2014-2015学年重庆市杨家坪中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

重庆杨家坪中学高2014级高二上期第一次月考数学文科试题1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ D ）A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2.直线a '⊂平面α，直线b '⊂平面α，且a '∥b '，其中a '，b '分别是直线a 和直线b 在平面α上的正投影，则直线a 与直线b 的位置关系是( A )A ．平行或异面B ．相交或异面C ．相交、平行或异面D ．以上答案都不正确 3．能得出平面α∥β时的条件是（ D ）A ．平面α内有无数条直线平行于平面β；B ．平面α与平面β同平行于一条直线；C ．平面α内有两条直线平行于平面β；D ．平面α内有两条相交直线与β平面平行. 4．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( A ) A ．8 cm B ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 5. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ B ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( D ) (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π7．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( A ) A. 一个圆柱、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆台 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆台、两个圆锥 8．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点F E ,，且22=EF ,则下列结论中错误．．的是（ D ） A ．BE AC ⊥ B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥BEF A -的体积为定值D ．△AEF 与△BEF 的面积相等 9.正四面体相邻两个面所成的二面角的余弦值为（ B ）A ．25B ．13C ．12D ．310.如图，动点P 在正方体1111A B C D A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面111BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）11．设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和平面内过斜足的所有直线的夹角中，最大的角为 π ；最小的角为 θ 。

2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）如图三视图所表示的几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．0＜r＜C．0＜r＜2D．0＜r＜104．（5分）长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A．12πB．18πC．36πD．6π5．（5分）经过直线l1：2x﹣y﹣3=0，l2：x+y=0的交点且平行于直线3x+y﹣1=0的直线方程为（）A．3x+y﹣2=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x+y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=06．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ7．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切8．（5分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．12．（5分）一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为．13．（5分）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为．14．（5分）已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），且经过点M（1，4），则a+b的最小值为．15．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（本题共6小题，其中16-19每题12分，20题13分，21题14分，共75分．）16．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．17．（12分）如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．19．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长30km的圆形区域．已知港口位于台风正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？20．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．21．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）如图三视图所表示的几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解答】解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥，故选：D．2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选：A．3．（5分）以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．0＜r＜C．0＜r＜2D．0＜r＜10【解答】解：∵以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，M（﹣4，3）到直线2x+y﹣5=0的距离d==2，∴0＜r＜2．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A．12πB．18πC．36πD．6π【解答】解：长方体的体对角线的长是：=球的半径是：这个球的表面积：4=12π故选：A．5．（5分）经过直线l1：2x﹣y﹣3=0，l2：x+y=0的交点且平行于直线3x+y﹣1=0的直线方程为（）A．3x+y﹣2=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x+y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=0【解答】解：联立，解得，即两直线交点为（1，﹣1），由题意可设所求直线为：3x+y+c=0，代入点（1，﹣1），可解得c=﹣2故所求直线为：3x+y﹣2=0，故选：A．6．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；故选：B．7．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．8．（5分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三棱锥的后侧面垂直于底面，后侧面是正三角形，边长为2，底面是正三角形，边长为2，所以三棱锥的高为：，侧视图是直角三角形，直角边长为：，，所以侧视图的面积为：．故选：C．9．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为．所以圆锥的体积为：=故选：D．10．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．二、填空题题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．故答案为：12．（5分）一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为5．【解答】解：圆台的两底面的面积分别为π，16π，所以S1=π，S2=16π，∴r=1，R=4，S=25π=π（r+R）L，∴L=5，∴h=．故答案为：4．13．（5分）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为1．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：114．（5分）已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），且经过点M（1，4），则a+b的最小值为9．【解答】解：∵直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），∴可设直线l的方程为，∵直线l经过点M（1，4），∴．∴a+b=（a+b）•=．又a＞0，b＞0，∴a+b=（当且仅当2a=b时取“=”）．∴a+b的最小值为9．故答案为：9．15．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤三、解答题（本题共6小题，其中16-19每题12分，20题13分，21题14分，共75分．）16．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．17．（12分）如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．【解答】解：该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为cm．则底面边长为2，故S底面面积=•22= S侧面面积=（2+2+2）•3=18故这个几何体的表面积S=2•S底面面积+S侧面面积=2+18（cm2）三棱柱的体积是V=2×=3（cm3）18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．【解答】解：（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，（1分）∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，（3分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，（5分）∴AC1∥平面CDB1（6分）（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC，①（7分）又侧棱垂直于底面ABC，∴CC1⊥AC②（8分）又BC∩CC1=C③由①②③得∴AC⊥面BCC1（10分）又BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1；（12分）19．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长30km的圆形区域．已知港口位于台风正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【解答】解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302①轮船航线所在直线l的方程为，即4x+7y﹣280=0②如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O（0，0）到直线l的距离，所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．20．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．21．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

重庆市杨家坪中学高2016级2013-2014学年上期半期考（化学试卷）时间：90分钟分值：100分可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Na-23一、选择题（共16个小题，只有一个答案，每小题3分）1、某学生的实验报告所列出的下列数据中合理的是（）A．用10mL量筒量取7.13mL稀盐酸 B．用pH计测得某稀盐酸的pH为1.54C．用碱式滴定管量取20.3 mL烧碱溶液 D．用托盘天平称得某物质的质量为13.15g 2、在四个相同的容器中，在不同的温度下(其它条件相同)进行合成氨的反应，根据下列在相同时间内测得的结果判断，该反应所处的温度最高的是：A、v(NH3)=0.1 mol /(L•min)B、v (H2)=0.6 mol /(L•min)C、v (N2)=0.3 mol /(L•min)D、v (H2)=0.3 mol /(L•min)3、在一定温度下，可逆反应2A (g)+B (g) C (g)+D (g)达到平衡的标志是（）A．C的生成速率和B的消耗速率相等 B．v正(A)=2v正(B)C．2v正(A)=v逆(B) D．反应混合物中A、B、C、D的质量分数不再发生变化4、下列溶液一定呈中性的是（）A．pH=7的溶液 B．c(H+)=c(OH-)=10-6mol/L溶液C．使石蕊试液呈紫色的溶液 D．酸与碱恰好完全反应生成正盐的溶液5、下列离子方程式中，属于水解反应的是（）A．HCOOH+H2O HCOO－ + H3O+ B．CO2+H2O HCO3－ + H+C．CO32－ + H2O HCO3－ + OH－ D．HS－ + H2O S2－ + H3O+6、在配置Fe2（SO4）3溶液时，为了防止水解，常常往溶液中加入少量的：A．NaOH B．H2SO4 C．HCl D．CH3COOH7. 下列不属于自发进行的变化是A．红墨水加到清水使整杯水变红 B．冰在室温下融化成水C．电解饱和食盐水 D．铁器在潮湿的空气中生锈8、下列说法正确的是（）A. KClO3和SO3溶于水后能导电，故KClO3和SO3为电解质B.25℃时，用醋酸溶液滴定等浓度NaOH溶液至pH=7，V醋酸＜V NaOHC.向NaAlO2溶液中滴加NaHCO3溶液，有沉淀和气体生成D. AgCl沉淀易转化为AgI沉淀且K(AgX)=c(Ag+)·c(X-)，故K (AgI) ＜K (AgCl)9. 若溶液中由水电离产生的C(OH－)＝1×10－14 mol·L－1，满足此条件的溶液中一定可以大量共存的离子组是( )A．Al3＋ Na＋ NO3－ Cl－B． K＋ NH4＋ SO42－ NO3C．K＋ Na＋ Cl－ AlO2－D．K＋ Na＋ Cl－ NO3－10．在0.1mol/L的CH3COOH溶液中，要促进醋酸电离，且氢离子浓度增大，应采取的措施是（）A. 升温B. 降温C. 加入NaOH溶液D. 加入稀HCl11、在一密闭容器中，用等物质的量的A和B发生如下反应：2C(g)，反应达到平衡时，若混合气体A和B的物质的量之和与C的A(g)+2B(g)物质的量相等，则这时A的转化率为：( )A．40% B．50% C．60% D．70%12、．强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的热效应为：H+(aq)+OH－(aq)==H2O ( l ) ΔH=－57.3 kJ / mol，分别向1 L 0.5 mol / L的NaOH溶液中加入：①稀醋酸；②浓硫酸；③稀硝酸，恰好完全反应时热效应分别为ΔH1、ΔH2、ΔH3，它们的关系正确的是（）A．ΔH1＞ΔH2＞ΔH3 B．ΔH2＜ΔH3＜ΔH1C．ΔH1＝ΔH2＝ΔH2 D．ΔH1＜ΔH3＜ΔH213、下列事实中，不能用勒夏特列原理解释的是（）A．对熟石灰的悬浊液加热，悬浊液中固体质量增加B．实验室中常用排饱和食盐水的方式收集氯气C．打开汽水瓶，有气泡从溶液中冒出D．向稀盐酸中加入少量蒸馏水，盐酸中氢离子浓度降低14、25℃在等体积的①PH=0的H2SO4溶液，②0.05mol的Ba（OH）2溶液，③PH=10的Na2S溶液，④PH=5的NH4NO3溶液中，发生电离的水的物质的量之比是A 1：10:1010:109B 1:5:5×109:5×108C 1：20:1010:109 C1:10:104:10915、下面是关于中和滴定的实验操作叙述：在横线标明的操作中，有错误的是（）a．取25 mL未知浓度的HCl溶液放入锥形瓶中，此瓶需事先用蒸馏水洗净。

