2013K8代数方程和一次函数

初二数学一次函数与方程、不等式的关系冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：一次函数与方程、不等式的关系1. 掌握一次函数与方程、不等式的内在联系.2. 学会用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组和不等式，发展数学应用能力.二、知识要点：1. 求直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标（或当x取何值时，y的值为a），只需令y＝0（或y＝a），即解一次方程kx＋b＝0（或kx＋b＝a）.例如，解方程2x－4＝0，相当于求当y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，也相当于确定y＝2x－4与x轴交点的横坐标的值. 也就是说，求得2x－4＝0的解为x＝2，就求得y ＝2x－4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y＝2x－4与x轴交点的横坐标为2. 反过来，要求y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y＝2x－4与x轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x－4＝0.2. 欲知当x为何值时，直线y＝kx＋b在x轴（或y＝a）的上方，只需令y＞0（或y＞a），即解一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＞a）.例如，解不等式2x－4＞0，相当于求使y＝2x－4的函数值大于0时自变量的取值X围，也相当于确定y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值X围. 也就是说，求得2x－4＞0的解集为x＞2，就得出当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0，也就得出当x＞2时这条直线上的点在x轴的上方. 如图所示. 反过来，求使y＝2x－4函数值大于0的自变量取值X围，要求y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值X围，都相当于解不等式2x－4＞0.3. 求两直线y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的交点坐标，只需解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1y ＝k 2x ＋b 2 .一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.例如，解方程组，相当于解方程⎩⎪⎨⎪⎧y =2x －1y ＝12x ＋2 . 从数的角度看，相当于问x为何值时，y ＝2x －1的函数值与y ＝12x ＋2的函数值相等. 也相当于确定y ＝2x －1与y ＝12x＋2的交点坐标.4321-2-1-3-44321-2-1-3-4Oy xy ＝2x －1y ＝12x ＋24. 欲知当x 为何值时，直线y ＝k 1x ＋b 1在直线y ＝k 2x ＋b 2的上方（或下方），只需解不等式k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2（或k 1x ＋b 1<k 2x ＋b 2）.三、重点难点：重点是初步体会方程与函数的关系，函数与不等式的关系，难点是利用函数图像解决实际问题，发展数学应用能力.【典型例题】例1. 下列图像中，以方程y －2x －2＝0的解为坐标的点组成的图像是（ ）21-2-121-2-1Oyx 21-2-121-2-1Oyx 21-2-121-2-1Oyx 21-2-121-2-1Oyx分析：方程y －2x －2＝0的解对应函数y ＝2x ＋2的图像，显然，这条直线过（0，2）、（－1，0）两点，故选C. 或判断y ＝2x ＋2经过第一、二、三象限.解：C 评析：二元一次方程的每一组解都对应一个一次函数图像上一点的坐标，也就是二元一次方程转化为“形”后就是坐标系中的一条直线.例2. 如图所示，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图像交于点P ，则根据图像可得，关于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b y ＝kx 的二元一次方程组的解是__________.分析：由图知两条直线的交点坐标是P （－4，－2），而根据已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋by ＝kx与函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 图像的关系知，两函数图像的交点坐标就是对应方程组的解.解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2例3. 用作图像的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝42x －3y ＝12 .分析：先把两个方程化成一次函数的形式，再在同一直角坐标系中画出它们的图像，交点的坐标就是方程组的解.解：由2x ＋y ＝4可得y ＝－2x ＋4. 由2x －3y ＝12得y ＝23x －4. 在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝－2x ＋4和y ＝23x －4的图像，如图所示，由图像可得交点坐标为（3，－2），所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝42x －3y ＝12 的解是⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2 .评析：作图时，两点分别取在x 轴或y 轴上，可简化作图. 用此法得出的解是近似解，检验正确后可得准确解.例4 老师出了一个题目，让同学们比较y 1和y 2的大小，其中y 1＝3x ＋6，y 2＝2x ＋4. 同学甲认为：因为3＞2，6＞4，所以y 1总是大于y 2的.同学乙认为：y 1与y 2的大小关系是不确定的，因为y 1＝y 2，y 1＜y 2，y 1＞y 2三种情况x 的值都存在.你认为谁的观点对，你能否用一次函数的图像知识来解释. 解：同学乙的观点是正确的.可以在同一直角坐标系内同时作出两个一次函数y 1＝3x ＋6和y 2＝2x ＋4，得到它们的交点为（－2，0），如图所示，由此可得出当x ＝－2时，y 1＝y 2；当x ＞－2时，y 1＞y 2；当x ＜－2时，y 1＜y 2.例5. 如图所示，直线l 1的解析表达式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴交于点D. 