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3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)

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3.1.1数系的扩充和复数的概念

3.1.1数系的扩充和复数的概念

3、复数的代数形式：z=a+bi (a,b∈R),
其中a是复数z的实部,b是复数z的虚部.
注意：（1）复数的虚部是 b, 而不是bi；
（2）当复数的实部或虚部为0时，可将其省略。
例如，3+0· i可写作3；0+2i可写作2i.
特例：
P52 1
实数0
（a=0且b=0）
Ex.以2i 5的虚部为实部，以 5i i2
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
P52 2
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
1.数系的扩充
数系的扩充的原则:
(1)要能解决实际问题中或数学内部的矛盾; ①从实际生产需要推进数的发展:
表示具有相
计数的需要
反意义的量 的需要
表示量与 量的比值
自然数
整数
测量的 需要 有理数
有理数与 无理数 无理数
实数
②从解方程的需要推进数的发展
使方程x+5=3
使方程3x=5
有解
有解 负数
分数
使方程x2=2
有解
无理数
问题：x2+1=0在 实数系中无解。
为了解决x2+1=0这样的方程的解的问题,引 入一个新数 i（虚数单位,取自imaginary（想 象的，假想的）词头）,使 i2 =-1, 则x2+1=0就 有解x=i了。
数系的扩充的原则:

数系的扩充与复数的概念公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

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i 4n1 i i4n3 i
数系的扩充
复数的概念
•复数旳几何意义
数系的扩充
复数的概念
复数旳几何意义 复数集C与 复平面上旳点集是一一相应旳. 5. 共轭复数 实部相同，虚部相反旳两个复数
复数z=a+bi旳共轭复数记为 z a bi
共轭虚数—— 虚数旳共轭复数 【阶段小结】
①共轭复数旳相应点有关 实轴对称；
口答P1798、9 y
•Z: a+bi
③z=a+bi {纯虚数} z=z
；
④ 两个实数 能够比较大小、
O
x
不全为实数 旳两个复数不能比较大小.
•Z : a bi
数系的扩充
一.复数旳概念
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)旳数叫做复数.
全体复数所成旳集合叫做复数集， 一般用字母C表达 .
数系的扩充
复数的概念
复数旳代数形式
一般用字母 z 表达，
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
其中 i 称为虚数单位。
数系的扩充
复数的概念
1.指出下列复数旳实部与虚部。
（1）2+3i （2）1-2i （3）5i-4 （4）2i （5）-3i （6）8i （7）10 （8）-8 （9）0
数系的扩充
复数的概念
二、复数旳分类 Z=a+bi(a,b∈R)
讨论？
R C
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数(b 0) 复数a+bi 虚数(b 0)
特别地，当a 0时，Z为纯虚数
数系的扩充
复数的概念
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
图3.1 1

数系的扩充和复数的概念汇总公开课获奖课件省赛课一等奖课件

数系的扩充和复数的概念汇总公开课获奖课件省赛课一等奖课件

c
di
a c b d
3.复数旳两种几何意义；
有关无理数旳发觉
古希腊旳毕达哥拉斯学派以为, 世间任何数都能够 用整数或分数表达,并将此作为他们旳一条信条.有一天,这 个学派中旳一种组员希伯斯忽然发觉边长为1旳正方形旳对 角线是个奇怪旳数,于是努力研究,终于证明出它不能用整 数或分数表达.但这打破了毕达哥拉斯学派旳信条,于是毕 达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出 去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还 是被抓住了,被扔入了大海,为科学旳发展献出了宝贵旳生 命.希伯斯发觉旳此类数,被称为无理数.无理数旳发觉,造 成了第一次数学危机,为数学旳发展做出了重大贡献.
值为___4____。
问题拓展
已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数， 求a旳值.
解：设方程旳解为x0 代入方程化简得：(x02 2ax0 5) (x02 2x0 3)i 0
(x02 2ax0 5) 0 (x02 2x0 3) 0
解得：a 7 或a 3 3
回忆：数系旳扩充
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米.
+8844 -155
回忆：数系旳扩充
自然数集
整数集
正整数
整数 自然数 零 负整数
被“分”出来旳分 数
伴随生产、生活旳需要，人们发觉，仅仅能表达整数 是远远不行旳.
假如分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？
些是纯虚数.
4, 2 3i,
0,
1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解:实数有 4 ， 0
虚数有 2

郭§3[1].1数系的扩充(公开课)