2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤29．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：因为直线x﹣2y+7=0的截距式方程为：y=x+，所以直线的斜率为：．故选：C．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选：A．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，又∵d∥a，∴d⊥c这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的∴假设不成立，故原命题是真命题故选：A．4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选：B．7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．9．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP ∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选：B．10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S×DQ=，△ABC即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为6a2π．【解答】解：长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为：，所以球的半径为：，所以球的表面积是：=6a2π故答案为：6a2π13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为2x+3y+1=0．【解答】解：∵直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴A（a1，b1），B（a2，b2）两点都在直线2x+3y+1=0上，由于两点确定一条直线，因此经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程即为2x+3y+1=0．故答案为：2x+3y+1=0．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P（2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，故答案为4．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【解答】解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12∴直线的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．【解答】解：设直线方程为，则，解得或．∴直线方程为2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x因此，内接圆柱的高h=6﹣3x；∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x）（0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）得，圆柱的侧面积为S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2）（0＜x＜2）令t=2x﹣x2，当x=1时t max=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．【解答】解：（1）由C（4，0），D（，），得线段CD的中点M，，∴线段CD的垂直平分线的斜率为，∴线段CD垂直平分线方程为：，即x﹣2y=0；（2）设P（2t，t），则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）。

2015-2016学年度杨家坪中学高二年级期中考试数 学 试 题一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线10x y --=不经过的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定3．直线被圆所截得的弦长为( ) A. B.1 C. D.4．已知底面边长为1，积为（ ） A.323π B 43π C.2π D. .4π 5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A. B.4 C.D.2 6.在正三棱柱中，若，则点A 到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．已知四棱锥S －ABCD 的所有棱长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的正弦值为( )A ．B ．C ．D ． 8．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sinA+ay +c =0与直线bx ﹣y sinB+sinC=0的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直9．．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．1410．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k的取值范围是 （ ）（A ）53(,]124 (B) 5(,)12+∞ (C) 13(,)34 (D) 53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD 上一动点，点Q 为底面ABCD 内（含边界）一动点，M 为PQ 的中点，点M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（ ） A 棱柱 B 棱锥 C 棱台 D 球12．(文科做)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．412.（理科做）如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b a的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3443， 第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线10x y -+=的倾斜角为 ．14．已知正ABC ∆的边长为１，那么在斜二侧画法中它的直观图A B C '''∆的面积为15.（文科做）已知三条直线280,4310ax y x y ++=+=和210x y -=中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．15（理科做）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则ABC△面积的最小值为 ．16．在三棱锥P-ABC 中侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P 和Q 的所有球中，表面积最小的球的表面积为 .三、解答题（70分）17．（10分）已知直线02431=-+y x l ：和014522=+-y x l ：的相交于点P 。

