2017年专题提升三 函数的图象和性质的综合应用

专题一 函数图象与性质的综合应用1．函数的性质(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位．(2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式，再研究函数的定义域与值域． (3)中档题常考题型利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题.(4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现，它是高考中的重要题型之一，特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型． 2．函数的图象(1)函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容． (2)作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．(3)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视． (4)用图，主要是数形结合思想的应用.题型一 函数求值问题例1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2×(t ＋1)x，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________． 探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos(πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于 ( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．3 题型二 函数与不等式问题例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x ≥0的解集为( )A ．[－2,0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－2]∪(0,2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x >0时的解集即可．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 题型三 函数的图象问题例3 函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )探究提高 本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析式，需要我们根据图象的特征确定与其相应的函数解析式，并判断另一个图象是否与函数解析式对应．破解此类问题可从函数图象上的本质——点的集合入手，结合函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过一些特殊点(常用函数图象与两坐标轴的交点)排除干扰项即可找到答案．(2011·安徽)函数f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是 ( ) A ．m ＝1，n ＝1 B ．m ＝1，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝1 D ．m ＝3，n ＝1 题型四 函数的最值与不等式恒成立问题例4 定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．探究提高 对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 题型五 以形助数数形结合问题例5 已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 探究提高 本题是函数与不等式的综合题，运用数形结合的思想及函数的思想，抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时均有f (x )<12，则实数a的取值范围是____________________________________________________________．3.作图用图要规范试题：(12分)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3| (1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 审题视角 (1)化简f (x )并作出f (x )的图象，由图象确定单调区间．(2)方程f (x )－a ＝x 的根的个数等价于y ＝f (x )与y ＝x －a 的交点的个数，所以可以借助图象进行分析． 规范解答解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)，作出图象如图所示． [2分] (1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4分] (2)原方程变形为 |x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1； [6分] 当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. [8分] 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34. [10分]由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． [12分] 批阅笔记 (1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质． (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解．(4)本题比较突出的问题，是作图不规范．由于作图不规范，导致第(2)问的思路出现错误.方法与技巧1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题． 失误与防范1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2．对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3．识图要抓性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图．专题一 函数图象与性质的综合应用(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．(2011·北京)如果21log x <21log y <0，那么 ( ) A ．y <x <1 B ．x <y <1 C ．1<x <y D ．1<y <x2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等于 ( ) A ．－12 B ．－14C ．14D ．123.若函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )二、填空题4．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为_________．5．已知x 2> 31x ，则实数x 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5(x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题7．已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝aa 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．8．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上 ( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则 ( )A ．a <12且a ≠－1 B ．－1<a <0C ．a <－1或a >0D ．－1<a <23．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，34) D ．(34，2) 二、填空题4．设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，其中⎣⎡⎦⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间，将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是__________．5．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．7．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________. 三、解答题8．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1 (a >0，a ≠1)的图象关于原点对称．(1)求m 的值；(2)判断函数f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明； (3)当a >1，x ∈(t ，a )时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与t 的值． 答案题型分类·深度剖析 例1 12 变式训练1 D 例2 D 变式训练2 C 例3 C 变式训练3 B例4 (1)解 令x ＝y ＝0， 得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)证明 令y ＝－x ， 得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数． f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2， 其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.变式训练4 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是 (0，13]∪[3，＋∞)．例5 解 由x 2－log a x <0，得x 2<log a x . 设f (x )＝x 2， g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得116≤a <1. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 变式训练5 ⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]课时规范训练 A 组1．D 2.A 3.C 4.(2，＋∞) 5．x <0或x >1 6.[7,8)7．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ， 且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t .∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数， 又aa 2－1>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －x 为减函数， 又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数． (3)∵f (0)＝aa 2－1(a 0－a 0)＝0， ∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．8．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4 消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0， Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)．∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)． B 组1．D 2.C 3.D 4.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 5．4 6.(－2,1) 7.38．解 (1)∵函数f (x )＝log a 1－mxx －1 (a >0，a ≠1)的图象关于原点对称，∴f (－x )＋f (x )＝0， 即log a 1＋mx －x －1＋log a 1－mx x －1＝log a (1－mx )(1＋mx )(－x －1)(x －1)＝0，由(1－mx )(1＋mx )(－x －1)(x －1)＝1，得m 2＝1，∴m ＝1或m ＝－1. 当m ＝1时，1－mxx －1＝－1<0，舍去；当m ＝－1时，1－mx x －1＝1＋x x －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1. ∴符合条件的m 的值为－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1，任取1<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝log a x 2＋1x 2－1－log a x 1＋1x 1－1＝log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1).∵1<x 1<x 2，∴(x 2＋1)(x 1－1)－(x 2－1)(x 1＋1)＝2(x 1－x 2)<0，∴0<(x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1)<1， ∴当0<a <1时，log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 2＋1)>0， 即f (x 2)－f (x 1)>0，此时f (x )为增函数；当a >1时，log a (x 2＋1)(x 1－1)(x 2－1)(x 1＋1)<0， 即f (x 2)－f (x 1)<0，此时f (x )为减函数．(3)由(2)知，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上为减函数； 同理在(－∞，－1)上也为减函数．当(t ，a )⊆(－∞，－1)时，f (a )<f (x )<f (t )<0与已知矛盾，舍去； 当(t ，a )⊆(1，＋∞)时，∵函数f (x )的值域为(1，＋∞)，∴f (a )＝1且t ＋1t －1＝0， 解得t ＝－1，a ＝1＋ 2.。

2017年高考数学（文）热点题型和提分秘籍：专题07-函数的图象doc1 •在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。

2.会运用函数图象理解和研究函数的性质, 解决方程解的个数与不等式的解的问题。

热点题型一作函数的图象例1、作出下列函数的图象。

1(i) y= 2凶;(2)y= |iog2(x +1)|；【解析】⑴怅出严⑨的團熟保留片凰象中总0剖分，加上尸的豳中Q0部分关于丿轴的对称邹分’即得尸£「的图象（團1〉⑵作出y= log2x的图象，将此图象向左平移胡17年高考数学（文）热点題型和提分秘籍专题”函数的图象(3)y=2x —1x —團121个单位，得到y= Iog2（x + 1）的图象，再保留其y》0部分，加上其y v0的部分关于x轴的对称部分，即得y= |Iog2（x +1）|的图象（图2）。

2x _ 1 丿1（3）由y= 737得y=x z^+2。

1 1作出y=-的图象，将y=-的图象向右平移1x x1个单位，再向上平移2个单位，即得y= -------- +x —1 2的图象（图3）。

【提分秘籍】函数图象的画法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。

（2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。

（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

【举一反三】作出下列函数的图象:(1) y=|X|；x + 2(2) y=x - 1(3) y= |log2x —1|;【诙】⑴百越化訥曲T:心刹用二农團数的團象作出其團象，如那祈示U⑴原式赍形为尸1十占,先作出尸缶图象,再頑图象歸平移一7位,再向上平移一牛单位I艮［1碍.如團②所乔。

