高中理科数学函数的基本性质

函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。

函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。

函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。

性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。

单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。

如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。

⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。

⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。

偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

偶函数不可能是个双射映射。

连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。

如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

高中数学必修 1 函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f( x)定义域内的任意x 都有 f( － x)= －f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(－ x)=f (x) ，则称 f(x)为偶函数。

如果函数 f (x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则f( x) 既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f( x)的关系；○3作出相应结论：若f( － x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若f( － x) = －f(x) 或 f(－ x)＋f (x) = 0 ，则 f (x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1 <x2时，都有 f(x1 )<f(x2)（f(x1)>f (x2)），那么就说 f( x) 在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1<x2时，总有 f(x1 )<f( x2)（2）如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f( x)的单调区间。

函数高中知识点函数是高中数学中的重要知识点之一，它在数学和实际问题中起着重要的作用。

本文将介绍函数的定义、性质和应用，以及一些常见的函数类型。

一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数通常用符号表示，例如f(x)或y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数有一些重要的性质。

首先，每个自变量只能对应一个因变量，即函数中的每个x值都有唯一的y值。

其次，函数可以通过图像来表示，图像是平面直角坐标系中的一条曲线。

函数的图像可以用来研究函数的性质，如增减性、奇偶性和周期性等。

二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型之一，它的图像是一条直线。

线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条斜率为a的直线，常数b表示直线与y轴的截距。

2. 幂函数：幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是常数。

幂函数的图像形状取决于指数n的正负和大小。

当n为正偶数时，幂函数的图像是一个开口向上的抛物线；当n为正奇数时，幂函数的图像是一个开口向上的曲线；当n为负数时，幂函数的图像是一个开口向下的曲线。

3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像是一条逐渐增长或递减的曲线。

当a大于1时，指数函数的图像是递增的；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，它的一般形式是y=logₐx，其中a是常数且大于0且不等于1。

对数函数的图像是一条逐渐增长或递减的曲线。

当a大于1时，对数函数的图像是递增的；当0<a<1时，对数函数的图像是递减的。

三、函数的应用函数在数学和实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：函数可以用来描述供求关系、成本函数和收益函数等经济学概念。

高中数学必修一函数知识点函数是数学中一个非常重要的概念，在高中数学必修一的课程中，函数的内容占据了很大的比重。

学好函数，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的数学解题能力。

下面，我们就来系统地总结一下高中数学必修一中的函数知识点。

一、函数的定义在数学中，函数是对两个集合之间的一种特殊关系的描述。

简单来说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。

如果对于集合A中的每一个元素，都存在且仅存在一个元素与之对应在集合B中，那么这样的对应关系就可以称为一个函数。

通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有自变量可以取得的值的集合，通常用D(f)表示；而函数的值域是指所有因变量可能取得的值的集合，通常用R(f)表示。

2. 增减性和奇偶性：函数的增减性指的是函数在定义域内的某个区间上是增函数还是减函数；而函数的奇偶性则是指当自变量取相反数时因变量的取值是否相同。

3. 周期性：如果对于所有x∈D(f)，都有f(x)=f(x+T)成立，那么该函数就具有周期性，其中T为函数的周期。

4. 单调性：若对于定义域内任意的x₁、x₂（x₁<x₂），有f(x₁)≤f(x₂)或f(x₁)≥f(x₂)成立，则函数具有单调性。

5. 奇偶性：如果对于定义域内任意的x，有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，那么该函数就具有奇函数或偶函数的性质。

三、常见的函数类型1. 一元一次函数：一元一次函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数，代表了斜率和截距。