一、单选题1．是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）,a bA ．B ．C ．D ．a b = 1a b ⋅= //a b 22a b = 【答案】D【分析】由单位向量、共线向量、相等向量、向量数量积和模长定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，模长相等，但方向未必相同，A 错误；,a b对于B ，，B 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>∈- 对于C ，模长相等，但未必同向或反向，C 错误；,a b对于D ，，，D 正确.1a b == 221a b ∴== 故选：D.2．将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ） l A ．B ．4C ．1D ．32-12【答案】A【分析】设直线l 上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据()00,P x y ()2002,3P x y +-两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()00,P x y ，再沿y 轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ()1002,P x y +1P()2002,3P x y +-∵都在直线l 上，∴直线l 的斜率．2,P P 00003322k y y x x --=-+-=故选：A ．3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ） ()2,3A π4A ．B ．C ．D ．1y x =+1y x =-=1y x --1y x =-+【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， πtan14k ==点斜式方程为， 32y x -=-斜截式方程为.1y x =+故选：A4．已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则1C 2C ()2,3A (),1B m 12C C 0x y n +-=m n +=（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出. 12C C AB ,m n 【详解】因为，， 11||||C A C B =22||||C A C B =所以直线是线段的垂直平分线，12C C AB 所以，解得，3112231022mm n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩03m n =⎧⎨=⎩所以. 3m n +=故选：A5．若函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，则实数m 的范围是()223x x x f =-+[]0,m （ ） A ． B ．C ．D ．(],2-∞[]0,2[]1,2[)1,+∞【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合函数的最值进行求解即可. 【详解】，()()222312f x x x x =-+=-+当时，当时，函数单调递减，所以有 01m <≤[]0,x m ∈；()()()()2max min 03,2321f x f f x f m m m m ====-+=⇒=当时，，对称轴为，1m >()()()023,12f f f ===1x =因为函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，()223x x x f =-+[]0,m 所以有，12m <≤综上所述：实数m 的范围是， []1,2故选：C6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（ ）22:22C x y x y +=+A ． B ． C ． D ．88π+84π+168π+816π+【答案】B【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可C 计算出其面积.【详解】由可得，22:22C x y x y +=+当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=(1,1)r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2x y +++=(1,1)--r =圆；所以曲线的图象如下图所示：22:22C x y x y +=+因此曲线围成的图形的面积为；(222π84πS =+⨯=+故选：B7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，()2223x y ++≤若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区()4,0A -10x y +-=域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】计算出点在直线的对称点的坐标，计算出点到圆的圆心A 10x y +-=B B ()2223x y ++=的距离，利用圆的几何性质可求得“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，A 10x y +-=(),B m n线段的中点在直线，即，即，① AB 4,22m n -⎛⎫⎪⎝⎭10x y +-=41022m n -+-=60m n +-=直线的斜率为，则，② 10x y +-=1-14AB nk m ==+联立①②可得，，即点，1m =5n =()1,5B圆的圆心为，半径为，()2223x y ++=()0,2C -r =设将军在河边的饮水处为点，则，设线段交圆于点， M AM BM =BC C P则AM MP BM MP BC r +=+≥-==因此，“将军饮马”的最短总路程为. BC r -=故选：A.8．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）2AC CB =A ．B ．C ．D ．108120814989【答案】B【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆2BC r =4AC r =6AB r =O 与圆内切，解得，由圆O 与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的3O 23a r =4O 23b r =面积，即可求出答案.【详解】设，则，，以C 为坐标原点，2BC r =4AC r =6AB r =建立如图所示的坐标系，则C （0，0），，，． ()12,0O r -(),0O r -()2,0O r 设，，则()3,O a t -()4,O b v ()()22222r a r a t +--=（圆，外切与勾股定理结合），得． 1O 3O t =(3,O a -由圆O 与圆，解得． 3O 3r a =-23a r =同理（圆，外切与勾股定理结合）， ()()222r b r bv +--=2O 4O 得O 与圆，v =4O 3r b =-解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为， 23b r =1S 2S ， ()()222221111210ππ3π2π2π22239r rS r r r ⎛⎫=⋅-⋅--⋅=⎪⎝⎭所以．2210π209981π2r S S r ==12故选：B.二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．直线倾斜角的范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 αθαθ=παθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1-D ．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A 选项错误.[)0,πB 选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B 选项正确. αθ=παθ=-C 选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C 选项错误. 0D 选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D 选项正确. 故选：BD10．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的22260x y x y a +--+=3450x y ++=a 取值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．10【答案】BC【解析】确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆4d =上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径22260x y x y a +--+=3450x y ++=，由此求出的范围后可判断各选项． 2r ≤a 【详解】圆标准方程是， 22(1)(3)10x y a -+-=-圆心为，半径为）， (1,3)C r =10a <圆心到已知直线的距离为，4d 圆上至多有一点到直线的距离为2， 22260x y x y a +--+=3450x y ++=则有圆的半径 2r =≤解得．只有B 、C 满足． 610a ≤<故选：BC ．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下： （1）先求得圆心到直线的距离；（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围； （3）解不等式求得结果.11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于点对称，当时，()f x ()2,0[]0,2x ∈，若方程的所有根的和为6，则实数k 可能的取值是（ ）()f x =()()20f x k x --=A B ．C D ． 【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出周期，求出在一个的解析式，将方程()f x ()f x [2,0)-的所有根的和为6转化为函数的图象与直线有且仅有个交()()20f x k x --=()y f x =(2)y k x =-3点，作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系列式，求出的范围，从而可得答案. k 【详解】因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-因为的图象关于点对称，所以，即， ()f x (2,0)(4)()0f x f x -+=()(4)f x f x =--又，(4)[(4)]f x f x -=---(4)f x =--所以，所以的周期为，()[(4)](4)f x f x f x =---=-()f x 4当时，由，得，其图象是圆心为，半径[0,2]x ∈()y f x ==22(1)1x y -+=(0)y ≤(1,0)为的半圆，1当时， [2,0)x ∈-()()[y f x f x ==--=-=所以，其图象是圆心为，半径为的半圆， 22(1)1(0)x y y ++=≥(1,0)-1因为方程的所有根的和为6，()()20f x k x --=所以函数与直线的交点的横坐标之和为， ()y f x =(2)y k x =-6因为点是它们的一个交点，所以其它交点的横坐标之和为，(2,0)4而函数的图象与直线都关于点对称，它们的关于点对称的两个交点的()y f x =(2)y k x =-(2,0)(2,0)横坐标之和为，所以函数的图象与直线有且仅有个交点， 4()y f x =(2)y k x =-3作出两个函数的图象，如图：当时，只需直线与圆，解得 0k >(2)y k x =-22(7)1x y -+=1>k >当时，只需直线与圆，解得 0k <(2)y k x =-22(5)1x y -+=1=k =所以的取值范围是. k ⎧⎪⎨⎪⎩⎫⋃+∞⎪⎪⎭故选：AB12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于O AC BD 2242200x y x y +-+-=四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）,,,A C B D M ABA ．线段长度的最大值为 BO 10B ．弦长度的最小值为 AC C ．点的轨迹是一个圆；MD ．四边形面积的取值范围为. ABCD 45⎡⎤⎣⎦【答案】BCD【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A ；由BO 圆的性质判断B ；若分别是的中点，圆心到直线和的距离,,,M H G F ,,,AB BC CD AD ()2,1-AC BD且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判12,d d ⎡∈⎣22125d d +=MHGF M 断C ；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范12ABCD S AC BD =ABCD 12,d d 围判断D.【详解】由题设圆的方程为， 22(2)(1)25x y -++=设圆心为，则，半径，E ()2,1E -=5r由三角形两边之和大于第三边可知，且 EB EO BO +≥5,EB EO ==所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；BO ,B O 5A BO r =+=由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， OE AC ⊥AC AC此时圆心与直线，故正确； AC 2B AC ==若分别是的中点，则且,,,M H G F ,,,AB BC CD AD MF HG BD ∥∥且，,2BD MF HG MH FG AC ==∥∥2AC MH FG ==又，易知：为矩形，而，AC BD ⊥MHGF 22222||||||4BD AC FH MF MH +=+=若圆心到直线的距离且， ()2,1-,AC BD 12,d d ⎡∈⎣22125d d +=所以，则，故222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=22||454BD AC +=FH =所以在以交点为圆心的圆上，C 正确；M FH =,HF MG由上分析：，而， AC =12ABCD S AC BD =所以，ABCD S ==令，则，[]222150,5t d d ==-∈ABCDS ==当，即； 52t =12d d ==()max 45ABCD S =当或5，即时，0=t 120,d d =120d d ==()min ABCD S =所以，D 正确； 45ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦故选：BCD【点睛】难点在于CD 选项，选项C ：证明分别是的中点所形成的四边,,,M H G F ,,,AB BC CD AD 形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D ：利用得到四边形面AC BD ⊥ABCD 积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.12,d d三、填空题13．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-=22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+=52a b ⋅=||a b +== ==14．已知函数，则________．2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩()2log 3f =【答案】34【解析】根据分段函数，和，利用 转化为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>()()2f x f x =-求解.()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】因为，，2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>所以，()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又，所以． 223log log 104<=()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：. 34【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 15．若是圆上任意一点，则的取值范围是______.(),P x y 22:1O x y +=3483412x y x y -++-+（用区间表示） 【答案】[]10,30【分析】将所给表达式化为，求出圆心到直线的距离，确12348341255()55x y x y d d ⎛-+-+⎫+=+⎪⎝⎭定圆上的点到两条直线距离的范围，进而求出.12105()30d d ≤+≤【详解】令3483412x y x y ω=-++-+， ()1234834125555x y x y d d ⎛⎫-+-+=+=+ ⎪⎝⎭其中、分别表示圆：上任意一点到1d 2d O 221x y +=(),P x y 直线：和：距离；1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=因为圆心到直线：和：距离O 1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=分别为、， 185h ==2125h ==所以且， 1881155d -≤≤+212121155d -≤≤+即且， 131355d ≤≤271755d ≤≤所以，12105()30d d ≤+≤即的取值范围是.3483412x y x y -++-+[]10,30故答案为：.[]10,3016．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若xOy T e，则称P 为的环绕点.若的半径为1，圆心为，以60180MPN ≤∠<T e T e ()0,t ()0m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭>⎝为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在的环绕点，则t 的取值范围为T e __________.【答案】24t -<≤【分析】根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，再求出图形H .按照、、分类讨0t >0=t 0t <论，结合图象，根据直线与圆的位置关系列式可求出结果.【详解】连，因为，所以， ,,TM TN TP 60180MPN ≤∠< 1ππ,262TPM TPN MPN ⎡⎫∠=∠=∠∈⎪⎢⎣⎭所以，又，所以， ||π1sin sin ||62TM TPM TP ∠=≥=||1TM =1||2TP <≤所以圆的环绕点构成的图形是圆心为，半径分别为和的圆所围成的扇环（包括大圆上的T T 12点，不包括小圆上的点.以为半径的圆与轴相切，设切点为， ()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭x A因为圆心在射线上，所以以()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭(0)y x =>()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭为半径的圆与直线相切，设切点为，y =B所以以为半径的所有圆构成图形为的内部（包括射线()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭AOB ∠，不包括原点），,OA OB O 如图：当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到直线的距离小于等0t >T e T y =于半径，解得； 22≤04t <≤当时，由图可知，在图形H 上恒存在的环绕点；0=t T e 当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到轴的距离小于半径，即0t <T e T x 2，则.2t -<2t >-综上所述：的取值范围为.t 24t -<≤故答案为：.24t -<≤【点睛】关键点点睛：根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，推出动圆形成的图形是本题解H题的关键.四、解答题17．已知两直线，.1:60l x my ++=()2:2320l m x y m -++=(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，求m 的值.1l 2l (2)从①直线l 过坐标原点，②直线l 在y 轴上的截距为2，③直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线l 与垂直，且1m =2l __________，求直线l 的方程.【答案】(1)1-(2)答案见解析【分析】（1）先推出，再根据两直线平行的条件列式可求出结果；12l l //（2）先根据两直线垂直求出直线的斜率，若选①，根据点斜式可得结果；若选②，根据斜截式l 可得结果；若选③，设直线的斜截式，得到直线在轴上的截距，然后根据面积列式可求出结l ,x y 果.【详解】（1）若，不重合，且垂直于同一条直线，则，1l 2l 12//l l 则由，得，得或m =-1，12210A B A B -=()320m m --=3m =当m =3时，两直线重合，不合题意，当m =-1时，符合题意，所以.1m =-（2）若，直线的斜率为， 1m =2l 13由直线l 与垂直，可得直线l 的斜率为.2l 3-若选①，直线l 过坐标原点，故直线l 方程为，即；3y x =-30x y +=若选②，直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为，即；32y x =-+320x y +-=若选③，设直线l 方程为，则直线l 在x ，y 轴上截距分别为，b ， 3y x b =-+13b 由直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1，可得，解得， 211123b ⨯=b =即直线l 方程为，即.3y x =-30x y +=18．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)试判断函数在区间上的单调性. ()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)在上递增，在上递减 ()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图形可直接得出A ，利用公式即可得出，再把代入2||T πω=ω(,2)3π即可求得；()()2sin 2f x x ϕ=+ϕ（2）令，结合，即可求解. πππ2π22π262k x k -+≤-≤+2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可知，，2A =，得，解得. 39π412T =πT =2ω=，即，，， π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z π2ϕ<所以，故. π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）令，解得，； πππ2π22π262k x k -+≤-≤+ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 结合，得出在上递增，在上递减. 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，一艘海警船在O 处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A 处有两艘走私船，60︒于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.(1)求走私船所有可能被截获的点P 在什么曲线上；(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M ，N ，30︒求M ，N 之间的距离.【答案】(1)点P 在圆心为，的圆上；()44r =(2)【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍， ∴，2OP AP =设，(),P x y ()A=化简得：，(()22416x y -+-=即点P 在圆心为，的圆上；()44r=（2）令直线的斜率为k ，，且直线过点， AM k =AM ()A 可求得直线的方程为，AM 3y x -=-，60y +-=P 在圆心，的圆上， ()44r =圆心到直线的距离为 AM d =∴，∴.MN ==MN =20．如图，已知长方形中，为的中点.将沿折ABCD AB =AD =M DC ADM △AM 起，使得平面平面.ADM ⊥ABCM （1）求证：；AD BM ⊥（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角E DB E E AM D --【答案】（1）（见解析2）见解析 【详解】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：长方形中，，为的中点， ABCD AB =AD =M DC ，.2AM BM ∴==BM AM ∴⊥平面平面，平面平面，平面 ADM ⊥ABCM ADM ⋂ABCM AM =BM ⊂ABCM 平面BM ∴⊥ADM 平面ADMAD ⊂ .AD BM ∴⊥（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量，DE DB λ= AMD ()0,1,0n = ,， ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--()2,0,0AM =-设平面的一个法向量,则AME (),,m x y z = ()20{210x y z λλ=+-=取，得，，所以， 1y =0x =1y =21z λλ=-20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭因为， ．得或 cos ,m n 〈〉= m n m n ⋅= 13λ=1λ=-经检验得满足题意，所以为的三等分点. 13λ=E BD 21．已知圆.22:68160C x y x y +--+=(1)直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切，求l 的方程；(2)已知圆心在原点的圆O 与圆C 外切，过点作直线，与圆O 交于异于点P 的点A ，()2,0P PA PB B ，若，则直线是否恒过定点？若过定点，则求出该定点，若不过，说明理由；2PA PB k k ⋅=-AB （其中，分别为直线，的斜率）.PA k PB k PA PB【答案】(1)或或7240x y -=70x y +--=70x y +-+=(2)过定点， 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）①若直线l 过原点，设直线l 的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列式y kx =求出；若直线l 不过原点，设出直线方程的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列式可求出k 直线方程；（2）根据两圆外切求出圆的方程，设直线，代入圆的方程，求出的坐标，将O ():2PA y k x =-A 的坐标中的换成得的坐标，求出直线的斜率，得直线的方程，根据方程可得直线A k 2k-B AB AB 所过定点.【详解】（1）圆化为标准形式为，22:68160C x y x y +--+=()()22349x y -+-=∴圆C 的圆心为，半径为3，()3,4因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则设直线l 的方程为，即，y kx =0kx y -=因为直线l 与圆C 相切，所以，即，解得， 3d r =247k =724k =故直线l 的方程为.7240x y -=②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为，即， 1x y a a+=0x y a +-=因为直线l 与圆C 相切，∴，3d r =∴7a -=7a =+7a =-∴直线l 的方程为或，70x y +--=70x y +-+=综上所述直线l 的方程为或或.7240x y -=70x y +--=70x y +-+=（2）∵圆心在原点的圆O 与圆C 外切，设圆的半径为，O r 则，故圆O 的半径，圆O 的方程为，53OC r ==+2r =224x y +=设点,，(,)A A A x y (,)B B B x y 设直线，():2PA y k x =-联立直线和圆方程得，消去得， 22(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩y ()222214440k x k x k +-+-=由韦达定理有，解得，则， 2241A P k x x k +=+22221A k x k -=+241A k y k -=+∵， ，∴， 2PA PB k k ⋅=-PA k k =2PB k k=-将中的k 换成化简可得， 22221A k x k -=+2k -22284B k x k -+=+将中的k 换成化简可得， 241A k y k -=+2k -284B k y k =+所以， 2222224814222814A B AB A B k k y y k k k k k x x k k ---++==--+--++232k k =-直线，化简得， 22224322:121k k k AB y x k k k ⎛⎫--⎛⎫-=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭23223k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以直线过定点. AB 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知，，为的三个顶点，圆Q 为的内切圆，点P 在圆()2,2A --()2,6B -()4,2C -ABC A ABC A Q 上运动.(1)求圆Q 的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；PA PB PC (3)若，，求的最大值. ()1,0M -3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin MPN ∠【答案】(1)224x y +=(2)最大值为，最小值为22π18π(3)1011【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心ABC A 坐标，然后可得圆Q 的标准方程；（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据(),P x y y 可求出结果； 22y -≤≤（3）根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然0y ≥tan MPN ∠后根据同角公式可出的最大值.sin MPN ∠【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 8AB =6AC =10BC =ABC A设的内切圆的半径为，ABC A r 由得， 1||||2ABC S AB AC =⋅!1(||||||)2r AB AC BC =++||||||||||AB AC r AB AC BC ⋅=++8628610⨯==++由图可知，圆心为，所以圆.()0,0Q 22:4Q x y +=（2）设，，(),P x y 224x y +=，()()2222222448PA x y x y x y =+++=++++4412x y =++，()()222222641240PB x y x y x y =++-=++-+41244x y =-+， ()()22222428420PC x y x y x y =-++=+-++8424x y =-++222||||||πππ222PA PB PC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222π4PA PB PC =++()π44124124484244x y x y x y =+++-+-++， ()π4804y =-+因为，所以，22y -≤≤18π22πS ≤≤所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. PA PB PC 22π18π（3）设，则，(),P x y 224x y +=根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，0y≥当垂直x 轴时，，PN (P-tanMPN ∠===当垂直x 轴时，，PM (P -tan MPN ∠==当和都不垂直轴时，，， PN PM x 32PN yk x =-1PM y k x =+()tan tan πMPN PNM PMN ∠=-∠-∠()tan PNM PMN =-∠+∠ tan tan 1tan tan PNM PMN PNM PMN∠+∠=--∠⋅∠ 1PN PM PN PMk k k k -+=-+⋅ 31211312PN PM PN PM y y x x k k y y k k x x -+--==++⨯+-22521322y x y x =+--5213422y x =--， ()5555y y x x ==---因为为点与的斜率， 5y x -(,)P x y ()5,0E 如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， PE Q 5y x -设直线：，即， PE (5)y k x =-(0)k <50kx y k --=(0)k <，结合，得2=0k<k ==所以， min 5y x⎛⎫= ⎪-⎝⎭()max tan MPN ∠，>>()max tan MPN∠=由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 090MPN ≤∠< tan MPN ∠MPN ∠sin MPN ∠所以. ()max 10sin 11MPN ∠====。