1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性热点题型一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 例1、 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈Z(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________。

(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________。

【答案】（1）D （2）⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z （3）⎝⎛⎭⎫－116π，－76π∪⎝⎛⎭⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎤13π6，8由余弦函数的图象，得 在一个周期－π，π]上，不等式 cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－5π6≤x ≤56π， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z 。

【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域。

(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。

2．简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解。

(2)利用三角函数的图象求解。

【举一反三】函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________。

【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z 【解析】要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0。

利用图象，在同一坐标系中画出0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示。

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

函数的图像性质及应用初中函数的图像性质指的是函数的图像在平面直角坐标系中的特点和规律。

函数的图像性质与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等相关，具有一定的规律和特殊性质。

函数的图像性质在数学中有广泛的应用，尤其在解决实际问题中起到重要的作用。

首先，函数的图像性质与函数的定义域和值域密切相关。

函数的定义域是指函数所能取得自变量的值的范围，而函数的值域是指函数所能取得因变量的值的范围。

函数的定义域和值域决定了函数图像的可观察范围。

例如，定义域和值域都是实数集的线性函数，其图像为一条直线；定义域和值域是正实数集的平方函数，其图像是一条右开口的抛物线。

其次，函数的图像性质与函数的单调性密切相关。

一个函数在定义域上的单调性描述了函数在自变量取值方向上的变化趋势。

函数可以是递增（自变量增大，函数值也增大）、递减（自变量增大，函数值减小）或者既递增又递减、既递减又递增。

根据函数的单调性，可以判断函数图像在坐标系中的走势。

例如，递增的线性函数的图像是一条上升的直线，递减的线性函数的图像是一条下降的直线。

再次，函数的图像性质与函数的奇偶性密切相关。

一个函数在定义域上的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数图像关于坐标原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数图像关于y轴对称。

