2017高考一轮复习教(学)案_选修4_4极坐标与全参数方程

选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1) 极坐标系： 如图 4－4－1 所示，在平面内取一个定点 O ，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位 ( 往常取弧度 ) 及其正方向 ( 往常取逆时针方向 ) ，这样就成立了一个极坐标系．(2) 极坐标： 平面上任一点 M 的地点能够由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画，这两个数构成的有序数对 ( ρ ，θ) 称为点M 的极坐标．此中 ρ 称为点 M 的极径， θ 称为点 M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 (x ， y)极坐标 (ρ， θ)互化 公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点 P 的极坐标为 ( 2,) ，则点 P 的直角坐标为 （ ）4A.（ 1，1）B. （1，-1 ）C. （-1 ，1）D.（-1 ，-1）2、设点 P 的直角坐标为 ( 3,3) ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴成立极坐标系(02 ) ，则点 P 的极坐标为（ ）A ． (32,3 )B ．(32,5)C ．(3,5)D ．(3,3)44 4 43．若曲线的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ＋4cos θ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 成立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ________．4．在极坐标系中，过点 (1,0) 而且与极轴垂直的直线方程是 ( )A ．ρ ＝cos θB ． ρ ＝ sin θC ． ρcos θ＝ 1D．ρ sin θ＝ 15．曲线 C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－ 2x ＝0，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．π6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线 θ＝ 4( ρ>0) 所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，假如不可以直接用极坐标解决，可先转变成直角坐标方程，而后求解．ππ3与极1. 在极坐标系中，已知圆 C经过点 P(2，4 ) ，圆心为直线ρsinθ－3＝－2轴的交点，求圆 C 的直角坐标方程．π2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 4，3，则|CP| ＝________.π3.在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为ρ sin θ＋4＝1，圆 C的圆心的极坐标π是 C 1，4，圆的半径为 1.(i)则圆 C的极坐标方程是 ________； (ii) 直线 l 被圆 C所截得的弦长等于 ________．π4. 在极坐标系中，已知圆C：ρ＝ 4cos θ被直线 l ：ρsinθ－6＝a截得的弦长为2 3，则实数 a 的值是 ________．二、参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式．一般地，能够经过消去参数而从参数方程获得一般方程．(2)假如知道变数 x， y 中的一个与参数t 的关系，比如x＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，x＝ f t ，就是曲线的参数方程．y＝ g t2．常有曲线的参数方程和一般方程点的轨迹一般方程直线y－ y0＝ tan α(x－x0 )圆x2＋ y2＝r 2椭圆x2y2a2＋b2＝ 1(a>b>0)参数方程x＝x0＋ tcos α(t 为参数 )y＝y0＋ tsin αx＝ rcos θ( θ为参数 )y＝ rsin θx＝ acos φ(φ为参数 )y＝ bsin φ题型一参数方程与一般方程的互化【例 1】把以下参数方程化为一般方程：1 x＝3＋cos θ，x＝1＋2t ，(1)(2)3 y＝2－sin θ；y＝5＋t.2题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线 l 的参数方程为x＝ 1＋ t，x＝ 2cos θ＋ 2，(参数 t∈R)，圆 C 的参数方程为(参y＝ 4－ 2t y＝ 2sin θ数θ∈ [0,2π，])求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．2、曲线 C的极坐标方程为：ρ =acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线 C与直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C相切，求 a 值．3、在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为，（α 为参数），以原点O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设 P 为曲线 C1上的动点，求点P 到 C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线x25t(t为参数 ) 与坐标轴的交点是（）y12tA(0,2、1B1、1,0)C(0,4)、(8,0)D(0,5 、) (,0)(0,) () (8,0) 52529x2sin2（为参数）化为一般方程为（）3、参数方程sin2yA．y x2B． y x2C．y x2(2x3)D． y x2(0y 1)3．判断以下结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能成立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ()π(2)若点 P 的直角坐标为 (1 ，－ 3) ，则点 P的一个极坐标是（2，－3）()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是独一的()(4)极坐标方程θ＝π ( ρ≥0) 表示的曲线是一条直线 ()x t1）4.参数方程为t (t为参数 ) 表示的曲线是（y2A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线5．与参数方程为A ．x2y24C．x2y24x t(t为参数 ) 等价的一般方程为（）y 2 1 t1 B ．x2y21(0x1)41(0 y 2) D ．x2y21(0x1,0 y 2)415.参数方程x2为参数所表示的曲线是（）y tan cotA．直线B．两条射线 C ．线段D．圆16.以下参数方程（t 是参数）与一般方程y2x 表示同一曲线的方程是：()x tB．x2x tD ．x1cos2tA．t 2sin t C．y t1cos2ty y sin ty tant3. 由参数方程x 2 sec 21 为参数，给出曲线在直角坐标系下的方程y 2tan22是。

