第四章拉氏方程的格林函数法.docx

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第四章拉氏方程的格林函数法
前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。

?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。

首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。

§4.1拉氏方程边值问题的提法
在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。

研究最多的就是前面两种。

1)第一边值问题
边界条件为:心
要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,
满足拉氏方程且在边界上与/吻合。

Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为
狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。

通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。

2)第二边值问题
边界条件为:単=/,
on r
要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。

称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。

前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。

另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。

注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。

Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2
易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解
的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时
limw = 0
厂T8
二维问题通常假定解冇界。

3）狄氏外问题（略）
4）牛氏外问题（略）
§ 4.2格林公式及其应用
一、格林公式的推导
为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。

设Q是以足够光滑的曲面「为边界的有界区域，
P（x, z）, 2（%, z）, R（x, y, z）,是在Q +「上连续的，且在Q 内具有一阶连续偏导数
的任意函数，则成立下面的Guass公式:
￡ + 器 + 竽)dV = jj[Pcos(/?,%) + Qcos(〃, y) + Rcos(n, y)]dS ux cfy cfz「F面推导格林公式
设〃，皿c2（Q）no（Q）,令
P = u 竽,Q = ?￥，R = u竽ox dy dz
代入Guass公式可得
Q r on Q
此式称为第一格林公式。

若令上公式屮U, V对换，可得
JfPvW = ffy^-JJfV W VvJV Q r on Q
两式相减可得笫二格林公式
|jj(wV2v- vv2?x/v ~ y~_。

二、应用
利用格林公式推导调和函数的一些性质
1）调和函数的积分表达式
设M（）（心九,z°）为Q内任意一点，我们要求调和函数在该点的值，为此构造一个函数
函数丄除点Mogjdz 。

）外处处满足拉氏方程，它在研究三维拉氏方程起重要作
r
用，通常称为三维拉氏方程的基本解。

因丄有奇界点，故以M （）（x （）,y （）,z （J 为中
心, r 以一充分小的正数￡为半径作一球面仃，在Q 屮挖去I ；包含的区域Kg ,则知函数丄在Q-心上任意次可微。

在第二格林公式中，取v = l/r,u 为调和函数且在闭 r 区威上冇一阶连续导数，则冇
注意到：在球面r;上,
历为在球面仃上u
的平均。

因此可得
3-
dr
dn
同理可得
J卩豹S二打伴dS = 4亦（％? y r on ￡ y on on
所以有
a l
一丄単）dS + 4加■ 一4;怎（単）？ = 0
Y on r on on
当￡TO时，有limZ7 = w（A/0）, （u连续），（字）？有界（u的一阶导数连续）so dn
3!
叱—却P話埒吩一弍（咖）知士）一
盍辭
上式说明，调和函数U在Q内任意一点的值，可通过积分表达式用这个函数在边界上的值和边界上的法向导数来表示。

2）牛曼内问题有解的必要条件
对于牛曼问题的解u,取-1,运用格林公式可得
3）平均值公式
设函数讥M）在某区域Q是调和的，M0（x0,y0,z0）为其中任一点，K“以
M0（x0,y0,z0）为中心，以a为半径完全落在Q中的球面，则下平均公式成立：
u{M = -^\\udS
4勿龙
证明：将调和函数的积分公式应用到K“可得
讥M°） = 一丄血（M）?（丄）—丄字）dS二-十险（M）?（b-丄当辺S
4龙Y on r r on4龙y dr r r on 4TT Y r r on4加一y 4加y on4加?y
4）拉氏问题解的唯一性
结论：狄氏问题在c2(Q )ncYG )(为了利用格林函数)内解唯一，实际上在
C 2(Q)AC°(Q)rt 解是唯一的；牛曼问题除相差一常数外解也是唯一的。

设ul, u2为方程的解，令u = ul —u2,满足问题为零边界的解，对狄氏问题和牛曼问题分别为
Aw = 0,
Aw = 0, du dn 「
^v = u = ul-u2 ,运用格林公式可得
对狄氏问题由边界条件知道C=0,故u=0；从而狄氏问题由唯一解; 对牛曼问题，由边界条件可知解除了相差一个常数外也是唯一的。

§ 4.3格林函数
为什么引入格林函数？
由上一?节可知，调和函数的积分公式为
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上公式都不能直接得到想要问题的解，因为，比如狄氏问题，知道边界条件况「，但不知道竺的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式屮的乡O 故而我们需要引入格林函
数。

u,veC ](^)且在Q 内都是调和函数，则有
在第二格林公式中，令
与调和函数的积分公式相加可得
=> Vw = 0 => w = C
u(MJ= ff{w(A/)[—一一- — (-!—)]- [—i -------- v]—}dS
显然，若能选择调和函数v,满足
H广丄
1 4耐F
则
u (M °) = -jj u(M)器(----------- v)dS
r 助4加MM°
令G(M,M())= --i-一v,贝I」
4龙賦
其中G(M,M°)被称为拉普拉氏方程的格林函数。

