高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量

1．平面的法向量的概念 如果一个向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫做 _平__面___α_的__法__向__量_________，或说向量 n 与平面 α 正交． 2．平面向量的表示式 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则__A_→M__·_n_＝__0__表 示通过空间内一点 A 并且与一个向量 n垂直的平面．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
利用法向量证明垂直或平行问题 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的 中点，求证：平面 AED⊥平面 A1FD1.
【证明】 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体棱长为 1， 则 E1，1，12、D1(0，0，1)、F0，12，0， A(1，0，0)，A1(1，0，1)． 所以D→A＝(1，0，0)，D→E＝1，1，12， D→1F＝0，12，－1，D→1A1＝(1，0，0)．
3．斜线 b 在平面 α 内的射影为 c 且直线 a⊥c，则 a 与 b________ 垂直. (填“一定”或“不一定”) 解析：因为 a 不一定在平面 α 内，所以 a 与 b 不一定垂直． 答案：不一定
求平面的法向量 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥ 平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，试建立 恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量．
4．斜线的相关概念 如果一条直线 AB 和平面 α 相交于点 B，但不和 α 垂直，那么 直线 AB 叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 B 叫做斜足， 斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做斜线段 AB. 5．三垂线定理及其逆定理 如果在_平__面___内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 _射__影___垂直，则它也和这条_斜__线___垂直；反之，如果平面内的 一条直线和这个平面的一条_斜__线___垂直，则它也和这条斜线在 平面内的_射__影___垂直．
已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求出平面 ABC 的一个法向量． 解：设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 因为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)， 由题设得：nn··AA→ →BC＝＝00即x2－ x－2y4－y－4z3＝z＝00，解之得xz＝＝02y， 取 y＝1，则 x＝2. 故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2，1，0)．
设 n＝(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，
则nn··AA→→CE＝＝00，，即x2＋3y＋312y＝ z＝00，，所以zx＝＝－－
3y， 3y，
令 y＝－1，则 x＝z＝ 3.
所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝( 3，－1， 3)．
若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然 后用待定系数法求解，一般步骤为： (1)设出平面法向量 n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线向量 a＝(a1，b1，c1)， b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量定义nn··ab＝＝00建立关于 x，y，z 的方程组： xa1＋yb1＋zc1＝0， xa2＋yb2＋zc2＝0； (4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．
b＝(－1，0，2)，则平面 α 与平面 β 的关系是( )
A．平行 C．相交但不垂直
B．垂直 D．无法判断
解析：选 A．因为 a＝－b，所以 a∥b.所以 α∥β.
3．平面 α，β 的法向量分别为 m＝(1，2，－2)， n＝(－2，－4，k)，若 α⊥β，则 k 等于________．
解析：由 α⊥β 知，m·n＝0. 所以－2－8－2k＝0 解得 k＝－5. 答案：－5
4．已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的
单位法向量坐标为________． 解析：设单位法向量 n0＝(x，y，z)，A→B＝(－1，1，0)，
A→C＝(－1，0，1)．由 n0·A→B＝0 且 n0·A→C＝0
x＝
得xy－2＋xy＝2＋0，z2＝1，所以y＝
z－x＝0，
z＝
33，
x＝－
33，或y＝－
3 3
z＝－
33， 33， 33.
答案：
33，
33，
33或－
33，－
33，－
3
3
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结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
【解】 因为 PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直． 如图，以 A 为坐标原点，A→B的方向为 x 轴 的正方向，建立空间直角坐标系，
则 D(0，
3，0)，E0，
23，12，B(1，0，0)，C(1，
3，0)，于
是A→E＝0，
23，12，A→C＝(1，
3，0)．
要想利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线， 有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面 内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：A1C ⊥平面 C1BD.
证明：连接 AC(图略)． 因为 A1A⊥平面 ABCD， 所以 AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影． 又因为 DB⊥AC， 所以由三垂线定理，得 DB⊥A1C. 同理可得 BC1⊥A1C. 又 DB∩BC1＝B，所以 A1C⊥平面 C1BD.