2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x﹣y﹣1=0不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值( ) A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定3．直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A．B．1 C．D．4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．2πD．4π5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．B．4 C．D．26．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ) A．B．C．D．7．已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( )A．B．C．D．8．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直9．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于( )A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．1410．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．球12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是( )A． C． D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线x﹣y+1=0的倾斜角是__________．14．已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为__________．15．已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是__________．16．在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为__________．三、解答题（70分）17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中点，F是AB 中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x﹣y﹣1=0不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即 y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选 B．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题．2．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值( ) A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【专题】计算题．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．【点评】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，故选 D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何；球．【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积即可．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面积S=4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．B．4 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．6．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( )A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】要求点A到平面A1BC的距离，可以求三棱锥底面A1BC上的高，由三棱锥的体积相等，容易求得高，即是点到平面的距离．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即∴∴．故选：B．【点评】本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法．7．已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．8．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选A．【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．9．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于( )A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．14【考点】直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】由题意，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9组成方程组，消去y，得到x的一元二次方程，求得x1x2；同理，可求得y1y2；从而求出•的值．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=；∴•=x1x2+y1y2====﹣7；故选A．【点评】本题通过平面向量数量积的坐标表示，考查了直线与圆组成方程组的问题，是常见的基础题．10．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．球【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先讨论P点与A点重合时，M点的轨迹，再分析把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹，最后结合棱柱的几何特征可得答案．【解答】解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，解答的关键是分析出P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹．12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是( )A． C． D．（，）【考点】点与圆的位置关系；指数函数的单调性与特殊点．【专题】直线与圆．【分析】由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出的取值范围．【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈；故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【考点】直线的倾斜角．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈（0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．14．已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．【考点】斜二测法画直观图．【专题】数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可．【解答】解：正三角形的高OA=，底BC=1，在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′==，则△A′B′C′的高A′D′=0′A′sin45°=×=，则△A′B′C′的面积为S=×1×=，故答案为：．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查15．已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】将圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，由A和B的坐标求出直线AB 的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，用d﹣r求出△ABC中AB 边上高的最小值，在等腰直角三角形AOB中，由OA=OB=2，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最小值．【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y=x+2，∵圆心到直线AB的距离d==，∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r=﹣1，又OA=OB=2，∴根据勾股定理得AB=2，则△ABC面积的最小值为×AB×（d﹣r）=3﹣．故答案为：3﹣【点评】此题考查了点到直线的距离公式，圆的标准方程，勾股定理，以及直线的两点式方程，其中求出△ABC中AB边上高的最小值是解本题的关键．16．在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P 和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．三、解答题（70分）17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程即可求出交点P的坐标，求出直线2x﹣y+7=0的斜率为2，所求直线与直线2x﹣y+7=0平行得到斜率相等都为2，根据P的坐标和斜率2写出直线方程即可；（Ⅱ）根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，根据P和斜率写出直线方程即可．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标，掌握两直线平行及垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中点，F是AB 中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取AB1的中点G，联结EG，FG，由已知条件推导出四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等积法能求出三棱锥C﹣AB1E的体积．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F，G分别是棱AB、AB1的中点，∴又∵∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴点B到平面AEB1的距离为BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，∴===．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】空间角．【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）连结B1M，…因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设圆心的坐标，利用对称的特征：①点与对称点连线的中点在对称轴上；②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于﹣1，求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，从而写出⊙C方程．（Ⅱ）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．（Ⅲ）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与⊙C的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣2，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，，所以=k OP ，所以，直线AB和OP一定平行【点评】本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用．。

