下载文档原格式
平面与平面垂直的性质教学设计(一)知识与技能让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题. (二)过程与方法1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理; 2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用. (三)情感、态度与价值观1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力; 2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.(一)教学重点平面与平面垂直性质定理 (二)教学难点平面与平面垂直性质定理应用 (三)教学模式,学生自主探究（一）情境创设、引入课题复习回顾 两个平面互相垂直定义、判定定理.生活感知 教室里就有许多平面与平面垂直的例子.问 题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 直观感知 在黑板面内画地面垂线 板书课题 平面与平面垂直的性质 （二）合作探究、形成知识(1)合作探究,证明定理抽象概括 实际问题化归为数学模型 动手操作 小组合作例1 如图,已知平面α⊥平面β,CD αβ=, 直线,AB AB CD α⊂⊥于点B ,求证:AB ⊥β. 展示操作 几何画板演示学生思路,CD B =β.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直黑板地面βBDACα符号描述 ,,CD AB AB AB CD αβαββα⊥=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭图形描述(2)小题竞答,夯实基础想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( ) ②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( ) 展示操作 由几何画板展示命题3的示意图.强调条件 由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件? 习惯引导 我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词.变式引入 现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论?(3)类比迁移,发展思维问 题2 面α⊥面β,过一个平面α内任意一点P 作平面β的垂线a ,则直线a 与面α具有板书推论 两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. （三）小试牛刀、应用巩固过渡引入 性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗? 问题展示 例2 如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线a ,a βα⊥⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系. 逻辑推理 l β=,所以所以//a b 所以//a α. βBDACααalβαalβ变式练习 改变条件,结论如何?如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线//a α,且a l ⊥,试判断直线a 与平面β的位置关系.学生交流 小组合作b γ=,由又因为a l ⊥,所以⊥β,且l αβ=,所以a β⊥,即直线a 与平面激发学习兴趣! 课后延展 作业意图 (四)归纳总结、提升认识1、我们主要学习了:性质定理2、我们还了解了: 转化思想 线线垂直↔线面垂直↔面面垂直(五)布置作业、板书设计 教材P 73页A 组练习第5题,CD AB CDαβ=⎫⎬⊥符号描述。
平面与平面垂直的判定【教学目标】1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.【重点难点】教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.【课时安排】1课时【教学过程】复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB ,∠A ′O ′B ′都是二面角αlβ的平面角. ③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB ⊥β，AB ∩β=B ，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB⊂α,知AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例例1如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC⊂α,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.变式训练如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD =CD =BD ,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA =OB =OC . ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD . ∴OD ⊂平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面ABC .（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC , ∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD . 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD . ∴OC ⊥OE .∴△COE 为直角三角形. 设BC =a ，则CE =a 23，OE =a 21，∴cos ∠OEC =33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE =10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB ,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG =60°,由此,得EG =EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m .变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB =45°. 求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB . ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO =45°. 设CD =a ,则CE =a 22,∵CO ⊥OE ，OC =OE ， ∴CO =a 21.∵CO ⊥DO ,∴sin ∠CDO =21=CD CO . ∴∠CDO =30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ,连接AE ,则∠CEO 为二面角α-AB -β的平面角.这一过程要求学生熟记. 拓展提升如图11，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图11（1）求证：EN ∥平面PCD ； （2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.(1)证明：∵AD ∥BC ,BC ⊂面PBC ,AD ⊄面PBC , ∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC =MN , ∴AD ∥MN .∴MN ∥BC . ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN ∥DM .∴EN ∥面PDC .（2）证明：连接PE 、BE ,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD =60°, ∴BE ⊥AD .又∵PE ⊥AD ,∴AD ⊥面PBE .∴AD ⊥PB . 又∵PA =AB 且N 为PB 的中点, ∴AN ⊥PB .∴PB ⊥面ADMN . ∴平面PBC ⊥平面ADMN .（3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥PF . ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE =3，AE =1，AB =2,∴EF =23. 又∵PE =3,∴tan ∠PFE =233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组1、2、3.。
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。