易见，若调和函数v—口求出，则狄氏问题的解若存在，则其解可表示为
u(M{)) = -^u(M)^-dS (*)。

当然对于泊松问题
Aw = F
u = f
若解ue C*(Q)存在，则可表示为
注：上公式推导可先求其积分公式，再得上结果。

从而，对任意的f,求解狄氏问题或泊松问题就转化为在此区域内的格林函数问题的求
解。

由前而的讨论知，需求解下而一特殊的狄氏问题
Av = 0
w = ---------
4%% r
对于一般的区域，上问题的求解也不容易，但求解公式(*)仍冇重要的意义: (1)格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，只要求得某个区域的格林函
数，就能一劳永逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问
题。

（2）对于特殊区域的格林函数，如球，半空间等，格林函数可以用初等法求得。

格林函数的物理意义：
点放正电荷，边界「接地，则内侧为负电荷，则厂内任意一点M 处的电位由两部分产生，一个是M（）处正电荷产生的电位——-——,令一个为「内侧负4叫
电荷产生的电位v,从而M的电位G（M,M（））= —- v,其中v
为方程
4龙皿。

Av = 0
v|r=—
4加财r
的解。

格林函数正是导电曲面「内的电位。

§4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
出4.3矢口，狄氏问题的解为
需要求解格林函数G（M,M。

），对于某些特殊区域口J用电象法求得。

卜?面介绍一卜?什么是电象法。

所谓电彖法，就是在Q 区域外找出M 。

关于「的彖点放上负电荷。

它产
生的屯位与M （）点正电荷产生的电位在「上正好抵消。

因冋在「外，显然此点电荷产生的屯位在Q 内是调和的，且在边界上满足v|= —
1
4帀
形成的电场的电位即所求格林函数o
4.4.1半空间的格林函数求卜?定解问题
Aw = O,z >O,x,ye R
z=0=f,x,yeR
出调和函数的积分公式知
需先找格林函数G 。

在半空间z>0的点放一止电荷，并找出M （）关于z = 0平血的对称点放一负电荷,如下图
，故和A/】在Q 内
它与M （）点负电荷所产生的电位在平而z = 0上相互抵消，由于一^在半空间
4叫
z>0上为调和函数，且在z>0上有一阶连续导数，因此
G （M,M°） =』（ ------- ）
4 兀 r MM^ r MM x
Zo
下面计算
dG _ dG 丽 2=0 dz
2=0
以 M
（）） =
PoPl = R ~
在Mo 处放单位正电荷，Ml 处放q 负电荷，使得Mo, Ml 处电荷在「上产生的电位相互抵消，即
P 为球面上任一点。

易知△ OM.P^OPM ］有公共交ZMQP 且几0=疋，故有
\OM^P AOPM ］相似。

故§ =卫忆=￡,即只要在点Ml 处放置
￡的负电荷, r
M n P Po Po
—-—不仅在球域内部是调和函数，在整个区域4%()厂且在边界上满足
1
1
R
G(M,M 0) = —( )
4 兀 r MM n Po r MM i 卜?面用球域内的格林函数求狄氏
问题的解。

Aw = 0,
由u(Mo )= -JW (M)%S 知，需先求竽，
「 (j fi
\jri | p
反演点，以Pi = 则
p
由它所形成电场的电位卩= Q +「上有一阶连续导数,
r
4%()厂MA /］「所以，球域的格林函数为
，即丄( --------- ) = 0。

4龙
PE 1 二 q
4 加:4 岔
r M Q M 1 Jp；+p2_2〃()cosy
1
r M}M
qpj +P，-2pp\ COS/ P\
G(M, M°) = } ( , / —
4龙JPS+P_ _2pp°cosy
"（M。

）二面|P （加+/?2—2/?p（）cosy）34〃S
"一加
称上两公式为球的泊松公式。

（与§ 2.3比较）
2 龙[（兀一兀o ）2 +（y-y0）2 + z02]3/2
-------------- ；~—dxdy
2兀[（兀一兀（））?+（y — y（））?+% ]3 2
数
径为R的球面匚在球内任取一点=“（）），连接
得r OjW（）? r0M{ = R2（如下图），点M|称为M（）关于球面「的
于是
在球而上冇
dG dG
dn r dp 故，球内狄氏问题的解为p=R
_1
4兀R (p；+ R? - 2Rp()cos
y)3/2
Jp2pj +R4_2R2P P Q cosy
R2-P I。