北京高考一模数学理科海淀西城丰台朝阳汇总导数题型答案

【西城】 18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =.……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. …………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点…… 13分【东城】（18）（本小题 13 分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求 a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于X 轴的下方？若存在，求出一个 点P 坐标，若不存在，说明理由. （18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ...........13分【海淀】(18)（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数． 解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为 （Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点 当且时，函数有两个零点【朝阳】18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值． 18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()ef a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分【丰台】18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为； 令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，0a =R x ∈()(2)e xf x x =-()(1)e xf x x '=-()0f x '>1x >(1,)+∞()0f x '<1x <(,1)-∞()(1)(e )xf x x ax '=--(0,+)x ∈∞e 0x ax ->所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增， 所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）.所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有恒成立.所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.【石景山】18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。

一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。

2024北京丰台高三一模数 学2024.03本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}220A x x x =−≤，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A.{}0x x ≥B.{}01x x <≤C.{}1x x >D.{}12x x <≤2.已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d =（ ） A.1−B.0C.1D.23.已知双曲线222:1x C y a −=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A.2C.2D.124.522x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A.80−B.40−C.40D.805.已知向量a ，b 满足()3,1b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=（ ）A.14 B.12C.2D.46.按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai （i 0,1,,9=）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()A i 1+规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ） A.6B.7C.8D.97.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（ ）A.1C.2D.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()8k k παπ=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α−是奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+④外接球的体积为V =. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②④D.③④10.已知数列{}n a 满足()()*1*2,,2121,,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N 则（ ）A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a −<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a −> 第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12i34i+=−_________.12.在ABC △中，若5b =，4B π=，3cos 5A =，则a =_________. 13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________. 14.已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,+∞上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数.则()0f =________；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =_________.15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln999n nn a a a v a a a =+++， 其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+−∑∑.注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n =）级火箭结构和燃料的总质量.给出下列三个结论： ①121n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D −−的余弦值. 条件①：1BC AC⊥； 条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分）已知函数()21cos sin2f x x x x ωωω=−+（0ω>）.（Ⅰ）若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求ω的值.18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.260mm 的概率；（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差1D ξ，2D ξ的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .是否存在定点D ，使得12DM PQ=？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）已知函数()()e ln 1x f x x x =++−，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，记()()()h x f x g x =−.（Ⅰ）当00x =时，求切线l 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥； （Ⅲ）当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数.（结论不要求证明）21.（本小题15分）已知集合{}*2n M x x n =∈N ≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足： ①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M =；②()1,2,,k k a b k k n −==.则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”. （Ⅰ）已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值； （Ⅱ）若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个； （Ⅲ）判断()5,6n M n =是否为“好集合”.若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈的所有“好数阵”；若不是，说明理由.参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022北京丰台高三一模数 学2022.03第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{|12}A x x =−<≤，{|21}B x x =−<≤，则A B ⋃=（ ） A. {|11}x x −<<B. {|11}x x −<≤C. {|22}x x −<<D. {|22}x x −<≤2. 已知命题p ：1x ∃>，210x −>，那么p ⌝（ ）A. 1x ∀>，210x −>B. 1x ∀>，210x −≤C. 1x ∃>，210x −≤D. 1x ∃≤，210x −≤3. 若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知圆22:20C x x y −+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（ ） A. 4B. 3C. 2D. 15. 若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ） A. 15B. 14C.158D.786. 在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（ ） A. 6π B.3π C.56π D.6π或56π 7. 在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ） A. 19种B. 20种C. 30种D. 60种8. 已知F 是双曲线22:148x y C −=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（ ）A.32B.2C. D. 69. 已知函数()32,,3,x x a f x x x x a −<⎧=⎨−≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A. (,1]−∞−B. (,1)−∞−C. [1,)+∞D. (1,)+∞是10. 对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++=，则n 的最小值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 11第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数()f xlg x 的定义域是_________.12. 已知向量(2,3)a =−，(,6)b x =−．若a b ∥，则=x ______．13. 设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.14. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．15. 如图，在棱长为2正方体1111ABCD A B C D −中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D −所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN的距离是2； ③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒； ④△1PDD面积的最小值是6． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定． （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．的条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在直角梯形ABCD 中，ABCD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DP DF 的值；若不存在，说明理由．18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．20. 已知函数()f x =的（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （2）若函数2()()3ag x f x =−恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21. 已知集合{12}S n =,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a =,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集． （1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由； ①1{124}A =,,； ②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S =,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值； （3）若12{}m A a a a =,,,是{12}S n =,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++≥，并指出等号成立的条件．