近世代数习题解答四章

近世代数习题解答(张禾瑞)四章
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近世代数习题解答
第四章 整环里的因子分解
1 素元、唯一分解
1. 证明：0不是任何元的真因子。

证 当0≠a 时
若b a 0=则0=a 故矛盾
当0=a 时，有00ε= （ε 是单位）
就是说0是它自己的相伴元
2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n
(2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元 证 １）I 的单位
总可以把m 表为
p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说
1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然
２）I 的素元
依然是k p p m k ,(2=的限制同上）
我们要求
ⅰ）0≠p
ⅱ）1±≠p
ⅲ）p k 2只有平凡因子
满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是n m 2
是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解
证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε时，
事实上，若bi a +=ε是单位
则11-=εε 2'221εε=
即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2
'ε也是正整数， 因此，只有12=ε 反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a
或1,0±==b a 这些显然均是单位
此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。

（２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。

事实上，若52=α则0≠α
又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=β
ββ⇒=12是单位λαβλ⇒=⇒-12是α的相伴元
λλβ⇒=⇒=1522是单位βαλβ⇒=⇒-1是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。

（３）I 的元5不是素元。

若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=⇒=λβ由)1(λ是单位
此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形
5,222
=+=+=b a bi a ββ可能的情形是
⎩⎨⎧==21b a ⎩⎨
⎧-=1b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-=-=2
1
b a
⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-==12b a ⎩⎨⎧=-=12b a ⎩⎨⎧-=1b a
显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积
（４）５的单一分解
)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-=
)21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-=
i ±±,1均为单位
２ 唯一分解环
１．证明本节的推论
证 本节的推论是；
一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子
， n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。

用数学归纳法证
当2=n 时，由本节定理３知结论正确。

假定对1-n 个元素来说结论正确。

看n 的情形
设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。

1-n d ，n a 的最大公因子为d 即1-n d d 而a d n 1- i a d n i ⇒-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d
故d 是n n a a a a
,,1,2,1- 的公因子 假定i a d - n n i ,1,,2,1-=
1--⇒n d d 又n a d - d d -
⇒
这就是说，d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子
若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d ' 且'd d
'ud d =⇒ vd d =' uvd d =⇒
若 0=d 则o d ='
0≠d 则1=uv 即u 是单位ε
故d d ε=
２． 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211 证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候，
n
b b b ,,,21 互素
证 ""⇒假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子
若 n b b b ,,21不互素
则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'd 不是单位
那么),,1(,'
n i c dd a i i ==
这就是说'dd 是n a a ,1的公因子 所以d dd '即 '''d dd d = 故1'''=d d
'd 是单位 矛盾
''''⇐假定n b b ,,1 互素
令'd 是n a a ,1的最大公因子
则有'd d 即d d '
i i c d a '=i c dd 1= ),,2,1(n i =
i i c d b 1= 1d ⇒是n b b ,,1 的公因子
于是1d 是单位
d d ε='
那么d 是n a a ,,1 的最大公因子
3． 假定I 是一个整环，)(a 和)(b 是I 的两个主理想
证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候
证 ''''⇒假定)()(b a =
a c
b cb a ',== a c
c a '= 1'=cc
',c c 是单位
所以b 是a 的相伴元
''''⇐假定a b ε= （ε 单位）),(a b ∈ )()(a b ⊂ )()(,1a a b a ⊂=-ε
故 （)()b a =
３ 主理想
１．假定I 是一个主理想环，并且d b a =),(
证明 d 是a 和b 的一个最大公因子，因此a 和b 的何最大公因子'd 都可写成以下形式：tb sa d +=' ),(I t s ∈
证 由于)(),(d b a =
有d a a d a 1),(=∈ d b b d b 1),(=∈
d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =
知),(b a d ∈
故有 b t a s d ''+=
设1d 是b a , 的 任一公因子
由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子
又d d ε=' （ε单位 ）
),(,)()()(''''I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε
２． 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。

证 设)(p 是主理想环I 的最大理想，
并设0)(≠p 若p 是单位，则1)(=p
若p 不是素元
则bc p =， c b ,是p 的真因子
)()(b p ⊂
)(p 最大理想 I b =∴)(
b b ⇒∈)(1是单位，矛盾。

３．我们看两个主理想环I 和0I 是I 的子环，假定a 和b 是0I 的两个元， d 是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证明：d 也是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证 0I 是主理想环的子环，所以在0I 里)(),('d b a =
由本节习题１知
d 是b a ,的最大公因子，而且最大公因子d 有以下形式： ),(0I t s tb sa d ∈+=
d I I ,0⊂也是b a ,在I 里的公因子。

设 1d 是b a ,在I 里任意公因子
则1111,d b b d a a ==
那么)(11111tb sa d tb sa d +=+= d d 1
故d 是b a ,在I 里的最大公因子。

