四川省泸县第一中学2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题理【含答案】

2020-2021学年四川省泸州市高级中学校分校高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 如图所示的程序框图输出的结果是(A)3/4 (B)4/5(C)5/6 (D)6/7参考答案：C4. 函数的导数（）A． B． C． D．参考答案：C5. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．7. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B8. 记等比数列的前项和为，若则（）A． 9 B．27 C．8 D．8参考答案：A略9. 已知，则的值为（）A、 B、 C、D、参考答案：A略10. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．（1）求证：平面POB⊥平面PAD；（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得四边形BCDO为平行四边形，O B⊥AD，从而BO⊥平面PAD，由此能证明平面POB⊥平面PAD．（2）连结AC，交BO于N，连结MN，由已知得MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMO．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，O为AD的中点，∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO．∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°即O B⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD．∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．（2）证明：连结AC，交BO于N，连结MN，∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，∴N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，∴PA∥平面BMO．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是▲.参考答案：12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，则的周长为 .参考答案：13. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为 ．参考答案：3π【考点】球内接多面体．【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R ，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a ，正方体外接球的半径为R ，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；所以外接球的表面积为：S 球=4πR 2=3π． 故答案为：3π14. 设函数f （x ）=，则定积分f （x ）dx= ．参考答案：【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的运算法则，将所求写成两个定积分相加的形式，然后分别计算定积分即可．【解答】解：函数f （x ）=， 则定积分f （x ）dx==（）|+|=；故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算；利用定积分运算法则的可加性解答．15. 关于图中的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列说法正确的有： ． ①P 点在线段BD 上运动，棱锥P ﹣AB 1D 1体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面A 1B 1C 1D 1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB 1D 1与平面BDC 1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．参考答案：①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中，BD ∥B 1D 1，B 1D 1?平面AB 1D 1，BD?平面AB 1D 1，∴BD ∥平面AB 1D 1，又P ∈BD ，∴棱锥P ﹣AB 1D 1体积不变是正确的，故①正确； ②中，P 点在线段BD 上运动，∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，直线AP?平面ABCD ，∴直线AP 与平面A 1B 1C 1D 1平行，故②正确；③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确；④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误；⑤中，截面α在平面AB 1D 1与平面BDC 1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误． 故答案为：①②③．16. 设F 为抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若，则.参考答案：略17. 已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A B C ．2D【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z =. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A【解析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．【考点】程序框图． 4．函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在x π=时函数范围的判断进行排除，即可得答案. 【详解】解：由已知()()()()()cos cos ln ln x x x xx x x xf x f x e e e e -----==-=-++，则函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-上是奇函数，故排除B ；又()()()()cos 0,1ln ln ln ln f e e e e e e e πππππππππππππ---==-<->-=-+++，故排除CD ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题. 5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．6．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr r rr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 7．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A ．17B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.8．不等式组201230 xyy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（）A．(),x y∀∈Ω，23x y+>B．(),x y∃∈Ω，25x y+> C．(),x y∀∈Ω，231yx+>-D．(),x y∃∈Ω，251yx+>-【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1yz x y zx+=+=-，分析12,z z的几何意义，可得12,z z的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组201230x yy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A，()1,2B，设12z x y=+，则122zxy=-+，1z的几何意义为直线122zxy=-+在y轴上的截距的2倍，由图可得：当122zxy=-+过点()1,2B时，直线12z x y=+在y轴上的截距最大，即25x y+≤，当122zxy=-+过点原点时，直线12z x y=+在y轴上的截距最小，即20x y+≥，故AB错误；设221yzx+=-，则2z的几何意义为点(),x y与点()1,2-连线的斜率，由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C【解析】将,AF BE u u u r u u u r用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r，再利用投影公式AD ABAB⋅u u u r u u u ru u u r 可得答案. 【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u ur u u u r ， 得6AD AB ⋅=u u u r u u u r，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u ru u ur . 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r表示是关键，是基础题.10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B C ．154D 【答案】B【解析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积. 【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.11．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12．ABC V是边长为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A．4B．4C．4D．4【答案】D【解析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到PO OC ==的体积公式求出体积.如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心， 当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V . 故选：D.本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.二、填空题13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为__________. 【答案】3000【解析】根据正态曲线的对称性求出()180P ξ>，进而可求出身高高于180cm 的高中男生人数. 【详解】解：全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，则()10.421800.12P ξ-⨯>==， 该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为300000.13000⨯=. 故答案为：3000. 【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 【答案】24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有132640C C =，若甲乙两名护士到同一地的种数有11124216C C C =，则甲乙两名护士不到同一地的种数有401624-=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.15．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为1a ab+的最小值为__________.【答案】3+【解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得10a b +-=，代入1a ab+整理得()112131a ab a a +=-+-++，利用基本不等式求得最值.