2017考研数学之函数极限及连续性内容概括及总结

函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。

它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。

本文将对进行详细的阐述和探讨。

一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。

它是微积分学中最基本的概念之一。

如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。

如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。

如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。

如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。

设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。

函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。

一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。

因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。

三、的关系是密不可分的概念。

在进行微积分运算时，是不可缺少的。

一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。

同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。

可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。

因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。

反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。

四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。

以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。

例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。

而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。

函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。

对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。

1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。

上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。

这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。

1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。

在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。

本文将对第一章的内容进行总结。

函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。

当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。

在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。

通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。

我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。

通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。

极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。

连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。

连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。

我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。

其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。

通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。

在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。

例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。

这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。

总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。

通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。

而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。

对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。

函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。

在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。

一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。

数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。

2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。

- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。

- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。

3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。

- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。

- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。

- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。

二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。

数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。

2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。

- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。

3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。

- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。

三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。

- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。

考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识，贯穿于整个数学分析的学习过程。

对于考生来说，深入理解和掌握这些知识点是取得好成绩的关键。

首先，我们来谈谈极限的概念。

极限可以说是数学分析的基石，它描述了函数在某个点或者无穷远处的趋近趋势。

比如说，当 x 趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 趋近于一个确定的值 L，我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。

极限的计算方法多种多样。

常见的有代入法，如果函数在该点连续，直接将该点代入函数即可。

但很多时候，这种方法行不通，就需要用到其他技巧。

比如化简法，通过约分、通分等手段将函数化简，然后再求极限。

还有等价无穷小替换，这是一个非常有用的方法，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x，tan x 等价于 x 等等。

但要注意，等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，在加减运算中使用可能会出错。

再来说说两个重要极限。

第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x ／ x) ＝ 1。

这个极限在很多求极限的题目中都会用到，通过变形和代换，可以解决不少难题。

第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 ＋ 1/x)＾x ＝ e。

这里的 e 是一个重要的常数，约等于271828。

接着是极限的性质。

极限具有唯一性，如果函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。

还有局部有界性，如果函数在某个点存在极限，那么在该点的某个邻域内函数是有界的。

此外，还有保号性，如果函数在某个点的极限大于 0（小于 0），那么在该点的某个邻域内函数的值大于 0（小于 0）。

说完极限，我们再来看看连续的概念。

函数在某点连续，意味着当自变量在该点的变化非常小时，函数值的变化也非常小。

简单来说，就是函数在该点没有“跳跃”或“间断”。

连续的定义可以从三个方面来理解：函数在该点有定义；函数在该点的极限存在；函数在该点的极限值等于函数值。

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。

极限与连续的总结极限与连续是微积分中的两个重要概念，它们是解析几何、数学分析以及应用数学的基础。

极限是描述函数趋向于某个特定点的行为，而连续则要求函数在一定范围内没有任何的间断点。

本文将对极限与连续的定义、性质以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

首先，我们来看极限的定义。

在数学中，极限是描述函数在某个点或者在无穷远处的行为的概念。

对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果$f(x)$的值趋向于一个确定的常数$L$，我们就说$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。

这可以用以下等价的定义来描述：对于任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，有$|f(x)-L| < \epsilon$。

简单来说，就是当$x$离$a$足够近时，$f(x)$的值会越来越接近$L$。

极限有一些基本的性质。

首先，如果一个函数在某个点$a$有极限，那么这个极限是唯一的。

其次，如果函数在某个点$a$有极限$L$，那么函数在$a$点连续。

最后，如果两个函数在某点的极限都存在，那么它们的和、差、积以及商的极限也都存在，并且满足一些运算规则。

这些性质是进行极限计算的基础。

极限的应用非常广泛。

在微积分中，极限是求导和积分的基础。

求导可以通过极限的定义来进行计算，而积分则是对函数在某个区间上的极限进行求和。

极限还可以用来研究函数的渐近行为，帮助我们更好地理解函数的性质和图像。

此外，极限还被应用到一些工程和物理问题中，例如极限可以用来解决物体在无限接近某个位置时的行为。

除了极限，连续也是微积分中的重要概念。

在数学中，一个函数在某个点$a$是连续的，意味着函数在$a$点没有任何的间断点，而且当$x$趋向于$a$时，$f(x)$的极限存在且等于$f(a)$。

更正式地说，一个函数$f(x)$在点$a$连续，即满足以下三个条件：1) $f(a)$存在；2) $\lim_{x \to a} f(x)$存在；3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