根据函数的奇偶性，可以判断函数图像在坐标系中是否存在对称性。

例如，奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

最后，函数的图像性质与函数的周期性密切相关。

一个函数在定义域上的周期性描述了函数图像在横轴上的重复性。

周期函数满足f(x)=f(x+T)，其中T为正实数，表示函数图像在横轴上重复出现的距离。

根据函数的周期性，可以判断函数图像在坐标系中的周期性特点。

例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，其图像在坐标系中呈现出波形的重复性。

函数的图像性质在数学中有广泛的应用。

首先，在代数与几何中，函数的图像性质可以帮助我们判断函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

专题三 函数图象与性质综合题类型一 交点问题典例精析例 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，2)，点B (3，2)，点C (－2，－3)是平面内3个点．(1)连接AB ，若直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，求b 的取值范围；(2)连接BC ，若直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，求b 的取值范围；(3)若直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，求k 的值；(4)若直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形，求k 的取值范围；(5)若双曲线y ＝k x 过点A 且与直线y ＝34x ＋b 在(－5≤x ≤－1)有交点，求b 的取值范围；(6)连接AB ，若抛物线y ＝x 2＋c 与线段AB 有公共点，求c 的取值范围；(7)若抛物线y ＝x 2＋c (－2≤x ≤2)与直线BC 有一个交点，求c 的取值范围；(8)连接AB ，若抛物线y ＝(x －k )2与线段AB 有公共点，求k 的取值范围；(9)若双曲线y ＝k x过点B 且与抛物线y ＝x 2 ＋c 在2≤x ≤6有交点，求c 的取值范围．1. (2020河北24题10分)表格中的两组对应值满足一次函数y ＝kx ＋b ，现画出了它的图象为直线l ，如图．而某同学为观察k ，b 对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l ′.(1)求直线l 的解析式；(2)请在图上画出．．直线l ′(不要求列表计算)，并求直线l ′被直线l 和y 轴所截线段的长； (3)设直线y ＝a 与直线l ，l ′及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接．．写出a 的值．第1题图2. (2016河北26题12分)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t )(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线y ＝k x(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA ·MP ＝12. (1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接．．写出t的取值范围．第2题图针对演练3. (2020承德二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C三点的坐标分别为(2，0)，(1，2)，(4，3)，直线l的解析式为y＝kx＋4－3k(k≠0)．(1)当k＝1时，直线l与x轴交于点D，则点D的坐标为________，S△ABD＝________；(2)小明认为点C也在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；(3)若线段AB与直线l有交点，求k的取值范围．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 位于第二象限，且AB ∥x 轴，点B 在点C的正下方，双曲线y ＝1－2m x(x <0)经过点C. (1)求m 的取值范围；(2)若点B (－1，1)，判断双曲线是否经过点A ；(3)设点B (a ，2a ＋1)．①若双曲线经过点A ，求a 的值；②若直线y ＝2x ＋2交AB 于点E ，双曲线与线段AE 有交点，求a 的取值范围．第4题图5.(2020石家庄模拟)如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线F：y＝x2－2mx＋m2－2与直线x＝－2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；(2)设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤－2，比较y1与y2的大小；(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．第5题图6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)与x 轴相交于不同的两点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1＜x 2.点P 为双曲线y ＝k x(1≤x ≤4)上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，交抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)于点Q .(1)若△POC 的面积为6，求k 值；(2)若k ＝3.①当a ＝12时，求点A 、B 的坐标，并求当点P 到抛物线对称轴的距离最大时，PQ 的值； ②若抛物线与双曲线有一个交点，直接写出a 的取值范围．第6题图7. (2020唐山开平区一模)已知，如图，二次函数L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)，(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值；(2)当m ＝2，若L 与x 轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；(3)在(2)的条件下，将L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；(4)在(3)的条件下，将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝12x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．第7题图8.如图①，二次函数y＝ax2－3ax＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y＝－x＋4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式；(2)过点A的直线y＝kx＋k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx＋k平分△ABC 的面积时，求点M的坐标；(3)如图②，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx＋k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．第8题图类型二整点问题例我们把横，纵坐标都是整数的点叫作整点．在平面直角坐标系中，点A(5，0)，B(0，5)，C(－1，0)．(1)若直线l过点A，B，求直线l与坐标轴围成的区域W1内(含边界)整点的个数；(2)连接AB，BC，AC，求△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数；(3)若直线y＝a、线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰有6个整点，求a的取值范围；(4)若直线y＝x＋b与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)恰有4个整点，求b的取值范围；(5)若直线y＝kx＋2与直线BC及x轴所围成的区域W5内(不含边界)恰有4个整点，求k的取值范围；(6)若双曲线y ＝4x (x >0)与线段AB 交于D ，E 两点(点D 在点E 的上方)，求曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)整点的个数；(7)在(6)的条件下，若直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝4x 交于点F ，与y 轴交于点G ，连接DG ，若线段DG ，FG ，曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)恰有5个整点，求b 的取值范围；(8)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与过点B 的直线y ＝5所围成的区域W 8内(不含边界)有4个整点，求m 的取值范围；(9)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与直线y ＝－x ＋2交于M ，N 两点(点M 在点N 的左侧)，将曲线MN 与线段MN 所围成的区域记为W 9，若W 9内(不含边界)恰好有4个整点，求m 的取值范围．1.(2019河北26题12分)如图，若b是正数．．，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上．．写出b．．．，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．第1题图针对演练2.在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A且与x轴交于点C(9，0)．(1)求直线y＝kx＋b的表达式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx＋b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．第2题图3. 已知点A (4，1)，若直线y 1＝14x ＋b 与双曲线y 2＝4x(x >0)交于点B ，与y 轴交于点C.探究：由双曲线y 2＝4x (x >0)与线段OA ，OC ，BC 围成的区域M 内(不含边界)整点的个数(点的横、纵坐标都是整数的点称为整点)．(1)当b ＝－1时，如图，求区域M 内的整点的个数；(2)当b <0时，若区域M 内恰好有4个整点，求b 的取值范围．第3题图4. 如图，函数y 1＝－x 2＋12x ＋c (－2020≤x ≤1)的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y 2＝－x 2＋2cx ＋1(1≤x≤2020) 的图象记为L 2，最大值为M 2.L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L .(1)当c ＝1时，求M 1，M 2的值；(2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数； (3)若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，设抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1为L 1，A (－5，－2)，B (5，－2)． (1)若L 1经过原点，求抛物线L 1的解析式，并求出此时抛物线的顶点坐标；(2)无论b 取何值，L 1总经过一个定点M ，随着b 的变化，抛物线L 1的顶点总在另一条抛物线上运动，且这条抛物线的顶点为M ，若设另一条抛物线为L 2.①求点M 的坐标； ②求出抛物线L 2的解析式；(3)若把抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过线段AB 端点时与线段AB 所围成的封闭图形称为C ，图形C 边界上横、纵坐标都是整数的点为“理想点”，求图形C 上“理想点”的个数．第5题图专题三 函数图象与性质综合题类型一 交点问题例 解：(1)∵直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，即直线y ＝34x ＋b 与线段AB 两端点交点为临界点，如解图①②，将A (－1，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝114，将B (3，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝－14，∴b 的取值范围为－14≤b ≤114；例题解图①例题解图②(2)设线段BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将B (3，2)，C (－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝2－2k ＋m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴线段BC 的解析式为y ＝x －1(－2≤x ≤3)， ∴线段BC 与y 轴的交点为(0，－1)． 