【详解】解：圆()()224x a y b -+-=的圆心为(),a b ，则(),a b 到直线10x y ++=，由直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为222+=，整理得()214a b ++=， 解得10a b +-=或30++=a b (舍去)，令1(0,0)a m a b ab+=>> ()()()()21111211312131a a a m ab a a a a a a +++∴====--+++--+-++，又()211a a ++≥+1a +=,等号成立, 则()21331a a -+-+≤-+ ()132131m a a ∴=≥=+-+-++故答案为：3+【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.16．在ABC V 中，B 、C 的坐标分别为()-，()，且满足sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________. 【答案】()12,+∞【解析】由正弦定理可得点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+u u u r u u u r ，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得范围. 【详解】解：由正弦定理得422AC AB BC -==⨯=<， 则点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则221,244x y x -=<-，()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+u u u r u u u r，又224y x =-，()22242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+u u u r u u u r ， 因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=u u u r u u u r ，即AO AP ⋅u u u r u u u r的取值范围为()12,+∞. 故答案为：()12,+∞. 【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()()()35412n n n S n n +=++【解析】（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+Q ①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n nn a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =， 故n a n =；（2）()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()()35412n n n n +=++.【点睛】本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小. 【答案】（1）见解析；（221【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，QV ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =Q ，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥， DN AB ⊥Q ，//DN BC ∴，BC ⊂Q 平面PBC ，DN ⊄平面PBC ， //DN ∴平面PBC ，MN Q 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂Q 平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，MN Q 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂Q 平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COQV ABD 为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒ AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥Q ，BD CO ⊥，PC CO C =I ，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂Q 平面PCOBD PO ∴⊥Q 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD V 中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠ 又BC CD =Q ，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒，CB CD ∴==，CO =， PD PB ⊥Q ，O 为BD 中点，112PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()0,1,0B . )3,1,0BA ∴=-u u u r ，)3,0,1PA =-u u u r，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则，300030x y n BA n PA x z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，则3y z ==(3,3n ∴=r，平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =u u u r，21cos ,7n OB n OB n OB⋅==⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，Q 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为217.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：A 市场：需求量90100110B 市场：把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由.【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析【解析】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；（2）X 可取180，190，200，210，220，()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-= 当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--985.3=.9486985.3<Q .，200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值. 【答案】（1）22154x y +=；（2）见解析 【解析】（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为45-列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为45-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解. 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1c ∴=，5e =Q，c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=；（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN的方程为：()0x t t t =<<≠代入22154x y +=得：,M t ⎛ ⎝，,N t ⎛- ⎝，2122455t k k t-∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-，解得：252t =，12MONS t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+由()2222245105200154y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k -⋅=+4·5OM ON k k =-Q ，121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++=()2222252010545504545m km k mk m k k-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠MN === O 到MN的距离d =12MON S MN d ∴=△===综上：MON S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.21．已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞ 【解析】（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x a x =有两个相异实根，令()ln x G x x =求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为ln 1x x m e x x≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x=-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】 （1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ，知0x >()f x ∴有两个零点ln x a x ⇔=有两个相异实根. 令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=， 由()0G x '>得：0x e <<，由()0G x '<得：x e >，()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==， 又()10G =Q∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）当1a =时，()xf x e x =-， ∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立ln 1x x m e x x⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 10xx F x e x x x=-->()min m F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+= 令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则 ()2120x h x xe x e x'=++> ()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭ 01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=① 当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==-- 由①知0200ln x x ex =- 001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ Q 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=， 1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.22．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.【答案】（1）4sin ρθ=；（2【解析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=，即可得结果；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB，则计算可得1sin 2438OAOB πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos 4ααα=)1sin 2cos 218αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q 242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max OA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， OAOB ∴. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.23．已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析 【解析】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >Q ，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥， 当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。