郭§3[1].1数系的扩充(公开课)
郭味纯 2010.4
一. 问题情境
从小学开始， 从小学开始，我们学了自然数 集N、整数集 、有理数集 实数集 ， 、整数集Z、有理数集Q. 实数集R， 它们之间有怎样的包含关系呢？ 包含关系呢 它们之间有怎样的包含关系呢？ 有关系
⊂Z ⊂ Q ⊂ R N ≠ ≠ ≠
Z Q R
N
它能说明什么问题？ 它能说明什么问题？ 数集在扩充 系 N +-×÷ Z
作业：课本P105 练习1-4 （做在书上） 作业 课本P105 练习1-4 习题3.1 1-4
（做在作业本上）
思考题 1.请设计数集的文氏图，用它来表示实数、 虚数、纯虚数等数集与复数集的包含关系. （留给课外做，充分发挥你的想象能力）
参考解答：
思考题 a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件? a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件? 是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件 答:必要非充分条件. 必要非充分条件.
那么i 那么i3 =
i4 =
五. 类比思维
自然数系N 自然数系 有运算＋－ ＋－× 有运算＋－× 减法不能畅通无阻 即方程x+1=0无解 即方程 无解 怎样解决矛盾？ 怎样解决矛盾？ 创造新数-1， 创造新数 ，设它 是x+1=0的解 的解 添加新数-1 添加新数 要求新数-1与 中的 要求新数 与N中的 数进行原有的运算. 数进行原有的运算 自然数系R 自然数系 有运算＋－×÷a ＋－×÷ 有运算＋－×÷ n√ 开平方不能畅通无阻 即方程x 即方程 2+1=0无解 无解 怎样解决矛盾？ 怎样解决矛盾？ 创造新数i， 创造新数 ，设它是 x2+1=0的解 的解 添加新数i 添加新数 要求新数i与 中的数 要求新数 与R中的数 进行原有的运算， 进行原有的运算，保 持运算律. 持运算律

数学课件：第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

数学课件：第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

由①得ba2＋－32＝b＝0，3， ∴ba＝＝3－或3， b＝－1. 当 a＝－3，b＝3 时，M＝{3i,8}，N＝{3i,8＋11i}满足题意． 当 a＝－3，b＝－1 时，M＝{3i,8}，N＝{3i,8＋3i}满足题意． 由②得ab＋ 2－32＝b＝a2－b2＋1，2. 无整数解，舍去， 综上知 a＝－3，b＝3 或 a＝－3，b＝－1.
判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时， 可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为“a＋bi”的形式，更 要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
探究二 复数相等的充要条件及应用 [例 2] 已知集合 M＝{(a＋3)＋(b2－2b)i,8}，集合 N＝{3i，(a2－1)＋(b2＋2)i}同时满 足 M∩N M，M∩N≠∅，求整数 a，b. [解析] 由条件 M∩N M，M∩N≠∅，a，b∈Z. ∴M，N 一定有公共元素． 又 b2＋2≠0，∴(a2－1)＋(b2＋2)i≠8 所以(a＋3)＋(b2－2b)i＝3i，① 或(a＋3)＋(b2－2b)i＝(a2－1)＋(b2＋2)i，②
1．其中说法错误的是( )
(1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．
(2)若 a 为实数，则 z＝a 一定不是虚数．
(3)bi 是纯虚数．
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等．
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
解析：(1)若 b＝0 时，z 为实数，(1)不正确． (2)正确．因为 a 为实数，所以 z＝a 中没有虚部，一定不是虚数．它是实数． (3)错误．若 b＝i，则 bi＝i2＝－1.故 bi 不一定是纯虚数． (4)正确．由复数相等的概念可得． 答案：B

3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)

3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)
把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，
你得到什么样的数？ 把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运
算的结果都可以写成 a bia,b R 的形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
一、教材第106页，A组1、2
x 0 b 3 x x 0,b 3
x 0, y 3i
数系的扩充
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
2020/2/15
2020/2/15
问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
思考 (a, b, c, d R)

a c b d
若a

bi

0(a、b

R)
ba

0 0
2020/2/15
口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
（3）当m 1 0 ，且 m 1 0，m即m1 m1010时0，复
数 z 是纯虚数．
2020/2/15
变式1：实数m取什么值时，复数 m2 5m 6 m2 3m i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零