当y ＝34x ＋b 过点(0，－1)，如解图③，∴即b ＝－1，当y ＝34x ＋b 过点C (－2，－3)，如解图④，∴－3＝－32＋b ，∴b ＝－32，∴当直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，b 的取值范围为－32≤b <－1；例题解图③例题解图④(3)由(2)知，直线BC 的解析式为y ＝x －1， 若y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，∴直线y ＝kx ＋3与直线BC 平行，如解图⑤， ∴当k ＝1时，直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点；例题解图⑤(4)由(2)知直线BC 的解析式为y ＝x －1， 由题可知直线AB 的解析式为y ＝2，若直线AB ，直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形， 即直线y ＝kx ＋3与直线AB 、直线BC 都有交点， ∴k ≠1，k ≠0.∵直线AB 与直线BC 交于点B ，∴当直线y ＝kx ＋3过点B (3，2)时，直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 交于一点，不能围成三角形．∴将B (3，2)代入y ＝kx ＋3，得3k ＋3＝2，∴k ＝－13.综上所述，k ≠－13，0，1；(5)∵双曲线y ＝kx 过点A (－1，2)，∴k ＝－2，∴双曲线的解析式为y ＝－2x .∵－5≤x ≤－1. ∴令x ＝－5，则y ＝25.当直线y ＝34x ＋b 与双曲线y ＝－2x 相切时，如解图⑥，∴34x ＋b ＝－2x ，整理得34x 2＋bx ＋2＝0， ∴b 2－6＝0，∴b ＝6或b ＝－6(舍去)．当直线y ＝34x ＋b 过点(－5，25)，如解图⑦，∴25＝－5×34＋b ， ∵b ＝8320.由解图可知，b 的取值范围为6≤b ≤8320；例题解图⑥例题解图⑦(6)由题可知A (－1，2)，B (3，2)， 抛物线y ＝x 2＋c 的对称轴为直线x ＝0，∴当抛物线顶点在线段AB 上时，如解图⑧， ∴c ＝2.当抛物线过点B 时，如解图⑨， ∴2＝9＋c ，∴c ＝－7， ∴c 的取值范围为－7≤c ≤2；例题解图⑧例题解图⑨(7)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋c ，整理得x 2－x ＋c ＋1＝0，如解图○10， ∴(－1)2－4(c ＋1)＝0， ∴c ＝－34.例题解图○10对于抛物线y＝x2＋c，当x＝2时，y＝4＋c，当点(2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑪，此时抛物线与直线BC有两个交点，将(2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得2－1＝4＋c，解得c＝－3；例题解图⑪当x＝－2时，y＝4＋c，当点(－2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑫，此时抛物线与直线BC有一个交点，将(－2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得－2－1＝4＋c，解得c＝－7；例题解图⑫综上所述，抛物线y＝x2＋c(－2≤x≤2)与直线BC有一个交点，c的取值范围为－7≤c＜－3，或c＝－34；(8)∵A(－1，2)，B(3，2)，抛物线y＝(x－k)2与线段AB有公共点，则当y＝(x－k)2过点A(－1，2)，如解图⑬，∴2＝(－1－k)2，∴k＝－1－2或k＝－1＋2(舍)．当y＝(x－k)2过点B(3，2)，如解图⑭，∴2＝(3－k)2，∴k＝3＋2或k＝3－2(舍)．∴k 的取值范围为－1－2≤k ≤3＋2；例题解图⑬ 例题解图⑭(9)∵双曲线y ＝kx 过点B (3，2)，∴2＝k 3，∴k ＝6，∴双曲线的解析式为y ＝6x .∵2≤x ≤6， ∴当x ＝2时，y ＝3， 当x ＝6时，y ＝1，当抛物线过点(2，3)时，如解图⑮，将(2，3)代入y ＝x 2＋c ， 即3＝4＋c ， ∴c ＝－1，同理当抛物线过点(6，1)时，将(6，1)代入y ＝x 2＋c ， 即1＝36＋c ，∴c ＝－35， ∴c 的取值范围为－35≤c ≤－1.例题解图⑮1. 解：(1)∵(－1，－2)，(0，1)在函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－k ＋b 1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝1.∴直线l 的解析式为y ＝3x ＋1；(3分) (2)依题意，直线l ′的解析式为y ＝x ＋3， ∴直线l ′的图象如解图，第1题解图联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，(5分)∴直线l 与直线l ′的交点坐标为(1，4)． 又∵直线l ′与y 轴的交点坐标为(0，3)，∴直线l ′被直线l 和y 轴所截得的线段长为（1－0）2＋（4－3）2＝2；(7分) (3)a 的值为52或175或7.(10分)2. 解：(1)设点P (x ，y )，则MP ＝y ，由OA 的中点为M ，知OA ＝2x ，代入OA ·MP ＝12，得2x ·y ＝12，即xy ＝6， ∵点P 在双曲线y ＝kx (k ＞0，x ＞0)上，∴k ＝xy ＝6；(3分)(2)当t ＝1时，令y ＝0，则0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x 1＝1，x 2＝－3，∵点B 在点A 左边， ∴B (－3，0)，A (1，0)， ∴AB ＝4.(5分)∴L 的对称轴为直线x ＝－1，∵点M 的坐标为(12，0)，∴MP 与L 对称轴的距离为32；(6分)(3)∵A (t ，0)，B (t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.(7分) 又∵点M 的横坐标为t2，∴当t －2≤t2，即t ≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2>t 2，即t ＞4时，L 与MP 的交点(t 2，－18t 2＋t )就是G 的最高点；(10分)(4)5≤t ≤8－2或7≤t ≤8＋ 2.(12分)第2题解图3. 解：(1)(－1，0)，3；4. 解：(1)∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)位于第二象限，∴1－2m <0， ∴m >12；(2)∵点B (－1，1)， ∴A (－3，1)，C (－1，3)， ∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点C ，∴双曲线的解析式为y ＝－3x ，∵－3×1＝－3， ∴双曲线经过点A ； (3)①∵点B (a ，2a ＋1)，∴A (a －2，2a ＋1)，C (a ，2a ＋3)．∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点A 、C ，∴(a －2)(2a ＋1)＝a (2a ＋3)， 解得a ＝－13；②∵点E 在AB 上， ∴点E 的纵坐标为2a ＋1， 代入y ＝2x ＋2得，x ＝a －12，∴E (a －12，2a ＋1)，∵C (a ，2a ＋3)，双曲线y ＝1－2mx(x <0)经过点C ， ∴双曲线为y ＝a （2a ＋3）x，把E (a －12，2a ＋1)代入得，2a ＋1＝a （2a ＋3）a －12，解得a ＝－16，由①知，双曲线过点A 时，a ＝－13.∴双曲线与线段AE 有交点，a 的取值范围是－13≤a ≤－16.5. 解：(1)∵抛物线F 经过点C (－1，－2)， ∴－2＝1＋2m ＋m 2－2. ∴m ＝－1.∴抛物线F 的表达式是y ＝x 2＋2x －1；(2)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴当m ＝－2时，y P 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是y ＝(x ＋2)2－2. ∴当x ≤－2时，y 随x 的增大而减小． ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(3)－2≤m ≤0或2≤m ≤4. 6. 解：(1)∵△POC 的面积为6，∴12x P ·y P ＝6. ∴x P ·y P ＝12. ∴k ＝12； (2)①∵a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32.当y ＝0时，12x 2－2x ＋32＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.∵x 1<x 2，∴A (1，0)，B (3，0)．∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵k ＝3，∴y ＝3x(1≤x ≤4)．当点P 位于(4，34)时，点P 到x ＝2的距离最大，当x ＝4时，y ＝12×42－2×4＋32＝32，∴PQ ＝32－34＝34；②3576≤a ≤54. 7. 解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k 中，得m ＝2； (2)y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k ，由题意得：b 2－4ac ＝16－8k ≥0，解得k ≤2， ∵k 为正整数， ∴k ＝1或2.当k ＝1时，方程2x 2＋4x ＋0没有整数解，故舍去， 则k ＝2；(3)由(2)得m ＝2，k ＝2，∴y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12<b <32或b >27332.第7题解图8. 解：(1)由直线y ＝－x ＋4知，点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)， 把点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)， 代入y ＝ax 2－3ax ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝416a －12a ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4； (2)由y ＝－x 2＋3x ＋4，得A (－1，0)． 如解图，过点N 作NG ⊥AB 于点G ，第8题解图∵直线y ＝kx ＋k 平分△ABC 的面积， ∴NG ＝12OC ＝2，∴当y ＝2时，2＝－x ＋4，∴x ＝2， ∴N (2，2)．把N (2，2)代入y ＝kx ＋k ，得k ＝23，∴直线AM 的解析式为k ＝23x ＋23，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋23y ＝－x 2＋3x ＋4，解得⎩⎨⎧x 1＝103y 1＝269，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1y 2＝0.∴M (103，269)；(3)翻折后的整个图象包括两部分：分别是抛物线y ＝x 2－3x －4(－1≤x ≤4)与y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)．①当直线y ＝kx ＋k 与抛物线y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254(－1≤x ≤4)相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋ky ＝x 2－3x －4，得x 2－3x －4＝kx ＋k ， 整理，得x 2－(k ＋3)x －(k ＋4)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝k ＋4. ∴y 1＝0，y 2＝k 2＋5k . ∴两个函数图象有两个交点，其中一个交点为A (－1，0)，另一个交点坐标为(k ＋4，k 2＋5k )．观察图象可知：另一个交点在x 轴下方，横坐标在－1与4之间，纵坐标在－254与0之间．∴－1＜k ＋4＜4，解得－5＜k ＜0. －254＜k 2＋5k ＜0，整理，得 4k 2＋20k ＋25＞0且k 2＋5k ＜0， 解得，(2k ＋5)2＞0且－5＜k ＜0. k 为任意实数，(2k ＋5)2＞0恒成立， ∴－5＜k ＜0；②当直线y ＝kx ＋k 与图象y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)相交时， －x 2＋3x ＋4＝kx ＋k ， 整理得x 2＋(k －3)x ＋(k －4)＝0 解得x 1＝－1，x 2＝4－k ，∴y 1＝0，y 2＝5k －k 2. ∴两个函数图象有两交点，其中一个是点A (－1，0)，另一个交点坐标为(4－k ，5k －k 2)． 观察图象可知：另一个交点的横坐标大于4，纵坐标小于0， 即4－k ＞4，解得k ＜0. 5k －k 2＜0，∴k (5－k )＜0， ∵k ＜0，∴5－k ＞0，∴k ＜5. ∴k ＜0.