2023年四川省泸州市泸县四中高考数学二诊试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 如图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z所表示的复数z满足，则复数( )A. B. C. D.3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，根据两台机床每天生产零件的次品数，绘制了如图茎叶图，则下列判断错误的是( )A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的众数大于乙的众数C. 甲的方差大于乙的方差D. 甲的性能优于乙的性能4. 已知某几何体的三视图如图所示图中网格纸上小正方形边长为，则该几何体的体积为( )A.B. 15C.D. 205. 已知是第四象限角，，则( )A. B. 5 C. D. 76. 设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在如图所示的计算…程序框图中，判断框内应填入的条件是( )A.B. ？C. ？D. ？8.已知函数，，其中，若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是( )A. 在区间上是减函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是增函数9. 若，则( )A. B. C. D.10. 已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为( ) A. B. C. 0 D. 5011. 已知点是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方是( )A. B. C. D.12. 关于x的不等式对任意恒成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 曲线在处的切线方程为__________.14. 3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______.15.若实数x，y满足，且，则的最大值为______.16. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P是线段DC上的一个动点，则的最小值为______ .17. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，求与；设，数列的前n项和记为，求18. 某超市从2020年1月甲、乙两种酸奶的日销售量单位：箱的数据中分别随机抽取100个，并按，分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．写出频率分布直方图甲中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量单位：箱的方差分别为与，试比较与的大小只需写出结论；估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．19. 如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，，点P是下底面内以为直径的圆上的一个动点点P不在上求证：平面平面；若，，求二面角的余弦值．20. 已知抛物线C：，直线，过点作直线与C交于A，B两点，当时，P为AB中点.求C的方程；作，，垂足分别为，两点，若与交于Q，求证：21. 已知函数有两个零点，求实数a的取值范围；证明：22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为若曲线方程中的参数是，且与有且只有一个公共点，求的普通方程；已知点，若曲线方程中的参数是t，，且与相交于P，Q两个不同点，求的最大值．23. 已知函数解不等式；已知，若恒成立，求函数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合的描述法和区间的定义，绝对值不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：，，故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考査了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由图可知：再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图可知：，则复数故选：3.【答案】D【解析】解：，，故选项A判断正确；甲的众数为15，乙的众数为12，故选项B判断正确；由茎叶图知乙的数据更集中，故选项C判断正确；甲的平均数大于乙的平均数，且甲的方差大于乙的方差，甲的性能劣于乙的性能，故选项D判断错误；故选：分别利用平均数及众数判断选项A、B，结合茎叶图直接判断选项C，根据平均数及方差判断选项D即可．本题考查了数据的数字特征的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为下底面为边长为2，上底面边长为4，高为2的四棱台；如图所示：故；故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：，且为第四象限角，则；故选：根据同角三角函数之间的基本关系，可先求出，，再利用两角差的公式求解即可．本题考查了同角三角函数间的基本关系的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于中档题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为，若为递增数列，则对恒成立，即或，所以由为递增数列，由\(\left\{{a}_{n}\right\}\)为递增数列\(⇏q>1\)，故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选7.【答案】A【解析】解：由题意，1，5，9，…，2017是等差数列，公差为4，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量…的值，模拟程序的运行，可得当…时，不满足退出循环的条件，…，当…时，满足退出循环的条件．可得判断框内的条件为：？．故选：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量…的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由的最小正周期为，得，又当时，取最大值，，，，由选项可知B正确．故选：根据条件得到的解析式，然后根据选项判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，属基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．化为，利用函数的单调性求解．【解答】解：，，即，又因为a、b为底数，a、b恒大于0故，故选10.【答案】C【解析】解：依题意，由函数的图象关于对称，可知函数的图象关于对称，数列是公差不为0的等差数列，，，，数列前100项和为故选：先根据函数图像的对称性及平移性质可得函数的图象关于对称，再根据数列是公差不为0的等差数列判别出，又由可得，最后根据等差数列的求和公式及等差中项的性质计算出结果．本题主要考查数列与函数的综合问题，考查了转化与化归思想，函数的性质运用，等差数列的求和公式及等差中项的性质应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．【解析】解：如图，设抛物线的准线为l，作于Q，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，设，，则，且，满足，将①代入②得，则，即，或舍去将代入③，得，即，再将y代入①得，，即，，即故选：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立a，c的关系即可得到结论．数列掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．本题运算量较大，综合性较强，难度较大．【解析】解：因为对任意恒成立，所以，即在时恒成立，令，则在R上单调递增，且，所以恒成立，即恒成立，令，，则，易得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，所以，故故选：由已知不等式合理的变形得在时恒成立，结合不等式特点考虑构造函数，结合导数分析单调性，由不等式及单调性进行转化，可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的运用，求切线方程以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程.【解答】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，则切线的方程为故答案为14.【答案】【解析】解：3名女生和4名男生全排列共有种情况，每名女生旁边都有男生的情况分为两类，3名女生都不相邻，或恰有2名女生相邻，共有种情况，所求的概率为故答案为：3名女生和4名男生全排列共有种情况，每名女生旁边都有男生的情况分为两类，3名女生都不相邻，或恰有2名女生相邻，共有种情况，由此能求出所求的概率．本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理的核心素养，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：，则，，当且仅当，即时取等号，故的最大值为，故答案为：先根据对数的运算性质可得，再把已知变形，最后根据基本不等式即可求解．本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中档题．16.【答案】【解析】解：以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，所在直线方程为，即，设，，则，，，当时，的最小值为故答案为：以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数求最值得答案．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，建系是关键，是中档题．17.【答案】【名师指导】本题考查等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．解：设正项等比数列的公比为，由，解得，所以，由得，所以，①，②①-②得，所以【解析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式和等差中项列出方程组，求出，q的值，即可求解；由求出，再利用错位相减法即可求解．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：由各小矩形面积和为1，得，解得，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，故设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，1，2，3，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P【解析】本题考查了频率分布直方图、二项分布的概率计算公式和数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用频率分布直方图的性质即可得出;设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱，求出，，即可求出的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布求出概率，得到分布列，然后求解期望．19.