选修4—4 坐标系与参数方程考纲要求1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．1．设点P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ>0，y ′＝μy μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做____；自极点O 引一条射线Ox ，叫做____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的____，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作________．极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立________关系，约定极点的极坐标是极径______，极角可取任意角．3．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；也可化为关系式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．4．直线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，通常称该方程为直线l 的参数方程的标准形式，其中t 表示P 0(x 0，y 0)到l 上一点P (x ，y )的有向线段P 0P →的数量．t ＞0时，P 0P →的方向向上；t ＜0时，P 0P →的方向向下；t ＝0时，P 与P 0重合．(2)直线l 的参数方程的一般形式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，该直线倾斜角α的正切为tan α＝ba(α＝0°或α＝90°时例外)．当且仅当a 2＋b 2＝1且b ＞0时，上式中的t才具有(1)中的t 所具有的几何意义．5．圆的参数方程圆心在M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为______________________． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为______________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝__________.2．已知直线l ：x ＋y －2＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)，它们的公共点个数为__________．3．(2012陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______．4．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)则圆心C 到直线l 的距离为__________；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为655，则a ＝__________.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程分别为__________； (2)经过两圆交点的直线的极坐标方程为__________．一、平面直角坐标系下的伸缩变换【例1】在同一直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，所满足图象变换的伸缩变换为__________．方法提炼求满足图象变换的伸缩变换，可先求出变换公式，分清新旧坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得变换规则．请做演练巩固提升1二、如何求曲线的极坐标方程【例2】过原点的一动直线交圆x 2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ |.用极坐标法求动直线绕原点一周时P 点的轨迹方程为__________．方法提炼求曲线极坐标方程的基本步骤是：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．请做演练巩固提升2 三、极坐标方程的应用【例3】已知极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，曲线l 的极坐标方程是ρ(cos θ－2sin θ)＝2，则(1)曲线C 和l 的直角坐标方程分别为__________；(2)设曲线C 和l 相交于A ，B 两点，则|AB |＝__________. 方法提炼1．极坐标与直角坐标互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ成立的条件是直角坐标的原点为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．2．用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直接、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．特别提醒：极坐标与直角坐标的区别有：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系．在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以作为点M 的极坐标．请做演练巩固提升3 四、参数方程及其应用【例4－1】(2012广东九校联考)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且曲线C 与直线x －3y ＝0相交于两点A ，B ，则线段AB 的长是__________．【例4－2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为__________． 方法提炼 1．直线的参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义．2．把参数方程化为普通方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等．普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数．若动点坐标x ，y 与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．提醒：将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数，简称为“消参”．把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．请做演练巩固提升4极坐标与参数方程的综合应用【典例】 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)直线l 与曲线C 的直角坐标方程分别为__________，__________；(2)若将曲线C 上任意一点保持纵坐标不变，横坐标缩为原来的12后，得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，则x ＋2y 的最小值为__________．解析：(1)直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＋2＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)曲线C ′的普通方程为4x 2＋y 2＝1.令x ＝12cos θ，y ＝sin θ，∴x ＋2y ＝12cos θ＋2sin θ＝172sin(θ＋φ)．∴x ＋2y 的最小值为－172. 答案：(1)3x －y －3＋2＝0 x 2＋y 2＝1(2)－172答题指导：1.研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质．2．本题第(2)问还可利用线性规划及直线与椭圆相切等知识来解决．1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为__________．2．将极坐标系的极轴与直角坐标系的x 轴的非负半轴重合，并取相同的单位长度和角度，则过曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1和曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t (t 为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程为__________．3．