【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。
能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。
【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。
记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。
师: 也就是说将线面角转化为线线角。
BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。
二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。
〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。
三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。
《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第4课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.2.情感态度与价值观（1）通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。
（2）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.教学重、难点重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路：教材通过问题“如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面”来探索平面与平面垂直的性质定理，教学是要引导学生根据定理的自然语言，作出图形，然后用符号表示。
对于平面与平面垂直的性质定理的证明，重在引导学生在平面β内找出一条与CD相交的直线垂直于AB。
应用定理的关键是创设定理成立的条件。
教学过程：(一) 复习提问1.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.2.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二)引入新课今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！（三）探求新知已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE又∵AB ⊥a, BE ∩a = B,∴AB ⊥β面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, AB ⊂α, AB ⊥a 于 B ，则 AB ⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面 我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
《2.3.2平面与平面垂直的判定》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第2课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
2.情感态度与价值观（1）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳.（2）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.教学重、难点1.重点：平面与平面垂直的判定。
2.难点：找出二面角的平面角。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念认识；利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
2.3.2平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、学情分析学生通过学习直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定。
这为学生学习平面与平面的垂直判定打下了良好的基础。
但是，有一部分学生空间想象力和逻辑思维能力较差，在学习的过程中仍有一定的难度，而平面与平面的垂直关系是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。
因此，在教学中，教师尽量通过多媒体辅助教学，帮助学生提高空间想象能力，同时，尽量让学生多参与，培养自主探索能力。
三、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
四、教学过程（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察、研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
平面与平面垂直的性质教案
教学目标：
1. 理解平面与平面垂直的定义。
2. 能够判断两个给定平面是否垂直。
3. 掌握判断平面与平面垂直的性质。
教学步骤：
步骤一：引入话题
教师可以将两本垂直放置的书本放在桌上，并问学生这两本书是不是垂直的。
引导学生思考垂直关系的定义。
步骤二：引入平面与平面垂直的定义
通过上述引入，教师可以引申出平面与平面垂直的定义：两个平面相交且交线为垂直线时，这两个平面称为垂直平面。
步骤三：判断平面与平面是否垂直
教师可以给出一些示例，要求学生根据定义判断两个给定的平面是否垂直。
步骤四：讨论垂直平面的性质
4.1 垂直平面的法线相互垂直
教师可以引导学生思考：如果两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否相互垂直？
4.2 垂直平面的法线在同一平面
教师可以引导学生思考：两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否在同一平面内？
步骤五：实例练习
教师可以给出一些实例让学生判断给定的平面是否垂直，同时让学生根据垂直平面的性质进行论证。
步骤六：总结
教师与学生共同总结平面与平面垂直的定义以及判断垂直平面的性质。
步骤七：作业布置
布置一些作业题，让学生通过练习巩固所学知识。
扩展思考：
1. 如何判断三个平面是否两两垂直？
2. 平面与直线是否可以垂直？如何证明？。
《平面与平面垂直的性质》教案教学目标：1．掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；了解平面与平面垂直的性质定理的作用并能运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单问题；2．通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力；通过实验提出自己的猜想并能进行论证，提高灵活运用知识分析问题、解决问题的能力；3．进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识．教学重点难点：1．重点：理解并掌握面面垂直的性质定理和内容和推导．2．难点：运用平面与平面垂直的性质定理解决实际问题．教法与学法：1．教法选择：采用“启发－探究”的教学方法．2．学法指导：通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、设置情境，激发探索平面与平面垂直的性质定理的探究1．将上述情景抽象成数学问题： ,,,AB l AB l αββαβ⊥⊂⋂=⊥则AB 与α的位置关系怎样？(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线．引导学生归纳为文字语言.面面垂直的性质定理．二、变式演练，提高能力例 1 如图，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系．图分析：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直．解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β．∵a⊥β,∴a∥b．∵a⊄α,∴a∥α．例2将两块三角板（有一块30o角和一块45o角）拼成如图形状提炼出的数学知识，需要经过严格的证明才能成为规律，通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力．三、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值．延展作业:谈谈你对本节的学习的心得体会？体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外．教学设计说明1．教材地位分析：空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理，也是高考考查的重点，其中所涉及的观点、思想和能力方法是学生今后学习和工作中必备的数学素养．2．学生现实状况分析：在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力．这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的材料来理解抽象的逻辑关系．3．以学生的经验为基础，通过教学初步培养学生分析问题的能力和解决实际问题的能力；在与位置有关的推理、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义．在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念．逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力．。
