新教材2024版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其

【预习自测】 设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________． 【答案】3 【解析】因为 f′(1)＝Δlxim→0f(1＋ΔΔxx)－f(1)＝ Δlixm→0a(1＋Δx)＋Δx3－(a＋3)＝a， 又因为 f′(1)＝3，所以 a＝3.
课堂互动
题型1 求曲线在某点处的切线方程
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变量，“导函数” 是一个函数，二者有本质的区别，但又密切相关．f′(x0)是导函数y＝f′(x) 在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导 函数，再计算这一点处的导数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如 果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)； 若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求 出切点．
自学导引
切线的概念
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))， 如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限_趋__近___于 点 P0(x0 ， f(x0)) 时 ， 割 线 P0P 无 限 趋 近 于 一 个 ___确__定___的位置，这个确定位置的直线___P_0_T___ 称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
题型3 利用图象理解导数的几何意义
(1)若函数y＝f(x)的导函数
在 区 间 [a ， b] 上 是 增 函 数 ， 则 函
数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可
能是下图中的
()
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x) 的导函数的图象如图所示，那么y ＝ f(x) ， y ＝ g(x) 的 图 象 可 能 是
(2)用点斜式写出切线方程y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)； (3)把求得的点斜式方程变形为一般式．
1．(2023 年湖南期末改编)已知曲线 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2，4)
处的切线方程． 解：曲线在点 P(2，4)处切线的斜率
＝ lim Δx→0
13(2＋Δx)3Δ＋x34－83＋43＝Δlixm→0
【正解】设切点坐标为(x0，y0)，则 y0＝x30－3x20＋x0， ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20 ＋x0)＝3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx， ∴f′(x0)＝Δlxim→0ΔΔyx＝3x20－6x0＋1，
又∵k＝(x20＋xx00＋＋11)－0＝x20＋x0＋x0＋1 1， ∴2x0＋1＝x20＋x0＋x0＋1 1， 解得 x0＝0 或 x0＝－2. 当 x0＝0 时，切线斜率 k＝1， 过(－1，0)的切线方程为 y－0＝x＋1，即 x－y＋1＝0； 当 x0＝－2 时，切线斜率 k＝－3，
过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 【解题探究】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出直线的斜率， 写出切线方程．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
【错因】本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点，混淆 了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失误．求 曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y ＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点，M点未必是切点， 因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点．
解：设切点坐标为(x0，x20－5x0＋7)，
则切线斜率为 k＝
lim
Δx→0
(x0＋Δx)2－5(x0＋ΔxΔ)＋x 7－（x20－5x0＋7）＝2x0－5，
∴切线方程为 y－2＝(2x0－5)(x－1).
又∵切线过点(x0，x20－5x0＋7)， ∴x20－5x0＋7－2＝(2x0－5)(x0－1)， 整理得 x20－2x0＝0，解得 x0＝0 或 x0＝2. 故切线方程为 y－2＝－5(x－1)或 y－2＝－(x－1)， 即 5x＋y－7＝0 或 x＋y－3＝0. 经过点 A(1，2)的曲线 f(x)的切线方程为 5x＋y－7＝0 或 x＋y－3＝ 0.
导数与函数图象升降的关系 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)， 则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是 下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
3 ． 已 知 函 数 f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 不 等 关 系 中 正 确 的 是 ()
(3)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数” 是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝ f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(4)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可
以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 (1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含 参)；
(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA 的值，进而求出切线方程．
2．(2023年哈尔滨期末)已知函数f(x)＝x2－5x＋7，求经过点A(1，2) 的曲线f(x)的切线方程．
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
学习目标
素养要求
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义
数学抽象、数学运算
2.会求简单函数的导函数
数学抽象、数学运算
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的 数学抽象、数学运算 切线方程
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxim→0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
当 x0＝1 时，y0＝x30－x20＋1＝1. 又因为(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上， 将 x0＝1，y0＝1 代入得 a＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当 x0＝－13时，y0＝x30－x20＋1＝2237， 则切点坐标为－31，2237，将－13，2237代入直线 y＝x＋a 中得 a＝3227.
求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
4．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为 __________，切点坐标为____________．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
1．(题型 1)曲线 3x2－y＋6＝0 在 x＝－16处的切线的倾斜角是 (
)
A．－135°
B．－45°
C．45°
D．135°
【答案】D
题型4 求切点坐标
已知曲线y＝x2在点P处的切线分别满足下列条件，求点P的坐 标．
(1)平行于直线y＝4x－5； (2)与x轴成135°的倾斜角． 解：y′＝Δlxim→0ΔΔyx＝Δlxi→ m0(x＋ΔΔxx)2－x2＝2x， 设 P(x0，y0)为所求的点．
(1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行， 所以 2x0＝4，则 x0＝2，y0＝4，即 P(2，4)． (2)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即 2x0＝－1， 得 x0＝－12，即 y0＝14，即 P－21，14. 【解题探究】设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然后 利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标．
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
【答案】C 【解析】kAB＝f(33)－－f2(2)＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数 f(x)的图象在点 B(2， f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数 f(x)的图象在点 A(3，f(3))处的切线的斜 率，根据图象可知 0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．
解：y′＝Δlxim→0(x＋Δx)3－2(xΔ＋x Δx)－x3＋2x＝3x2－2， 则斜率为 y′|x＝1＝1， 所以切线方程为 y＋1＝x－1，即 x－y－2＝0. 【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可．
求曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤 (1)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0)) 处切线的斜率；
∴切线方程为 y－(x30－3x20＋x0)＝(3x20－6x0＋1)·(x－x0)． ∵切线过原点， ∴x30－3x20＋x0＝3x30－6x20＋x0， 即 2x30－3x20＝0， ∴x0＝0 或 x0＝32， 故所求切线方程为 x－y＝0 或 5x＋4y＝0.
素养训练
Fra Baidu bibliotek
1．导数的意义： 函数在一点处的导数的几何意义：曲线在这一点的切线的斜率．
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
【答案】B
【解析】∵切线 x＋2y－3＝0 的斜率为－12，∴f′(x0)＝－12<0.
导函数的概念
(1)定义：当 x 变化时，y＝___f′_(x_)___就是 x 的函数，我们称它为 y＝ f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝Δlxim→0f(x＋ΔΔxx)－f(x).
13(Δx)3＋4Δx＋2(Δx)2 Δx
＝ lim Δx→0
13(Δx)2＋4＋2Δx＝4，
∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
题型2 求曲线过某点的切线方程
求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0，x20＋x0＋1)， 则切线的斜率为 k＝Δlxim→0(x0＋Δx)2＋(x0＋ΔΔxx)＋1－(x20＋x0＋1) ＝2x0＋1.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0