直线l 2经过点A 、B ，直线l 1、l 2交于点C.（1）求点D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标.分析：（1）点D 是直线l 1与x 轴的交点，此时y ＝0. （2）直线l 2经过A 、B 两点，可以通过待定系数法求l 2的解析式. （3）求出点D 的坐标后，可求AD 的长，只要再求出点C 到x 轴的距离就可以求面积了，点C 到x 轴的距离可通过求l 1与l 2的交点坐标求得. （4）△ADP 与△ADC 有共同的底AD ，它们的高如果相等，面积就相等，也就是在l 2上求异于点C 的另一点P ，使点P 到x 轴的距离与点C 到x 轴的距离相等.解：（1）直线l 1：y ＝－3x ＋3与x 轴交于点D ， 当y ＝0时，－3x ＋3＝0，解得，x ＝1 所以点D 的坐标是（1，0）（2）由图可知直线l 2过点A （4，0）、B （3，－32），设其解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、B 的坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝4k ＋b －32＝3k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32b ＝－6所以直线l 2的解析式是y ＝32x －6.（3）由点A （4，0）和点D （1，0），得AD ＝3 点C 是直线l 1和l 2的交点，即 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3y ＝32x －6 解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3所以点C （2，－3）到x 轴的距离是︱－3︱＝3所以△ADC 的面积是12×3×3＝92（4）因为△ADC 和△ADP 面积相等且有公共边AD ， 所以点P 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离等于3，即点P 的纵坐标等于3，此时3＝32x －6解得x ＝6，即P （6，3）. 评析：本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题和两个一次函数的交点的问题，但从“数”的角度看是解一元一次方程和二元一次方程组.【方法总结】体验数形结合思想的意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力. 归纳提炼一次函数与二元一次方程组的关系，从“形”的角度理解：解方程组相当于确定两直线的交点坐标. 从“数”的角度理解：解方程组相当于求自变量为何值时两函数值相等.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取（ ）A. x ＞118B. x ＜118C. x ＞0D. x ＜02. 如图所示，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点（－4，0），当y ＞0时，x 的取值X 围是（ ）A. x ＞－4B. x ＞0C. x ＜－4D. x ＜03. 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图所示，当x ＜0时，y 的取值X 围是（ ）A. y ＞0B. y ＜0C. －2＜y ＜0D. y ＜－2 4. 函数y ＝4x －2与y ＝－4x －2的交点坐标为（ ）A. （－2，0）B. （0，－2）C. （0，2）D. （2，0）*5. 直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）bA. x ＞－1B. x ＜－1C. x ＜－2D. 无法确定 *6. 一次函数y ＝k （x －1）的图像经过点M （－1，－2），则其图像与y 轴的交点是（ ） A. （0，－1） B. （1，0） C. （0，0） D. （0，1）二. 填空题1. 已知y ＝2x －4，当__________时，y ＞0.2. 已知y 1＝2x －3，y 2＝－x ＋6，当__________时，y 1＞y 2.3. 如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l 2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须____________.**4. 一次函数y ＝（m －2）x ＋m 的图像不经过第三象限，且m 为正整数，则它的图像上纵坐标为－5的点的横坐标为__________.*5. 莉莉有10元钱，她购买作业本后剩下的钱y （元）与购买的作业本数x 满足函数yx ，当剩下的钱y 不超过2.8元时，她购买的作业本数x 应满足__________.**6. 如图，直线y ＝kx ＋b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组12x ＜kx＋b ＜0的解集为__________.三. 解答题1. 已知直线l 1：y ＝－4x ＋5和直线l 2：y ＝12x －4，求两条直线l 1和l 2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上.2. 画出一次函数y ＝－3x ＋12的图像，通过图像观察x 为何值时， （1）y ＞0？（2）y ＝0？（3）y ＜0？3. 利用图像解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －1y ＝12x ＋4 .**4. 函数y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2的图像如图所示.（1）求出这两个函数的表达式；（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝0 可以看作哪个方程组的解？（3）x ＝－2可以看作哪个一元一次方程的解？ （4）x ＞－2可以看作哪个一元一次不等式的解集？ （5）x ＜－2可以看作哪个一元一次不等式的解集？【试题答案】一. 选择题1. A2. A3. D4. B5. B6. A二. 填空题1. x ＞22. x ＞33. 大于44. 65. 6≤x ≤8且x 为整数6. －3＜x ＜－2三. 解答题1. （2，－3），在第四象限.2. 图像略，（1）x ＜4，（2）x ＝4，（3）x ＞4.3. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝34. （1）y 1＝34x ＋32，y 2＝－2x －4；（2）⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝－62x ＋y ＝－4 ；（3）34x ＋32＝－2x －4；（4）34x ＋32＞－2x －4；（5）34x ＋32＜－2x －4.。