《平面与平面垂直的判定》教案教学目标：1．理解二面角的概念，会画二面角，能够求出两个平面夹角大小；掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．2．通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；3．通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会教学存在于现实生活中，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．教学重点难点：1．重点：二面角的画法和求法；两个平面垂直的判定定理及应用；2．难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括．教法与学法：1．教法选择：启发诱导式——启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力．2．学法指导：直观感知，操作确认数学定理，揭示概念的形成、发展和应用过程．教学过程：一、设置情境，激发探索1．二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图（教师和学生共同动手）．直立式：平卧式：二面角的表示方法：如图，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β．有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q．为平面与平面垂直的判定．二、方法总结，变式演练例1 如图7，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点．图7求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线．注意板书证明过程规范、完整，同时引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学平定定理，加深理解，进一步提高学解的能力．生养成良好的学习习惯．证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，角的综合应用．PA⊥α，BC⊂α，∴PA⊥BC．∵C为圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．例2已知二面角α-AB-β等于45°，CD⊂α，D∈AB，∠CDB=45°．求CD与平面-β所成的角．分析：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O，然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E，连接AE，则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角．这一过程要求学生熟记．解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角．图10过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB．∴∠CEO为二面角α—AB—β的平面角，三、实际应用，课堂交流如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0．1 m）图9解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG，则FG⊥AB，即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角，的学习的目的就是为了解决实际应用问题，这也是学数学的终极目的，为了培养这种能力，就需要习，进而培养学生所需的思想方法和能力．四、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值．教学设计说明1．教材地位分析：本节课在前面已经学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础．所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，具有非常重要的作用．2．学生现实状况分析：学生已掌握了空间线面、面面的平行和线面的垂直关系等一些知识和方法，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系也已比较了解．但是对于如何找二面角是学生的难点．3．通过例题让学生尝试运用定理，引导学生分析问题思路，探究解决问题的策略与途径，归纳解题方法，从而巩固所学知识，提升学生分析、解决问题的能力．同时通过范例书写，规范学生答题格式，提高学生解题的正确率．4．教师要改变教学观念，以生为本，以学定教．在师生双边活动中，教师不是作为一个权威来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法．不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程标准的基本理念，也是素质教育的要求．。
示范教案整体设计教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题．设计2.如下图所示，在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如右下图，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD.于是，直线CD⊥平面ABE.容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中，由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3)下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：(1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β.(2)答案是肯定的．事实上，只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理．(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：(如下图)平面α⊥平面β，α∩β＝CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足．求证：BA⊥β.证明：在平面β内过点B作BE⊥CD.因为α⊥β，所以BA⊥BE.又因为BA⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.应用示例思路1例1 已知：如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．解：连结BC.因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝32＋42＝5.在直角△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.变式训练如下图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB是否垂直？并说明理由．解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.从而MN⊥AB.例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC 成直角(如下图)．(1)(2)求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.证明：(1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.(2)如上图(1)，在直角三角形BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝2a，BD＝DC＝2 2a.如上图(2)，△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝2BD＝2×22a＝a.所以AB＝AC＝BC. 因此∠BAC＝60°.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直．变式训练如下图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，∠BAD＝60°.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：设AC与BD交于点O，连结PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.