第14讲.反证法与同一法.目标预备班

反證法:(一) 什麼是反證法反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。

反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。

用反證法證明一命題，有三個步驟：（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。

（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。

（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確的。

下面用幾個例題來具體說明。

例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。

證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設AB AC ≥有AB BD AC CD +>+這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。

而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。

例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。

證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式211140a b ∆=-<、222240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 22222121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。

(二) 用反證法証題要注意的問題1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面DABC是否恰是命題的結論。

中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。

反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。

初中反证法的教案一、教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。

2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。

3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容：1. 反证法的概念及步骤。

2. 反证法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 反证法的概念和步骤。

2. 运用反证法解决实际问题。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解反证法的概念、步骤及应用。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

4. 实践操作法：让学生动手实践，提高运用反证法解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学的直接证明方法，引出反证法。

2. 讲解反证法的概念和步骤：（1）反证法的定义：假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明结论成立。

（2）反证法的步骤：步骤一：假设结论不成立。

步骤二：从假设出发，推理得出矛盾。

步骤三：由矛盾得出结论成立。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。

例1：证明：对任意正整数n，n²+1是奇数。

解：假设存在一个正整数n，使得n²+1是偶数。

则n²+1=2k（k为正整数）。

则n²=2k-1。

因为2k是偶数，2k-1是奇数，所以n²是奇数。

但根据假设，n²+1是偶数，与n²是奇数矛盾。

因此，假设不成立，所以对任意正整数n，n²+1是奇数。

4. 小组讨论：分组讨论反证法的应用，分享解题心得。

5. 实践操作：让学生动手实践，运用反证法解决实际问题。

6. 总结与评价：总结反证法的概念、步骤及应用，评价学生的学习效果。

六、课后作业：1. 复习反证法的概念和步骤。

2. 完成课后练习，运用反证法解决问题。

3. 思考反证法在实际生活中的应用。

七、教学反思：本节课通过讲解反证法的概念、步骤及应用，让学生掌握了反证法的基本知识。

在案例分析和实践操作环节，学生能够积极运用反证法解决问题，提高了逻辑思维能力和创新意识。

反证法和同一法在线面关系的有关证明中，有两种方法值得加以注意，它们是：（1）反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题．即“否定的结论否定的题设”．基本思想是：结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自相矛盾。

这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，就只能归咎于否定结论的假定，因此既然否定结论不成立，那结论就一定成立了．这种证明方法叫做反证法．它在证明许多基本命题时特别有用，用反证法证明的一般过程是：反证法由于否定结论的情况不同，又可分为归谬法与穷举法．课本中不少定理的证明，如直线与平面平行的判定定理的证明就是归谬法，穷举法也是常用的，例如要证明：“在△中，如果，那么．”因为和的关系有而且只有三种可能情形：即，和．根据已知定理，当时，有；当时，有，都同题设矛盾．所以只有成立．（2）同一法一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是惟一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，就个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般过程是：a．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；b．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；c．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是惟一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此断定原命题成立．例求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．已知：，，，．求证：．证明：在平面内作．则，而．∴与重合．∵，∴．反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则．由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明．如上例中可假设，在平面内作．……得，又，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得．。

反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。

它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律".在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律"，这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律"，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定"。