高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2

高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2

【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得

数系的扩充与复数的引入公开课课件

数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义

总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑

高中数学(新课标)选修2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念

高中数学(新课标)选修2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念

跟踪训练 1 (1)如果复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 为纯虚 数，那么实数 a 的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．1 或－2
解析：(1)由题意可知aa22＋ －a3－ a＋2＝2≠0， 0， 所以 a＝－2. 答案：(1)A
(2)下列命题中： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数． ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i3>b＋i2. ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1. ④两个虚数不能比较大小．
【解析】 (1)若 z 为实数，
必须aa22－ －51a≠－0.6＝0. ∴aa＝≠－±11. 或a＝6， ∴当 a＝6 时，z 为实数．
(2)若 z 为虚数，必须aa22－－15≠a－0，6≠0， ∴aa≠ ≠－ ±11且a≠6， . ∴当 a∈{a∈R|a≠±1 且 a≠6}时，z 为虚数． (3)若 z 为纯虚数，
跟踪训练 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2 －2x－15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)要使 z 是实数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15＝0 ， 解得 x＝5.
(2)要使 z 为虚数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15≠0 ， 解得 x≠－3 且 x≠5.
a＝0 a≠0
状元随笔 从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数．反
之， 若 z 是纯虚数，可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，a∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R)
知识点三 复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝. d

课件1：3.1.1数系的扩充和复数的概念

课件1：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念
第三章：数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
推理与证明
类比
理性思考与探究
承上启下
数学文化
理性精神
数系的扩充和复数的概念
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
引入新数、生成概念
应用举例、强化新知
课堂小结、回顾归纳
布置作业、课外拓展
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
万物皆数
数统治着整个宇宙
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
无实数解
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
与实数可以像实数与实数一样进行加法和乘法运算.
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
学情分析
教学目标的确定及依据
知识与技能目标
过程与方法目标
经历

数系的扩充和复数的概念公开课

数系的扩充和复数的概念公开课
(1) z 3 2i
(2) z 1 3i
(3) z 5i 8
1 ( 4) z i 7
(5) z (1 )i
(6) z 8
(7) z 0
复 数 相 等
在复数集 C a bi | a, b R任 取两个数 a b i 与 c d i （ a , b , c , d R )
a bi c di a c,b d
a bi 0 a 0,b 0
例2
例 题 巩 固
已知 (2 x 1) i y (3 y)i,求实数 x, 的值 课堂训练1
y
若 (2x 2 3x 2) ( x2 5x 6)i 0,
（3）x是实数，y是纯虚数，且 x＋y＝（3－x）i，求x，y
小 结
复数
例4
2 2 z 4 a 1 ( 2 a 3 a ) i , z 2 a ( a a)i, 已知 1 2
其中a R, 若 z1 z2 , 求 a 的取值集合。
求实数
x 的值。
例1
分别指出下列复数的实部和虚部
(1) z 3 2i
(2) z 1 3i
(3) z 5i 8
1 ( 4) z i 7
(6) z 8
(7) z 0
(5) z (1 )i
bi a bi
a
复 数 的 分 类
实数（b=0） a 纯虚数（a=0） 复数 bi (a+bi) 虚数(b 0) a+bi 非纯虚数(a 0) a+bi 纯虚数集 bi 虚数集 实数集 a+bi a 非纯虚数集 a+bi

人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件


新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→________ 复数系 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求 与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主 要性质(如运算定律)________适用； 依然 (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系 __________ ； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 保持不变
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案案
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学 内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示． 3．理解复数相等的充要条件．
复数的相等与复数的分类 新知导学 3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔___________. a＝c且b＝d 4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 _____________，a＝0是z为纯虚数的____________条件． a＝0且b＝0 必要不充分
5．复数的分类
b＝0 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，z 为实数⇔__________ ，z 为
b≠0 虚数⇔_________ ，z

优质实用教学课件精选数系的扩充与复数的概念公开课

优质实用教学课件精选数系的扩充与复数的概念公开课

2.若复数1 3i (a R)是纯虚数，则实数a _______ . ai
例3.已知复数z
(1
i)3 2i
3+i
，且
z2 az b z2 z 1
1
i，
(a 、b R),求实数a,b.
分析：z 1+i, z2 z 1=z(z 1) 1 (1+i)i 1 i,
(z2 z 1)(1 i) i(1 i) 1 i,
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m2 m 2 (m2 1)i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m 1; (2)m 1; (3)m 2.
例3. 设x，y∈R，并且 2x–1+xi=y–3i+yi，求 x，y.
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.
例3.已知复数z满足 z =1，求复平面内z对应的点的轨迹. 分析：设z x yi( x, y R),则 x2 y2 =1， x2 y2 =1， 点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.
已知复数z满足 z (2 i) =1，求复平面内z对应的 点的轨迹.
例4.已知在复平面上正方形OABC (O为原点), 顶点A 对应的复数zA=1 i,求B,C对应的复数.