∴综上所述，当直线y ＝kx ＋k 与翻折后的整个图象只有三个交点时，k 的取值范围是－5＜k ＜0.类型二 整点问题例 解：(1)如解图①，设直线l 的解析式为y ＝px ＋q ， 将A (5，0)，B (0，5)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧5p ＋q ＝0，q ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝5. ∴直线l 的解析式为y ＝－x ＋5.结合图象可知，线段OA 上共有6个整点，线段OB (不含原点)上共有5个整点，线段AB 上(不含端点)共有4个整点，△AOB 内部共有6个整点，∴直线l 与坐标轴围成的区域W 1内(含边界)整点的个数为6＋5＋4＋6＝21个；例题解图①(2)如解图②，设直线BC 的解析式为y ＝p 1x ＋q 1， 将B (0，5)，C (－1，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧q 1＝5，－p 1＋q 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝5，q 1＝5， ∴直线BC 的解析式为y ＝5x ＋5，结合图象，△BOC(不含边界)所围成的区域内无整点，由(1)知，△AOB(不含边界)所围成的区域内有6个整点，∴△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数等于线段OB(不含端点)上的整点个数加上△AOB 内部的整点个数为4＋6＝10个；例题解图②(3)如解图③，当a＝3时，直线y＝3，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点，∴结合图象可知，当2＜a≤3时，直线y＝a，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点；例题解图③(4)如解图④，当b＝0时，y＝x，此时y＝x与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有2个整点，当b＝－1时，y＝x－1，此时y＝x－1与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有4个整点，结合图象可知，－1≤b＜0；例题解图④(5)如解图⑤，x ＜时当直线y ＝kx ＋2过(－5，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(－5，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝15，当直线y ＝kx ＋2过(－4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(－4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝14，结合图象可知，15≤k ＜14；同理，x ＞0时，当直线y ＝kx ＋2过(3，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(3，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－13，当直线y ＝kx ＋2过(4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－14，∴－13≤k ＜－14，综上可得，15≤k ＜14或－13≤k ＜－14；例题解图⑤(6)如解图⑥，由图象可知曲线DE 上有(1，4)(2，2)，(4，1)共3个整点，线段DE (不含端点)上有(2，3)，(3，2)共2个整点，曲线DE 与线段DE 围成的区域内部无整点，∴曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)有5个整点；例题解图⑥(7)如解图⑦，当G 点与原点重合时，此时线段DG ，FG 与曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)有6个整点，此时b＝0，如解图⑧，当点G的纵坐标在0与－1之间时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有5个整点，如解图⑨，当G点与过(0，－1)时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有8个整点，此时b＝－1，∴－1＜b<0；例题解图⑦例题解图⑧例题解图⑨(8)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图○10，当抛物线的顶点为(1，2)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有4个整点，分别为(1，3)，(0，4)，(1，4)，(2，4)，将(1，2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝2，解得m＝5，当抛物线的顶点为(1，3)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有1个整点(1，4)，将(1，3)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝3，解得m＝6，结合图象可知，5≤m＜6.例题解图○10(9)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图⑪，当抛物线的顶点为(1，－2)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有4个整点，分别为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，－1)，将(1，－2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－2，解得m＝1，当抛物线的顶点为(1，－1)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有2个整点，分别为(0，1)，(1，0)，将(1，－1)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－1，解得m＝2，∴综上所述，1≤m＜2.例题解图⑪1.解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4；(2分)∴L 的解析式为y ＝－x 2＋4x ， ∴L 的对称轴为直线x ＝2，将x ＝2代入直线a 的解析式中得y ＝2－4＝－2， ∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(4分) (2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－(x －b 2)2＋b 24， ∴L 的顶点C 的坐标为(b 2，b 24)．∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；(7分)(3)由题意可得，y 1＝b ，y 2＝x 0－b ，y 3＝－x 20＋bx 0， ∵y 3是y 1，y 2的平均数， ∴y 3＝y 1＋y 22，即－x 20＋bx 0＝x 02， 化简得x 0(2x 0－2b ＋1)＝0， 解得x 0＝0或x 0＝b －12，∵x 0≠0， ∴x 0＝b －12，对于L ，当y ＝0时，0＝－x 2＋bx ，即0＝－x (x －b )．解得x 1＝0，x 2＝b ， ∵b ＞0，∴D 点坐标为(b ，0)，∴点(x 0，0)与点D 间的距离为b －(b －12)＝12；(10分)(4)当b ＝2019时，“美点”的个数为4040；(11分) 当b ＝2019.5时，“美点”的个数为1010.(12分) 2. 解：(1)如解图，则点A 的坐标为(5，3)， ∵直线y ＝kx ＋b 过点A (5，3)，点C (9，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝39k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝274， 即直线y ＝kx ＋b 的表达式是y ＝－34x ＋274；(2)①3个；第2题解图3. 解：(1)∵A (4，1)， ∴直线OA 的解析式为y ＝14x .∵直线y 1＝14x ＋b ，∴直线y 1与OA 平行，当b ＝－1时，直线解析式为y 1＝14x －1，解方程4x ＝14x －1得x 1＝2－25(舍去)，x 2＝2＋25，则B (2＋25，5－12)，∵C (0，－1)，∴区域M 内的整点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，共3个；(2)当直线y 1在OA 的下方时，当直线y 1＝14x ＋b 过点(1，－1)时，b ＝－54，则直线y 1＝14x ＋b 经过(5，0)，∴区域M 内恰有4个整点，则b 的取值范围是－54≤b ＜－1.当直线l 在OA 的上方时，∵点(2，2)在函数y 2＝4x(x ＞0)的图象上，当直线y 1＝14x ＋b 过(1，2)时，b ＝74，此时区域M 内有3个整点．当直线y 1＝14x ＋b 过(1，3)时，b ＝114，∴区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是74＜b ≤114.综上所述，区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是－54≤b ＜－1或74＜b ≤114.4. 解：(1)当c ＝1时，y 1＝－x 2＋ 12x ＋c ＝－x 2＋ 12x ＋1＝－(x －14)2＋1716 .又∵－2020≤x ≤1，∴M 1＝1716. y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2. 又∵1≤x ≤2020， ∴M 2＝2；(2)当x ＝1时，y 1＝－x 2＋12x ＋c ＝c －12；y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝2c .若点A ，B 重合，则c －12＝2c ，解得c ＝－12.∴L 1∶y 1＝－x 2＋12 x －12(－2020≤x ≤1)；L 2∶y 2＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2020)．在L 1上，x 为奇数的点是“美点”，则L 1上有1011个“美点”， 在L 2上，x 为整数的点是“美点”，则L 2上有2020个“美点”． 又∵点A ，B 重合，则L 上“美点”的个数是1011＋2020－1＝3030； (3)c ＝－238或2.5. 解：(1)∵L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过原点， ∴将(0，0)代入得b ＝1，∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋x ， 将y ＝－x 2＋x 配方得y ＝－(x －12)2＋14，∴顶点坐标为(12，14)；(2)①对于抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1＝(x ＋1)b －x 2－1，当x ＝－1时，y ＝－2，故抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1总经过一个定点M (－1，－2)；②∵抛物线L 2的顶点为M ， ∴设它的解析式为y ＝a (x ＋1)2－2， 又∵抛物线L 1的顶点总在抛物线L 2上， ∴将点(12，14)代入解得a ＝1，∴抛物线L 2的解析式为y ＝(x ＋1)2－2，即y ＝x 2＋2x －1；(3)当抛物线L 1经过点B 时，将B (5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝4， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋3，令y ＝－2，得－2＝－x 2＋4x ＋3，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴抛物线L 1与线段AB 交于(－1，－2)，(5，－2)两点，由解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数．∴抛物线L 1经过端点B 时形成的封闭图形C 上的“理想点”个数为12个；当抛物线L 1经过点A 时，将A (－5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝－6， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2－6x －7，从解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数，令y ＝－2，得－2＝－x 2－6x －7，解得x 1＝－5，x 2＝－1， ∴抛物线L 1与线段AB 交于(－5，－2)，(－1，－2)两点，故当抛物线L 1经过端点A 时形成的封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个； 综上所述，封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个或12个．。