2. 一元二次函数：一元二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

3. 幂函数：幂函数是一种形如f(x)=xⁿ的函数，其中n为常数。

4. 指数函数：指数函数是一种形如f(x)=aⁿ的函数，其中a为常数，n为变量。

5. 对数函数：对数函数是指以对数形式表示的函数，常见的以10为底或以自然对数e为底的对数函数。

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。

它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。

本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。

1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。

用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。

2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。

2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。

2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。

如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。

2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。

如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。

2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。

如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。

3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。

3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。

函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。

常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。

2.可导性：函数在定义域内可导。

3.可积性：函数在定义域内可积。

4.可逆性：函数在定义域内可逆。

5.可微性：函数在定义域内可微。

6.可解析性：函数在定义域内可解析。

7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。

8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。

9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。

10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。

这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。

不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

三、函数的根本性质(一)函数的单调性1、单调性一般地 ,设函数f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2 ,当x 1<x 2时 ,都有f(x 1)>f(x 2) ,那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数 .如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数 ,那么就说函数y =f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性 ,区间D 叫做y =f(x)的单调区间 .2、函数单调性的判断方法(1)定义法 .用定义法判断函数单调性的步骤为第|一步：取值 .设x 1、x 2是该区间内的任意两个值 ,且x 1<x 2 .第二步：作差、变形 .准确作出差值 ,并通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法 ,向有利于判断差的符号的方向变形 .第三步：判断f(x 1) -f(x 2)［或f(x 2) -f(x 1)］的符号 .第四步：根据定义作出结论 . 拓展与提示：(1)定义中的x 1,x 2具有任意性 ,不能用特殊值代替 .(2)假设f(x)在区间D1 ,D2上都是增(减)函数 ,但f(x)在D1∪D2上不一定是增(减)函数 . (3)由于定义域都是充要性命题 ,因此由f(x)是增(减)函数 ,且)()()(212121x x x x x f x f ><⇔< ,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以 "正逆互推〞 .简记为 "取值 -作差 -变形 -定号 -结论〞 .①函数y = -f(x)与函数y =f(x)的单调性相反；②当函数f(x)恒为正或恒为负时 ,函数)(1x f y =与y =f(x)的单调性相反；③在公共区间内 ,增函数 +增函数 ,其和为增函数 ,增函数 -减函数 ,其差为增函数等 .(3)图象法：按照作图的方法 ,准确作出函数的图象 ,观察判断函数的单调性 .(4)求导法：假设当x ∈(a,b)时 ,f ′(x)>0 ,那么f(x)在(a,b)上递增；假设当x ∈(a,b)时 ,f ′(x)<0 ,那么f(x)在(a,b)上递减 .例 讨论函数)21(21)(≠++=a x ax x f 在( -2 , +∞)上的单调性 . 解析 设 -2<x 1<x 2 ,那么.2212212)(+-+=+-++=x a a x a a ax x f ∴f(x 2) -f(x 1)=).221()221(2+-+-+-+x a a x a a =)2121)(21(12+-+-x x a . =)2)(2()21(1221++-•-x x x x a .又∵ -2<x 1<x 2 ,∴.0)2)(2(1221<++-x x x x ∴当1-2a>0 ,即21<a 时 ,上式<0 ,即f(x 2)<f(x 1)；当1-2a<0时 ,即21>a 时 ,上式>0 ,即f(x 2)>f(x 1) .∴当21<a 时 ,21)(++=x ax x f 在( -2 , +∞)上为减函数 当21>a 时 ,21)(++=x ax x f 在( -2 , +∞)上为增函数 3、复合函数的单调性对于复合函数y =f ［g(x)］ ,假设t =g(x)在区间(a,b)上是单调函数 ,那么y =f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数；假设t =g(x)与y =f(t)单调性相同(同时为增或减) ,那么y =f ［g(x)］为增函数 ,假设t =g(x)与g =f(x)单调性相反 ,那么y =f ［g(x)］为减函数 ,简单地说成 "同增异减〞 .y =f(t)增 减 增 减 t =g(x)增 减 减 增 Y =f ［g(x)］增 增 减 减(二)函数的最|大(小)值1、定义一般地 ,设函数y =f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满：(1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ；(2)存在x 0∈I ,使得f(x 0) =M.那么 ,我们称M 是函数y =f(x)的最|大值 .同样地：如果存在实数M 满足：(1)对于任意x ∈I ,都有f(x)≥M ；(2)存在x 0∈I ,使得f(x 0) =M.那么我们称M 是函数的最|小值 .2、二次函数在闭区间上的最|值①假设m ab <-2时 ,那么最|大值为f(n) ,最|小值为f(m)； ③假设n a b m ≤≤2时 ,那么最|大值为f(m)或f(n) ,最|小值为)2(ab f -. 例 131≤≤a ,假设f(x) =ax 2 -2x +1 ,在［1 ,3］上最|大值为M(a) ,最|小值为N(a) ,令g(a) =M(a) -N(a),求g(a)的函数表达式 .解析 a a x a x f 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. ∵131≤≤a ,∴311≤≤a. 又∵x ∈［1 ,3］.∴当时a x 1= ,f(x)min =N(a) =a 11-当211≤≤a ,即121≤≤a 时 , f(x)max =M(a) =f(3) =9a -5. 当2131,312<≤≤<a a 即时 , f(x)max =M(a) =f(1) =a -1∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-+≤≤-+=-=.2131,21,121,619)()()(a a a a a a a N a M a g (三)函数的奇偶性1、定义偶函数：一般地 ,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f( -x) =f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数 .拓展与提示：(1)函数的最|大(小)值是函数的图象的最|高点(最|低点)对应的纵坐标 . (2)一个连续不断的函数在闭区间［a,b ］上一定有最|大值和最|小值 . (3)求函数最|值的常见方法为①构造二次函数；②单调性法；③导数法 .奇函数：一般地 ,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f( -x) = -f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数 .2、函数奇偶性的性质(1)假设函数f(x)是偶函数 ,那么：①对任意定义域的x,都有f( -x) =f(x)；②函数f(x)的图象关于y 轴对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的 .(2)假设函数f(x)是奇函数 ,那么：①对任意定义域内的x ,都有f( -x) = -f(x)；②函数f(x)的图象关于坐标原点对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的 .3、函数奇偶性的判定方法(1)定义法f(x)是奇函数0)()()()(=+-⇔-=-⇔x f x f x f x ff(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=(2)利用图象的对称性f(x)是奇函数)(x f ⇔的图象关于原点对称 .f(x)是偶函数)(x f ⇔的图象关于y 轴对称 .例 设函数f(x)对任意x 、y ∈R ,都有f (x +y) =f(x) +f(y) ,且x>0时 ,f(x)<0 ,f(1) = -2 .拓展与提示：①并不是所有的函数都具备奇偶性 ,这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 ,就是f(x) =0 . ②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称 ,否那么称为非奇非偶函数 .(1)求证：f(x)为奇函数(2)试问在-3≤x≤3时,f(x)是否有最|值?如果有,求出最|值；如果没有,说明理由.解析(1)∵f(x)对于任意x、y∈R ,都有f(x +y) =f(x) +f(y)成立∴令x =y =0 ,得f(0) =f(0) +f(0) ,即f(0) =0再令y = -x ,得f(0) =f(x) +f( -x) ,即f( -x) = -f(x) ,∴f(x)为奇函数.(2)设x1<x2时,且x1、x2∈R ,那么f(x2 -x1) =f［x2 +( -x1)］=f(x2) +f( -x1) =f(x2) -f(x1) ,∴f(x2)<f(x1) ,∴f(x)在R上为减函数∴f(x2)在［-3 ,3］上,当x = -3时,f(x)取最|大值,即f(x)max =f( -3) = -f(3) = -3f(1) =6；当x =3时,f(x)取最|小值,即f(x)min =f(3) = -6.。