【答案】证明：由题意可得平面PAB，，为直径，，，平面，又平面，平面平面；解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，，可得，，，，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，取，得；由，取，得由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为【解析】由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：设，，，的方程为，即，联立，得，，，为AB的中点，，得，抛物线C的方程为；证明：当时，，，则四边形为矩形，可知Q为的中点，又已知P为AB的中点，为的中位线，得；当AB与l不平行时，设AB与l相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，由题意显然成立，只要证，即证，又，，则需要证，即证，也就是证设直线AB的方程为，则，联立，解得联立，得，，，综上所述，【解析】设，，作出AB的方程，与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及中点坐标公式求解p，则抛物线方程可求；当时，知Q为的中点，又P为AB的中点，得；当AB与l不平行时，设AB与l相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，由题意显然成立，只要证，转化为证联立两直线方程求解，联立直线方程与抛物线方程求得，与，代入整理即可证明．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：的定义域为R，，①当时，，所以在R上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以若，则，故至多有一个零点，不符合题意；若，则，，由知，所以，所以，，由因为，，故存在两个零点，分别在，内，综上，实数a的取值范围是证明：由题意得，令，两式相除得，变形得，欲证，即证，即证，记，，故在上单调递减，从而，即，所以，得证．【解析】对求导，再对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求出的单调性与最值，再结合题意可求得a的取值范围；由题意得，令，从而可得，分析可得要证，即证，令，利用导数求出的单调性，从而可得即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：，曲线的直角坐标方程为，是曲线：的参数，的普通方程为，与有且只有一个公共点，或，的普通方程为或是曲线：的参数，是过点的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是，，把，代入得，，当时，，取最大值【解析】本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题，属中档题．利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出把曲线参数方程代入曲线直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点P，Q，的参数分别是，一元二次方程根与系数关系，求出的表达式，求出最大值．23.【答案】解：不等式，即当时，即，得；当时，即，得；当时，即，无解．综上，原不等式的解集为令当时，要使不等式恒成立，只需，即，故所求实数a的取值范围是【解析】分类讨论，即可解不等式；令，要使不等式恒成立，只需，即可求函数a的取值范围．本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确转化是关键．。

复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，则21s 22s A ．，B ．，C ．，D ．12x x >2212s s >12x x >2212s s <12x x <2212s s >1x <4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：为坐标原点），若过点作互相垂直的两O1,3,4 3⎫⎬⎭三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第试题考生都必须作答．第22（一）必考题：共60分。

(1)求证：平面平面BDG ⊥ABC (2)若，求平面2AB BC CP ===19．（12分）公司采用招考的方式引进入才，规定考生必须在测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测试点的测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点、、测试合格的概率分别为，A B C 23，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．231223（）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由；1（）假设小李选择测试点、进行测试，小王选择测试点、进行测试，记为两人在各测试点测试2A B A C X 合格的测试点个数之和，求随机变量的分布列及数学期望．X EX 20．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为()2222:10x y C a b a b +=>>,A B D ABD △的正三角形．3(1)求椭圆的方程；C (2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关C (),0M m C ,P Q P P 'x Q Q '于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．x PQ 'P Q 'K AKB ∠m 21．（12分）已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点()2ln 12a f x x x x x =--+a ∈R ()f x .12x x ，(1)求实数a 的取值范围；(2)当时，证明：.02m <≤12m x x a +>（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。

2021年新高考第二次适应性考试数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．20 14．52715．4316．2e e a >-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 【解】选①，由2cos cos a b c B C -=及正弦定理得，2sin sin sin cos cos A B CB C-=， 整理得，()()2sin cos sin cos sin cos sin sin sin A C C B B C B C A A π=+=+=-=， 因为()0πA ∈，，故sin 0A ≠， 所以2cos 1C =，1cos 2C =， 又因为()0πC ∈，，故3C π=． …………………4分据S 1sin 2ab C =9ab =． 又6a b -=，据余弦定理得()222222cos 6945c a b ab C a b ab =+-=-+=+=，所以c =． …………………7分又()()222464972a b a b ab +=-+=+⨯=，故a b +=，所以△ABC的周长为a b c ++=． …………………10分选②，由)2224S a b c+-，得)2221sin 2ab C a b c +-，即sin C =．据余弦定理知222cos 2a b c C ab +-=，故sin C C ，又()0πC ∈，，显然π2C ≠，得tan C =，π3C =， …………………4分下同①．选③，由πsin cos 6C A a C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭及正弦定理得πsin sin sin cos 6C A A C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()0πA ∈，，sin 0A ≠，故πsin =cos 6C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1sin sin 2C C C +，得1sin 2C C =，又()0πC ∈，，显然π2C ≠，故tan C =，π3C =， …………………4分 下同①．18．（本小题满分12分）【解】（1）当2n ≥，*N n ∈时，111234n n n n S a S S +--++=，即()11123n n n n n S S a S S +---+=-，所以当2n ≥，*N n ∈时，1123n n n a a a +-+=，即()112n n n n a a a a +--=-． …………………3分 又2133a a ==，得11a =，2120a a -=≠，故当2n ≥，*N n ∈时，10n n a a --≠， …………………4分 所以11=2n nn n a a a a +---为定值，其中2n ≥，*N n ∈，所以数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列． …………………5分（2）由（1）知12nn n a a +-=． …………………7分当2n ≥，*N n ∈时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+=()112212222112112n n n n----++++=+=--，又11a =符合上式，所以21n n a =-． …………………9分 故()()()()()()1111121211211212121212121n n n n n n n n n n n n n a b a a +++++---+====-------， …………………10分 所以12n n T b b b =+++=12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11112121n +--- =11121n +--． …………………12分19．（本小题满分12分） （1）【证】设ACBD O =，连接OH ．因为四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，所以O 是AC 的中点， 所以OH ∥AF ，又AF AEF ⊂面，AF AEF ⊄面，所以OH ∥面AEF ． …………………2分 在△CEF 中，G ，H 分别是CE 和CF 的中点， 所以GH ∥EF ，又EF AEF ⊂面，GH AEF ⊄面，所以GH ∥面AEF ． …………………4分 又OH ，GH BDGH ⊂面，OHGH H =，所以平面BDGH ∥平面AEF ． …………………6分（2）【解】取EF 的中点Q ，连接OQ ．在矩形BDEF 中，O 是BD 的中点，Q 是EF 的中点， 所以OQ ∥DE ，且DE ⊥BD ， 故OQ ⊥BD ，又面BDEF ⊥面ABCD ，OQ BDEF ⊂面，BDEF ABCD BD =面面，所以OQ ⊥面ABCD ， 又AC ，BD ⊂面ABCD ， 所以OQ ⊥AC ，OQ ⊥BD ． 因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC ，OQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系O ─xyz ． …………………7分 所以Q (0，0，3)，B (1，0，0)，F (1，0，3)，C (00)，1322H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， D (1，0，0)．因为OQ ⊥面ABCD ，故平面ABCD 的一个法向量为()1003n =，，； 又()200BD =-，，，1322BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， 设()2n x y z =，，是平面BDH的一个法向量，则2013022x x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，， 令1z =，得()201n =，，所以平面BDH的一个法向量为()201n =，． …………………9分所以12121231cos 322n n n n n n ⋅===⨯，， 设二面角H BD C --的大小为θ，则121cos cos 2n n θ==，， 据图可知，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以1cos 2θ=，π3θ=，所以二面角H BD C --的大小为π3． …………………12分 19．