(2012湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，则直线l 与曲线C 交点的极坐标为__________； (2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，则直线l 的参数方程为__________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，M 点坐标为(0,2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)直线l 的普通方程为__________，曲线C 的直角坐标方程为__________； (2)线段MA ，MB 长度分别记|MA |，|MB |，则|MA |·|MB |＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理2．极点 极轴 极径 M (ρ，θ) 一一对应 ρ＝0 5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数) 6．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)基础自测1．－6 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程y ＝－32x ＋72，该直线的斜率为k 1＝－32；当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率为k 2＝－4k，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－6.当k ＝0时，显然不成立．2．2 解析：将圆的参数方程化为普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，易知直线经过圆心，故直线与圆相交，即公共点个数为2.3. 3 解析：直线2ρcos θ＝1即为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ，即为(x －1)2＋y 2＝1，由此可求得弦长为 3.4．(1)5|1－a |5 (2)0或2 解析：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t 化为普通方程为x ＋2y ＋2－a ＝0，把ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，∴圆心到直线的距离为5|1－a |5. (2)由已知，⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|52＝(2)2，∴a 2－2a ＝0，a ＝0或a ＝2.5．(1)x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0(2)ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22 解析：(1)∵ρ＝2， ∴ρ2＝4，即x 2＋y 2＝4.∵ρ2－2 2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴ρ2－2 2ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.∴x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 22. 考点探究突破【例1】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y 解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0，可将其代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，把x －2y ＝2化为2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.此时，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，即把直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【例2】 x 2＋y 2＝4或x ＝0 解析：以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P 作PR 垂直直线y ＝2，则|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ. ∵|PR |＝|PQ |，∴|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|. ∴ρ＝±2或sin θ＝±1.即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【例3】 (1)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 x －2y －2＝0 (2)655解析：(1)由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得曲线C 直角坐标方程(x －1)2＋(y ＋1)2＝2， l 的直角坐标方程x －2y －2＝0.(2)设圆C 的圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ，则d ＝|1－2×(－1)－2|5＝55，所以|AB |＝2(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫552＝655. 【例4－1】 2 解析：曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．则圆心到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(3)2＝1， ∴直线被C 截得的弦长|AB |＝2r 2－d 2＝2(2)2－12＝2. 【例4－2】 75 解析：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，此圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 演练巩固提升 1．y ′＝3sin 2x ′ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.将其代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin 2x ′，即y ′＝3sin 2x ′.2．ρsin θ＝1 解析：曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下的方程为x ＋y＝1，曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t 的普通方程为y ＝x ＋1，两直线的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x ＋1，即得(0,1)，与极轴平行的方程为y ＝1，则该直线的极坐标方程为ρsin θ＝1.3.22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1；把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上，∴2x ＋y ＝1与x 轴交点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0在C 2上，即⎝⎛⎭⎪⎫222＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴a ＝22. 4．(1)(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数) 解析：(1)直线l的方程：y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ，C ：ρ＝4cos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，联立方程得2x 2－4x ＝0，∴A (0,0)，B (2，－2)；极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， C ：(x －2)2＋y 2＝4，设直线l 的方程为kx －y ＋k ＋1＝0， ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1.∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．5．(1)3x －y ＋2＝0 y ＝x 2(2)8 解析：(1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2＝0.∵ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t 代入y ＝x 2得t 2－23t －8＝0，由参数t 的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝8.。