三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数厂用+bF 七 +&（占0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。

2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。

单调性和对称性最能反映这个函数的特性。

下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。

函数厂卅4贰址沙验知）的导函数为八“+2卄。

我们不妨把方程2 I曲+称为原函数的导方程，其判别式色=4@一纸）。

若A >0，设其两根，则可得到以下性质:性质1：函数厂宀贰七+班尹）,若>0|,当A兰0时，y = f（x）是增函数；当|A >0|时，其单调递增区间是（-©无山［比+®）,单调递增区间是【冋，帀】；若口uD，当A < 0时，戸=/0）是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（-□也］,［心！+侗），单调递增区间是［乃*心］。

（证明略）推论：函数厂用+用 F+辿#®,当怙£0|时，不存在极大值和极小值；当心时，有极大值41）、极小值•‘「。

根据a和「的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2 :函数了何"F +M +滋+乳口尹5 ［耕*用］,若观E ［糾总］,且''■ ' 1 '，则：/何闷=msLX（f（m^ /（0）, /何）.（证明略）性质3 :函数’I .「一I是中心对称图形，其对称中心是证明：设函数7（工）=/亠曲4^+平知）的对称中心为（m, n）o—按向量住7-用、-冊将函数的图象平移，则所得函数》=/（兀+啊）一丹是奇函数，所以j（才+ wi） + 丁（一工+ - 2w = 0（纸诅+3）常-+a^ +助即+卍耕4£ 一理=0 上式对・L「恒成立，故化简得:3rna +占=0 ,得n - am1十占烧° +即耗+ d = /（------------ ）3aO__________________________ . 丄■ f （丄）所以，函数P =赤4” 5 T占°）的对称中心是（x 3a）o可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数y ：I的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

专题提升三 函数的图象和性质的综合应用一、选择题1．(2016·某某)下列函数中，满足y 的值随x 的值增大而增大的是( B ) A ．y ＝－2x B ．y ＝3x －1 C ．y ＝1xD ．y ＝x 22．(2016·某某)对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( B )A ．当x >0时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点3．(2016·某某)函数y ＝k(x －k)与y ＝kx 2，y ＝k x (k ≠0)，在同一坐标系上的图象正确的是( C )4．(2016·某某)若点A(－5，y 1)，B(－3，y 2)，C(2，y 3)在反比例函数y ＝3x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 35．(2016·某某)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k ＝( B )A ．4B ．2C ．1D ．－26．(2016·某某)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac<0；②abc>0；③a －b ＋c<0；④m>－2.其中，正确的个数有( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．(2016·某某)若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点(1，－3)，则一次函数y ＝kx－k(k ≠0)的图象经过__一、二、四__象限．8．(2016·某某)将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为__y ＝2(x ＋2)2－2__．9．(2016·某某)如图，已知点P(6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx的图象交PM 于点A ，交PN 于点B.若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝__6__．,第9题图) ,第10题图)10．(2016·某某)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2017的坐标为__(21008，21009)__．三、解答题11．(2016·某某)昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去某某参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明昨天出行的过程中，他距某某的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB 所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距某某112千米，求他何时到家？解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为：y ＝kx ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝192，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96，b ＝192，∴y ＝－96x ＋192(0≤x ≤2) (2)12＋3－(7＋)＝15－＝(小时)，112÷＝80(千米/时)，(192－112)÷80＝80÷80＝1(小时)，3＋1＝4(时)．答：他下午4时到家．12．(2016·某某)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx ＝0的解；(3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx<0的解集．解：(1)y ＝－x －2，y ＝－8x(2)x 1＝－4，x 2＝2(3)设y ＝kx ＋b 与y 轴交点为C ，∴当x ＝0时，y ＝－2，∴C (0，－2)，∴OC ＝2，∴S△AOB＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋12×2×2＝6 (4)－4<x<0或x>213．(2016·某某)如图，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B(12，n)．(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)y ＝－4x ＋10，y ＝4x (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x＋10－m ＝4x，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝1814．(2016·某某)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx 的一部分，请根据图某某息解答下列问题：(1)求k 的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？解：(1)把B (12，20)代入y ＝kx中得k ＝12×20＝240(2)设AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把(0，10)，(2，20)代入y ＝mx ＋n 中得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，2m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝10，∴AD 的解析式为y ＝5x ＋10，当y ＝15时，15＝5x ＋10，x ＝1；15＝240x ，x＝24015＝16，∴16－1＝15.答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．15．(2016·某某)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A (2，4)与B (6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3(2)如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D (2，0)，连结CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x－4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.16．(2016·某某)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x(元/kg ) 120 130 … 180 每天销量y(kg )10095…70设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值X 围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5 kg ，∴y 与x 是一次函数关系，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝100－(x －120)＝－＋160，∵销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ，∴自变量x 的取值X 围为：120≤x ≤180(2)设销售利润为w 元，则w ＝(x －80)(－＋160)＝－12x 2＋200x －12 800＝－12(x －200)2＋7 200，∵a ＝－12＜0，∴当x ＜200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，销售利润最大，最大利润是：w ＝－12(180－200)2＋7 200＝7 000(元)，答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7 000元17．(2016·某某)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．(1)试求出y 与x 之间的一个函数关系式； (2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)设y 与x 之间的一个函数关系式为y ＝kx ＋b ，则{38＝37k ＋b ，34＝39k ＋b ，解得{k ＝－2，b ＝112.故函数关系式为y ＝－2x ＋112 (2)依题意有w ＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2(x －38)2＋324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润(3)由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m 千克，则m－2×30＋112≤30－5，解得m ≤1300，故一次进货最多只能是1300千克．18．(2016·某某)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v(m /s )与时间t(s )的关系如图①中的实线所示，行驶路程s(m )与时间t(s )的关系如图②所示，在加速过程中，s 与t 满足表达式s ＝at 2(1)根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值； (2)求图2中A 点的纵坐标h ，并说明它的实际意义；(3)爸爸在乙处等待了7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v(m /s )与时间t(s )的关系如图1中的折线O －B －C 所示，行驶路程s(m )与时间t(s )的关系也满足s ＝at 2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．解：(1)由图象得：小明家到乙处的路程为180 m ，∵点(8，48)在抛物线s ＝at 2上，∴48＝a ×82，解得：a ＝34 (2)由图及已知得：h ＝48＋12×(17－8)＝156，故A 点的纵坐标为：156，表示小明家到甲处的路程为156 m (3)设OB 所在直线的表达式为：v ＝kt ，∵(8，12)在直线v ＝kt 上，则12＝8k ，解得：k ＝32，∴OB 所在直线的表达式为：v ＝32t ，设妈妈加速所用时间为：x 秒，由题意可得：34x 2＋32x (21＋7－x )＝156，整理得：x 2－56x ＋208＝0，解得：x 1＝4，x 2＝52(不符合题意，舍去)，∴x ＝4，∴v ＝32×4＝6(m/s )，答：此时妈妈驾车的行驶速度为6 m/s.。

