2019届高三尖子生数学辅优试卷(一)

2019届高三尖子生数学辅优试卷（一）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题
1．设A ， B 为双曲线()22
220x y a b
λλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量
()0,2n =， 3AB =且
1AB n
n
⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 32
C. 25
D. 3 2．正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点
E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点M 在正方体表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹的周长为（ ）
A. B. C. D.
3．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有
()()22'f x xf x x +>，则不等式()()2
20182018x f x ++ ()420f -->的解集为（ ）
A. ()2020,0-
B. (),2020-∞-
C. ()2016,0-
D. (),2016-∞-
4．过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则
点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知函数()()
2x x
f x e e
x -=-，若实数m 满足()()313
log log 21f m f m f ⎛⎫-≤ ⎪⎝
⎭
，则实数m 的取值范围为（ ）
A. (]
0,3 B. 1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. (]
0,9 D. ()10,3,3⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”，已知函数()()2
f x x
x R =∈, ()()()1
0,2ln g x x h x e x x =<=,有下列命题：
①()()()F x f x g x =-在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；
③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是]
(40 -，；
④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7．已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足， ()()2
1xf x f x x x +≤-+-',若
0a b <<,则下列结论正确的是( )
A. ()()af b bf a ≤
B. ()()af b bf a ≥
C. ()()af a f b ≤
D. ()()bf b f a ≤
8．已知函数()()ln x
e f x k x x x
=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值
范围是（ ）
A. (],e -∞
B. (),e -∞
C. (),e -+∞
D. [
),e -+∞
9．已知1F ，
2F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的两个焦点，过原点的直线l 交E 于,A B 两点， 220AF BF ⋅=，且223
4
||
AF BF =
，则E 的离心率为（ ） A.
12 B. 34 C. 27 D. 57
10．已知函数()f x 满足如下条件:①任意x R ∈,有()()0f x f x +-=成立;②当0x ≥时,
()()
2221
232
f x x m x m m =
-+--;③任意x R ∈,有()()1f x f x ≥-成立.
则实数m 的取值范围是
A. ⎡⎢⎣⎦
B.
11,66⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
C. ⎡⎢⎣⎦
D. 11,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
11．已知函数()()1
202
x
f x x =-
<与()()2log g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，
则a 的取值范围是（ ）
A. (,
-∞ B. (
-∞ C. (,
-∞
D. ⎛- ⎝⎭
12．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径1
7R H =，则22
H PA =（ ）
A. 2939
B. 3239
C. 3439
D. 35
39
二、填空题
13．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =， 3c =，且cos cos a b
A B
=，
则ABC 的面积等于__________．
14．点M 为ABC ∆所在平面内一动点，且M 满足： ()12
133
AM AB AC λλ=
+-， 3AC =， 3
A π
=
若点M 的轨迹与直线,A B A C 围成封闭区域的面积为
3
，则
BC =__________．
15．已知点()1,0F c -， ()2,0(0)F c c >是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点
P 是这个椭圆上位于
x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得
120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时， a 的最小值为__________．
16．把函数()()sin 0f x x x =>所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{}n a ，数列{}n b 满足3n n n b a =⋅，则数列{}n b 的前n 项和n T =__________．
三、解答题
17．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.
（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；
（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴， y 轴分别交于点,,D M N ，求
N D C
FDM
S S ∆∆ 的最小值. 18．椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，若椭圆过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若,A B 为椭圆的左、右顶点， ()00,P x y （00y ≠）为椭圆上一动点，设直线,AP BP 分别交直线l ： 6x =于点,M N ，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
19．已知函数()f x =
R ；
（1）求实数m 的取值范围； （2）设实数t 为
m 的最大值，若实数a ， b ， c 满足2222
a b c t ++=，求222111
123
a b c +++++的最小值.