2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜02．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．76．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜110．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=．13．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是：∃x∈R，cosx≤0．故选：A．2．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心【解答】解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=4，可得：圆心O（0，2），半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d==＞2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选：A．3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）【解答】解：因为双曲线方程为，所以a2=4，b2=3．且焦点在x轴上∴=．故双曲线的右焦点坐标为：（，0）．故选：D．4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程化为，∴a2=3，b2=2，∴c2=a2﹣b2=3﹣2=1，∴此椭圆的离心率为e===．故选：B．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．7【解答】解：由题意可得圆心C（﹣2，﹣2），圆的半径r=1，∴|PC|==5，∴切线长为=7故选：D．6．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线kx2﹣y2=1为，它的一条渐近线方程为直线2x+y+1=0的斜率为﹣2∵直线与直线2x+y+1=0垂直∴即a=2∴故选：A．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定【解答】解：∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵已知椭圆（0＜b＜2）∴a=2，c=则△ABF面积S=AB×OF=2b×c=b当且仅当b=取等号．则△ABF面积的最大值为2故选：B．9．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.【解答】解：Rt△OF1B中，|OF1|=c，|OB|=b∴|BF1|==a，得cos∠F1BO=∵∴2•（）2﹣1=，解之得=设D（m，n），得，∴k BD•k CD=∵D（m，n）在椭圆上，∴，得n2=b2（1﹣）由此可得k BD•k CD==﹣=﹣又∵=﹣=﹣=﹣=﹣∴k CD==，即直线CD的斜率等于故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，而焦点到准线的距离就是p．故答案为：4．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=﹣1．【解答】解：f（x）=，可得f′（x）=x2﹣2，当x=1时，f′（1）=1﹣2=﹣1，∵曲线在点P（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0互相垂直，∴﹣1•（﹣a）=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣113．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是4x﹣y﹣7=0．【解答】解：设y=kx﹣2k+1．代入x2﹣=1，消y并化简，得（2﹣k2）x2+2k （2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣3=0．设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．当2﹣k2≠0即k2≠2时，有x1+x2=又点P（2，1）是弦P1P2的中点，∴=4，解得k=4．当k=4时△=4k2（2k﹣1）2﹣4（2﹣k2）（﹣4k2+4k﹣3）=56×5＞0，当k2=2即k=±时，与渐近线的斜率相等，即k=±的直线l与双曲线不可能有两个交点，综上所述，所求直线方程为y=4x﹣7．故答案为：4x﹣y﹣7=0．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是4x2+y2=1．【解答】解：由题意可得已知圆的方程为x2+y2=1．设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），∵M是线段PP′的中点，∴由中点坐标公式得2x=x0，y=y0，∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴（2x）2+y2=1①即4x2+y2=1．∴点M的轨迹是一个椭圆．故答案为：4x2+y2=1．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是[，+∞）．【解答】解：设k=，则y=kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率，∴求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在，由圆心C（2，0）到直线y=kx﹣（k+3）的距离=r=1，解得：k=，则的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．【解答】解：（1）由已知条件得：A=（﹣2，10），B=（﹣∞，1﹣a]∪[1+a，+∞）；当a=2时，B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）则：A∩B=（﹣2，﹣1]∪[3，10）；（2）由题意：p：﹣2＜x＜10，￢q：1﹣a＜x＜1+a；因为p是￢q的充分不必要条件，则，解得：a≥9；∴a的范围为[9，+∞）．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣9x﹣1，可得f′（x）=x2+2ax﹣9=（x+a）2﹣9﹣a2∴斜率的最小值为﹣9﹣a2，直线l与直线10x+y=6平行．∴﹣9﹣a2=﹣10．得：a=1．（2）则，f′（x）=x2+2x﹣9则f（3）=﹣10，f′（3）=6，切点坐标为：（3，﹣10），切线为：y+10=6（x﹣3）．即：y=6x﹣28．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．【解答】解：（1）由e==得：a=2 则椭圆方程为；（2）设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：，化简得：7x2+8tx+4t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴|AB|=，解得t2=1，则t=±120．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时，≤，当x=1时取“=”；（2）设切点（x0，y0），则，则，得∴…①又由切线，则f（x0）=﹣x0+2a则：…②由将①代入②得若则：得，解得a=2若则：得，解得a=即a=2或a=21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．【解答】解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，+x2+p=x1+x2+2设AB：，则|AB|=x联立：得：3x2﹣10x+3=0∴则|AB|=x1+x2+2=（2）设AB：y=k1（x﹣m）联立：得：，则M为（）同理：N为（）若k1+k2=1，则M为（）N为（），k MN=直线MN为：化为：y=k1k2（x﹣m）+2，显然直线恒过点（m，2）。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为（）A .1 B. 2 C.3 D.4【答案】D【解析】试题分析：当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面。