思路2例3 如下图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如下图，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连结BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如左下图，已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ.求证：a⊥γ.证明：如右上图，设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.知能训练如下图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝ 2.求证：平面SAD⊥平面SBC.证明：在△SDC中，∵SC＝SD＝2，CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC.∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC.∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.拓展提升如下图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．(1)求证：EN∥平面PCD；(2)求证：平面PBC⊥平面ADMN.(1)证明：∵AD∥BC，BC 面PBC，AD面PBC，∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.∴点M为PC的中点．∴MN 12BC.又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连结PE、BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业本节练习A4题；练习B3题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．备课资料备选习题1.如下图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；证明：如下图，取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD.连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1.AB1⊂面AOB1，∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.2.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．分析：(1)转化为证明B1C∥MD；(2)转化为证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3)可猜测点E为C1C的中点．证明：(1)如下图，连结AB1与A1B相交于M.则M为A1B的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1，BB1∩A1B＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解：当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.又DE 平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.。
2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第2课时）教学目标（一）核心素养（1）掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题.（2）进一步掌握线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决的数学转化思想. （二）学习目标（1）直线和平面垂直的性质定理.（2）点到平面的距离.（3）直线和平面的距离.（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的性质定理.（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义.（四）学习难点线、面垂直定义的性质定理的证明中反证法的学习，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第70页到第75页，填空：性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.预习自测1.已知下列命题：①若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；③若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是（ ）.A .①②B .②③C .③④D .②④【解题过程】本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.①已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；③根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；④根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性.故选D.【答案】D.2.在四面体P ABC 中，PC PB PA 、、两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PCA PBC PAB 、、的距离分别是632、、，则M 到P 的距离是（ ） A .7 B .8 C .9 D .10【解题过程】M 到P 的距离相当于以M 到三个面PCA PBC PAB 、、的距离为长宽高的长方体的体对角线长，故选A .【答案】A.3.如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线A 1C 和AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能是( )【解题过程】依题意，注意到题中的空间四边形OEC1D1在平面CC1D1D、平面DD1A1A、平面ABCD上的正投影图形分别是选项B、C、D，故选A.【答案】A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）直线和平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直.（2）判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（3）一个重要的结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言：ba//，α⊥a.求证：α⊥b.2.问题探究探究一直线和平面垂直的性质定理●活动①类比推理，导出直线和平面垂直的性质定理同学们，通过初中的学习我们知道在同一个平面内，两条不同直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行.那么通过类比推广到平面得到的结论：“两条不同直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行.”是否是真命题呢？答案是肯定的，而且生活中的实例很多如：“教室中前面的交线均和地面垂直，并且都和地面平行”等.【设计意图】通过类比推理，引导学生将平面内概念往空间拓展，并辨析正误.●活动②逐步引导，证明定理提问：写出已知条件和结论，并在黑板上画出图形如下：已知：b⊥α，a⊥α.求证：a∥b.（如下图）【解题过程】a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行.我们能否从另一个角度来证明，比如a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法.老师：你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？学生：否定结论→推出矛盾→肯定结论老师：第一步，我们做一个反面的假设，假定a、b不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线.●活动③层层推进，证明定理证明：假定a、b不平行a b O，'b是经过点O与直线a平行的直线，设=∵a∥'b，a⊥α，∴'b⊥α.经过同一点O的两条直线b、'b都垂直于平面α是不可能的.因此，a∥b.由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 师：这就是直线和平面垂直的性质定理.【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点.探究二阐释距离，举一反三●活动①互动交流，初步实践学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.那么如何定义直线到平面的距离呢？