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =−<≤，{|21}B x x =−<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=−<≤. 故选：D. 2. 【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案. 【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x −>， 则p ⌝为：1x ∀>，210x −≤. 故选：B. 3. 【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数， 反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠ 所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件 故选：B 4. 【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y −+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132−=.故选：C. 5. 【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q −−===−−.故选：C6. 【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A. 7. 【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119−=种. 故选：A 8. 【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=故选：C 9. 【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数33y x x =−与直线2y x =−的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =−， 可得()()233311y x x x '=−=+−，由0y '>，得1x <−或1x >，由0y '<，得11x −<<，∴函数33y x x =−在(),1−∞−上单调递增，在()1,1−上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =−在1x =−时有极大值2，在1x =时有极小值2−， 作出函数33y x x =−与直线2y x =−的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D. 10. 【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可. 【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++=，故2462100n ++++≥，即()221002n n +≥，解得12n −−≤或12n −+≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10. 故选：C.11. 【答案】{|02}x x <≤ 【解析】【详解】∵函数()f x lg x + ∴要使函数有意义，则20{0x x −≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x +的定义域为{}02x x <≤ 故答案为{}02x x <≤ 12. 【答案】4 【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =−，(,6)b x =−，a b ∥， ∴()()2630x −⨯−−=，解得4x =. 故答案为：4.13. 【答案】213()24f x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一） 【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数， 可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14. 【答案】 ①. (1,0) ②. 5 【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y −+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =， ∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)， ∴2201001y x −−⋅=−−−，即240x y −+=，又24y x =， ∴22404y y −+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=. 故答案为：(10),；5. 15.【答案】①③ 【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，122CMNS==，∴1113326B CMN CMNV S h h h −=⋅=⨯=， 111111123323C B MN B MN V SCC −=⋅=⨯⨯=， ∴由1B CMN V −=1C B MN V −，可得h =所以直线11B D 到平面CMN距离是17，故②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，的∴()1,2,2PC MC λλ==−，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D∴()2,22,2P λλλ−−，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=−−=−−， 假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=−+−+−=，整理得291440λλ−+=，∴719λ=>（舍去）或79λ=， 故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ−−，所以点()2,22,2P λλλ−−在1DD 的射影为()0,2,2λ， ∴点()2,22,2P λλλ−−到1DD 的距离为：d ===，∴当25λ=时，min 5d =，∴故△1PDD 面积的最小值是122⨯=. 故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可； （2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】 选择条件①②： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x −=−， 所以(0)0f =，即sin 0ϕ=． 解得π()k k ϕ=∈Z ． 因为||2ϕπ<， 所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω． 由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z ． 因为||2ϕπ<， 所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)26g x x x x =++π． 因为04x π≤≤， 所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x17【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF = 【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz −．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE =，()1,1,0BC =−，()1,2,0BD =−，()1,0,1DF =−．设()01DP DF λλ=≤≤，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=−−设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0,120.x y x y z λλ−=⎧⎨−−+=⎩ 令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ， 由题意得：sin cos ,n AE n AE n AE θ⋅==⋅56==， 整理得：232270λλ−+=，解得13λ=或7λ=． 因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =． 所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56． 18【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35 （3）42a =【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯． 【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=． 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15． 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()30331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a =．19. 【答案】（1）2214x y += （2）8[0]5， 【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222242,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 【小问2详解】设(,)P m n （22m −<<），由已知得(2,0)A −，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2n y x m =−−． 令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N n y m =−， 所以62||22n n MN m m =−+−()2444n m m −=−． 因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=， 所以2244m n −=−，即4||m MN n −=． 因为4MN ||≤，所以44m n−≤，即22(4)16m n −≤． 所以22(4)4(4)m m −−−≤．整理得2580m m −≤，解得805m ≤≤． 所以点P 横坐标取值范围是8[0]5，． 20. 【答案】（1）y x =（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a=时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3a g x =()x a ≤， 所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =． 当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a −−≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a −∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a −∞,上单调递增，在区间2()3a a ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2()3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点； 若3a >时，2()03a g >，又2(0)()03a g g a ==−<， 由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3a a ,上各有一个零点， 所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，． 21. 【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析 （2）12 （3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值； （3）不妨设12m a a a <<<，有121i i i i m i a a a a a a a n +−<+<+<<+≤．121i i i m i a a a a a a +−+++,,,是A 中1m i +−个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,，此时该集合恰有m i −个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +−++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集． ②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾； 若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=． 若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<<．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +−++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +−+≤．由12m a a a <<<，得121i i i i m i a a a a a a a n +−<+<+<<+≤．所以121i i i m i a a a a a a +−+++,,,是A 中1m i +−个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,， 该集合恰有m i −个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +−++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n −−−++++=+++++++++≥． 即12(1)2m m n a a a ++++≥． 等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n i a i m m +=+≤≤．。