为参数，精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

第2讲 参数方程【20XX 年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝f (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． (2)圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)． 双基自测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交．答案 相交5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x ＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中，得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】(2010·陕西)参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值； (2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(2011·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】►(本题满分10分)(2011·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0..精品资料。

第2讲 参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．诊 断 自 测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．(2012·北京卷)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点． 答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t (t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析 设点Q (x ，y )为直线上的点， 则|QA |＝(1－1＋2t )2＋(2－2－2t )2＝(2t )2＋(－2t )2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)． 答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t(t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例3】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin (120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．【自主体验】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k 2＝1⇒k ＝±33.答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析 当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 34．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 答案 4 －17．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析 曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)， 曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (y ≥0)，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)． 答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.答案 19．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案 22二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

二、极坐标系【基础知识导学】1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2． 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5． 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ。

【知识迷航指南】 【例1】在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。

【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示为)3)12(,2(ππ++-k 。

OMX【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy-==即,43tanπ,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[基础梳理] 1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下,点P (x ,y )对应到点(λx ,μy ),称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ,叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫作极轴；再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记为M (ρ,θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆ρ＝r圆心为(r ,0),半径为r 的圆ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2,半径为r 的圆ρ＝2r sin θ (0≤θ<π)1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），点(x ,y )在原曲线上,点(x ′,y ′)在变换后的曲线上,因此点(x ,y )的坐标满足原来的曲线方程,点(x ′,y ′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换． [四基自测]1．点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的极坐标为______． 答案:(2,－π3)2．在极坐标系中,圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案:ρ＝－2 2 cos θ3．在极坐标系中,直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |＝________． 答案:24．在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案:65．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0,则圆C 的半径为________．答案: 6考点一 伸缩变换◄考基础——练透[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1,求曲线C 的方程．解析:把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1,可得2(5x )2＋8(3y )2＝1,化为50x 2＋72y 2＝1,即为曲线C 的方程．(2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解析:法一:设变换为φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1,得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1,比较系数得λ＝13,μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.法二:利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1,与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2.故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．2．应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．1．(2019·池州模拟)求曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝4y变换后得到的新曲线的方程．解析:曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后,即将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′4代入圆的方程,可得x ′29＋y ′216＝1,即所求新曲线方程为:x 29＋y 216＝1.2．求正弦曲线y ＝sin x 按:φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的函数解析式．解析:设点P (x ,y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点, 在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′)．即φ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′,所以y ′＝12sin3x ′,即y ＝12sin 3x 为所求．考点二 极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.①M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；②设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值．解析:①设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． ②设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32|≤2＋ 3.当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解析:①消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2 θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2 θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上． 所以a ＝1.将本例(2)曲线C 1变为ρ＝cos θ＋sin θ,曲线C 2变为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求C 1与C 2公共点的一个极坐标． 解析:(1)曲线C 1:ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,曲线C 1的直角坐标方程为:x 2＋y 2＝x ＋y ,即x 2＋y 2－x －y ＝0,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1,则曲线C 2的直角坐标方程为:y －x ＝1,即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，C 1与C 2公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ,将y 换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程． 2．涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一:先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二:直接利用极坐标的相关知识进行求解,其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识,并需要掌握直线和圆的极坐标方程．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程．解析:(1)由x＝ρcos θ,y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0),半径为2的圆．由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为l2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点． 当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点． 综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考点三 极坐标方程的应用◄考基础——练透[例3] (2019·山西太原模拟)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ,设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ＞0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,定点M (2,0),求△MAB 的面积．解析:(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ,θ),则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2,则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)M到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d＝2sinπ3＝3,|AB|＝ρB－ρA＝4⎝⎛⎭⎪⎫sinπ3－cos π3＝2(3－1),则S△MAB＝12|AB|×d＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小．提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．在极坐标系中,判断直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数． 解析:直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0,即23x ＋2y ＋1＝0,圆为x 2＋(y －1)2＝1,因为圆心到直线的距离d ＝34＜1,所以有两个交点．课时规范练 A 组 基础对点练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析:(1)ρ＝2⇒ρ2＝4,所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2,所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程．(2)直线OP :θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长． 解析:(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得 ρ2－2ρ－5＝0,所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5, 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.3．在极坐标系中,已知圆C 经过点P (2,π4),圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解析:因为点P (2,π4),所以x ＝2cos π4＝1,y ＝2sin π4＝1,所以点P (1,1)．因为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32,展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32,所以y －3x ＝－3,令y ＝0,则x ＝1,所以直线与x 轴的交点为C (1,0)．所以圆C 的半径r ＝|PC |＝（1－1）2＋（1－0）2＝1,所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1,展开为x 2－2x ＋1＋y 2＝1,化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0,即ρ＝2 cos θ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率．