20．20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1
F ， 2F ， M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时， 12F MF ∆的面积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ， 2AF 分别与椭圆交于点B ，
D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证： 12k k ⋅为定值
参考答案
BABAA CAADA 11．B 12．D 13
14．3 15．4
16．()121334
n n π+-+
17．（1）10x y +-=；（2）2
（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由24{
1
y x x my ==+得y 2－4my －4＝0，
y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝
()121212
444y y y y y y ++=
＝－4m ＝4． 所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0． （2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－
1m
)，D (2m 2
＋1，2m )． 则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2
－1)，则
M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)， S △NDC ＝12·|NC |·|x D |＝12·|2m 3＋3m ＋1m
|·(2m 2
＋1)＝()
2
221)21
2||
m m m ++（，
S △FDM ＝
12·|FM |·|y D |＝12
·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2
＋1)， 则
NDC
FDM
S S ∆∆＝
()
2
2222
21
1
44m m m m +=+
＋1≥2， 当且仅当m 2
＝
214m ，即m 2
＝12
时取等号．
所以，
NDC
FDM
S S ∆∆的最小值为2． 18．(1) 22
143
x y +=；(2)答案见解析. (1)由已知1c =， ∴221a b =+① ∵椭圆过点31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴22
9
141a b
+=② 联立①②得24a =， 23b =
∴椭圆方程为22
143
x y +=
（2）设()00,P x y ，已知()()2,0,2,0A B - ∵00y ≠，∴02x ≠± ∴,AP BP 都有斜率 ∴0000,22
AP BP y y k k x x =
=+- ∴2
2
04
AP BP
y k k x ⋅=-③
∵2200
143x y += ∴2
2
00
314x y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
④
将④代入③得2
0203143
44
AP BP
x k k x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭⋅==--
设AP 方程()2y k x =- ∴BP 方程()3
24y x k
=-
- ∴()36,8,6,M k N k ⎛⎫-
⎪⎝⎭
由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为(),0T t 则TM TN ⊥
∴()()()2
36,86,6240TM TN t k t t k ⎛
⎫⋅=-⋅--=-+-= ⎪⎝⎭
∴()2
624t -=
，∴6t =±
∴存在定点(
)6+
或(
)
6-以线段MN 为直径的圆恒过该定点. 19．（1）3m ≤-；（2）
35
（1）由题意可知23x x m --≥恒成立，令()23g x x x =--，
去绝对值可得： ()()
()
6,323{63,(03) 6,0x x g x x x x x x x -≥=--=-<<-≤，
画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；
（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以222
12315a b c +++++=，
()
222222
22211112311112312315
a b c a b c a b c ⎛⎫++⋅+++++ ⎪+++⎝⎭++=+++
222222222222
21313239312132315155
b a
c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=
≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以
222111123a b c +++++的最小值为3
5
20．（1）2212
x y +=；（2）1
6-
（1）设
由题12222
12122{ 41
12
c e a r r a r r c r r =
=+=+=⋅=，
解得1a c =
=，则21b =，
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设()()0000,0A x y x y ⋅≠， ()()1122,,,B x y C x y ，
当直线1AF
的斜率不存在时，设A ⎛- ⎝⎭
，则1,B ⎛- ⎝⎭
， 直线2AF
的方程为)1y x =-代入2212x y +=，可得25270x x --=，
275x ∴=，
210y =-
，则7,5D ⎛ ⎝⎭
， ∴直线BD
的斜率为(
)1715
k ⎛- ⎝⎭=
=--，直线OA
的斜率为22k =-，
121
626k k ⎛⎫∴⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得121
6
k k ⋅=-
.
当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，
，
设直线1AF 的方程为()0
011
y y x x =
++，则由()0
02
211
{ 12
y y x x x
y =
+++=消去x 可得：
()()222222000001242210x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，
又2
20012
x y +=，则22
0022y x =-，代入上述方程可得 ()()22200003222340x x x x x x ++---=，
2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=
++，则2,6N πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 000034,2323x y B x x ⎛⎫
+∴-- ⎪++⎝⎭
，
设直线2AF 的方程为()0
011y y x x =
--，同理可得000034,2323x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
，
∴直线BD 的斜率为00
00000
122
0000002323434341224362323
y y x x x y x y k x x x x x x +
-+===-+--+
-+， 直线OA 的斜率为0
20
y k x =
， ∴ 202
0000122
22000011
23636366
x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即121
6
k k ⋅=-.。