西城区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）（B（C ）6（D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x xf xx⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤则()y f x=的图象上关于原点O对称的点共有（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为a，b，c，其中a b c<<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A）U→V→W（B）V→W→U（C）W→U→V（D）U→W→V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A∠的大小；（Ⅱ）若ab=ABC的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率； （Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC所成角的余弦值为？若存在，求出11A F A C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )x f x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线ex y =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-． （Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+ 11x±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin2⋅=⋅，C c A所以=． [ 1分]C A Asin2sin cos在△ABC中，由正弦定理得=． [ 3分]C A Asin2sin cos所以cos A=． [ 4分]因为0πA<<，[ 5分]所以πA=． [ 6 6分]（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得2222cos=+-，a b c bc A所以222=+-⋅c c[ 8分]整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A = [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[ 8分]所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以1A O ⊥平面BCED，[ 3分] 所以 1A O BD ⊥． [ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以 直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为． [ 9分]（Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分]设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-，所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==． [12分]令，整理得23720λλ-+=． [13分]解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+． [ 2分]依题意，有(1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 4分]解得0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x xx'=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x xx+-+同号．令221()ln g x a xx x=+-+，[ 6分]则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分]所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)2上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [1分]所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C 的离心率 ce a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下：[ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=，[ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=． [ 9分]所以圆F的圆心F到直线l的距离0|2|d =+． [11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =++=++-=++． [13分]所以 22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l与圆F相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以5{2,4,5}E =． [ 3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i ik k S S +>，且1i k +是使得ik k S S >成立的最小的k ，所以 11i ikk S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[ 6分]1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分]（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 mn k S S ≤．所以 12110()()()()mmm n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +． 综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

2024北京海淀高三一模数 学本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知全集{}22U x x =−≤≤，集合{}12A x x =−≤<，则U C A =A.(2,1)−−B.[2,1]−−C.{}(2,1)2−−D.{}[2,1)2−−2. 若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数z =A.1i +B.1i −C.1i −+D.1i −−3. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若122a a =，公差0d ≠，0m S =，则m 的值为A.4B.5C.6D.74. 已知向量,a b 满足||2=a ，(2,0)=b ，且||2+=a b ，则,<>=a bA.π6B.π3 C .2π3D.5π65. 若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.2214x y −=B.2212x y −= C.2212y x −= D.2214y x −= 6. 设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且m α⊂，l α⊥. 则“l β⊥”是“//m β”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知3, 0()lg(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限. 则 A.sin cos tan ααα−≤ B.sin cos tan ααα−≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>9. 函数()f x 是定义在(4,4)−上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =. 设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是A.[0,2]B.[3,0][3,4)−C.(5,0][2,4)−D.(4,0][2,3)−10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 . 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，11211122111,2A A A A OA ==.若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r *(,cm)r ∈N 单位:至少为A.6B.7C.8D.9第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. （本题满分13分）（Ⅰ）2()cos 2cos 16666f ππππ=+- 2121222⎛=⨯+⨯- ⎝⎭ 2= ······················ 3分（Ⅱ）()2cos 2f x x x =+2sin(2)6x π=+ 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）， 令222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得 36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+（k ∈Z ） ···· 13分16. （本题满分13分）（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件，26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件，所以，61()122P A ==. ················ 4分 （Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2. 242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ·········· 13分17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法2：OC A B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法3：OC A设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB .因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥.因为 PQ OQ Q =I ，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ所以 OP AB ⊥因为 AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC OPC ABQ所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC················4分所以平面PAC⊥平面ABC（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB AC⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A-，(0,0,1)P由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为(0,1,0)OB=u u u r由(1,1,0)BC=-u u u r，(1,0,1)PC=-u u u r设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，则由BCPC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u ru u u rnn得：x yx z-=⎧⎨-=⎩令1x=，得1y=，1z=，即(1,1,1)n=rcos,||||n OBn OBn OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --········· 9分 （Ⅲ）设BN BP μ=u u u r u u u r ，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r令0BM AN ⋅=u u u u r u u u r得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BNBP ∈ ··················14分18. （本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x =故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ············ 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a a x x x x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故021()f x =e故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e············ 13分 故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a . Q 2'()1g x x=-e ， 令'()0g x =，得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e . ···· 13分（19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ··········· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t--=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= ··················· 14分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k 由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=-- 0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故TMN TNM ∠=∠故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ················· 14分20. （本题满分13分）（Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. 3分 （Ⅱ）假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”，① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===； ② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ；③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=，另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=； 矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一的. 8分 （Ⅲ）方法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=. 定义数表,1919()j i B b ⨯=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即,,j i i j b a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有：① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即,,362j i j i c b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值 即对任意的19A ∈Ω，其“N -值”为,i j a （其中119i ≤≤，119j ≤≤），则19C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362， 故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对，使得每对数表的 “N -值”之和为362，故X 的数学期望()181E X =. ·············· 13分 方法2：X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ，19,20,21,...,341,342,343k =，则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=，则343343343362191919343343343191919(362)()k k k k k k k k kk k k nk n k n k E X n n n -======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑， 故34334319193433431919(362)2()362k k k k k kk k nk n k E X n n ====⋅⋅-=+=∑∑∑∑，()181E X =. ··· 13分。