高中数学3.1.1数系的扩充和复数的概念优秀课件

高中数学3.1.1数系的扩充和复数的概念优秀课件
复 a b c i d ia c,b d
数 相 特别地，abi0 a0,b0 等 作用 1.判断两个复数是否相等；
2.求复数值的依据.
注意：两个实数可以比较大小，一个实数与 一个虚数或两个虚数不可以比较大小。
例2: 其中
已知 ( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，
x, yR, 求x与y.
1，
0 矛盾的原因是什么？
方程x2－x＋1＝0无实根
2、方程x2－x＋1＝0无实根的根本原 因是什么？
－1不能开平方
问题提出
3、我们设想引入一个新数，用字母i表 示，使这个数是－1的平方根，即 i2 ＝－1，那么方程x2－x＋1＝0的根是什 么？
1 2
3 2
i
减
加
实数
除
乘方
开方 乘
解方程 x2 1,x ？
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练 当m为何实数时，复数
习 Zm 2m 2(m 21 )i
巩〔1〕实数 〔2〕虚数 〔3〕纯虚数
固(1)m=1 (2)m 1(3)m=-2 学科网
在复数集 C a b|a i,b R 任
取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c ,d R )
数系的扩充和复数的 概念
zxxk
x32
数
系
的
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
数
系
的
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
问题提出
2.假设 x
1 x
1 ，那么
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2. 复数集、虚数集、实数集、 虚数集 复数集C 纯虚数集之间的关系
纯虚数集
实数集R
3. 复数中的实数能比较大小， 虚数不能比较大小。
09:26
想一想
如果两个复数相等，那么它们应满
足什么条件呢？
09:26
复数相等
知新
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
z a bi
实 部 虚 部
( a R, b R )
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思考 复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数？ 实数 (b 0)
复数z=a+bi
(a ∈ R、b ∈ R)
虚数 (b 0) （纯虚数（a=0且b≠0））
判断
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假） 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. （真） 故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的
学习目标 1.了解数系的扩充过程． 2．理解复数的基本概念 以及复数相等的充要条 件． 3．了解复数的代数表示 法.
目标解读
1.重点是利用复数的代数 形式进行分类和复数相 等的充要条件的应用． 2．难点是复数概念的理 解及复数相等的条件.
人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的 需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没 有”的数 0. 自然数的全体构成自然数集 N 为了表示各种具有相反意义的
只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻 的 缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复
数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起 来．1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a,b) 定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足 实数的运算律.这样历经300年的努力，数系从实数系向
量以及满足记数的需要，人们 又引进了负整，将数系扩充至 整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的 将某些量进行等分的问题，人 Q 们引进了分数，将数系扩充至 R 用方形的边长去度量它的对角线所得 有理数集Q. 的结果，无法用有理数表示，为了解 决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成 实数集R.
Z
N
2 解方 =－1
发现此方程在实数范围内无解，说明现有的数集不能满足 我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充
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问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个
新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1) i 21 ； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
变式 1
下列命题中，正确命题的个数是(
)
①复数－3i＋5 的实部是－3，虚部是 5； ②若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0； A．0 C．2 B．1 D．3
答案：A
例 2:
求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i 成 立的实数 x，y 的值．
必要不充分
条件.
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说一说
完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或
纯虚数）
2-3i
实部 虚部
0
0
2
-3
1 4 i 2 3 1 2
6i
0
6
纯虚 数
i
2
-1
0
4 3
0
实数
分类
虚数 实数
虚数
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讨论
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
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复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
变式 3
m2－m－6 实数 m 取何值时， 复数 z＝ ＋(m2－2m－15)i m＋ 3
是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
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当堂练习 见导学案1-6题
知识小结
实部 虚部
纯虚数
z a bi(a, b R)
代数 形式
a0
非纯虚数 a 0
虚数
b0
有 复数的定义： b=0 分 a bi 的数 关 把形如_______ 实数 类 概 念 叫做复数（a,b∈R），
思考
(a, b, c, d R)
a c b d
a 0 若a bi 0(a、b R) b 0
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说一说
1.若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值； 3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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例 1:
其中
i
是虚数单位。
复数相等
虚数
单位
i
2=___ -1
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c b=d
欢迎各位 批评指正
阅读：复数系是怎样建立的？
1545年意大利有名的数学 “怪杰”卡丹 第一次开始 讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”. 几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一 个 名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数
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观 察
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
2 i， 2i， (2 3)i， 2 3i， 2 3, 2 3
a bi
知新
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示. 复数的代数形式
复数系的扩充才得以大功告成.
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解：根据复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y 得 (3 y ) 1
5 x 2 y 4
变式练习2：若(x－1)＋i＝(y＋3)i，其中x， y∈R，则 2 x y 的值为________ 1 2
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例 3:
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
判断下列说法是否正确： (1)当 z∈C 时，z2≥0. (2)若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数． (3)若 a>b，则 a＋i>b＋i.
【解】 (1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝ i，则z2＝－1<0. (2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0· i＝0∈R. (3)错误．两个虚数不能比较大小．