⎩ ⎨ 北师大版八年级上册数学第 23 讲《二元一次方程（组）与一次函数》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程与一次函数的关系；2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3. 能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1. 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程 ax + by = c (a 、b ≠ 0, c 为常数) 都 可 以 变 形 为y = - a x + c b b(a 、b ≠ 0, c 为常数) 即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. ⎧x = 0,2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程 x + y = 5 我们列举出它的几组整数解有⎨ y = 5; ⎧x = 5, ⎨ y = ⎧x = 2, ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数 y ＝ - x + 5 ⎩ 0; ⎩ y = 3的图像上，反过来，在一次函数 y = 5 - x 的图像上任取一点，它的坐标也适合方程 x + y = 5 . 要点诠释：1. 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2. 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3. 以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1. 两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定y = 5 -x y = 2x -1 ⎧x = 2⎨y = 3是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则⎩⎧x +y = 5⎨2x -y = 1就是二元一次方程组⎩ 的解.2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数y = 3x - 5 与y = 3x +1 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2.图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A x﹣3y=3B ．．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为 1 得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知x = 3 ，y =-2 和x = 0 ，y = 1是二元一次方程ax +by + 3 = 0 的两个解，则一次函数y =ax +b 的解析式为（）A.、y =-2x - 3B、y =x C.、y =-x + 3D、y =-3x - 3【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y 的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1 同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015 春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6 过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y 的方程组的解是．【答案与解析】解：∵x=﹣4 时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y= x 上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1 和y=﹣2x+1 的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2 倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b 求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0（1）请确定y 与x 的函数关系式？（2）现有一把高39cm 的椅子和一张高为78.2 的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39 时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。

一次函数和代数方程教案例题3.某乡A、B两村盛产柑橘，A村有200吨，B村有300吨。

现将这些柑橘运到C、D两个冷藏库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A寸运往C、D两地的运费分别是每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的运费分别是15元和18元。

设从A村运往C仓库的柑橘为x吨，A、B两村运往两仓库的费用分别是y A元、y B元。

（1）求出y A、y B与x之间的函数关系；（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少？（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘总运费不得超过4830元。

在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？并求出这个最小值。

例题4.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，动点P以2cm/s速度沿图甲的边框按B→C→D→A的路径移动，相应的△ABP的面积s关于时间t的函数图象如图乙．根据下图回答问题：图乙点在整个的移动过程中△ABP的面积是怎样变化的？在图甲中具有什么实际意义？a的值是多少？y-，，且与y轴(20)△的面积．C，求ABC11.已知一次函数y=kx+b的图象过点（1，2），且与y轴交于点P，若直线y=－0.5x+2与y轴的交点为Q，点Q与点p关于x轴对称，求这个函数解析式.12.已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．13.已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．。