（本小题满分12分）【解】（1）()350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………2分 ()()()()()222235650.02545650.1555650.265650.25D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+()()()22275650.22585650.295650.05210-⨯+-⨯+-⨯=，…………………4分 因为296225σ<<，所以1415σ<<， 又214.5210.25210=>，故14σ≈， 所以X ～N (65，214)，所以()()37792P X P X μσμσ<<=-<<+ ()()220.95450.68270.818622P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<++===．…………………6分（2）Y 的所有可能取值分别为18，36，54，72．依题意得，()()12P x P x μμ<==≥． ()12118233P Y ==⨯=，()111227362323318P Y ==⨯+⨯⨯=，()1211122542332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()11117223318P Y ==⨯⨯=，…………………10分 所以Y 的概率分布为()172118+36+54+72=36318918E Y =⨯⨯⨯⨯．所以举办此项活动所需要的抽奖红包的总金额为20036=7200⨯元．…………………12分20．（本小题满分12分） 【解】（1）由题意得c e a =，其中c 1b =，故2243a c =， 所以2222413a c c c -=-=，解得23c =，所以24a =，所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=． …………………3分设2222x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2112x C x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为点C 是AB 的中点，所以122x x =， ①且ABAC k k =，即2221211122x x p px x ++=，整理得()()1212122x x x x p x x -=-， 显然120x x -≠，故122x x p =， ②联立①②，得21x p =，故点C 的纵坐标为21122x p =． …………………6分 （2）由（1）得21122p x ⋅=，故1x =据图形的对称性，不妨设1x =()11k--=32k ， 所以点C 的坐标为3122k ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线MN ：1322y k x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2y kx =-+，设()33M x y ，，()44N x y ，， 联立方程组22214y kx x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224116120k x kx +-+=，则342342016=41124+1k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+⎨+⎪⎪=⎪⎩，，，即34234216=41124+1k x x k x x k ⎧+⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，，且2430k ->， …………………8分故34MN x -=． 又点()01A -，到直线MN的距离为d =，所以四边形AMBN的面积1222AMNS S MN d ∆==⋅⋅==，…………………10分 令2430t k =->，所以3S ===， 当且仅当16t t=，4t =时，等号成立，此时k =，97p =，抛物线C 2的方程为2187x y =． …………………12分22．（本小题满分12分）【解】（1）()()ln 11f x x kx =+--，0x ≥，故()11'11k kxf x k x x --=-=++． ① 若0k ≤，则()'0f x >恒成立，故()f x 在[)0+∞，上单调递增． ② 若01k <<，令()'=0f x ，得110x=->． ③ 若1k ≥，则()'0f x ≤恒成立，故()f x 在[)0+∞，上单调递减．综上所述，若0k ≤，()f x 在[)0+∞，上单调递增；若01k <<，()f x 在101k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在11k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；若1k ≥，()f x 在[)0+∞，上单调递减． …………………4分（2）令()()e 1x g x f x x =++，故()()e ln 111xg x x kx x =+-+-+，0x ≥．所以()()21e '11x x g x k x x =-+++，令()()()21e '11x x h x g x k x x ==-+++， ()()()()()()()222331e 1e 11'111xx xx x h x x x x ++-+=-+=+++，下面证明e 1x x +≥，其中0x ≥．令()e 1x x x ϕ=--，0x ≥，则()'e 10x x ϕ=-≥．所以()x ϕ在[)0+∞，上单调递增，故()()00x ϕϕ=≥， 所以当0x ≥时，e 1x x +≥． 所以()()()()()()()()()2223331e 1111'0111x x x x x x x h x x x x +-+++-+==+++≥≥， 所以()'g x 在[)0+∞，上单调递增，故()()''01g x g k =-≥． …………………6分① 若10k -≥，即1k ≤，则()()''010g x g k =-≥≥，所以()g x 在[)0+∞，上 单调递增，所以()()00g x g =≥对0x ∀≥恒成立，所以1k ≤符合题意． …………………8分 ② 若10k -<，即1k >，此时()'010g k =-<，又()()()4442222214e 4e e '41411414122kk kk k g k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+>-=⋅-⎢⎥+⎛⎫+++⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦22e 1122k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥=- ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 且据1k >及e 1x x +≥可得21e 2122k k k +>+≥，故22e 1122k k ⎛⎫ ⎪> ⎪ ⎪+⎝⎭，所以()'40g k >．又()'g x 的图象在[)0+∞，上不间断， 所以存在()004x k ∈，，使得()'0g x =， 且当()00x x ∈，时，()'0g x <，()g x 在()00x ，上单调递减． 所以()()000g x g <=，其中()004x k ∈，，与题意矛盾， 所以1k >不符题意，舍去．综上所述，实数k 的取值范围是1k ≤． …………………12分。

四川省泸县第二中学2020—2021学年高二数学上学期第二次月考试题理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题(60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若直线l经过点(2,3)B,则直线l的倾斜角为A,(3,4)A．30B．45︒C．60︒D．90︒2．已知a b cac>,则下列关系式一定成立的是>>，0A．2c bc>B．()0->C．a b cbc a c+>D．22>a b3．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在（0，＋∞）上有解"的否定是A．∃x∈（0，＋∞)，ax2－x－2≠0B．∀x∈(0,＋∞)，ax2－x －2≠0C ．∃x ∈(－∞,0）,ax 2－x －2＝0D ．∀x ∈（－∞,0），ax 2－x －2＝0 4．如果椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为A ．10B ．6C ．12D ．145．已知命题1:sin 2p x =，命题:2 6q x k k Z ππ=+∈，，则p 是q 的A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 6．若2a >-，则162a a ++的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．27．在空间直角坐标系中，已知点2,3)P ，过点P 作平面yoz的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为 A ．2,0)B ．2,3)C ．3)D ．2,0)8．下列命题正确的是A ．到x 轴距离为3的点的轨迹方程是x ＝3B ．方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线C ．方程｜x ﹣y |+（xy ﹣1)2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D ．3x 2﹣2y 2﹣3x +m ＝0通过原点的充要条件是m ＝09．与圆()22C x y 59：＋＋＝相切，且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线共有 A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．当直线(2)4y k x =-+和曲线214y x 有两个交点时，实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 C ．)125,0( D ．),125(+∞11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左,右顶点。

一、单选题1. 若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．122. 已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，，则方程f （x ）－1＝0在（0，6）内的零点之和为A ．8B ．10C ．12D ．163. 若复数z 满足，则（ ）A．B．C．D．4. 设函数满足，，则函数（ ）A ．在上单调递增，在上单调递减B．在上单调递增，在上单调递减C ．在上单调递增D ．在上单调递减5. 已知三棱锥的侧棱都相等，侧棱的中点分别为，，，棱的中点为，平面．且，．若四面体的每个顶点都在球的球面上，则该球面与三棱锥侧面的交线总长为（ ）A．B．C．D．6.已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ）A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列B ．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列7. 算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（）A．B．C．D．8. 函数的图象可能为（ ）A ．B ．四川省泸州市泸县第一中学2021-2022学年高三三诊模拟考试文科数学试题 (2)四川省泸州市泸县第一中学2021-2022学年高三三诊模拟考试文科数学试题 (2)二、多选题三、填空题C ．D ．9.某地环保部门公布了该地两个景区2016年至2022年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的散点图，则由该图得出的下列结论中正确的是（）A ．景区A 这7年的空气质量优良天数的中位数为254B ．景区这7年的空气质量优良天数的第80百分位数为280C ．这7年景区A 的空气质量优良天数的标准差比景区的空气质量优良天数的标准差大D ．这7年景区A 的空气质量优良天数的平均数比景区的空气质量优良天数的平均数大10.已知，则（ ）A ．为第二象限角B．C．D．11. 已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线C的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（ ）A ．双曲线C 上的任意点P都满足B ．双曲线C 的虚轴长为4C ．双曲线C 的一个顶点与抛物线的焦点重合D ．双曲线C的渐近线方程为12.