专题提升三函数的图象和性质的综合应用一、选择题1．(2017·淄博)小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( D )2．1～6个月的婴儿生长发育得非常快，出生体重为4 000克的婴儿，他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系如表所示，则6个月大的婴儿的体重为( C )A.7 6003．(2016·赤峰)函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝kx(k≠0)，在同一坐标系上的图象正确的是( C )4．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝2x和y2＝4x的图象交于点A 和点B ，若点C 是y 轴上任意一点，连结AC ，BC ，则△ABC 的面积为( A )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2016·广安)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac<0；②abc>0；③a －b ＋c<0；④m>－2.其中，正确的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．(2017·百色)已知函数y ＝⎩⎨⎧2x ＋1（x ≥0），4x （x ＜0），当x ＝2时，函数值y 为__5__．7．(2017·扬州)同一温度的华氏度数y()与摄氏度数x(℃)之间的函数表达式是y ＝95x＋32.若某一温度的摄氏度数与华氏度数恰好相等，则此温度的摄氏度数为__－40__℃.8．如图，点A 在反比例函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，点B 在反比例函数y ＝－9x (x ＜0)的图象上，且∠AOB ＝90°，则tan ∠OAB 的值为__32__．三、解答题 9．(2017·青岛)A ，B 两地相距60 km ，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2表示两人离A 地的距离s(km )与时间t(h )的关系，请结合图象解答下列问题： (1)表示乙离A 地的距离与时间关系的图象是__l 2__(填“l 1”或“l 2”)；甲的速度是__30__km /h ，乙的速度是__20__km /h ；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km?解：设甲出发x h 两人恰好相距5 km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3 h 或1.5 h 两人恰好相距5 km.10．(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－mx＝0的解；(3)求△AOB的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx＋b－mx<0的解集．解：(1)y＝－x－2，y＝－8x.(2)x1＝－4，x2＝2.(3)设y＝kx＋b与y轴交点为C，∴当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2，∴S△AOB ＝S△ACO＋S△BCO＝12×2×4＋12×2×2＝6.(4)－4<x<0或x>2.11．(2017·衢州)“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．解：(1)y1＝15x＋80(x≥0)；y2＝30x(x≥0)．(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝163；当y 1＞y 2时，15x ＋80＞30x ，解得x ＜163；当y 1＜y 2时，15x ＋80＜30x ，解得x ＞163；∴当租车时间为163小时，选择甲乙公司所需的费用一样；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．12．某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元(x 为正整数)，每月的销量为y 箱．(1)写出y 与x 之间的函数表达式和自变量x 的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)y ＝60＋10x (0≤x ≤12，且x 为整数)． (2)设所获利润为W ，则W ＝(36－x －24)(10x ＋60)＝－10x 2＋60x ＋720＝－10(x －3)2＋810，∴当x ＝3时，W 取得最大值，最大值为810.答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．13．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(6，3)，过点D(0，4)和E(8，0)的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N.(1)求直线DE 的表达式和点M 的坐标；(2)若反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象经过点M ，求反比例函数的表达式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上．解：(1)设直线DE 的表达式为y ＝kx ＋b ，点D ，E 的坐标分别为(0，4)，(8，0)，∴⎩⎨⎧4＝b ，0＝8k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4，∴y ＝－12x ＋4.∵点M 在AB 边上，点B 的坐标为(6，3)．四边形ABCO 是矩形，∴点M 的纵坐标为3.又∵点M 在直线DE 上，即在y ＝－12x ＋4上，∴3＝－12x ＋4，∴x ＝2.∴点M 的坐标(2，3)．(2)∵y ＝m x (x ＞0)经过点M (2，3)，∴m ＝6，∴y ＝6x.又∵点N 在BC 上，B 的坐标为(6，3)，∴点N 的横坐标为6.∵点N 在直线y ＝－12x ＋4上，∴y ＝1，∴点N 的坐标为(6，1)，当x＝6时，y ＝6x ＝1，∴点N 在函数y ＝6x 的图象上．。

专题10 三角函数图象与性质1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.2.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减【答案】D 【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T ππ==，则函数的周期为()2T k k Z π=∈，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈，即：()3x k k Z ππ=-∈，取3k =可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈，取0k =可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确； 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数在该区间内不单调，选项D 错误；故选D .【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y＝Acos ωx ＋b 的形式.(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可.3.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B. 考点：三角函数的性质5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象． 6.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象向右平移12π个单位.故选B. 【考点定位】三角函数的图象变换.7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 8.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．9.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈(D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 【考点定位】三角函数图像与性质10.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（） A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而不影响周期．故选B ．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断和的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．11.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移（0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，的最小值为6πB.t =6πC.12t =，的最小值为3πD.t =3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A.考点：三角函数图象平移12.【2016高考山东理数】函数f （x ）=sin x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 13.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（） （A ）()()()220f f f <-<（B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<<（D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【解析】由题意，()()sin (0,0,0)f x x A ωϕωϕ=A +>>>，22||T πππωω===，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()sin 2(0)6f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6π比较近，2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，此时|0|0.526π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66π---，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故选A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.14.【2015湖南理2】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是. 【答案】7【解析】由1s i n 2c o s c o s 0s i n 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个考点：三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.16.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】试题分析：因为sin cos 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．17.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。

