第五章 二 重 积 分
1.定义:∑⎰⎰=→∆=n
k k k k D
f y x f 10
d ),(lim d ),(σηξσ
2.几何意义:
3.性质:
1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤D
D
y x g y x f .d ),(d ),(σσ
2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D
⎰⎰≤≤σ
3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D
),(d ),(ηξσ⎰⎰=.
4.计算
1) 直角坐标: 2) 极坐标:
i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22y
x
f x y f y x f +
ii)适合用极坐标的积分域:
3) 利用奇偶性.
①若积分域D 关于y 轴对称,则:
⎰⎰
⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=≥D
D x x y x f y x f y x f d y x f x .
),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σ
σ
②若积分域关于x 轴对称,则
⎰⎰
⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=≥D
D y y y x f y x f y x f d y x f y .
),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ
4) 利用对称性:
若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=D
D
x y f y x f σσ
特别的： ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y f d x f σσ)()(
题型一 计算二重积分
例5.1计算⎰⎰+D
x ye x σd )|(|2
，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.
解 由奇偶性知
原式=⎰⎰⎰⎰=1
4D D
xd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）
.3
2410
10
==⎰⎰
-x xdy dx
例5.2设区域D 为2
2
2
R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(22
22=
.
解法1
)1
1(4)sin cos ()(22432002222
2222b a R d b a d d b y a x R D
+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则
σσd b x a
y d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22
222222. 从而有 21
)(2222=+⎰⎰σd b y a
x D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222
)11(4)11(212220043
22b
a R d d
b a R +=
+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}
0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰
=
++D
y f x f y f b x f a σd )
()()
()(.
A)πab , B)
π2ab , C)π)(b a +, D)π2
b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则
⎰⎰
⎰⎰
+
+=+
+D
D
d x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)
()()()()
()()()(.
原式])()()()()()()
()([21⎰⎰
⎰⎰+++++=D D
d x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21b
a d
b a D
+=+=
⎰⎰.
故应选（D ）. 解法2 排除法
取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而
⎰⎰
+
+D
y f x f y f b x f a σd )
()()()(πσ2)(21b
a d
b a D
+=+=
⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。
例 5.4 计算⎰⎰++D
y x yf x σd )](1[22,其中D 是由1,1,3-===x y x y 围成的区
域,)(u f 为连续函数. 解
d x d y y x xyf xdxdy dxdy y x yf x D
D
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++)()](1[2
222. 而
0)(2
2=+⎰⎰dxdy y x xyf D
， （利用奇偶性） ⎰⎰⎰⎰--==D
x xdy dx xdxdy 1113
52
， 则 原式.5
2
-=
例5.5 计算⎰⎰
D
y
y
σd sin ,其中D 由x y =和x y =围成. 解
⎰⎰⎰⎰⎰-=-==D
y y dy y y y dx y y dy dxdy y y
101021sin 1]sin [sin sin sin 例5.6计算d x d y y x D
⎰⎰+22,其中D 由曲线)0(222>=+a ay y x 所围成.
解 ⎰⎰⎰
⎰⎰==+ππθ
θρρθ0
3
sin 20
32
2
2sin 38d a d d dxdy y x a D
30339
32)cos 3cos (38a a =-=π
θθ. 例5.7计算⎰⎰+D
y x σd )(,其中D 由y x y x +≤+22所确定.
解法1 圆y x y x +=+22在极坐标下方程为θθ
ρs i n c o s +=，则 ⎰⎰
⎰⎰-++=+4
34
2sin cos 0
)sin (cos )(π
πθ
θρρθθθσd d d y x D