考点：不共线三点确定一个平面。

2.下列四个命题中，真命题是（）A、平面就是平行四边形；B、空间任意三点可以确定一个平面；C、两两相交的三条直线可以确定一个平面；D、空间四点不共面，则其中任意三点不共线。

【答案】D【解析】试题分析：平面可以用平行四边形表示，平面是无限延展的，所以答案A错误；当空间三点共线时不能确定一个平面，故答案B错误；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，所以答案C错误；空间四点不共面，则可以构成三棱锥，显然答案D正确考点：平面的基本性质。

3.教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）垂直平行异面相交但不垂直A B C D【答案】A【解析】试题分析：无论尺子所在的直线在平面内或是与平面相交或是与平面平行，地面上均存在直线与其垂直，答案A正确；当尺子与地面相交时，答案B错误；当尺子在平面内时，答案C错误；尺子与地面平行时，答案D错误。

考点：直线与直线的位置关系。

4.设有两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题：（1） //////m n m n n αβαβ⋂=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，， （3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ ） 1234A B C D【答案】B考点：直线与平面、平面与平面位置关系的判定。

5.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为 1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法知，原图为 四边形OABC 为平行四边形，OB 垂直OA ， OA=1，OB=22，所以AB=3， 因此其周长为（3+1×2=8。

重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题总分：150分 时间：150分钟立体几何公式：32'''34,431,,31)(,2,R V R S hs s s s V sh V sh V lr r S rl S rl S πππππ==++===+===球球台体柱体锥体圆台侧圆柱侧圆锥侧）（ 一、选择题（每小题5分，总分50分）1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆台、一个圆锥 D ．一个圆柱、两个圆锥2．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面3．一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(A.至多只能有一个直角三角形B.至多只能有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形4． 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球 面上，这个球的表面积是（ ）A. B. C. D.5．一水平放置的平面图形的直观图如下图所示，则此平面图形的形状是（ ）6．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A ．36B ．108C ．72D ．180 、AB C Dπ200π50π225π2207．一个正方体的展开图如右图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

相交C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

所成的角为错误！未找到引用源。

8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成的角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150° 9．如图，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA ＝AB ＝a平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°010.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面 对角线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此 最小值为 （ ）对角线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此 最小值为 （ ） A ．2 B C ．2+ D二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 2cm ．12．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面。