《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案教学目标知识与技能：掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.过程与方法：理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.情感态度与价值观：进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.行为与创新：通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.教学重点利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.课堂准备教师：课件.学生：练习本.教学过程一、复习引入内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系？(2)二元一次方程组有哪些解法？二、设计实际问题情境，导入新课内容：教材议一议A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米．问经过多长时间两人将相遇？目的：通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫．同时理解知识之间有着广泛的联系．通过“小明的方法求出的结果准确吗？”自然过渡到本节课的主要内容．效果：通过引例的分组探索，深刻理解图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代数方法虽然准确，但不够形象和直观．三、典型例题，探究一次函数解析式的确定内容：例1某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(千克)的一次函数．现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：(1)设b=，根据题意，可得方程组y+kx⎩⎨⎧+=+=.9010,605b k b k 解该方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.5,61b k 所以.561-=x y (2)当x =30时，y =0．所以旅客最多可免费携带30千克的行李．四、练习与提高内容：1.图中的两条直线1l ，2l 的交点坐标可以看做方程组 的解．答案：⎩⎨⎧-=-=+.12,4y x y x 2.在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体质量x (千克)的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y 与x 之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．答案：5.145.0+=x y ；当x =4时，y =16.5．五、课堂小结内容：1、函数与方程之间的关系．2、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维．3、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：(1)用含字母的系数设出一次函数的表达式：≠k；=()0bkxy+(2)将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；(3)解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式．布置作业：习题5.8。

一次函数与方程组的关系《一次函数与方程组的关系》嘿，朋友们！今天咱来唠唠一次函数与方程组的那些事儿。

你说这一次函数和方程组，就像两个调皮的小伙伴，总是在数学的世界里玩着有趣的游戏。

一次函数呢，就像是一条欢快奔跑的线，有时直直地冲，有时又弯弯地拐。

而方程组呢，就像是一组神秘的密码，等着我们去解开。

咱先来说说一次函数。

你看它呀，用一个简单的式子 y=kx+b 就把自己给概括了，多干脆！它能在坐标轴上画出各种奇妙的线条，就像小孩子涂鸦一样有趣。

有时候看着那线条，我就忍不住想，嘿，这要是在现实生活中，不就是我们走过的路嘛，有直有弯，有起有落。

然后呢，方程组就登场啦。

它就像是个智慧的裁判，能把一次函数的那些线条给摆弄清楚。

比如说吧，两条一次函数的线碰到一起了，方程组就能告诉我们它们在哪里交汇，就像两个小伙伴约好了在哪里见面一样。

有一次我做作业的时候，就碰到了它们俩。

那题目就像是个小怪兽，我左思右想就是搞不定。

后来我静下心来，仔细分析了一下一次函数和方程组的关系，嘿，还真就找到了解题的窍门。

我就感觉自己像是个小侦探，一点点地解开了这个数学谜团。

哎呀呀，在数学的世界里，一次函数和方程组就是这样相互陪伴，相互作用。

它们让我们的解题过程变得像一场冒险，充满了惊喜和挑战。

到最后啊，我想说，数学虽然有时候看起来挺复杂的，但只要我们用心去感受，就会发现它其实也有很多好玩的地方。

就像一次函数和方程组，它们不仅仅是那些公式和符号，更是我们探索数学奥秘的好伙伴呀！所以，让我们继续和它们一起玩耍，一起在数学的海洋里畅游吧！嘿嘿，就说到这儿啦，朋友们！怎么样，是不是对一次函数与方程组的关系有了更深刻的认识呀？下次再看到它们，可别头疼啦，要笑着和它们打招呼哦！。