为了弄清这个概念，先看下面这个例子.例1 已知：一条直线l和一个平面α平行.求证：直线l上各点到平面α的距离相等.【知识点】直线和平面距离的概念辨析【解题过程】首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l 上任意取两点A 、B ，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可.证明：过直线l 上任意两点A 、B 分别引平面α的垂线11BB AA 、，垂足分别为11B A 、. ∵11,AA BB αα⊥⊥，∴11AA BB ∥（直线与平面垂直的性质定理）.设经过直线11,AA BB αα⊥⊥的平面为β，11A B αβ=∵l ∥α，∴11B A ∥l∴11=AA BB （直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等.【思路点拨】本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题.这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法.因此，我们得到直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.【答案】见解题过程.●活动② 巩固基础，检查反馈 例2 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）.①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A .仅②不正确B .仅①、④正确C .仅①正确D .四个命题都正确【知识点】直线和平面垂直的概念辨析.【解题过程】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线α⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且b c A =，则a ⊥b ，a ⊥c ，即平面α内两条相交直线b 、c 都垂直于同一条直线a ，但b 、c 的位置关系并不是平行.另外，b 、c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时b 、c 的位置关系是异面.③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A B A D A =，因此该命题是错误的.④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确，故选B.【思路点拨】本题要求的是两直线之间的关系，根据题中所给条件，利用线线平行、线面平行和线面垂直的性质，即可得出两直线之间的关系.【答案】B.例3如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF .【知识点】性质定理，公垂线的概念.【解题过程】证明 连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥. 又D A EF 1⊥，1111A D AC A =，∴D C A EF 11平面⊥.① ∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥.∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B D BB B =， ∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥.同理11BD DC ⊥，1111DC AC C =，∴D C A BD 111平面⊥.②由①②可知：1//BD EF .【思路点拨】证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键.由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用.【答案】见解题过程.例4. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N 、M ，求证：MN ⊥SC .【知识点】线面垂直，线线垂直.【解题过程】证明 ∵SA ⊥面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵∠B =90°，即AB ⊥BC ，BA SA A =，∴BC ⊥平面SAB .∵⊂AN 平面SAB .∴BC ⊥AN .又∵AN ⊥SB ，B BC SB = ，∴AN ⊥平面SBC .∵⊂SC 平面SBC ，∴AN ⊥SC ，又∵AM ⊥SC ，A AN AM = ，∴SC ⊥平面AMN .∵⊂MN 平面AMN .∴SC ⊥MN .另证：由上面可证AN ⊥平面SBC .∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影.∵AM ⊥SC ，∴MN ⊥SC .【思路点拨】在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题，想想如何证：已知SA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与A 、B 不重合）.过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点M 、N ，求证：AN ⊥SC .【答案】见解题过程.活动③ 强化提升，灵活应用例5. 如图，已知正方形ABCD 边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG =2，E 、F 分别是AB 、AD 中点，求点B 到平面GEF 的距离.【知识点】距离，线面平行【解题过程】证明 连结BD 、AC ，EF 和BD 分别交AC 于H 、O ，连GH ，作OK ⊥GH 于K .∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，H 为AO 中点.∵BD ∥EF ，⊄BD 平面GFE ，∴BD ∥平面GFE .∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离.∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC .∵GC ⊥面ABCD ，∴GC ⊥EF .∵C AC GC = ，∴EF ⊥平面GCH .∵⊂OK 平面GCH ，∴EF ⊥OK .又∵OK ⊥GH ，GH EF H =，∴OK ⊥平面GEF .即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离.∵正方形边长为4，CG =2， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC .在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG .在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK .【思路点拨】求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法.由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作BP ⊥ME 于P ，作BN ∥CG 交MG 于N ，连结PN ，再作BH ⊥PN 于H ，可得BH ⊥平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式. 【答案】11112.同类训练 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ，三棱锥P －ABD 的体积V A 到平面PBC 的距离.【知识点】距离，线面平行，等体积法.【数学思想】转化思想【解题过程】(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥P B.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AE C.(2)解：V＝16PA·AB·AD＝3A B.又V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PB C.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝132，所以313PA ABAHPB⋅==所以A到平面PBC的距离为313 13.【思路点拨】体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式求点到平面的距离.【答案】（1）见解题过程；（2）313 13.同类训练 已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离.【知识点】距离，线面平行.【数学思想】转化思想.【解题过程】如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂， ∴1111//BCD A C B 平面.从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求.过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥.又1BC A B B =，∴111BCD A E B 平面⊥.即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ，∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360.【思路点拨】本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解. 【答案】1360.活动④ 翻折问题，弄清题意例6 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【知识点】翻折，垂直.【解题过程】(1)证明：因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥B C.又因为DE 平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥A C.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D，所以DE⊥平面A1D C.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.且BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C、A1B 的中点P、Q，则PQ∥B C.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【思路点拨】在平面图形的翻折过程中的难点就是空间几何体是动态的，要注意变与不变的量.【答案】（1）见解题过程；（2）见解题过程；（3）存在，理由见解题过程.3. 课堂总结知识梳理1.线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .2.重难点归纳（1）线面垂直概念的辨析.（2）点到平面的距离常用三种方法：一是直接法.由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知b 、a 为不重合的直线, α为平面,则下面四个命题:①b ∥a ，a α⊥,则b α⊥;②若a α⊥，b α⊥,则b ∥a ;③若a α⊥,a b ⊥,则b ∥α;④若α∥a , a b ⊥,则b α⊥;其中正确的命题是（ ）A.①②B.①②③C.②③④D.①②④【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】①②显然正确；③中b 可能在α内；④中b ⊥α或b ∥α或b ⊂α.故选A.【思路点拨】利用线面垂直的性质，可知①②正确，③④写出所有可能即可.【答案】A.2.若l 、m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【知识点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系.【解题过程】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B.【思路点拨】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究.【答案】B.3.设c b a 、、是空间三条直线，α、β是空间两个平面，则下列命题中，命题不成立的是（ ）A.当c α⊥时，若c β⊥，则α∥βB.当b β⊥，若c α⊥，则b ∥cC.当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D.当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】当c α⊥时，若c β⊥，则由平面与平行的判定定理知α∥β，故A 正确；当b β⊥，若c α⊥，由直线与平面垂直的判定定理知b ∥c ；当α⊂b 时，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则由三垂线定理知a b ⊥，故C 正确；当α⊂b ，且α⊄c 事，若c ∥α，则b 与c 平行或异面，故D 错误.【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.【答案】D.4.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部解析：【知识点】直线和平面垂直的概念辨析.【解题过程】由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.BCC⊥平面ABC，再由线面【思路点拨】由题意结合线面垂直的判定可得平面1垂直的性质可得1C在底面ABC的射影H的位置.【答案】A.⊥，平行则四边形ABCD一5.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BD定是.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】根据题意，画出图形如图.∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，PA∩PC=P，∴BD⊥平面PA C.又∵AC⊂平面PAC，∴AC⊥B D.又ABCD是平行四边形，∴平行四边形一定是菱形.综上所述，答案为菱形.【思路点拨】根据题意，画出图形，利用线面平行的判定定理和性质定理可知AC⊥BD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论.【答案】菱形.6.四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是点A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形.则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】四棱锥P－ABCD的直观图如图所示，结合图形可知，满足题中要求的有PA⊥BC、PA⊥CD、AB⊥PD、BD⊥PA、BD⊥PC、AD⊥PB，共6对.【思路点拨】由题设知四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，ABCD是边长为a 的正方形，PA=a，由此能求出在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线有多少对.【答案】6.7.在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的的高是_______，体积等于________.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】依题意，.32260sin21=⨯⨯⨯=ABCS△∵PA⊥底面ABC，∴PA是三棱锥的高，∴h=PA=3，∴.3333131=⨯⨯=⨯⨯=-PASVABCABCP△【思路点拨】熟悉空间中的线面关系的概念和定理. 【答案】3；.38.在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝12BC，G是BC的中点.求证：(1)AB∥平面DEG；(2)EG⊥平面BDF.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】证明：(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥B C. 又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD//BG且AD=BG，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形，∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG .∵EF =BG 且EF //BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF .【思路点拨】判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【答案】见解题过程.9.如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=.求点S 与直线AB 的距离.【知识点】空间中的线面关系.【数学思想】【解题过程】作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB . ∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形.又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分.设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离.在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==，∴cm SO 5=. 因此，点S 到AB 的距离为cm 5.【思路点拨】由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点. 由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求.