20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2； 2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分 （Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥． 因为0q a ≥， 所以m ax()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =．下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0 或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b --- 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一 类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ， (()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分20．解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++． 所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以211111111n n n nn n n n nn nn nnn b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅．因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=> ；所以11122311111111111()()()nii i nn n b bb b b b b b bb b=+++=-+-++-=-<∑ ．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C Î且a X Ï，则(({})()1C a r d C X a C a r d C X ∆=∆- ；②若a CÏ且a X Ï，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆+ .所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q =. 因为 ,P Q A B ⊆ ，所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）(6)3g =，(20)5g =． …………2分 （Ⅱ）1(1)(2)112S g g =+=+=；2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=．…………6分 (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m *∈N ，有(2)()g m g m =． …………8分所以当2n ≥时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)nnn S g g g g g g =+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n ng g g g g g g =++++-++++ 1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++⨯11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-⨯=++++114n n S --=+ …………11分于是114n n n S S ---=，2,n n *≥∈N ．所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+12244442n n --=+++++14(14)4221433n n--=+=+-，2,n n *≥∈N ．…………13分又12S =，满足上式， 所以对n *∈N ，1(42)3nn S =+． …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ． 若4:4,0,0,0,0A ，则3:3,1,0,0,0A ；2:2,0,2,0,0A ；1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换． ………5分对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n -1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形．假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ==== ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n T −−→1,1,,1,0 由于3n ≥，可知1,1,,1,0 （至少3个1）不可能变为,0,,0n ． 所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T −−→121,,,,n a a a ''' ，01,,,n b b b T−−→121,,,,n b b b ''' ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=- ，1211n b b b n -'''+++=- ． 因为110,,,na a -'' T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,nb b -'' T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =- ． 再由T 与1T-互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -'' ，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -'' ，所以i i a b =，1,2,,i n = ，从而唯一性得证． ………9分 （Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0ia通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。

北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）12i55−+（12）42 （13）3（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）（15）②③注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点，所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ，zyxEDBACA 1C 1B 1所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为cos ,⋅<>===m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，所以二面角1B B C D −−．选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===所以BD =因为D 为AB中点，所以AB = 所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为2ω=，所以211()cos sin 633322f ππππ=−+=．………………4分（Ⅱ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+1cos21222sin(2)6x x x ωωω−=−+π=+因为()f x 在区间[,]62ππ上单调递减，所以2263T πππ≥−=，即3T ω2π2π=≥， 所以03ω<≤．因为()012f π−=， 所以()sin()01266f ωπππ−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ， 所以1ω=． ………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，则8612()101025P C ． ………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.2124361(1)5C C P X C ， 1224363(2)5C C P X C ， 34361(3)5C P X C ，X1311232555EX．………………11分 （Ⅲ）12DD ．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y +=． ………………5分（Ⅱ）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ． 当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3131k x x x x k k +=−=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()121212122121222222331399613931310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=．综上，存在定点D ()0,2−，使得12DM PQ =． ………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，当00x =时，0()(0)1f x f ==；1'()e 11x f x x =+−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．………………5分（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21xxh x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，1(1)e 21'()e 211x xx x h x x x +−−=+−=++．解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2xm x x =+−．当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x ∈，故(2)e 212xx +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x >，故(2)e 212xx +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1'()e 21xh x x =+−+， 令1()e 21xg x x =+−+，则21'()e (1)x g x x =−+． 当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，211(1)x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，211(1)x <+，e 1x>，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．………………4分（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣⎦，记为T ．因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈，且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=．因为(21)(21)(1,2,,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，所以1212212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，所以T T =.另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+， 所以2212n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠， 故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分（Ⅲ）假设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：2111nnni i i i i a b i ===+=∑∑∑，111nnni i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：2111(12)2(1)(53)2222nnni i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=∑∑∑， 即1(53)4ni i n n a =+=∑ 当6n =时，616339942i i a =⨯==∑，与61*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，51528354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}10,5,9,8,3和{}10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个：138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.………………15分。

2025届北京海淀高三下学期一模考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 3．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．44．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)5．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④6．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．7．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ） A ．427B ．13C ．127D ．198．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到22y x =的图象 9．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1610．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C 15D 21511．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．31012．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．22D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市海淀区北京师大附中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．92．直线0(0)ax by ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种4．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．35．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i6．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6747．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．548．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 9．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．010．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。