函数的极限与连续知识点总结函数的极限与连续性是数学中一个重要的概念，它不仅在数学分析和计算方面有着重大的意义，而且在大多数科学和技术领域都有着重要的应用。

因此，了解函数的极限与连续性以及与它们相关的知识，对于我们了解科学和技术，进行算法设计和分析，甚至是进行科学探索都有着重要的意义。

首先，让我们从函数的极限的概念开始讨论。

函数的极限的概念指的是当函数的某个参数的值趋向于某个特定的数值或无穷大时，函数值的变化趋势。

函数的极限可以用数学公式来表达，比如在实数范围内，函数f(x)的极限lim x→a f(x)=L，表示当x趋近于a时，f(x)的值趋于L。

函数的极限也被称为特殊的函数，其特殊的参数是极限点，也就是变量的值趋向某个特定的值时，函数的变化趋势可以用函数的极限来表达。

其次，接下来我们来讨论函数的连续性的概念。

函数的连续性可以定义为，当函数的某个参数的值在转变时，函数的值也在变化，但是这种变化是无穷连续的，即它没有跳变，而是逐渐发生变化。

函数的连续性可以用数学公式来表达，就像函数f(x)在实数范围内连续，可以用f(x)在[a,b]内连续或者f(x)在(a,b)内连续来表达。

再次，函数的极限与连续性之间也存在着重要的联系，函数的极限可以用来定义函数的连续性，并从而被用于验证函数的连续性。

有一个重要的定理，叫做特征赤值定义，其定义函数f(x)在[a,b]间连续的条件是，函数f在该区间内的极限都存在，且该极限的值一定是函数的赤值。

也就是说，如果一个函数的极限存在，并且极限的值就是函数的赤值，那么这个函数就是在[a,b]间连续的。

最后，函数的极限与连续性也被用于其他科学和技术领域，比如信号处理和控制系统设计，以及计算机科学，甚至是人工智能的研究。

例如，在信号处理中，函数的极限可以被用来计算信号的平均值，而函数的连续性可以被用来分析信号的峰峰值和稳定性。

在计算机科学领域，函数的极限可以用来分析算法的效率，而函数的连续性则可以用来分析计算机程序的流程性和可读性。

函数的极限与连续性知识点总结在微积分学里，极限和连续性是两个非常重要的概念。

它们为我们理解函数的性质和行为提供了基础。

本文将对函数的极限与连续性知识点进行总结，旨在帮助读者更好地掌握这些概念和相关的数学技巧。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

它可以帮助我们研究函数在某点附近的性质和趋势。

下面是一些关于函数极限的重要知识点：1. 数列的极限：在介绍函数的极限之前，我们首先需要了解数列的极限。

数列的极限是指当数列中的元素趋近于无穷大或无穷小时，数列的极限趋于某个特定值。

这个概念为后续对函数极限的理解奠定了基础。

2. 函数的左极限和右极限：对于函数在某点x=a的极限，我们可以用左极限和右极限来描述。

左极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的左侧值；右极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的右侧值。

3. 函数的极限存在性：函数的极限存在性是指函数在某一点存在极限。

对于一些简单的函数，极限存在性可以通过直接代入法或观察法来确定；而对于一些复杂的函数，我们需要借助极限的定义和性质来判断极限是否存在。

4. 函数的无穷极限：函数的无穷极限是指当自变量趋近于无穷大或无穷小时，函数的极限趋于某个特定值。

无穷极限的研究可以帮助我们了解函数在无穷远处的行为。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点以及其附近的取值的稳定性。

连续性可以通过函数的图像来直观地判断，也可以通过数学定义来推导和证明。

下面是一些关于函数连续性的重要知识点：1. 函数的连续性定义：函数在某一点x=a处连续，意味着函数在x=a的极限存在，且函数在x=a的函数值等于极限值。

这个定义确保了函数在这一点的连续性。

2. 连续函数的性质：连续函数在函数值和自变量之间保持了一定的关系。

例如，两个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。

3. 函数的间断点：函数的间断点指的是函数在某一点不连续的情况。

这种不连续可以是可去间断、跳跃间断或无穷间断。

函数极限连续知识点概况函数是一种映射关系，用来描述两个集合之间的元素对应关系。

在数学中，常常用字母f、g、h等表示函数。

函数可以用公式、图像、数据表等形式进行表示。

函数的定义域是指函数中所有可能的输入值，值域是指函数中所有可能的输出值。

函数的图像可以通过将函数的输入值和输出值对应起来，绘制成平面直角坐标系中的点的形式来表示。

极限是函数中一个非常重要的概念。

极限描述了函数在一些点附近的行为。

当自变量趋向于一些特定的值时，函数的值也会趋向于一个特定的值。

这个特定的值就是函数在该点的极限。

极限可以用数学符号“lim”进行表示，例如lim(x->a) f(x)表示当x趋向于a时，f(x)的极限。

连续是函数的一个性质，它描述了函数图像上不存在突变的现象，即函数的值在一些点附近变化不大。

连续可以用数学语言表述为：如果对于函数f(x)的定义域中的任意数a，当x趋向于a时，lim(x->a) f(x)存在且等于f(a)，那么函数f(x)就在点a处连续。