八年级上册数学一次函数联系
一次函数是八年级上册数学中的一个重要概念，它是指函数 y = kx + b（k ≠ 0）的形式。

这种函数在直角坐标系中是一条直线，其中k 是直线的斜率，b 是 y 轴上的截距。

以下是一次函数在八年级上册数学中的一些应用和联系：
1. 实际问题建模：一次函数可以用来描述许多实际问题中变量之间的关系，例如速度、时间、距离之间的关系，或者商品价格、销售量之间的关系等。

通过建立一次函数模型，可以解决这些实际问题。

2. 代数运算：一次函数是代数运算的一个重要应用。

在学习代数运算时，可以通过一次函数来练习和巩固加法、减法、乘法和除法等基本运算技能。

3. 函数图像：一次函数的图像是一条直线，通过图像可以直观地理解一次函数的性质和特点。

例如，斜率 k 决定了函数的增减性，截距 b 决定了函数
与 y 轴的交点等。

4. 变量替换：在解决一些复杂问题时，可以使用一次函数进行变量替换，简化问题。

例如，在解方程或不等式时，可以将方程或不等式中的未知数表示为一次函数的变量，从而简化计算过程。

5. 函数性质：一次函数具有一些基本的性质，例如当 k > 0 时，函数为增函数；当 k < 0 时，函数为减函数。

这些性质可以用来判断函数的单调性和变化趋势。

综上所述，一次函数在八年级上册数学中是一个非常重要的概念，它与许多其他数学知识和技能有着紧密的联系。

通过学习和掌握一次函数的相关知识，可以更好地理解数学的整体结构和应用价值。

2013年k8一次函数和代数方程教案
例题2. 已知：直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A、B，另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C（1,0），且把⊿AOB分成两部分。

（1）若⊿AOB被分成的两部分面积相等，求经过点C的直线的解析式；
（2）若⊿AOB被分成的两部分面积比为1﹕5，求经过点C的直线的解析式。

例题3.某乡A、B两村盛产柑橘，A村有200吨，B村有300吨。

现将这些柑橘运到C、D两个冷藏库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A寸运往C、D两地的运费分别是每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的运费分别是15元和18元。

设从A村运往C仓库的柑橘为x吨，A、B两村运往两仓库的费用分别是y A元、y B元。

（1）求出y A、y B与x之间的函数关系；
（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少？
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘总运费不得超过4830元。

在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？并求出这个最小值。

图乙
点在整个的移动过程中△ABP的面积是怎样变化的？
在图甲中具有什么实际意义？a的值是多少？
y
-，，且与y轴
(20)
12 / 12。

八年级数学一次函数专题一次函数与方程、不等式、方程组专题知识点1．解关于x 的方程kx+b=0，从数量上看：已知函数y=kx+b 的 为0，•求相应的 的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b ，确定它与 •轴的交点的 ．2．解关于x 的不等式kx+b>mx+n 从图象上看：（1）当自变量x 取何值时，直线y=（k-m ）x+b-n 上的点在x 轴的上方．或（2）当x 取何值时，直线y=kx+b 上的点在直线y=mx+n 上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）3．求两直线的交点坐标方法是：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的纵横坐标。

当两直线平行时，K 相等，且方程组无解。

强化练习：1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。

2．已知直线y=kx+b 与直线y=3x-1交于y 轴同一点，则b 的值是 。

3．直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______．4．已知直线y=2x+8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______．•与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．5．已知mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x•轴的交点坐标是________．6．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x 等于_________•时的函数值是 ．7、如图，是直线y=kx+b 的图象，当x ______时，0=y ；当x ______时，0y >；当x _________时，0<y 。

当x ______时，kx+b 2<，当x ______时，kx+b 2>则它的解析式是_______________；8、（1）当___________时，1y ＝2y 的值；（2）当___________时，1y ≤2y 的值；（3）当___________时，1y ＞2y 的值；9、已知直线y=-2x+1与y=kx 交于点（-2,a ）,则a= ,k=10、直线l 1:b x k y +=11与直线l 2:x k y 22=在同一平面直角坐标系中,图象如图所示，则关于x 的不等式b x k x k +>12的解集为课后总结：。