已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ）A．函数的图象关于点中心对称B．函数的图象关于直线对称C ．函数在区间内有4个零点D ．函数在区间上单调递增13. 某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人.（请将所有可能的结果都填在横线上）附表：，其中.0.0500.010四、解答题3.841 6.63514. 某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．15.已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最大值为__________．16. 已知椭圆C ：过点，且离心率.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为，直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，若，求直线l 方程.17.已知函数．(1)若恒成立，求的值；(2)求证：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）．18.如图，在正四棱柱中，，，E为棱上一点，且平面BDE.（1）求直线与平面BDE 所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.19. 在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示：甲9.810.31010.59.9乙10.29.910.110.210.1(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；(2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？20.如图，在三棱柱中点，在棱上，点F 在棱CC 1上，且点均不是棱的端点，平面且四边形与四边形的面积相等.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.21. 如图1所示，梯形ABCD中，AD＝2AB＝2BC＝2CD＝4．E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）(1)求证：AF⊥CD；(2)求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3）C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．2．（5分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，根据等差数列的性质即可求出n＝9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d ＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，故选：C．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．5．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．6．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】在已知数列递推式中，取m＝1，可得，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式列式求解．【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以在侧视图中与点E对应．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．9．（5分）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【分析】求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t＝||的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得x．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．10．（5分）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．11．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．【解答】解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．12．（5分）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i+m＝a i（i＝1，2…）的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【分析】分别为4个选项中k＝1，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001．【解答】解：对于A选项：序列11010 11010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满足C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列11011 11011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满足条件，排除；对于C选项：序列10001 10001 10001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列11001 11001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满足条件．故选：C．【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年四川省泸州市泸县中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣的倒数为（）A．B．2C．﹣D．﹣22．计算a2•a4的结果为（）A．a2B．a4C．a6D．a83．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．我国高铁发展迅速，截止2019年底，全国高铁总里程突破3.5万千米，稳居世界第一，将3.5万千米用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×103千米B．3.5×104千米C．3.5×105千米D．3.5×106千米5．下列几何体中，主视图和俯视图都为圆的是（）A．B．C．D．6．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（）A．90，96B．92，96C．92，98D．91，927．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）A．B．C．D．8．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BCD＝120°，则对角线BD等于（）A．2B．3C．2D．9．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0且k≠﹣1 10．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为（）A．B．C．D．11．如图，直线y＝x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，点D，E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE的周长的最小值是（）A．B．C．D．12．如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆交于点Q．连接DQ．给出如下结论：①DQ＝2；②；③S△PDQ＝；④cos ∠ADQ＝．其中正确的结论有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．分解因式：2a2﹣8＝．14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2＝5，则m的值是．15．在△ABC中．AB＝4，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰Rt△ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为．16．如图，直线y＝x+4与y轴交于A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3…在直线y＝x+4上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3…，S n，则S n的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．三．解答题（共72分分）17．计算：（2020﹣π）0+|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．18．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．19．先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．20．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．21．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？22．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，3），点C的坐标为（﹣1，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE＝3cm，EB＝6cm，求DG的长．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC，求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省泸州市泸县中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣的倒数为（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】根据两个互为倒数的数之积等于1可得答案．【解答】解：﹣的倒数是﹣＝﹣2，故选：D．2．计算a2•a4的结果为（）A．a2B．a4C．a6D．a8【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：原式＝a2+4＝a6．故选：C．3．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：C．4．我国高铁发展迅速，截止2019年底，全国高铁总里程突破3.5万千米，稳居世界第一，将3.5万千米用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×103千米B．3.5×104千米C．3.5×105千米D．3.5×106千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：3.5万＝35000＝3.5×104，故选：B．5．下列几何体中，主视图和俯视图都为圆的是（）A．B．C．D．【分析】首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可．【解答】解：A．圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；C．球的主视图和俯视图都为圆，故本选项符合题意；D．长方体的主视图和俯视图都为矩形，故本选项不合题意．故选：C．6．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（）A．90，96B．92，96C．92，98D．91，92【分析】根据中位数，众数的定义即可判断．【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数为92，众数为96．故选：B．7．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）A．B．C．D．【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P＝＝，故选：D．