安徽省淮南市第二中学高一数学下学期期中试题

淮南二中2018届高一下期中考试数学试卷
（考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分） 1．设集合{}
3A x x =>，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<--=041x x x
B ，则=B A I ( )
A. ∅
B. )4,3(
C. )1,2(-
D. ),4(+∞
2．设→
a ＝(1,0)，→
b ＝(12，1
2
)，则下列结论中正确的是( )
A. →
→
=b a B ．2
2=
•→
→
b a C ．)(→→
-b a ⊥→b D ．→a ∥→
b
3．已知△ABC 中，4=a ，34=b ，o
A 30=，则
B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
4．设0ab >，下面四个不等式中，正确的是（ ）
①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||||a b a b +>- A ．①和② B ．①和③ C ．①和④ D ．②和④
5．已知△ABC 中，3:1:1sin :sin :sin =C B A ，则此三角形的最大内角的度数是( )
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．135°
6．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
5932a a a =⋅，12=a ，则=1a ( )
A.1
2 B. 2 C. 2 D ．
22
7．△ABC 中，若∠C>90°，则B A tan tan ⋅与1的大小关系为( ) A ．1tan tan >⋅B A B. 1tan tan <⋅B A C ．1tan tan =⋅B A
D ．不能确定
8．在菱形ABCD 中，若2=AC ，则•等于( )
A ．2
B ．－2
C ．A AB cos
D ．与菱形的边长有关
9．对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2
<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围( ) A ．)2,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．]2,2(-
D ．)2,2(-
10.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，
x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为n a *)(N n ∈，且{}n a 的前n 项和
为n S ，则n S 的取值范围是（ ）
A ．)23,1[
B ．]2
3,1[
C ．)2,2
3[ D ．]2,2
3[
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）
11．若)3,4(=→a ，)12,5(-=→b ，则→a 在→
b 上的投影为________________
12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若549=S ，则942a a a ++＝________.
13.关于x 的不等式022
>-+bx ax 的解集是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞-,3121,Y ,则ab 等于 14.已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是________.
15．在△ABC 中，已知D 为BC 边上一点， BD BC 3=，2=AD ，∠ADB ＝135°，
若AB AC 2=，则BD ＝________.
三、解答题（本大题共4小题） 16.（本小题8分）
已知→
→b a ,是两个单位向量．
（1）若323=-→
→
b a ，试求→
→
+b a 3的值；
（2）若→
→b a ,的夹角为o
60，试求向量→→→+=b a m 2与→
→→-=a b n 2的夹角
17. （本小题10分）
已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n n a a b 2
1log =，求数列{}n b 的前n 项和n S
18. （本小题10分）
△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知B c C b a sin cos +=. （1）求B .
（2）若2=b ，求△ABC 面积的最大值.
19. （本小题12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且443-=n n a S ，*
N n ∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a a a c 22212log ......log log +++=，n
n c c c T 1.......1121+++=
， 求使n n
T n n n k
)92(1
2-≥+⋅恒成立的实数k 的取值范围．
淮南二中2018届高一下期中考试数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分） 11．
13
16
12. 18 13. 24. 14. )27,30(-- 15． 52+
三、解答题（本大题共4小题）
16.解：（1）a r Q ，b r 是两个单位向量，||||1a b ∴==r r ，又|32|3a b -=r r
，
229||124||9a a b b ∴-⋅+=r r r r ，即13
a b ⋅=r r ．
22
1
|3|9||6||9161233
a b a a b b ∴+=
+⋅+=
⨯+⨯
+=r r r r r r （2）22221
||(2)4||4||414173
m a b a a b b =
+=+⋅+=⨯+⨯+=u r
r r r r r r
22221
||(2)4||4||414173
n b a b a b a =-=-⋅+=⨯+⨯+=r r r r r r r
227(2)(23)2||6||2
m n a b b a b a b a ⋅=+⋅-=+⋅-=-u r r r r r r r r r r ，
7
12cos 2||||
77m n m n θ-
⋅===-⋅u r r u
r r ，0180θ<<o Q ，∴夹角120θ=o
17. 解： (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入
a 2＋a 3＋a 4＝28，
得a 3＝8.
因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＋a 1q 3
＝20，
a 3＝a 1q 2
＝8.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
q ＝2，a 1＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12，
a 1＝32.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项
B
C
D
C
C D
B
B
C
A
又数列{a n }单调递增，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a 1＝2.故a n ＝2n
.
(2)∵b n ＝2n
·log 12
2n
＝－n ·2n
，
∴－S n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
，① －2S n ＝1×22
＋2×23
＋3×24
＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1
.② ①－②，得S n ＝2＋22
＋23
＋…＋2n －n ·2
n ＋1
＝
21－2n
1－2
－n ·2
n ＋1
＝2
n ＋1
－n ·2
n ＋1
－2.
18. 解：(1)∵a=bcosC+csinB,∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC+sinCsinB ，
∴sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB ，即cosBsinC=sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴
cos sin B B =，
∴sin tan 1cos B B B =
=，()0,B π∈，∴B=.4
π。

(2)由（1）可得34
4A C B π
πππ+=-=-
=
，∴33,0,44
C A A ππ
⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
， 由正弦定理可得：2
22
sin sin sin sin 4a c b A C B π====，∴
22sin ,22sin a A c C ==，
∴
11sin 22sin 22sin sin 224ABC S ac B A C π
∆==⨯⨯⨯=
322sin sin 22sin sin 4A C A A π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
=2222sin cos sin 22A A A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=2
2sin cos 2sin A A A +=sin 21cos2A A +-=2sin(2)14
A π
-+， ∵30,
4
A π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，∴52,
444A πππ⎛⎫⎛⎫
-∈- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴当242A ππ-=，即38A π=时，ABC S ∆取得最大值为21+ 19.解：（I ）由
可得
，∵
， ∴
，
∴，即，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴．
（Ⅱ）
∴
由对任意恒成立，即实数恒成立；
设，，
∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；
又，∴数列最大项的值为∴。