这意味着函数在整个定义域上都不会出现断裂、间断或跳跃的情况。

函数、极限和连续是紧密相关的概念。

在函数的定义中，我们常常要用到极限的概念。

例如，导数和积分就是通过极限的方法来定义的。

而连续则是函数在定义域上的一种性质，通过极限的概念可以更准确地描述函数的连续性。

在实际应用中，函数、极限和连续有着广泛的应用。

函数可以用来描述各种自然现象中的规律和关系，例如物体运动的轨迹、电路中电压和电流的关系等。

极限的概念可以用来描述各种变化趋势，例如速度的极限可以用来描述物体在一些时刻的瞬时速度。

连续性是数学建模中的一个重要要求，对于许多实际问题的解答和分析，需要用到连续函数的性质。

综上所述，函数、极限和连续是高等数学中的重要概念，它们是数学分析的基础，并在各个科学领域中有广泛的应用。

深入理解和掌握这三个概念对于学好高等数学和其他科学学科都有着重要的意义。

对于学生来说，通过大量的练习和实例分析，结合具体问题的实际背景和应用，能够更好地理解和应用这些概念。

极限与连续知识点总结
极限与连续是微积分中的重要概念，对于深入学习微积分起到了关键作用。

本文将从基本概念、性质和应用等方面对极限与连续进行总结介绍，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、极限的基本概念
1. 函数的极限：当自变量趋于某个特定值时，函数的取值是否趋于一个确定的数值。

2. 极限存在的条件：数列极限必须存在，且函数在该点左右两侧的极限值相等。

3. 极限的计算方法：通过代数运算、洛必达法则等方法来计算函数的极限。

二、连续的基本概念
1. 连续的定义：函数在某一点处的极限等于该点本身，即函数在该点处连续。

2. 连续的性质：连续函数的性质包括介值定理、零点存在定理、最值定理等。

3. 连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。

三、极限与连续的应用
1. 极限的应用：极限在计算曲线的切线斜率、计算数列极限等方面有着广泛的应用。

2. 连续的应用：连续函数的应用包括函数的最值问题、优化问
题等。

综上所述，极限与连续是微积分中不可或缺的核心概念。

通过本文的总结，读者可以更加深入地理解和掌握这些知识点，并能够有效地应用于实际问题的解决中。

考研数学：函数极限连续知识点回顾进入暑假，考研复习日益紧张起来。

对于考研数学的备考复习也进入了强化阶段。

它意味着考研时间已过三分之一之多，复习的脚步还要继续马不停蹄，继续前进。

凯程考研数学老师提醒广大考生在进行有效复习的同时不要忘了对前面复习的内容进行回顾，不要让努力输给记忆。

第一点函数。

函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。

第二点极限。

说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：1)四则运算。

在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。

2)等价无穷小替换。

等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。

第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

3)洛必达法则。

说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。

4)重要极限。

重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。

函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。

这种趋向的性质称为函数的极限。

在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。

例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。

这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。

现在，我们来正式介绍函数极限的定义。

定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。

那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。

1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。

这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。

1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。

第一章函数与极限知识总结本章主要介绍了函数的定义、连续性、极限以及相关的定理和性质。

函数是数学中最基本的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系。

函数的定义包括定义域、值域和对应规则等三个方面。

1.1函数的定义和基本性质函数是一种描述变量之间关系的方式，它由定义域、对应规则和值域组成。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数可以用表格、图形和公式等方式表示。