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

数学校本课程----函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I ．函数的定义设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做从A 到B 的函数.记做y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合，A 叫做函数f (x )的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B.II ．函数的性质（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集.若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=－f (x )，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=f (x ),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性 设函数f (x )在区间D ′上满足：对任意x 1, x 2∈D ′，并且x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) (f (x 1)>f (x 2)),则称f (x )在区间D ′上的增函数（减函数），区间D ′称为f (x )的一个单调增（减）区间.III ．函数的周期性对于函数 f(x ),如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，f (x +T)=f (x )总成立，那么称f (x )是周期函数，T 称做这个周期函数的周期.如果函数f (x )的所有周期中存在最小值T 0，称T 0为周期函数f (x )的最小值正周期.例题讲解1．已知f (x )＝8＋2x －x 2，如果g (x )＝f(2－x 2)，那么g (x )( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2．设f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋3)＝－f (x )，当0≤x ≤23时，f (x )＝x ，则f (2003)＝( )A.－1B.0C.1D.20033．定义在实数集上的函数f (x )，对一切实数x 都有f (x ＋1)＝f (2－x )成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.2303C.152D.23054．实数x ，y 满足x 2＝2xsin (xy )－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5．已知x ＝9919+是方程x 4＋b x 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，f (x )＝0有实数根，且f (x )＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (－1≤x ≤1)，若|f (x )|的最大值为M ，求证：M≥21.8．⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++9．设f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f (0)]的值.课后练习1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－52. 已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.3. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.5. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a 1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.7. 设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax ＋b|≤4.8. 已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2. ⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|；⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.。

第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。

高一的函数知识点总结函数作为数学中的一个核心概念，是高一数学课程中的重要组成部分。

本文将对高一阶段所学的函数知识进行梳理和总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、函数的基本概念函数是指一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系，通常用符号f表示。

对于函数f，如果输入值x属于定义域，那么f(x)就是x在函数f下的对应输出值。

函数可以用多种方式表示，如公式、表格、图形等。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

1. 单调性：函数在某个区间内，如果随着x的增加，f(x)也增加，则称函数在该区间内单调递增；如果f(x)减少，则称单调递减。

2. 奇偶性：如果对于所有的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；如果f(-x)=f(x)，则称偶函数。