(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离.(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算.【答案】5cm.能力型 师生共研10.一个盛满水的三棱锥容器S －ABC ，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，且SD ∶DA ＝SE ∶EB ＝CF ∶FS ＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______倍.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多.V F－SDE V C－SAB ＝13S△SDE·h113S△SAB·h2＝13·SD·SE·sin∠DSE·h113·SA·SB·sin∠ASB·h2＝SDSA·SESB·h1h2＝23×23×13＝427.故最多可盛原来水的1－427＝2327.【思路点拨】由实际情况可以得到，当DEF面与地面平行时盛水最多，由图了利用相似比求得V F－SDEV C－SAB，从而求得最大值.【答案】2327.探究型多维突破11.如果平面α与α外一条直线a都垂直b，那么α//a.已知：直线α⊄a，ba⊥，α⊥b.求证：α//a.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】证明：(1)如图，若a与b相交，则由a、b确定平面β，设'a=αβ .αααβαα////,,'''''aaaaaabaababab⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵.(2)如图，若a与b不相交，则在a上任取一点A，过A作bb//'，a、'b确定平面β，设'aβα=.αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵【思路点拨】若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证.【答案】见解题过程.自助餐12.如图所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积.附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝D C.又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥A D.又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BG C.又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BD C.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13·S△DBC·h＝13×12·BD·BC·sin 120°·32＝12.【思路点拨】1.利用等腰三角形的三线合一性质是突破点；2.利用比例转化体积的标准之一是方便求高.【答案】（1）见解题过程；（2）1 2.。
无为县高中数学平面与平面垂直的性质新课程商讨活动观摩课授课方案一、授课目的1、知识与技术（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；（2）认识性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。
2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。
3、神情与价值经过“直观感知、操作确认，推理证明” ，培养学生空间看法、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、授课重点对性质定理的理解三、授课难点性质定理的引入和证明四、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明；（2）用具：两个互相垂直的平面，一根直的细棍；（3）多媒体课件。
五、授课方案（一）复习回顾1、面面垂直的定义；2、面面垂直的判断。
（二）研究新知面面垂直的定义既供给了两个平面垂直的判断方法，又指出了两个平面互相垂直的性质。
应用判判定理的重点是在其中一个平面中搜寻另一个平面的垂线，由线面垂直推出头面垂直。
那么现在从面面垂直出发，能否获得线面垂直呢？面面垂直拥有哪些性质呢？这就是我们这节课所要研究的内容。
问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？1、研究拿出平面与平面垂直的模型，并拿细棍在其中一个面上搬动。
让学生观察模型，研究细棍搬动时，细棍与另一个平面的地址关系。
2、猜想在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明下面我们一起来完成这个命题的证明 . 先分析命题的条件和结论，尔后画出图形，再结合图形，用符号语言表达已知、求证。
已知：α⊥β，α∩β=AB， CD α，CD⊥ AB.求证： CD⊥β.引导：这个命题的结论是线面垂直 . 考虑已学过的判断线面垂直的方法有哪些，由此题的已知看看哪一种方法最适合 .证明：在平面β内，过 D 作 DE⊥AB，因为 CD ⊥AB，CD α，所以∠ CDE是α-AB- β的平面角，又α⊥β，所以∠CDE=90°即CD⊥DE.又AB β，DE β，故 CD ⊥β.此命题就是面面垂直的性质定理。
2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第1课时）一、教学目标（一）核心素养引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题最终要转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．（二）学习目标（1）直线和平面垂直的定义及相关概念．（2）直线和平面垂直的判定定理．（3）线线平行的性质定理．（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的定义．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理．（3）掌握线线平行的性质定理．（四）学习难点（1）线、面垂直定义的理解和判定定理的证明．（2）如何要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过某点的两条直线说明“任意”直线的问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第64页到第67页，填空：直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．判定定理：预习自测（1）下面说法正确的个数是（ ） ①直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α．②若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．③若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（2）已知直线a 、b 和平面α，,a b αα⊥⊆ ，则a b ．答案：⊥（3）在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ．①若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．②若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心．答案：外；垂．解析：①如图1，连接OA 、OB 、OC 、OP ，在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．②如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可求BD、AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）（2）空间中经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）（3）空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）2．问题探究探究一实例引领，认识直线和平面垂直的概念★●活动①归纳提炼概念（1）同学们，我们现在拿起我们的课本，把书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．所以我们说：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．（2）指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．（类比初中：在平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）（3）说明直线和平面垂直的画法及表示．要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 逐步引导，证明定理引导学生写出已知条件和结论，并画出图形如下：已知：,,,,l m l n m n m n B αβ⊥⊥⊆⊆⋂=求证：l α⊥我们知道如何证明直线和平面垂直呢？