解析:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38,tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.B 组 能力提升练5．已知在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数),曲线C 1上点P 的极角为π4,Q为曲线C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值． 解析:(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ, 即ρ2＝4ρcos θ,可得直角坐标方程:C 1:x 2＋y 2－4x ＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数),消去参数t 可得普通方程:x ＋2y －3＝0.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4,直角坐标为(2,2),Q (2cos α,sin α),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α,∴M 到l 的距离为d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤105, 从而最大值为105. 6．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0), 其中0≤α≤π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝2sin θ,C 3:ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值．解析:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.第二节 参数方程[基础梳理] 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程:如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程1．参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式:cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点, 则t 1＋t 2＝0. [四基自测]1．直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案:C2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数),则直线的斜率为________．答案:－33．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为________．答案:y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)4．椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数),过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |min ＝________． 答案:1855．椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案:215考点一 直线的参数方程◄考基础——练透[例1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径．解析:(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y ＝1k (x ＋2)．设P (x ,y ),由题设得⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2），消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π,θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13,从而cos 2θ＝910,sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5,所以交点M 的极径为 5.1．直线的参数方程有两种常见形式: (1)点角式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角)．(2)点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(参数都是t )2．使用方法:消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法 (1)若M 1,M 2是直线l 上的两个点,对应的参数分别为t 1,t 2,则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|,|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3,点M 1,M 2,M 3对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,则t 3＝t 1＋t 22. (3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0,y 0),则t 1＋t 2＝0,t 1t 2<0.(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|P A |＋|PB |. 解析:(1)由ρ＝25sin θ,得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ,即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5,即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3,5),故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 考点二 圆的参数方程◄考能力——知法[例2] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标．解析:(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数,0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t ＝3,t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3,sin π3),即(32,32)．1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．3．求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题．(2019·河北保定一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以 原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos(θ＋π4)＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋ 2 sin t 消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos(θ＋π4)＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z ),(2,π2＋2k π)(k ∈Z )．设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋ 2 sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝|－6＋2cos （α＋π4）|2,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22,所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4. 考点三 椭圆的参数方程◄考基础——练透[例3] (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1,求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 解析:(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时,直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0,由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时,d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17,所以a ＝8；当a <－4时,d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17,所以a ＝－16.综上,a ＝8或a ＝－16.1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角,与圆的参数方程的参数不同．2．椭圆的参数方程消参数时,先变为xa＝cos θ,yb＝sin θ,再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．已知曲线C :x 24＋y 29＝1,直线l :⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值．解析:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时,|P A |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时,|P A |取得最小值,最小值为255.课时规范练 A 组 基础对点练1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2,求实数m 的取值范围．(2)若点A 的坐标为(2,0),动点P 在圆C 上,试求线段P A 的中点Q 的轨迹方程． 解析:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt(t 为参数),普通方程为y ＝mx ,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数),普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1,相交弦长＝21－1m 2＋1, 所以21－1m 2＋1≥2,所以m ≤－1或m ≥1. (2)设P (cos α,1＋sin α),Q (x ,y ),则 x ＝12(cos α＋2),y ＝12(1＋sin α),消去α,整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |＝14,求直线l 的倾斜角α的值． 解析:(1)因为ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2,所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ,所以x 2＋y 2＝4x , 所以(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得:(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4,化简得t 2－2t cos α－3＝0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12,因为|AB |＝14, 所以4cos 2α＋12＝14.所以cos α＝±22. 因为α∈[0,π), 所以α＝π4或α＝34π.所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.3．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数,α∈R ),在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α⇒x 2＋(y －1)2＝1,由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2⇒22ρsin θ－22ρcos θ＝2⇒y －x ＝2,即C 2:x －y ＋2＝0.(2)∵直线x －y ＋2＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于A ,B 两点, 又x 2＋(y －1)2＝1的圆心(0,1),半径为1, 故圆心到直线的距离d ＝|0－1＋2|12＋（－1）2＝22,∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2.B 组 能力提升练4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ,曲线C 2上有一动点N ,求|MN |的最小值． 解析:(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0, 由ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,得x 2＋y 2－2x ＝0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos α,2sin α),易知点M 在圆C 2外, 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. 因为|MC 2|＝（3cos α－1）2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝5（cos α－35）2＋165,所以当cos α＝35时,|MC 2|min ＝455,所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1,即|MN |的最小值为455－1.5．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点,求实数m 的取值范围． 解析:(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α，消去参数,可得y ＝x 2(－2≤x ≤2),由ρsin(θ－π4)＝22m ,得22ρsin θ－22ρcos θ＝22m ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x －y ＋m ＝0，可得x 2－x －m ＝0,∵曲线C 1与曲线C 2有公共点, ∴m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－2≤x ≤2,∴－14≤m ≤6.。

4．1 坐标系基础知识1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为极点，射线OX称为极轴。

）设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以ρθ射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。

那么有序数对(,)称为点M的极坐标。

其中ρ称为极径，θ称为极角。

说出下图中各点的极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③不同的极坐标是否可以写出统一表达式P7约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为ρθ，则（x，y）和(,)x=2ρ=y=tanθ=题型练习1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 3．已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形4.已知△ABC 的三边a,b,c 满足2225b c a +=,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，探究BE 与CF 的位置关系。

选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ）A ．3)4πB ．5()4π-C ．5(3,)4πD ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是（ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是 。

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用-------- 教学过程----------------复习回顾和预习检查情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1:如何刻画一个几何图形的位置？刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。