列中． ∴该数列不是B -数列．数列0，2，4，6中，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤均是该数列中的项． 432a a -=也是该数列中的项．∴该数列是B -数列．（2）令i j n ==，n n a a +不在该数列中． ∴0n n a a -=一定在数列中． 又∵120n a a a <<<<．∴10a =．令j n =，1i n =-． 则1n n a a -+不在数列中． ∴1n n a a --在该数列中． ∵10a =，1n n a a -<． ∴11n n a a a --≠．∴1n n a a --可以是2a 或3a ．若13n n a a a --=，则312n n n a a a a a --=<-． 即21n n a a a -->，则只能2n n a a a -=． ∵210a a >=．∴矛盾，则只能12n n a a a --=． 同理可知1(1)n i n i a a a i +-=+>． ∴1n n a a a =+． 21n n a a a -=+． 32n n a a a -=+．…1n n a a a =+．以上累加得122()n n na a a a =+++．∴112()22n n n na n a a a a a +==+++．（3）先证充分性：对于3n ∀≥，*n ∈N ，由（2）可知，12n n a a a --=，而2a 为定值． ∴如果数列为B -数列，则一定是等差数列．不必要性：设数列{}n a 为等差数列，且10a >，0d >． 若{}n a 同时为B -数列，则2n n n a a a +=或0n n a a -=． 在该数列中，而2n a 显然不存在，0也不存在． ∴与{}n a 是B -数列矛盾． ∴{}n a 不是B -数列．综上所述，数列数列12,n a a a ,...为B -数列”是“12,n a a a ,...是等差数列”的充分不必要条件．。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合）（B A C U I 中的元素共有（ ） A .3个 B. 4个C.5个D.6个2. 复数3223ii+=-( ) A.1 B.1-C.iD.i -3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a=（ ） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24. 在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ）A ．12B ．34C ．23D ．145. 已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=（ ）A.711B.711-C. 713D.713-6．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是（ ） A ．15 B ．-15C ．60D ． -607.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出 的a 值是（ ）A. 2B. 1C.21D.1-8. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（ ） A.150°B.120°C.60°D.30°9. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种B.180种C.300种D.345种10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ； （2）已知),2(~2σN X ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y； （4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411.正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC △外接圆半径为26，则该正方体外接球的表面积为( ) A.2πB.8πC.12πD.16π12.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线在轴上的截距为A. B. C. D.（2）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A. B. C. D.（3）已知圆经过原点，则实数等于A. B. C. D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）已知平面，直线，下列命题中假命题．．．是A.若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则（6）椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A. B. C. D.（7）“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（8）平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

（9）直线的倾斜角为 ,经过点且与直线平行的直线方程为 .（10）直线被圆所截得的弦长为 .（11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 .（只需写出一组）（12）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则 .（13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线（14）曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题共4小题，共44分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。