在函数的定义中，一般要求对于定义域中的每一个自变量，都存在唯一的一个因变量与之对应。

对于函数在特定点的值，可以通过函数的极限来确定。

1.2函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域的每一点处都能够保持连续的特性。

函数连续的三个条件是：函数在该点处有定义、函数在该点处存在极限、函数在该点处的极限等于函数在该点处的函数值。

如果函数在特定点处不连续，那么可以被分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。

可去间断点是指函数在该点处可以通过修补来使其连续，跳跃间断点是指函数在该点处存在左右极限但不相等，无穷间断点是指函数在该点处极限为无穷大或无穷小。

1.3函数的极限函数极限是描述函数在其中一点处的局部特性，它可以由函数的定义域中的一系列点的函数值所确定。

对于极限的求解，可以直接代入函数的定义，也可以通过函数的性质和定理进行推导计算。

函数极限的定义有两种形式，一种是ε-δ定义，另一种是无穷小定义。

ε-δ定义是基于函数的定义域中任意接近特定点的自变量值来确定极限。

无穷小定义是基于函数在特定点处函数值无限接近于其中一数值来确定极限。

1.4函数的基本性质函数的基本性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。

有界性是指函数在一定区间内的取值范围是有限的，单调性是指函数在一定区间上的增减性质。

奇偶性是指函数关于坐标原点对称，周期性是指函数在其中一间隔内的函数值重复出现。

在实际问题中，可以通过观察函数的图像和定义来判断函数的性质。

对于复杂的函数，可以通过求导来判断函数的单调性和凹凸性。

数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。

一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。

在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。

设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A。

函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。

2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。

3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。

二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。

一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。

函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。

在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。

2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。

3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)⁡[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)⁡[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)⁡[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。

极限与连续性重点知识点总结在数学的学习中，极限与连续性是重要的概念，它们是解决各类问题和证明数学定理的基础。

本文将对极限与连续性的重点知识点进行总结，并探讨它们在数学中的应用。

一、极限1. 无穷大与无穷小在极限的概念中，我们需要理解什么是无穷大和无穷小。

当自变量趋近于某个数值时，如果函数值趋近于正无穷或负无穷，我们称之为无穷大；而如果函数值趋近于零，我们称之为无穷小。

2. 极限的定义极限的定义是指自变量逼近某个值时，函数值趋近于一个固定的结果。

对于函数 f(x)，当 x 趋近于某个值 a 时，如果存在一个数 L，对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称 L 是函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限。

3. 常见的极限- 常数函数的极限：对于 f(x) = C，其中 C 为常数，则 f(x) 在任意点的极限都等于 C。

- 幂函数的极限：对于 f(x) = x^n，其中 n 是正整数，则 f(x) 在 x 趋近于 0 的时候的极限为 0。

- 正弦函数与余弦函数的极限：正弦函数和余弦函数的极限存在且有界，即 sin(x) 和 cos(x) 的极限在闭区间 [-1, 1] 内取值。

二、连续性1. 连续函数的定义连续函数是指函数图像上没有突变、断点或间断的函数。

对于函数 f(x)，如果它在某个点 a 处的极限和函数值 f(a) 相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)，则称函数 f(x) 在点 a 处连续。

2. 连续函数的性质- 连续函数的四则运算性质：对于连续函数 f(x) 和 g(x)，它们的和、差、积、商（分母不为0的情况下）仍然是连续函数。

- 连续函数的复合性质：如果 f(g(x)) 在点 a 连续，且 g(x) 在点 a连续，则 f(x) 在点 g(a) 处连续。

3. 常见的连续函数- 多项式函数：多项式函数在实数范围内的定义域上都是连续函数。

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1.微积分中研究的对象是函数。

函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。

变量之间是否有函数关系，就看是否存在一种对应规则，使得其中一个量或几个量定了，另一个量也就被唯一确定，前者是一元函数，后者是多元函数。

函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数、函数记号的运算及基本初等函数与其图象。

2.极限是微积分的理论基础。

研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分、级数等等。

由此可见极限的重要性。

本章的重点内容是极限。

既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要能准确地求出各种极限。

求极限的方法很多，综合起来主要有：⑴利用极限的四则运算与幂指数运算法则;⑵利用函数的连续性;⑶利用变量替换与两个重要极限;⑷利用等价无穷小因子替换;⑸利用洛必达法则;⑹分别求左、右极限;⑺数列极限转化为函数极限;⑻利用适当放大缩小法;⑼对递归数列先证明极限存在(常用到单调有界数列有极限的准则)，再利用递归关系求出极限;⑽利用导数的定义求极限;⑾利用泰勒公式;⑿利用定积分求n项和式的极限.3.无穷小就是极限为零的变量。

极限问题可归结为无穷小问题。

极限方法的重要部分是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析。

要理解无穷小及其阶的概念，学会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的方法，会用等价无穷小因子替换求极限。

4.连续函数或除若干点外是连续的函数。

由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续及函数间断点的类型等问题本质上仍是求极限。

因此这部分也是本章的重点。

要掌握判断函数连续性及间断点类型的方法，特别是分段函数在连接点处的连续性。

函数的其他许多性质都与连续性有关，因此我们要了解连续函数的重要性质有界闭区间上连续函数的有界性定理，最大值、最小值定理和中间值(介值)定理，并会应用这些性质。

极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。

下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。

一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。

例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。

这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。

二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。

2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。

3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。

4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。

5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。

三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。

例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。

2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。

例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。

无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。

四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。

2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。