2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．5 D．44．（5分）若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为（）A．3 B．2 C．3 D．45．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±6．（5分）若直线l：y=kx﹣与直线x+y﹣3=0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．（，π）7．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在两点P、Q 关于直线l对称，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣19．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（5分）将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．12．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．13．（5分）若直线l：4x+3y﹣8=0过圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心且交圆C于A，B 两点，O坐标原点，则△OAB的面积为．14．（5分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是．①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β．②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n．③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n．15．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab 的最大值是．三、简答题（本题共6小题，16、17、18题每小题12分，19、20、21每小题12分，共75分．）16．（12分）已知两条直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0m为何值时，l1与l2①相交；②平行；③垂直．17．（12分）如图，在五棱锥S﹣ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°（1）证明：CD∥平面SBE；（2）证明：平面SBC⊥平面SAB．18．（12分）已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E 是PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BE⊥CD；（3）求三棱锥P﹣ACD的体积V．21．（13分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值．（3）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：由l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故B错误；若l∥m，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥α，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l相交β、平行或l⊂β，故D错误．故选：C．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．5 D．4【解答】解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，∴棱柱的底面积为2×=4，棱柱的高为1∴此几何体的体积为V=4×1=4故选：D．4．（5分）若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为（）A．3 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A．5．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．6．（5分）若直线l：y=kx﹣与直线x+y﹣3=0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．（，π）【解答】解：联立两直线方程得：，解得：x=，y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第二象限，所以得到，解得：k＜﹣1，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＜﹣1，所以θ∈．故选：B．7．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选：A．8．（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在两点P、Q 关于直线l对称，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：曲线方程为（x+1）2+（y﹣3）2=9表示圆心为（﹣1，3），半径为3的圆．∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（﹣1，3）在直线上．代入得m=﹣1．故选：D．9．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．10．（5分）将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：∵图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x，又正四棱锥的正视图是正三角形，∴正四棱锥的斜高也为x，由图1得，解得，即正四棱锥的底面边长为，∴四棱锥的高为×=2，∴四棱锥的体积，故选：C．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．【解答】解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为故答案为：12．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是2．【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是==2．故答案为：2．13．（5分）若直线l：4x+3y﹣8=0过圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心且交圆C于A，B两点，O坐标原点，则△OAB的面积为．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心为（，0），直线l：4x+3y﹣8=0过圆C的圆心，∴4×+3×0﹣8=0，∴a=4∴圆C的方程为：x2+y2﹣4x=0，圆C：x2+y2﹣4x=0的圆心为（2，0），半径为2，∴|BA|=2r=4…（11分）点O（0，0）到直线l：4x+3y﹣8=0的距离为d=，∴S=|AB|•d=×4×=．△OAB故答案为：．14．（5分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是②④．①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β．②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n．③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n．【解答】解：①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α与β相交或平行，故①错误．②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则由平面与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确．③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β或n⊂β，故③错误．④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么由直线与平面平行的性质得m∥n，故④正确．故答案为：②④．15．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．三、简答题（本题共6小题，16、17、18题每小题12分，19、20、21每小题12分，共75分．）16．（12分）已知两条直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0m为何值时，l1与l2①相交；②平行；③垂直．【解答】解：①当l1和l2相交时，1×3﹣（m﹣2）m≠0，由1×3﹣（m﹣2）m=0，m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1，或m=3，∴当m≠﹣1且m ≠3时，l1和l2相交．②∵m=0时，l1不平行l2，l1∥l2⇔，解得m=﹣1．③l1⊥l2 时，1×（m﹣2）+m×3=0，m=，∴当m=时，l1⊥l2．17．（12分）如图，在五棱锥S﹣ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°（1）证明：CD∥平面SBE；（2）证明：平面SBC⊥平面SAB．【解答】证明：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°，∴△CDF为正三角形，∴CF=DF又BC=DE，∴BF=EF，因此，△BFE为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=60°，∴BE∥CD，∵CD⊄平面SBE，BE⊂平面SBE，∴CD∥平面SBE．（2）由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=120°，∴∠ABE=30°，又∠FBE=60°，∴∠ABC=90°，∴BC⊥BA∵SA⊥底面ABCDE，BC⊂底面ABCDE，∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，∴BC⊥平面SAB又BC⊂平面SBC∴平面SBC⊥平面SAB．18．（12分）已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线；…（1分）当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，∴圆心O到切线的距离为：，解得：∴直线方程为：15x﹣8y+17=0．综上，切线的方程为：x=1或15x﹣8y+17=0…（4分）（2）点M（1，4）到直线2x﹣y﹣8=0的距离为：，又∵圆被直线y=2x﹣8截得的弦长为8，∴…（7分）∴圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣4）2=36…（8分）（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），∵点P在圆M上，∴（x﹣1）2+（y﹣4）2=36，则x2+y2=2x+8y+19…（10分）∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ2=PO2﹣1=x2+y2﹣1，PR2=（x﹣a）2+（y﹣b）2，∴x2+y2﹣1=λ[（x﹣a）2+（y﹣b）2]，即2x+8y+19﹣1=λ（2x+8y+19﹣2ax﹣2by+a2+b2）整理得：（2﹣2λ+2aλ）x+（8﹣8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）=0（*）若使（*）对任意x，y恒成立，则…（13分）∴，代入得：整理得：36λ2﹣52λ+17=0，解得：或∴或∴存在定点R（﹣1，﹣4），此时为定值或定点R，此时为定值．…（16分）19．（13分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E 是PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BE⊥CD；（3）求三棱锥P﹣ACD的体积V．【解答】（1）证明：取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形∴EM∥PD，BM∥AD；又∵BM∩EM=M，∴平面EBM∥平面APD；而BE⊂平面EBM，∴BE∥平面PAD；…（4分）（2）证明：取PD的中点F，连接FE，则FE∥DC，BE∥AF，又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC，∴CD⊥BE；…（10分）（3）解：由（2）知∴CD⊥平面PAD，∵△PAD是边长为1的等边三角形，=V C﹣PAD==∴V P﹣ACD∴三棱锥P﹣ACD的体积为…（14分）21．（13分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值．（3）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，得m＜5，∴当m＜5时，曲线C表示圆．…（2分）（2）∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴圆心C（1，2），半径，…（3分）∵圆心C（1，2）到直线3x+4y﹣6=0的距离…（4分）又，∴，即5﹣m=4，解得m=1．…（5分）（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，…（6分）由，得2x2﹣8x+5+m=0，…（7分）∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，故m＜3…（8分）…（9分）∴…（10分）∴，∴m=﹣2＜3…（11分）故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

秘密★启用前2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数学试题卷（文科）2014.11本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1. 直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2. 如果命题“”为真命题，则（）A．中至少有一个为真命题B．均为假命题C．均为真命题D．中至多有一个为真命题3. 全称命题“”的否定是( )A. B.C. D.4.已知直线，若，则与的位置关系是( )A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线5.（原创题）设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B． C. D.7. 以直线和的交点为圆心，且过点的圆的方程为（）A．B．C．D．8. 对于直线和平面，下列命题中正确的是( )A.如果是异面直线，那么;B.如果是异面直线，那么与相交;C. 如果共面，那么D. 如果共面，那么;9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则（）A．B．1 C．2 D．310. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，若与另一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A ． B. C. D. 二、填空题.(共5小题,每小题5分,共25分)11. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是________.12. 已知球的体积为，则球的大圆面积是_______.13．设是圆上的点，则到直线的最短距离是 .14. 一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为_________． 15．（原创题）已知双曲线的右焦点为是双曲线右支上任意一点，定点，则的最小值是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16.（本题满分13分）如图直三棱柱, ,,分别是棱、、中点. （1）求证：平面； （2）求证：17. （本题满分13分）已知命题：方程表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：，若为假命题，为真命题，求m 的取值范围.18.（本题满分13分） 如图直线：与抛物线C ：相切于点A.(1)求实数的值; (2)求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.FA 1C19.（本题满分12分）（原创题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆焦点F 作弦AB.当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4. (1)求椭圆的方程; (2)若.求直线AB 的方程.20. （本题满分12分）（原创题）已知四棱锥，四边形ABCD 是长为的正方形，，,. （1）求证：;（2）求三棱锥的体积; （3）求三棱锥的内切球半径.21.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设直线，若与椭圆交于两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；（3）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形，这样的三角形是否存在？若存在，有几个；若不存在，说明理由.2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数 学 答 案（文科）2014.11一、选择题。

重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第三次月考数学（理科）试题总分：150分 时间：120分钟备用公式：rl S π2=圆柱侧面积；334r S π=球体积；Sh S =柱体体积。

一：选择题（本大题10个小题 ，共50分）1：下列五个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若22,ac bc a b >>则”的逆命题；④若“m>2,220x x m R -+>则不等式的解集为”；⑤命题p ：“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是命题q ：“∃x ∈R ，2210x x +-<”，且命题q 为假命题.其中真命题的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2：过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ）A. 2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=03：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( ) A ．π310 B ．π311C ．π4D ．π3134：直线32-=x y 与双曲线1222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =（ ） A ．75 4 B ．752 C ．753 D ．7545 椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ）A.-1B. 5C.1D. 5-6：直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于F E ,两点，则EOF ∆（O 为原点）的面积为（ ）C.32D.347：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8：如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） A ．300 B ．450 C ．600 D ．9009：直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是 （ ）A. 2=bB. 11≤<-b 或2-=bC. 11≤≤-b 或2-=bD.11≤≤-b10：已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过定点A （0，1）、B （0，-1）且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（ ） A.)0(13422≠=-x x y B.)0(13422≠=+x x y C.)0(13422≠=-x y x D.)0(13422≠=+x y x 二：填空题（本大题5个小题 ，共25分）11： 过椭圆x 2＋4y 2=16内一点P(1，1)作一直线l ，使直线l 被椭圆截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的方程为_ _。