8．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BCD＝120°，则对角线BD等于（）A．2B．3C．2D．【分析】连接AC，交对角线BD于点O，由菱形的性质可证得∠ABC＝60°，在直角三角形ABO中利用勾股定理可求出BO的长，进而可求出对角线BD的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，∵AB＝2，∴AO＝1，∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2，故选：A．9．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0且k≠﹣1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，解得k≤0且k≠﹣1．故选：D．10．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x ＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：x﹣y＝1；组成方程组即可．【解答】解：根据题意得：．故选：A．11．如图，直线y＝x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，点D，E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE的周长的最小值是（）A．B．C．D．【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，依据勾股定理即可得到FG的长，进而得到△CDE周长的最小值．【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，此时三角形CDE的周长最小，∵直线y＝x+1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，∴B（﹣1，0），C（﹣，0），∴BO＝1，OG＝，BG＝，易得∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，∵Rt△BFG中，FG＝＝＝，∴△CDE周长的最小值是．故选：B．12．如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆交于点Q．连接DQ．给出如下结论：①DQ＝2；②；③S△PDQ＝；④cos ∠ADQ＝．其中正确的结论有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ＝OB，可证到∠AOD＝∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ＝DA ＝2；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得，把AN＝2﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．【解答】解：①连接OQ，OD，如图1．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵P是CD的中点，OA＝OB，∴OB＝DP，∴四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．∴∠DOQ＝∠OQB，∠AOD＝∠OBQ，∵OQ＝OB，∴∠OQB＝∠OBQ，∴∠AOD＝∠QOD，∵OA＝OQ，∴△AOD≌△QOD（SAS），∴DQ＝DA＝2．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP＝1，BP＝＝．∵∠ABQ+∠PBC＝∠PBC+∠CPB＝90°，∴∠ABQ＝∠CPB，又∵∠PCB＝∠AQB＝90°，∴Rt△AQB∽Rt△BCP，∴，∴，∴BQ＝，则PQ＝PB﹣BQ＝﹣＝，∴＝＝．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．∴QH∥BC，∴△PHQ∽△PCB，∴，∴，∴QH＝，∴S△DPQ＝DP•QH＝×1×＝．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．∴DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得，则有，解得：DN＝．由DQ＝2，得cos∠ADQ＝＝．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故选：C．二．填空题（共4小题）13．分解因式：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4），＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2＝5，则m的值是．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝．故答案为：．15．在△ABC中．AB＝4，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰Rt△ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为5或．【分析】分两种情况考虑：根据题意画出图形，如图1与图2所示，利用勾股定理求出CD的长即可．【解答】解：分两种情况考虑：如图1所示，由题意得到BE垂直平分AD，即AC＝DC，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝4，∴AE＝BE＝4，CE＝BE﹣BC＝4﹣1＝3，在Rt△ACE中，根据勾股定理得：DC＝AC＝＝5；如图2所示，延长BC，作DE⊥CE，可得出△EDB为等腰直角三角形，∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝DB＝4，∴DE＝BE＝4，EC＝EB+BC＝4+1＝5，根据勾股定理得：DC＝＝，综上，线段CD的长为5或．故答案为：5或16．如图，直线y＝x+4与y轴交于A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3…在直线y＝x+4上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3…，S n，则S n的值为22n+1（用含n的代数式表示，n为正整数）．【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵直线y＝x+4的k＝1，∴直线与x轴的夹角为45°，∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x＝0时，y＝4，所以，OA1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n个正方形的边长为2n+1，∴S1＝×4×4＝，S2＝×8×8＝，S3＝×16×16＝，…，S n＝×2n+1×2n+1＝＝22n+1．故答案为22n+1．三．解答题17．计算：（2020﹣π）0+|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×+3＝1+﹣1﹣+3＝3．18．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．【分析】先证明△ADE≌△FCE，得出AD＝CF，再根据平行四边形的性质可知AD＝BC，继而即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∵，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，又∵AD＝BC，∴BC＝CF．19．先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝[+]÷＝•＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝．20．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了20名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；故答案为：20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2…（7分）女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．21．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了650元列方程40x+30（20﹣x）＝650，然后解方程求出x，再计算20﹣x 即可；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元列不等式组，然后解不等式组后确定x的整数值即可得到该公司的购买方案．【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，根据题意得40x+30（20﹣x）＝650，解得x＝5，则20﹣x＝15，答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，根据题意得，解得≤x≤8，∵x为整数，∴x＝7或x＝8，当x＝7时，20﹣x＝13；当x＝8时，20﹣x＝12；答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．22．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？【分析】（1）根据方向角可以得到∠BCA＝45°，∠B＝30度，过A作AD⊥BC于点D，在直角△ACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在直角△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间；（2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度．【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G．∵乙船沿东北方向前进，∴∠HAB＝45°，∵∠EAC＝30°，∴∠CAH＝90°﹣30°＝60°∴∠CAB＝60°+45°＝105°．∵CG∥EA，∴∠GCA＝∠EAC＝30°．∵∠FCD＝75°，∴∠BCG＝15°，∠BCA＝15°+30°＝45°，∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠CAB＝30°．在直角△ACD中，∠ACD＝45°，AC＝2×15＝30．AD＝AC•sin45°＝30×＝30千米．CD＝AC•cos45°＝30千米．在直角△ABD中，∠B＝30°．则AB＝2AD＝60千米．则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15﹣2＝2小时；（2）BC＝CD+BD＝（30+30）千米．则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30）÷2＝（15+15）千米/小时．答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时（15+15）千米．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，3），点C的坐标为（﹣1，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）tan∠ACO＝2，则＝＝2，求出点A（，3），进而求解；（2）△AOB的面积＝S△OHA+S△OHB＝×OH（x A﹣x B）＝×2×（+）＝2．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣1，0），A的坐标为（n，3），∴AD＝3，CD＝n+1，∵tan∠ACO＝2，∴＝＝2，解得：n＝，经检验n＝为原方程解，故点A的坐标为（，3），将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝，故反比例函数表达式为：y＝①；∵tan∠ACO＝2，则k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝2，故一次函数的表达式为：y＝2x+2②；（2）联立①②并解得：x＝或﹣，故点B的横坐标为﹣，设直线AB交y轴于点H（0，2），则△AOB的面积＝S△OHA+S△OHB＝×OH（x A﹣x B）＝×2×（+）＝2．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE＝3cm，EB＝6cm，求DG的长．