中考数学一轮复习宝典第1部分 第6章 课题21 与圆有关的位置关系

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点与圆、直线与圆的位置关系
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是 相交 ．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
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练习 1－1 ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3cm，则
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练习 4－1 (2019 荆门)如图，△ABC 的内心为 I，连接 AI 并延长，交 △ABC 的外接圆于点 D，则线段 DI 与 DB 的关系是( A )
A．DI＝DB C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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命题点 切线及其性质
1．(2013，T7，3分)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线
EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AG＝BG
B．AB∥EF
C．AD∥BC
D．∠ABC＝∠ADC
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2．(2012，T8，3分)如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
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证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE.∴∠1＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴ ∠A＝∠1.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠A＝90°.∵∠2＝ ∠3，∴∠3＋∠A＝90°.∴∠3＝∠ACE.∴EC＝ED.
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切线的判定
线或角平分线，根据“三 已知OA＝OB，AC＝BC，证明
径，证
线合一”的性质得证
OC⊥AB
垂直
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方法
图形示例
直线与圆无公 共点，作垂 线，证半径
自圆心到这条直线作垂
线，通过角平分线的性
质，三角形全等等方法证 已知OA平分∠BAC，OC⊥
明垂线段等于半径
AC，证明OB＝OC
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(2019盐城节选)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，过点N作 NE⊥AB，垂足为E.求证：NE与⊙O相切．
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证明：连接ON.∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝DA
＝DB＝
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练习3－1 如图所示，已知⊙A的半径为4，EC是⊙A的直径，点B是 ⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接 DF，AF.试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由．
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解：BF与⊙A相切． 理由如下：∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB.又AE＝ AF，∴∠AEF＝∠AFE.∴∠CAB＝∠FAB.又AC＝AF，AB＝AB，∴△ ABC≌△ABF(SAS)． ∴∠ACB＝∠AFB.∵CB是⊙A的切线，∴∠ACB＝90°.∴∠AFB＝90°， 即AF⊥BF. ∴BF与⊙A相切．
第一部分
考点透析
DREAM
中 考 加油
第六章 圆 课题21 与圆有关的位置关系
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目录
CONTENTS
奋斗中考 精彩未来
01 知识网络梳理 02 河南真题再现 03 常考题型精讲
PART ONE PART TWO PART THREE
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三角形的内切圆或外接圆
在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝3，BC＝4，则△ABC的内
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切圆半径为 1 ，外接圆半径为 2 .
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如图，a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则： ①外接圆半径R＝2c；②内切圆半径r＝a＋2b－c或a＋abb＋c.
AB.∴∠BCD＝∠B.∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC.∴∠ONC＝
∠B.∴ON∥AB.∵NE⊥AB，∴ON⊥NE.∴NE与⊙O相切．
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判定一条直线是圆的切线的一般方法
方法
图形示例
直线
与圆
有公 图中 利用等角代的等量
连半 的角 代换得证
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连接 OA，OB.根据切线的性质，得 PA⊥OA，PB⊥OB. 由圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由四边形的内角和求出∠APB 的度数 即可．
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解决与切线有关的角度或线段问题的方法 常作的辅助线为：①连接切点与圆心构造直角(三角形)；②连接切点与直 径两端点，找出直径所对的圆周角，构造直角三角形． 求线段问题，可利用勾股定理或相关的三角函数知识或相似三角形对应 边成比例建立等式来解决． 求角度问题，可通过构造与所求角有关的圆心角或直角三角形，将所求 角与已知角进行等量代换，因此需要掌握圆周角定理和推论，尤其是一些特 殊角，如直径所对的圆周角等于90°，和圆的半径相等的弦所对的圆心角等 于60°，切线与过切点的半径或直径所构成的角等于90°等 链接练习2－1.
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(2)填空： ①当 DP＝ 1 cm 时，四边形 AOBD 是菱形； ②当 DP＝ ( 2－1) cm 时，四边形 AOBP 是正方形．
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【河南真题链接】 2018 年 T19，见题型八；2017 年 T18，见题型八； 2012 年 T8A 选项，见本课题．
明：通过证明切线所在的
径，证
垂直
三角形与含90°的三角形 已知AC⊥BC，OA平分
全等或相似
∠COD，证明△AOC≌△AOD
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判定一条直线是圆的切线的一般方法
方法
图形示例
直线
与圆
用等腰三角形的性质证
有公 图中无 明：通过圆心到切点的连
共点， 90°的 线为所在等腰三角形的中
连半 角
已知∠CAE＝∠B，证明
径，证
∠CAE＋∠BAC＝90°
垂直
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判定一条直线是圆的切线的一般方法
方法
图形示例
利用平行线性质证明：如
直线
果有与要证的切线垂直的
与圆
直线，则证明半径与这条
有公 图中 直线平行即可
已知BC⊥AC，证明OE∥AC
共点， 有90° 利用三角形全等或相似证
连半 的角
为 40° .
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4．(2014，T17，9 分)如图，CD 是⊙O 的直径，且 CD＝2cm，P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B.
(1)连接 AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形．
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证明：连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA. 在Rt△AOP中， ∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°， ∴∠ACP＝21∠AOP＝21×60°＝30°. ∴∠ACP＝∠APO.∴AC＝AP. ∴△ACP是等腰三角形.
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练习2－1 (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝ 119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为( A )
A．32° C．29°
B．31° D．60°
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练习 2－2 (2019 聊城节选)如图，△A B C 内接于⊙O ，A B 为直径，作 O D ⊥A B 交 A C 于点 D ，延长 B C ，O D 交于点 F ，过点 C 作⊙O 的切线 C E ， 交 O F 于点 E .求证：E C ＝E D .
点 A 与⊙O 的位置关系为( B )
A．点 A 在圆上
B．点 A 在圆内
C．点 A 在圆外
D．无法确定
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切线的性质
(2019 福建)如图，PA，PB 是⊙O 切线，A，B 为切点，点 C 在 ⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于( B )
A．55° C．110°
B．70° D．125°
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练习 3－2 如图，⊙O 切∠A B C 的边 B C 于点 D ，圆心 O 在∠A B C 的 平分线上，求证：A B 与⊙O 相切．
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证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OD.∵⊙O与BC相切于点 D，∴OD⊥BC.∵圆心O在∠ABC的平分线上，∴OD＝OE，即OE为⊙O的 半径．∴AB与⊙O相切．
E︵C＝C︵B，则下列结论中不一定正确的是( D )
A．BA⊥DA
B．OC∥AE
C．∠COE＝2∠CAE
D．OD⊥AC
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3.(2011，T10，3分)如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，且AB为
⊙O的直径，E是
︵ ABD
上异于点A，D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数