4 欧氏环
1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.
证 设F 是域,则F 一定是整环 0,≠∈x F x
n n x ,:→φ是某一个固定0≥的整数,这符合条件（ⅰ） ⅱ）0,≠∈a F a 对F 的任何元b 都有0)(1+=-b a a b 这里0=r
2. 我们看有理数域F 上的一元多项式环][x F 理想等于怎样的一个主理想 证 我们说][)1,1(352x F x x x =+++
1,1352+++x x x 互素
1)1(1)1(3523=++++-∴x x x x
即)1,1(1352+++∈x x x
因而)()1()1,1(352x F x x x ==+++
3. 证明由所有复数b a bi a ,(+是整数) 所作成的环是一个欧氏环 取(a a =)(φ)
证 bi a +=α b a , 整数
令222
)(b a +==ααφ
设0≠α 则0222≠+=b a α
任取 di c +=β d c , 整数 其中22'22',b a bc ad b b a bd ac a +-=++= 故 '',b a 是有理数 取,yi x +=λ
y x , 是有理数,且满足条件 21,21''≤-≤-y b x a 令 λαβλλη-=-=' 则ηαλαβ+=
因为,,,αλβ的实部与虚部系数均为整数,所以ηα的实部与
虚部系数亦均为整数 1)21()21()()(222'2'2
'2〈+≤-+-=-=y b x a λλη 2222ααηηα〈= 设r =ηα r +=λαβ 22α〈r
即)()(αφφ〈r
注意:取 yi x +=λ 使21'≤-x a 21'≤-y b 的整数 y x ,是可以做到的 例如x b a bd ac x a -++=-22' 只要取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22b a bd ac x 或122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++b a bd ac 即可使21'≤-x a 5 多项式环的因子分解
1. 假定!是一个唯一分解环,Q 是I 的商域,证明,
][x l 的一个多项式若是在][x Q 里可约,它在][x l 里已经可约.
证 若)(x f 在][x l 里不可约,令)()(0x df x f =
)(0x f 是本原多项式
显然, )(0x f 在][x l 里也不可约,由引理3)(0x f 在][x Q 里不可约, 这与)(x f 在][x Q 里可约的假设矛盾.
2. 假定][x l 是整环I 上的一元多项式环.!属于)(x f 但不属于I ,并且)(x f 的最高系
数是I 的一个单位,证明)(x f 在][x I 里有分解.
证 )(x f 的最高系数是I 的单位,所以)(x f 的系数的最大公因子是单位,也就是说
)(x f 是本原多项式.
)()(x I x f ∈ 而)(x f I ∈
即)(x f 次数0〉
根据本节引理4证明的前一部分)(x f 在)(x I 里有分解。

6 因子分解与多项式的根
1. 假定R 是模16的剩余类环,][x R 的多项式2x 在R 里有多少个根 证 2x 在R 里的所有根是
]12[],8[],4[],0[
这里因为][m 是2x 的根,则需m 4
2. 假定F 是模3的剩余类环,我们看][x F 的多项式x x x f -=3)(证明,0)(=a f 不管a 是F 的哪一个元.
证 )2)(1()1)(1()(3++=-+=-=x x x x x x x x x f 不管a 是F 的,1,0 或!2均使0)(=a f
3. 证明本节的导数计算规则
证 0111)(a x a x a x a x a x f m m n n n n +++++=-- 01)(b x b x b x g m m +++=
ⅰ)')]()([x g x f +
'001111)]()()([b a x b a x b a x a x a m m m m m n n +++++++++=++ ++++=+-m m n n x a m x na 11)1( )()(111b a x b a m m m m ++++- 111)1(-+-++++=m m m m n n x ma x a m x na
)()(''111x g x f b x
mb a m m +=+++++- 111')([)]()([-+--+++=m n m n m n m n m n x b a b a x b a x g x f '000110])(b a x b a b a ++++ =11)(1()(--+-+++m n m n m n b a m n x b a m n +)()011021b a b a x b a m n m n +++-+-
))1(()()()()(1211''a x a n x na x f x g x g x f n n n n ++-+=+--- )(01b b x b x m m +++
))((01111a x a x a b x
mb n n n n m m ++++++--- )()(0110b a b a abx m n ++++= 故有 （ⅱ）[)()()()()]()('''x f x g x g x f x g x f += 现在证明)()(])(['1'x f x tf x f t t -=
用数学归纳法证
2=t 时,利用（ⅱ）使 )()(x g x f = 有)()(2])(['2x f x f x f = 假设k t =时)(])([x kf x f t = 看1+=k t 的情形 ''1])()([])([k k x f x f x f =+ ''])()[()()(k k x f x f x f x f + )]()()[()()('1'x f x kf x f x f x f k k -+= =)()()1('x f x f k k + 故有(ⅲ) )()(])(['1'x f x tf x f t t -=。