复习课件
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课件 新人教B版选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
第三章 空间向量与立体几何
1.了解空间向量在立体几何中应用的广泛性． 2.理解平 面的法向量的概念及平面的向量表示． 3．掌握利用平面的法 向量证明平行、垂直问题(包括三垂线定理及其逆定理)．
1．求一个平面的法向量常用的两种方法 (1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上 取一条有向线段即可． (2)待定系数法：其步骤如下：
2．三垂线定理及逆定理是证明空间两直线垂直的一种基本方法， 从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂 直的问题，逆定理恰好相反．用三垂线定理及逆定理证明直线 与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形，构造基本图 形有以下三个环节：
用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的 方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关 于垂直的定理．
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2BC， E，F，E1 分别是棱 AA1，BB1，A1B1 的中点． 求证：CE∥平面 C1E1F.
证明：以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在 的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系． 设 BC＝1，则 C(0，1，0)，E(1，0，1)， C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E11，12，2.
利用向量法证明平行、垂直问题可借助平面的法向量，来帮助 求解，建系后准确求出点、向量的坐标是解题的关键.
1．若 n＝(2，－3，1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能
作平面 α 法向量的是( )
A．(0，－3，1)

B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1)
D．(－2，3，－1)
答案：D
2．若平面 α 与 β 的法向量分别是 a＝(1，0，－2)，
三垂线定理及其逆定理的应用 在空间四边形 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，若 A 在 PB、PC 上的射影分别为 E、F. 求证：EF⊥PB.
【证明】 因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥BC. 又因为 AC⊥BC，PA∩AC＝A， 所以 BC⊥平面 PAC. 而 AF⊂平面 PAC，所以 BC⊥AF. 又因为 F 是点 A 在 PC 上的射影， 所以 AF⊥PC，又 BC∩PC＝C，所以 AF⊥平面 PBC. 所以 AE 在平面 PBC 内的射影为 EF. 又因为 E 为 A 在 PB 上的射影，所以 AE⊥PB. 由三垂线定理的逆定理知 EF⊥PB.
设平面 C1E1F 的法向量为 n＝(x，y，z)， 因为C→1E1＝1，－12，0，F→C1＝(－1，0，1)， 所以nn··CF→→1CE11＝＝00，，即xx＝ ＝12z，y， 取 n＝(1，2，1)． 因为C→E＝(1，－1，1)，n·C→E＝1－2＋1＝0， 所以C→E⊥n，且 CE⊄平面 C1E1F. 所以 CE∥平面 C1E1F.
1．在空间直角坐标系中，平面 xOz 的一个法向量是( )
A．(1，0，0)
B．(0，1，0)
C．(0，0，1)
D．(0，1，1)
答案：B
2．平面 α，β 的法向量分别是 a＝(4，0，－2)，b＝(1，0，2)，
则平面 α，β 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
解析：选 B．因为 a·b＝4＋0－4＝0，所以 α⊥β.
设 m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 m·D→A＝0， x1＝0，
的一个法向量，由m·D→E＝0，⇒x1＋y1＋12z1＝0. 令 y1＝1，得 m＝(0，1，－2)． 又由nn··DD→→11AF1＝＝00. ，⇒x122y＝2－0z，2＝0 令 z2＝1，得 n＝(0，2，1)． 因为 m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0， 所以 m⊥n，故平面 AED⊥平面 A1FD1.
[注意] (1)满足A→M·n＝0 的点 M 的轨迹是一个与向量 n 垂直的 平面.A→M·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式． (2)若 n1、n2 分别是平面 α、β 的法向量，则 α∥β 或 α 与 β 重合 ⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
3．射影的概念 已知平面 α 和一点 A，过点 A 作 α 的垂线 l 与 α 相交于点 A′， 则 A′就是点 A 在平面 α 内的正射影，以下简称射影．由上述定 义可知，平面 α 内的任一点在 α 内的射影都是它自身． 图形 F 上所有的点在平面 α 内的射影所成的集合 F′，叫做图形 F 在平面 α 内的射影．