一元二次方程中的阅读理解题

一元二次方程中的阅读理解题
阅读是现如今社会中人们获取相关信息的最重要的途径之一，所以阅读能力是中考各学科都重点考查的内容.特别是近几年来的全国和各地的中考数学试卷中出现了大量的阅读理解问题，下面就以有关一元二次方程的解题方法的阅读理解题，举例说明.
例1（2011年湖北省恩施自治州）解方程(x －1)2－5(x －1)+4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，即x －1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x －1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为：x 1＝2，x 2＝5.则利用这种方法求得方程(2x +5)2－4(2x +5)+3＝0的解为（ ）
A.x 1＝1，x 2＝3
B.x 1＝－2，x 2＝3
C.x 1＝－3，x 2＝－1
D.x 1＝－1，x 2＝－2
分析 通过阅读，可模仿解题过程，设2x +5＝y ，则原方程可化为y 2－4y +3＝0，利用因式分解求得y ，进而再代入2x +5＝y 求解.
解 设2x +5＝y ，则原方程可化为y 2－4y +3＝0，左边分解因式，得(y －1)(y －3)＝0， 解得y 1＝1，y 2＝3.
当y ＝1时，即2x +5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x +5＝3，解得x ＝－1，所以原方程的解为：x 1＝－2，x 2＝－1.故应选D .
说明 本题考查了用整体代入法解一元二次方程.求解时一定注意模仿阅读的材料中所提供的解题过程.
例2（2011年湖南省张家界市）阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，那么x 1+x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a
，这就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题：已知m 与n 是方程2x 2－6x +3＝0的两根.
（1）填空：m +n ＝＿＿＿，m ·n ＝＿＿＿.
（2）计算1m +1n
的值. 分析（1）通过阅读，直接模仿结论求解.（2）由（1），并将
1m +1n 转化为m n mn +，进而通过整体代入求解.
解（1）依题意，得m +n ＝－
62-＝3，m ·n ＝32
. （2）由（1），得1m +1n ＝m n mn +＝332＝2. 说明 利用一元二次方程根与系数关系x 1+x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a
，可以很简洁地解决与方程系数有关的问题，应注意理解和运用.
例3（2011年湖北省十堰市）请阅读下列材料：问题：已知方程x 2+x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝
2y . 把x ＝2y 代入已知方程，得22y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2
y －1＝0，化简，得y 2+2y －4＝0. 故所求的方程为y 2+2y －4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
（1）已知方程x2+x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：＿＿＿；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
分析通过阅读，可以得到求作新方程的方法，即对于（1）可设所求方程的根为y，则y＝－x，即x＝－y，将此代入方程x2+x－2＝0，化简即得.对于（2）可设所求方程的根
为y，则y＝1
x
，即x＝
1
y
，同样将此代入方程ax2+bx+c＝0，化简即得.
解（1）设所求方程的根为y，则y＝－x，即x＝－y，
将x＝－y代入方程x2+x－2＝0，得(－y)2+(－y)－2＝0，所以所求方程为y2－y－2＝0.
（2）设所求方程的根为y，则y＝1
x
(x≠0)，即x＝
1
y
(y≠0)，
把x＝1
y
代入方程ax2+bx+c＝0，得a×
2
1
y
⎛⎫
⎪
⎝⎭
+b×
1
y
+c＝0，去分母，得a+by+cy2＝0.
若c＝0，有ax2+bx＝0，于是方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不符合题意，所以c≠0.
故所求方程为：cy2+by+a＝0(c≠0).
说明通过阅读，读懂题目提供的材料的意思是解答本题的关键.“换根法”的本质是“整体代入”.注意不能忽视对c≠0条件的分析，否则会导致解题不完整.
例4（2011年四川省自贡市）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程.
例：解方程：x2－|x－1|－1＝0.
解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，|x－1|＝x－1，
原方程化为x2－(x－1)－1＝0，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1.
∵x≥1，故x＝0舍去，x＝1是原方程的解.
（2）当x－1＜0，即x＜1时，|x－1|＝－(x－1)，
原方程化为x2+(x－1)－1＝0，即x2+x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2.
∵x＜1，故x＝1舍去，x＝－2是原方程的解.
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－2.
解方程：x2+2 |x+2|－4＝0.
分析通过阅读可根据示例知解含有绝对值的一元二次方程，首要任务是根据绝对值分析x的范围，根据分析，化为一元二次方程求解，然后检验解得正确性，最后确定出方程的解.
解（1）x+2≥0，即x≥－2时，|x+2|＝x+2，原方程化为x2+2(x+2)－4＝0，即x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝－2.因为x≥－2，故x＝0舍去，x＝－2是原方程的解.
（2）当x+2＜0，即x＜－2时，|x+2|＝－(x+2)，原方程化为x2－2(x+2)－4＝0，即x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2.
因为x＜－2，故x1＝4，x2＝－2均舍去.综上所述，原方程的解为x＝－2.
说明阅读理解题解题思路：“阅读――分析――理解――创新应用”是求解阅读理解类型试题的基本步骤．首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法
及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.。