重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3＜04．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=28．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1B．C．2D．310．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l 与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|PM|+|PF|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的方程为斜截式可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．解答：解：直线方程可化为：y=x+1，∴直线的斜率为1，设其倾斜角为α，0°≤α＜180°，则可得tanα=1，∴α=45°故选：B点评：本题考查直线的倾斜角，涉及斜率和倾斜角的关系，属基础题．2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q为真命题的定义即可找出正确选项．解答：解：根据p∨q为真命题的定义即可知道：A正确．故选A．点评：考查真假命题的概念，以及p∨q真假和p，q真假的关系．3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3＜0考点：全称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．解答：解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+3≥0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+3＜0故选项为：D．点评：本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题4．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线考点：异面直线的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：利用正方体的空间结构求解．解答：解：如图，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB与DD1异面，AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB与AD相交，∴若m∥n，n∩l=P，则l与m的位置关系：相交或异面．故选D．点评：本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为R，利用侧面展开图的中心角为，求得R，再根据圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算．解答：解：设圆锥的底面半径为R，∵侧面展开图的中心角为，∴×π×4=2πR，∴R=1，圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=×π×12×=．故选：A．点评：本题考查了圆锥的体积公式及圆锥的侧面展开图，解答的关键是利用圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高．7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的交点坐标，然后求出圆的半径，即可求出圆的方程．解答：解：由题意，直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0联立，解得x=2，y=1，∴两条直线的交点为：（2，1）．所求圆的半径为：1，∴所求圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．8．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n考点：四种命题的真假关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解．解答：解：A、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，若n⊥m，则n⊥α，故A错误；B、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，可知n与α也可以平行，故B错误；C、∵m⊂α，n∥α，m、n共面，⇒m∥n，故C正确；D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C．点评：此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1B．C．2D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．10．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l 与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．6考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得直线PF2的斜率，即可得到直线方程，直线方程分别与渐近线方程联立即可得出点P，Q的坐标，再利用向量共线即可得出a，b，c的关系，利用离心率计算公式即可．解答：解：如图所示，∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率为．∴直线PF2的直线方程为．联立解得．∴P．联立，解得．∴Q．∴=，=．∵，∴c2=4a2．∴=2．故选A．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线相交问题、向量的运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是20π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为2，高为5的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．解答：解：由已知可得该几何体为圆柱且圆柱的底面直径为4，高h=5hslx3y3h即圆柱的底面半径r=2故该几何体的侧面积S=2πrh=20π．故答案为：20π．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是4π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：运用体积公式求解半径，再运用圆的面积公式求解．解答：解：∵球的体积为，∴R=2，∴球的大圆面积是πR2=4π故答案为：4π点评：本题考查了球的体积公式，面积公式，属于计算题．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式求出圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d，减去半径即可得到最短距离．解答：解：由圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，得到圆心M（5，3），半径r=3，∵圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d==5，∴M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为5﹣3=2．故答案为：2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，根据题意得出d﹣r为最短距离是解本题的关键．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．点评：本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|PM|+|PF|的最小值是13．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先根据双曲线方程求得a，b，进而求得c，则双曲线的离心率和右准线方程可得，进而根据双曲线的第二定义可知|MP|=e•d，进而推断出当MA垂直于右准线时，d+|PM|取得最小值进而推断3|PM|+|PF|的最小值．解答：解：由题意可知，a=，b=2，c=3，∴e=，右准线方程为x=，且点P在双曲线右支上，则|PF|=e•d=d（d为点P到右准线的距离）．∴3|PM|+|PF|=3（d+|PA|），当PM垂直于右准线时，d+|MA|取得最小值，最小值为6﹣=，故3|MF|+|MA|的最小值为13．故答案为：13点评：本题主要考查了双曲线的性质．考查了学生数形结合和转化和化归的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用平面与平面平行的判定定理可得结论；（2）证明CF⊥平面ABB1A1，即可证明CF⊥BA1．解答：证明：（1）∵B1M∥CE，且B1M=CE，∴四边形CEB1M是平行四边形，∴CE∥EB1又∵FM∥AB1，CF∩FM=M，EB1∩AB1=B1，∴平面AEB1∥平面CFM；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CF，∵AC=BC，AF=FB，∴CF⊥AB，BB1∩AB=B，∴CF⊥平面ABB1A1，∴CF⊥BA1．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意求出命题p、q为真时m的范围，由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q 真，进而求出答案即可．解答：解：命题p为真命题时，将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，若命题q为真命题时，0＜m＜15，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中有一真一假；当p真q假时，无解；当p假q真时，，解得综上：m的取值范围为点评：解决问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解答：解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，联立即可解出．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3﹣4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．解答：解：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，解得：，∴椭圆方程为：．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，∴．解得k=±2，∴直线AB方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．考点：平面与平面垂直的判定；球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性质可得BC⊥面ABG，则BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由线面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC（2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB，利用等积法可得三棱锥D﹣ACG的体积；（3）利用等体积求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．解答：（1）证明：过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，则∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∵面ABCD⊥面ABG，∴BC⊥面ABG，∵AG⊂面ABG，∴BC⊥AG，又BH⊥面AGC，∴BH⊥AG，又∵BC∩BH=B，∴AG⊥面AGD，∴面AGD⊥面BGC；（2）解：由（1）知AG⊥面BGC，∴AG⊥BG，又AG=BG，∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB∴GE⊥面ABCD∴V D﹣ACG=V G﹣ACD=GE•S△ACD=••2a•（2a）2=；（3）解：记三棱锥内切球的半径为r，，△DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=，△ACG中，AC=2a，GC=a，AG=a，S△ACG=，△DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=，△ADC中，S△DAC=2a2由，可得r=．点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积，其中（1）要熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，属于中档题．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法．分析：（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程．（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）则，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分）则△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分）…（9分）解得.，满足（*）∴．…（10分）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，由，得A，…（11分）∴，…（12分）用代替上式中的k，得，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）∵k＜0，∴解得：k=﹣1或，故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．。

重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题总分：150分 时间：120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号、顺序号填写在答题卷规定的位置上。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若直线22(252)(4)50m m x m y m -+--+=的倾斜角为45︒,则实数m 的值为【 】. A.1 B.2 C.3 D.2或32.如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则系数a =（ ）A ．3-B ．6-C ．32- D ．233.圆221:230C x y x ++-=和圆222:430C x y y +-+=的位置关系为( ). A.相离 B.相交 C.外切 D.内含4.过点(3,0)P 直线l 与圆224x y x +=的位置关系是( ).A.相交B.相切C.相离D.相交或相离 5.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0D.x-2y+3=06.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（ ） A.若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D.若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β[7.过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是 （ ）A ．2B D 8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515B ．22 C ．510 D ．010．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 (D)43二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）(第9题)EPDCBA11．直线0534=+-y x 与直线0568=+-y x 的距离为__________．12.若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．13.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e=__________．14.已知圆C:22(3)9x y +-=,过原点作圆C 的弦OP ，则OP 的中点Q 的轨迹方程为 _ ．15.已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ；其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共75分，解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上。