需要根据直线和平面垂直的定义，即需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．如图：设g 是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l ⊥g 就可以了．对于平面α内不经过点B 的直线，可以过点B 作它的平行直线，所以，我们先证明，l 、g 都经过点B 的情况．（学生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示）（1）l 、g 是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l 上点B 的两侧分别取点A 、A ′，使AB ＝A ′B ．（2）直线m 、n 和线段AA ′是什么关系？（m 、n 垂直平分AA ′）（3）从结论看，直线g 与线段AA ′应当有什么关系？（g 垂直平分AA ′）（4）怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）（5）过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC ＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：（1）当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．（2）如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．（3）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（4）强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（Ⅰ）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（Ⅱ）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 变例探究，灵活使用直线和平面垂直的判定定理．●活动① 互动交流，初步实践例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b （如下图）【知识点】直线和平面垂直的判定定理【解题过程】证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．【思路点拨】本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．【答案】见解题过程．●活动② 巩固基础，检查反馈例2 判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题过程】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面．因此应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，所以该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a 、b 、c 且a 、b 、c 共点于O ，∵a ⊥b ，a ⊥c ，b c O =I ，且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α，同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于由a 、b 确定的平面， ∴该命题应打“√”．【思路点拨】本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√例3 如图，在直三棱柱111C B A －ABC 中，2BC ＝2AC ＝AA 1，D 是棱1AA 的中点， D.B CD 1⊥（1）证明：11C B CD ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【知识点】直线和平面垂直的性质的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC =DC 1，又AA 1=2A 1C 1，可得,DC 21221CC DC =+ 所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，D ＝D C ∩D B 11，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为⊂11C B 平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1．（2）由（1）知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积， 则，梯形3113111112123313111111C B C B C B S V V C CDA C CDA B =⨯⨯=⨯⨯==-，总311121111C B CC BC AC V V C B A ABC =⨯⨯⨯==- ，总13111221-V C B V V V ===.1:121=V V 故【思路点拨】异面直线间垂直的证明可通过证明直线和平面垂直得证．【答案】（1）见解题过程；（2）1:1．活动③ 强化提升，灵活应用例4 如图所示，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BA =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．【知识点】等腰三角形三线合一【解题过程】证明：(1)在等腰△SAC 中，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC ．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵ED ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB ．又SE ⊥AB ，∴AB ⊥面SED ，∴AB ⊥SD ．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BA =BC ，∴SD ⊥AC ．又∵SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD ．∵SD AC D I ，∴BD ⊥面SAC ．【思路点拨】证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．【答案】见解题过程．例5 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：NH ⊥SB ．(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？【知识点】线线垂直，线面垂直．【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴AM ⊥BM ．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴SA ⊥MB ．∵AM SA A =I ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴BM ⊥AN ．∵AN ⊥SM 于N ，BM SM M =I ，∴AN ⊥平面SMB ．∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴NH ⊥SB ．(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN ，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴△SAB 、△SAM 均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴△BAM 、△BMS 均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴△ANS 、△ANM 、△ANH 均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴△SHA 、△BHA 、△SHN 、△BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ．由BM ⊥平面SAM 知，BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ．由AN ⊥平面SMB 知，AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ．由SB ⊥平面ANH 知，SB ⊥AH ，SB ⊥HN ．综上，图中共有11对互相垂直的直线．【思路点拨】为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．【答案】（1）见解题过程；（2）4；（3）11；（4）11．同类训练 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．【知识点】线线垂直，线面垂直。
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
