3.7方程的近似解[13页]

游晓 黔制 作 2018 年8月
重游庆晓黔大制作学出版社
游晓黔制作重庆大学出版社
牛顿切线法
牛顿切线法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提 出.而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum 中提出,与牛顿切线法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了.牛顿切 线法又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）,它是一种在实数域和 复数域上近似求解方程的方法.方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根.
a1
1 2
(b
a) ；
作
2018
年8月
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如 果 f (1 ) 与 f (b) 同 号 , 那 么 取 a1 a, b1 1 , 也 有 a1 b1 及
b1
a1
1 (b a) ；总之,当
2
1 时,可求得 a1
b1 ,且 b1
a1
1 2
(b
a) ．
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xn
xn1
f (xn1) f '(xn1)
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.
例 2 用牛顿切线法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的实根的近似值,使误差不 超过 10 3. 解 令 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4, 因 f (0) 0, f (1) 0. 故[0,1] 是一个隔离区间,且
由于 f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0 ,由零点定理知 f (x) 0 在[0,1] 内有唯一的 实根.取 a 0, b 1, [0,1] 就是一个隔离区间.
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计算得: 1 0.5, f (1) 0.55 0 ,故 a1 0.5, b1 1;
f (x) 3x2 2.2x 0.9 0, f (x) 6x 2.2 0
因为 f (x) 与 f (x) 同号,所以令 x0 1. 用切线法计算得:
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x1
1
f (1) f (1)
0.738
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x2
0.738
2 0.75, f (2 ) 0.32 0 ,故 a2 0.5, b2 0.75 ;
3 0.625, f (3) 0.16 0 ,故 a3 0.625, b3 0.75 ; 4 0.687, f (4 ) 0.062 0 ,故 a4 0.625, b4 0.687 ; 5 0.656, f (5 ) 0.054 0 ,故 a5 0.656, b5 0.687 ;
6 0.672, f (6 ) 0.005 0 ,故 a6 0.656, b6 0.672 ;
游晓
黔制
作
2018 年8月
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7 0.664, f (7 ) 0.025 0 ,故 a7 0.664, b7 0.672 ; 8 0.668, f (8 ) 0.010 0 ,故 a8 0.668, b8 0.672 ; 9 0.670, f (9 ) 0.002 0 ,故 a9 0.670, b9 0.672 ;
以 a1, b1 作为新的隔离区间,重复上述做法,当
2
1 2 (a1
b1 ) 时,可求
得 a2
b2 ,且 b2
a2
1 22
(b a) .
如此重复 n 次,可求得 an
bn 且 bn
an
1 2n
(b a)
．由此可知,如果以
an
或 bn
作为
的近似值,那末其误差小于
1 2n
(b
a) ．
游晓
黔制
（2）逐步改善根的近似值:以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值,逐步 改善根的近似值的精确度,直至求得满足精确度要求的近似解．
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二、二分法 设 f (x) 在区间 a, b上连续, f (a) f (b) 0 ,且方程 f (x) 0 在( a, b )内仅有
f (0.738) f (0.738)
0.674
x3
0.674
f (0.674) f (0.674)
0.671
x4
0.671
f (0.671) f (0.671)
0.671
计算停止.所得根的近似值为 0.671,其误差小于103.
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第3章 微分中值定理和导数的应用
3.7 方程的近似解
主要内容 问题的提出
二分法 牛顿切线法
游游晓晓 黔黔制制 作作 22001188 年年88月月
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一、问题的提出
求方程的近似解,可分为以下两步:
（1）确定根的大致范围:先确定一个含有方程某一实根 的区间 a, b,使其将 与方程的其他可能的根隔离开,区间 a, b称为所求实根的隔离区间．
找出根的近似值.
作点 (x0 , f (x0 )) 处的切线,其方程为
y f (x0 ) f '(x0 )(x x0 )
令
y
0 得此切线与 x 轴的交点 (x1, 0) ,其中 x1
x0
f (x0 ) f '(x0 )
.再在点 (x1,
f
(x1)) 处
作切线,可得近似根 x2 .如此继续下去,可得近似根的牛顿迭代公式:
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如果在纵坐标与 f (x) 同号的那个端点(此端点记作（ x0 , f (x0 ) ）)作切线,
这切线与 x 轴的交点的横坐标 x1 就比 x0 更接近方程的根 ．用迭代的方法就可
持定号．在上述条件下,方程 f (x) 0 在( a, b )内有唯一的实根 , a, b为根的—
个隔离区间． 考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从而求出方程实根的近似值,这种
方法叫做牛顿切线法.
y f (x) 在 a, b上的图形 AB 只有下图所示的四种不同情形．
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一个实根 ,于是 a, b即是这个根的一个隔离区间．

做法：取 a, b的中点1
a
2
b
,计算
f
(1 )
.
如果 f (1 ) 0 ,那么 1 ;
如果 f (1 ) 与 f (a) 同号,那么取 a1 1 , b1 b ,由 f (a1 ) f (b1 ) 0 ,即知
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a1
b1 ,且 b1
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.
例 1 求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 实根的近似解,使误差不超过103 .
解 令 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4 ,显然 f (x) C(, ) ,即 f (x) 是连续函数.
由于 f (x) 3x2 2.2x 0.9 ,根据判别式 B2 4AC 5.96 0 ,知 f (x) 0 . 故 f (x) 在 (, ) 内单调增加, f (x) 0 至多有一个实根.
10 0.671, f (10 ) 0.001 0 ,故 a10 0.670, b10 0.671. 从而
0.670 0.671
即 0.671可作为满足条件的近似根,误差不超过103 .
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三、牛顿切线法 设 f (x) 在 a, b上具有二阶导数, f (a) f (b) 0 且 f (x) 及 f (x) 在 a, b上保