《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案一、教学目标：掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.进一步理解方程与函数的联系二、教学重点：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式三、教学难点：从具体情境中寻找确定一次函数的表达式的条件四、教学过程：（一）课前热身：如图1-1所所示:直线421+-=x y 与直线2-=x y 相交于点M,则点M 的坐标为 （4，2） .（二）课题引入：如图1-2所示：求两直线的交点M 的坐标21-=y备注：注重方法的引导，不必要求算出结果，引出课题：用二元一次方程组确定一次函数表达式子。

（三）例题讲解：例 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．（1）写出y 与x 之间的函数表达式；（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b （k≠0) . 根据题意，可得方程组：⎩⎨⎧+=+=b b 9010605 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==561b k 561-=∴x y （2）当30=x 时，0=y .所以旅客最多可免费携带30千克行李。

备注：注重引导学生分析问题，从实际情景中去寻找确定函数表达式的条件，即建立二元一次方程组的过程，突破本课题难点。

（四）知识梳理：待定系数法确定函数表达式：1. 像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，一般步骤如下：（1）设出函数表达式： y=kx+b（2）把已知条件代入，得到关于k,b的方程组（3）解方程组，求出k,b的值（4）写出其表达式（五）变式练习：在弹性限度内，弹簧的长度)(kgx的y是所挂物体质量)(cm Array之间一次函数。

二元一次方程与一次函数讲义1、一次函数2y kx =+的图象总过定点 ，二元一次方程2kx y -=-有无数个解，其中必有一个解为 ．2、已知一次函数33y x =-与332y x =-+的图象的交点是（4,13），则方程组33236y x y x -=-⎧⎨+=⎩的解是 ． 3、已知一次函数5y x =-+和113y x =-+的图象互相平行，则方程组53311x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ． 4、无论m 为何值，直线2y x m =+与4y x =-+的交点不可能在第 象限．5、已知一次函数32y x m =+和y nx p =+的图象都经过点A （-2，0），与y 轴分别交于点B 、C ，△ABC 的面积为4，求m 、n 和p 的值．6、已知关于x y 、的方程组3562ax y x by -=⎧⎨+=-⎩所对应的两个一次函数的图象如图所示，求a b -的值．7、如图，1l 、2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（1）根据图象分别求1l 、2l 的函数表达式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间里计划照明2500个小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必解答过程）．8、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到珠海市图书馆查阅资料，学校与市图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线O-A-B-C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系式．9、已知直线1l 经过点（2，5）和（-1，-1）两点，与x 轴的交点是点A ，将直线-65y x =+的图象向上平移4个单位后得到2l ，2l 与1l 的交点是点C ，2l 与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．10、如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y x =与-26y x =+．点P （t ，0）是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．（1）求点C 的坐标；（2）设△BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）当t 为何值时，直线l 平分△BOC 面积．11、已知一次函数y ax b =+与y bx a =+的图象相交于A （,4m ），且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点，（B 上C 下），△ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式．12、对于方程组23526322x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩，最优的解法是（ ）A ．先消去x B ．先消去y C ．先消去z D ．都一样13、在2y ax bx c =++中，当1x =-时，2y =；当2x =时，8y =；当5x =时，158y = ．（1）求：a b c 、、的值；（2）求当2x =-时，y 的值 ．勾股定理、一次函数函数综合训练1．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1+S 2的值等于（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π 2．给出下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是一组勾股数；②如果直角三角形的三边两边长为3和4，那么另一边长的平方必是25；③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 是斜边长，那么a 2：b 2：c 2＝2：1：1．其中正确的是（ ）A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD 的最小值为（）A．4B．5C．6D．74．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为（）A．10s B．12s C．24s D．25s5．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．6．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．7．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．8．如图，在四边形草坪ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m．则草坪ABCD的面积是．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，P A＝3，求∠BPC的度数．10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，则EF长是．11．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数，请画出所有满足条件的点C；（3）画出△ABC关于点B的中心对称图形△A1B1C1．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？13.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）如图，直线BD交y轴正半轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.已知直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若△ABP的面积与△ABC的面积相等，求点P的坐标．。