应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是:第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬:将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论:说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a=+≠上一点，试证y ax b=+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．夯实基础知识导航板块一反证法14反证法与同一法【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y ax b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且((1122y a x y a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去a，变形得122121x y x y y y --因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d -+-=-+-，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --+------， 因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合． ⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】 因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则10ax b += ① 20ax b += ② ①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部． 【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上． ⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．P CB AAB CPDAB CP⑶若P与A重合，显然PB PC AB AC+=+，与已知矛盾，故点P不可能是A点．⑷若点P在ABC△内（如上页右图），延长BP交AC于D，则AB AD BP PD+>+①PD DC PC+>②①+②得AB AD PD DC BP PD PC+++>++即AB AC PB PC+>+，与已知矛盾，所以点P不在ABC△内．由以上⑴～⑷知，点P必在ABC△外．习题2.如右图，在凸四边形ABCD中，若AB BD AC CD++≤，求证：AB AC<．DCBA【解析】设AB AC≥，则ACB ABC∠∠≥，因为ABCD是凸四边形，所以BCD ACB∠>∠，ABC DBC∠>∠，则B C D D B C∠>∠，于是BD CD>，故A B B D A C C D+>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC<得证．习题3.在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，c a⊥，d b⊥，则c与d也相交．【解析】假设c d∥，因为a c⊥，所以a d⊥，又因为b d⊥，所以a、b平行，这与已知条件a 与b相交矛盾，故c与d也相交．【例3】在四边形ABCD中，OA OC=，ABC ADC∠=∠，求证：ABCD是平行四边形．【解析】若OB OD=，则显然ABCD是平行四边形．若OB OD≠，不妨设OB OD>，则在OB上取点'B，使得'OB OD=，连结''AB B C、，则四边形'AB CD是平行四边形，则'ADC AB C ABC∠=∠>∠，矛盾！探索提升故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC ACGB +=+，则AB AC =．BB【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+， 可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．非常挑战FEDCB A【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……① 另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD = ∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC = ∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……② 综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 重合．所以40C ∠=︒．习题 5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．知识导航探索提升【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．非常挑战【解析】1180902BIC MIB NIC BAC∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I是ABC△的内心．。

反证法和同一法在线面关系的有关证明中，有两种方法值得加以注意，它们是：（1）反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题．即“否定的结论否定的题设”．基本思想是：结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自相矛盾。

这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，就只能归咎于否定结论的假定，因此既然否定结论不成立，那结论就一定成立了．这种证明方法叫做反证法．它在证明许多基本命题时特别有用，用反证法证明的一般过程是：反证法由于否定结论的情况不同，又可分为归谬法与穷举法．课本中不少定理的证明，如直线与平面平行的判定定理的证明就是归谬法，穷举法也是常用的，例如要证明：“在△中，如果，那么．”因为和的关系有而且只有三种可能情形：即，和．根据已知定理，当时，有；当时，有，都同题设矛盾．所以只有成立．（2）同一法一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是惟一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，就个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般过程是：a．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；b．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；c．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是惟一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此断定原命题成立．例求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．已知：，，，．求证：．证明：在平面内作．则，而．∴与重合．∵，∴．反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则．由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明．如上例中可假设，在平面内作．……得，又，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得．。

初二数学课外兴趣小组活动(十三)反证法一、内容提要：1、反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2、一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：若A则B===若非B则非A。

例如原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3、用反证法证明命题，一般有三个步骤：①反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）②归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③结论从而得出命题结论正确例如：要证两直线平行。

用反证法证明时①假设这两直线不平行；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

二、例题学习：例1、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B求证：AB∥CD证明：设AB与CD不平行 C 2 D那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM的外角 A 1 M B∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2∴AB与CD不平行的假设不能成立H∴AB∥CD C例2、求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3、已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数) 当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

反证法与同一法
反证法的思想是利用原命题与逆否命题的等价性．而同一法的思想是利用原命题与逆命题的等价性．这就涉及到什么时候原命题与逆命题等价了．先看下面的例子．
例１（1）猫是四足动物；
（2）石家庄是河北省的省会．
这是两个简单的命题．仔细研究命题里的“是”字，我们发现，“是”字有两种解释：一种是“属于”；一种是“全同”．
“猫是四足动物”就是“猫属于四足动物”，即猫是四足动物中的一种．在这种情况下，逆命题不会因原命题成立而成立．因为猫不过是四足动物中的一种，四足动物中还有许多别的动物，例如牛、马等，所以不能说四足动物一定是猫．但是，“石家庄是河北省的省会”的意思是，虽然河北省有许多城市，而惟有石家庄是河北省的省会，它是独一无二的．石家庄与河北省的省会是全同的东西，所以逆命题“河北省的省会是石家庄”也成立．。