【分析】（1）连接BD．如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰直角三角形的性质得到BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，再利用等角的余角相等得到∠EDA ＝∠FDB，则可根据“ASA”可判断△AED≌△BFD，从而得到AE＝BF；（2）由△AED≌△BFD得到DE＝DF．则可判断△EDF是等腰直角三角形，所以∠DEF ＝45°，再利用圆周角定理得到∠G＝∠A＝45°，从而得到∠G＝∠DEF，然后根据平行线的判定方法得到结论；（3）先得出BF＝2．再利用勾股定理计算出EF＝3，接着根据△DED为等腰直角三角形得到DE＝EF＝，然后证明△GEB∽△AED，利用相似比计算出GE，最后计算GE+ED即可．【解答】（1）证明：连接BD．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，∴∠FDB+∠BDG＝90°，又∵∠EDA+∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE＝BF；（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，∴DE＝DF．∵∠EDF＝90°．∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°．∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；（3）解：∵AE＝BF，AE＝3，∴BF＝3．在Rt△EBF中，EF＝＝＝3，∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴DE＝EF＝×3＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴，即GE•DE＝AE•BE，∴GE＝＝，∴DG＝GE+ED＝＝．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC，求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为y＝y＝a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）过点P作PQ∥y轴，交AC于点Q，设点P，Q的横坐标为m，分别求得点P，Q 的纵坐标，从而可得到线段PQ＝m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△P AC＝×PQ×4＝2PQ，然后利用配方法可求得S△P AC的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得M1，根据抛物线的对称性，可得M2，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x＝﹣对称，∴点B的坐标为（1，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2＝﹣4a∴a＝，∴y＝x2﹣x+2．（2）设P（m，﹣m2﹣m+2）．如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，∵直线AC经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，可求得直线AC的解析式为：y＝x+2，∴Q（m，m+2），∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m，∵S△P AC＝×PQ×4＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∴当m＝﹣2时，S△P AC的最大值是4，此时P（﹣2，3）．（3）如图2，在Rt△AOC中，AC＝＝2，在Rt△BOC中，BC＝＝，∵AC2+BC2＝20+5＝25＝AB2，∴∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△ABC∽△AOC∽△CBO，①若点M在x轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC．根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；②若点M在x轴的下方时，设N（n，0），则M（n，﹣n2﹣n+2），∴MN＝n2+n﹣2，AN＝n+4，当＝，即＝＝时，MN＝AN，即n2+n﹣2＝（n+4），化简，得n2+2n﹣8＝0，n1＝﹣4（舍），n2＝2，M（2，﹣3）；当＝，即＝＝2时，MN＝2AN，即n2+n﹣2＝2（n+4），化简，得n2﹣n﹣20＝0，解得：n1＝﹣4（舍去），n2＝5，∴M（5，﹣18），综上所述：存在点M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．。

2023年四川省泸州市泸县一中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 实数2的平方根为( )A. 2B. ±2C. 2D. ±22. 七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3.如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是( )A. 跟B. 党C. 走D. 听4. 北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为( )A. 1.1×108B. 1.1×109C. 1.1×1010D. 1.1×10115. 下列计算正确的是( )A. 2a+3b=5abB. (a+b)2=a2+b2C. a2×a=a3D. (a2)3=a56. 在平面直角坐标系中，点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,−b)，则ab的值为( )A. −4B. 4C. 12D. −127. 已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为( )A. 0B. −10C. 3D. 108. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为( )A. {x +y =1000,47x +119y =999B. {x +y =1000,74x +911y =999C. {x +y =1000,7x +9y =999 D. {x +y =1000,4x +11y =9999. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(1,0)和点(0,−3)，且对称轴在y 轴的左侧，则下列结论错误的是( )A. a >0B. a +b =3C. 抛物线经过点(−1,0)D. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1有两个不相等的实数根10. 如果关于x 的方程2x +m x−1=1的解是正数，那么m 的取值范围是( )A. m >−1B. m >−1且m ≠0C. m <−1D. m <−1且m ≠−211. 如图，点E 在矩形ABCD 的AB 边上，将△ADE 沿DE 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若CD =3BF ，BE =4，则AD 的长为( )A. 9B. 12C. 15D. 1812. 已知点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)在抛物线y =mx 2−2m 2x +n (m ≠0)上，当x 1+x 2>4且x 1<x 2时，都有y 1<y 2，则m 的取值范围为( )A. 0<m ≤2B. −2≤m <0C. m >2D. m <−2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩(百分制).某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是______分．14. 分解因式：x3−4x=．15. 关于x的不等式组{−x+a<23x−12⩽x+1恰有3个整数解，则a的取值范围是______．16. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△A B E=32，则k=______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

四川省泸州市（新版）2024高考数学部编版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（）A．B．-1C．1D．第(2)题在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（）A．4B．12C．16D．18第(3)题已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．第(4)题已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（）A．B．C．4D．8第(5)题已知正三棱锥的顶点都在球的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知多项式，则（）A．0B．32C．16D．第(7)题若，则函数有（）A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值第(8)题已知集合，，，则集合的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（）A．B．数列为递增数列C．D．数列的前n项和小于第(2)题已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（）A．B．函数为周期函数C．函数在区间上单调递减D．函数的图像既有对称轴又有对称中心第(3)题下列命题中，正确的命题（）A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点B．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C．用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好D．若随机变量，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，.对于不相等的正实数，，设，，现有如下命题：①对于任意不相等的正实数，，都有；②对于任意的及任意不相等的正实数，，都有；③对于任意的，存在不相等的正实数，，使得；④对于任意的，存在不相等的正实数，，使得.其中真命题有___________(写出所有真命题的序号).第(2)题已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为______．第(3)题各位数字之和为的三位正整数的个数为________________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，.(1)若点为线段的中点，证明：平面；(2)若平面平面，且，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.第(2)题一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2.(1)记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望；(2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率．第(3)题在三棱台中，平面ABC，，且，，M为AC的中点，P是CF上一点，且，．(1)求证：平面PBM；(2)若直线BC与平面PBM的所成角为，求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值．第(4)题近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望.第(5)题在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球．(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：假设1：各回合比赛相互独立；假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为；求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？。