专题08 三角函数的图像与性质1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】：D【解析】：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z，∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.故应选D.2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.32C.22D ．1【答案】：B4．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π6B.π12C.π3D.5π6【答案】：A5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15【答案】：B【解析】：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A 【答案】D图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数只有D选D ． 7．已知tan （﹣α）=，则tan（+α）=（） A ． B ．﹣ C ．D ．﹣【答案】B8）【答案】D【解析】当恒成立，排除选项B ，C ；当恒成立，排除选项A ，C ，当D.9．定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣，若，则()f x （ ）A.图象关于(),0π中心对称 B.C. D.周期为π的奇函数【答案】CC.10．已知函数①sin cos y x x =+，② ）ABCD ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C【解析】①对称中心为对称轴为，增区间为最小正周期为π2；称中心对称轴为，最小正周期为π．故选C.11．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．【答案】：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π312．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】：π2【解析】：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.13．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________． 【答案】：3【解析】：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z，所以ω＝3k ，k ∈Z，因为ω>0，k ∈Z，所以ω的最小值为3.14．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值．15．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 1，x 2，x 3(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3的最小值．16．已知曲线y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．（1）求这条曲线的函数【解析】式； （2）写出函数的单调区间． 【答案】（1）y=sin （x+）；（2）[4k π+，4k π+]，k∈Z．【解析】解：（1）由题意可得A=，•=﹣，求得ω=． 再根据最高点的坐标为（，），可得sin （×+φ）=，即sin （×+φ）=1 ①．再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（π，0），可得得sin （×+φ）=0，即sin （+φ）=0 ②，由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin （x+）．（2）对于函数y=sin （x+），令2k π﹣≤+≤2k π+，求得4k π﹣≤x≤4k π+，可得函数的增区间为[4k π﹣，4k π+]，k∈Z．令2k π+≤+≤2k π+，求得4k π+≤x≤4k π+，可得函数的减区间为[4k π+，4k π+]，k∈Z．17个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2.【答案】（1（2【解析】（2）2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭18.（1）求函数()f x的解析式和单调增区间；（2【答案】函数()f x 的单调增区间为（3）由题意得：。

2017年高考数学基础突破——集合与函数9．函数的图象与性质的综合应用【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】考点1. 作函数的图像【例1】作出下列函数的图像：(1)y ＝2－x x ＋1； (2)y ＝（12）|x ＋1|； (3)y ＝|log 2x －1|.【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝ln(1－x )．考点2.图象识别【例2 】(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图像是( )(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2. (1) 函数y ＝x sin x 在区间[－π，π]上的大致图像是( )(2)[2013·四川卷] 函数y ＝x 33x－1的图像大致是( )【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈ [－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练 3.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数是________．命题点2.求参数的取值范围【例4】已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，恒有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．命题点3.求不等式的解集【例5】已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．【基础练习】1.(2016·广州一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是( )A.y ＝(x －3)2＋3B.y ＝(x －3)2＋1C.y ＝(x －1)2＋3 D.y ＝(x －1)2＋12.函数y ＝1－1x －1的图象是( )3.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)4.函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )5.(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 6.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )8.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1B.1C.2D.49.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)<0B.f (x 1)＋f (x 2)>0C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0 10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )11.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5].若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________.12.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.13.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ .14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a的取值范围是____.15.已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围.16.当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，求实数a 的取值范围.17.(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值.2017年高考数学基础突破——集合与函数 9．函数的图象与性质的综合应用（教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换 (1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】考点1.作函数的图像 【例1】作出下列函数的图像：(1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝（12）|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|.【解析】(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图像，如图①所示．(2)先作出y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)的图像，然后作其关于y 轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y ＝(12)|x ＋1|的图像，如图②所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图像，如图③所示．【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝ln(1－x )．【解析】(1)将y ＝2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y ＝2x ＋2的图像，如图①所示．(2)作出函数y ＝ln x 的图像，将y ＝ln x 的图像以y 轴为对称轴翻折，得到函数y ＝ln(－x )的图像，再将y ＝ln(－x )的图像向右平移1个单位长度，得到函数y ＝ln(1－x )的图像，如图②所示．考点2.图象识别【例2 】(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图像是( )(2)[2013·湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )【答案】(1)B (2)C【解析】 (1)作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1的图像如图所示，再把f (x )的图像向左平移一个单位长度，可得到函数y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.(2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合． 【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2. (1) 函数y ＝x sin x 在区间[－π，π]上的大致图像是( )(2)[2013·四川卷] 函数y ＝x33x －1的图像大致是( )【解析】 (1)容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D.当0＜x ＜π2时，y ＝x sin x ＞0，当x ＝π时，y ＝0，可排除B ，C.故选A.(2)函数的定义域是{x ∈R |x ≠0}，排除选项A ；当x <0时，x 3<0，3x－1<0，故y >0，排除选项B ；当x →＋∞时，y >0且y →0，故为选项C 中的图像．【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用 命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈ [－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 【答案】A【解析】根据f (x )的性质及f (x )在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；当x ＞10时，|lg x |＞1. 因此结合图象及数据特点知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个.【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练 3.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数是________．【解析】方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知f (x )＝12有2个解，f (x )＝1有3个解，所以原方程解的个数为5.命题点2.求参数的取值范围【例4】已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，恒有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2] 【解析】由题知，当x ∈(－1，1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图像(图略)．当x ∈(－1，1)时，要使指数函数的图像恒在二次函数图像的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥12，a 1≥12，a ≠1，所以12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a <1或1<a ≤2.命题点3.求不等式的解集【例5】已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．【答案】{x |－1<x <0或1<x ≤2}【解析】由题设中的图像可知，f (x )是奇函数，所以f (x )>f (－x )－2x 可转化为2f (x )>－2x ，即f (x )>－x .在图中作出直线y ＝－x ，由图可得原不等式的解集为{x |－1<x <0或1<x ≤2}．【归纳总结】对于形如f (x )>g (x )或可化为f (x )>g (x )的不等式，可以分别作出函数f (x )，g (x )的图像，找到f (x )的图像位于g (x )的图像上方部分所对应的x 的取值范围，即为不等式f (x )>g (x )的解集．【基础练习】1.(2016·广州一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是( )A.y ＝(x －3)2＋3B.y ＝(x －3)2＋1C.y ＝(x －1)2＋3 D.y ＝(x －1)2＋1 答案 C解析 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.2.函数y ＝1－1x －1的图象是( )解析 将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象. 答案 B3.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.答案 A4.函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D.当0＜x ＜π2时，y ＝x sin x ＞0，当x＝π时，y ＝0，可排除B ，C ，故选A.5.(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x P ＞0，即c <0. 令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－b a ，又x N ＞0，则b a＜0，所以a ，b 异号，排除A ，D. 答案 C6.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )答案 C7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )解析 由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则dOM＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ≤12，排除B.答案 C8.(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1B.1C.2D.4解析 设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x ＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C. 答案 C9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A.f (x 1)＋f (x 2)<0 B.f (x 1)＋f (x 2)>0 C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0解析 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数. 又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 答案 D10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 法一 当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，∴BP ＝tan x ，∴AP ＝4＋tan 2x ，∴f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C.当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP ＝BC 2＋CP2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，则AP OA ＝tan(π－x )＝－tan x ，∴AP ＝－tan x ，∴BP ＝4＋tan 2x ，∴f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二 当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22＜1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B. 答案 B11.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5].若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________.答案 (－2，0)∪(2，5]12.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －1213.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ .解析 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.答案 [－1，＋∞)14.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0，1]15.已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示：(3)f (x )的减区间是[2，4].(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).16.当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ， 在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可.当0＜a ＜1时，由两函数的图象知，显然不成立； 当a ＞1时，如图，使x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)， 即(2－1)2≤log a 2，解得1＜a ≤2. 综上可知，1＜a ≤2.17.(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值.(1)证明 设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0).又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0).由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0. 即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上. ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称.(2)解 对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立.∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立. 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.。