3. 周期性：如果存在一个非零实数T，使得对于所有的x，都有f(x+T)=f(x)，那么T是函数f的一个周期。

三、函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的表现形式，通过图像可以直观地了解函数的性质和特点。

1. 直线：表示线性函数，如y=2x+3。

2. 抛物线：表示二次函数，如y=ax^2+bx+c。

3. 曲线：表示其他复杂的函数，如指数函数、对数函数等。

四、函数的应用函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理中的运动规律、经济学中的成本收益分析等。

1. 物理中的函数：描述物体运动的速度、加速度等与时间的关系。

2. 经济学中的函数：描述成本、收益与产量的关系。

五、函数的运算函数的运算包括四则运算、复合函数、反函数等。

1. 四则运算：两个函数的和、差、积、商都是新的函数。

2. 复合函数：如果有两个函数f和g，那么(f(g(x)))表示新的函数，称为f和g的复合函数。

3. 反函数：如果函数f的每个y值都有唯一的x值与之对应，那么这个对应关系f的逆称为f的反函数。

六、函数的极限与连续性函数的极限描述了函数值在某个点附近的变化趋势，连续性则是函数图像无间断的属性。

高中数学函数的概念和性质数学是一门抽象的学科，而函数是其中一个最基本、最重要的概念之一。

函数在高中数学中占据着非常重要的地位，它不仅是数学的基础，也是理解其他数学分支的关键。

本文将介绍高中数学函数的概念和性质。

一、概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在函数中，输入的值被称为自变量，输出的值被称为因变量。

函数可以用各种符号表示，例如f(x)、g(x)等。

高中数学中主要研究的是实函数，即自变量和因变量都是实数。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，定义域是所有实数集合R，而值域是非负实数集合[0，+∞)。

二、性质1. 定义域与值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质。

在确定定义域和值域时，我们需要注意函数的特殊情况，例如有理函数的分母不能为零等。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。

如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数随着自变量增大或减小而变化的趋势。

如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≤f(b)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≥ f(b)，则函数为递减函数。

4. 极值与最值：函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

我们可以通过求导数或研究函数的图像来确定函数的极值和最值。

5. 对称轴与顶点：对于二次函数，它们的图像通常是一个抛物线。

抛物线的对称轴是垂直于底边并通过顶点的直线，而顶点是抛物线的最低点或最高点。

6. 图像的平移和伸缩：通过对函数进行平移和伸缩，我们可以改变函数的图像。

例如，对于函数f(x)，f(x + a)表示将函数图像向左平移a 个单位，而f(kx)（k>1）表示将函数图像在x轴方向上压缩，函数图像变窄。

函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。

本文将介绍函数的概念以及其基本性质。

一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。

具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。

通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。

例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。

而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。

2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。

若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。

若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。

3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。

若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。

4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。

复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。

5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。

函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。

即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a（a是函数的定义域）的直线与函数y=f（x）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x为定义域，y为值域，不是函数的是（）A.y=x²+x³B.y=C.|y|=xD.y=8x解：对于|y|=x，对于任意非零x，都有两个y与x对应，所以|y|=x不是函数。

图像如下图，x=2的直线与|y|=x的图像有两个交点。

故答案选C例2、下列图象中表示函数图象的是（）解析：对于任意x=a的直线，只有C选项的图形与x=a的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。

故选C。

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

高中函数必考知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。

在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数也可以用y表示，即y=f(x)。

函数的定义域为自变量能取得的值的集合，值域为函数在定义域内所有可能取得的值的集合。

2. 函数的性质（1）定义域和值域：一个函数的定义域和值域是描述这个函数在横坐标和纵坐标上的取值范围。

（2）奇函数与偶函数：奇函数的图像对称于原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像对称于y 轴，即f(-x)=f(x)。

（3）周期函数：周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为函数的周期。

（4）单调性：函数在定义域上的单调性分为递增和递减两种情况。

二、函数的图像与性质1. 一次函数（1）一次函数的图像是一条直线，其表达式一般为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

（2）一次函数的图像是一条直线，斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y 轴的交点。

2. 二次函数（1）二次函数的图像是一个抛物线，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。

（2）二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴方程为x=-b/2a，开口向上或开口向下取决于a的正负。

3. 指数函数（1）指数函数的图像是一条过点（0,1）的递增曲线，其表达式一般为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。

（2）指数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。

（3）指数函数的图像在x轴上没有横截点，y轴上有一个横截点（0,1）。

4. 对数函数（1）对数函数的图像是一条过点（1,0）的递增曲线，其表达式一般为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1。

（2）对数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。