内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学选修2-1课件：2.2.1椭圆及其标准方程(2)

定位
故顶点A的轨迹方程是：
x2 25
y2 16
1
( y 0)
定式
点评：自建系问题要合理选择坐标系的建立方法，一般利用
对称性、垂直关系、定长线段等；遵循的原则是使尽可能多 的点落在坐标轴上.
第六页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例4 已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且△ABC的周 长等于16，求顶点A的轨迹方程 .
y x
x5
5
同理，直线BM的斜率kBM
y x
x5
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由已知有： y y 4 x 5
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2 25
y2 100
1x
5
9
坐标法：建系设点-列式-代换、化简-审查
第四页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例3:求焦点在坐标轴上，且经过 A 3,2
和B 2 3,1 两点的椭圆的标准方程。
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为
P(x’,y’),则
x' x
由题意可得：
y'
2y
因为 x'2 y'2 4
所以
x2 4y2 4
即
x2 4
y2 1
y
P
M
x oD
这就是点M的轨迹方程，它表示一个焦点在x轴上的椭圆。
总结：①将圆按某个方向均匀地压缩（拉长），可得椭圆。
②求轨迹方程方法——相关点法,即利用中间变量
不知椭圆焦点所在轴的处理方法：
法一、分类讨论求解
法二、为了计算方便，也可设椭圆方程
mx2 ny2 1，m 0, n 0, m n
说明：
以上两种角度都运用了“待定系数法”
第五页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例4 已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且△ABC的周长等 于16，求顶点A的轨迹方程 .
解： 建系如图，由题意
y
定性
|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，
A
有 |AB|+|AC|=10>6= |BC| ，
∴由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，B O
Cx
2c=6 , 2a=10， ∴ c=3 ，a=5 ，
b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .
定量 又焦点在x轴上，
解： 建系如图， 由题意
y
定性
|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，
A
有 |AB|+|AC|=10>6= |BC| ，
∴由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，B O
Cx
2c=6 , 2a=10，
∴ c=3 ，a=5 ，
定量
b2 = a2-c2 = 52-32 =16 . 又焦点在x轴上，
故顶点A的轨迹方程是：
x2 25
y2 16
1
( y 0)
定义法步骤：“四定”即
定位 定式
定性—定量—定位—定式
第七页，编辑于星期日：六点 三十五分。
练习：
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动
点M的轨迹是（ ）D
A 椭圆 B 直线
C圆
D 线段
2.判断正误
4
B. ( , )
42
C. (0 , )
4
D. [ , )
42
4.若方程 x2 ky 2 2表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则 的取值k 范围是 _________0_. k 1
5.若椭圆过点 (2, 且3)与椭圆 9x2 4 y2 有 共36同的焦点，
则该椭圆的标准方程是 _________.
•椭圆m2x2+(m2+1)y2=1的焦点在y轴上。 ×
•椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a,b 0)
的焦点坐标为
( a2 b2 , 0)
×
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3.设 (0, ) ,方程 x2 y2 1 表示焦
2
sin cos
点在Y轴上的椭圆,则 （ C ）
A. (0 , ]
y2 x2 1 15 10
第九页，编辑于星期日：六点 三十五分。
2.2.1 椭圆 及其标准方程
(二)
第一页，编辑于星期日：六点 三十五分。
复习回顾
探究定义
不
图形
同
点
标准方程
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
|MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c>0）
y M
F1 O F2
x
y
F2 M
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
a2-c2=b2 (a>b>0)
看分母，谁大在谁上
第二页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例1.如图，在圆 x2 y2 上4 任取一点P作x轴
的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段 PD的中点M的轨迹是什么？
（已知动点）求曲线方程.
第三页，编辑于星期日：六点 三十五分。
例例24.:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) ,
直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是
4 ，求点 M 的轨迹方程. 9
解：设点M的坐标（x, y），因为点A的坐标是- 5,0
所以，直线AM的斜率k AM