河南省实验中学高一上学期期中考试(数学).doc

河南省实验中学高一上学期期中考试（数学）
（时间：1，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

）
1．设集合21{|2},{1}2
A x x
B x x =-
<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2
x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤< 2．若函数()y f x ＝是函数()x 0y a a a ≠＝＞，且1的反函数，且(2)1f ＝，则()f x ＝ （ ） A ．12x B ．2log x C ． 12
log x D ．22x - 3．函数()lg f x x =的零点是 （ ）
A ．(1,0)
B ．(1,0)和(1,0)-
C ．1
D ．1和1-
4．若函数()y f x =的定义域为{}22M x x =-≤≤，值域为{}02N y y =≤≤,则函数()y f x = 的图象可能是 （ ）
5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x
--<的 解集为 （ ）
A ．(10)(1)-+∞，，
B ．(1)(01)-∞-，，
C ．(1)(1)-∞-+∞，，
D ．(10)(01)-，，
6．函数212
log (56)y x x =-+的单调递增区间为 （ ）
A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，
B ．(2)-∞，
C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，
D ．(3)+∞， 7．设函数1()ln (0),3
f x x x x =->则()y f x = （ ） A ．在区间1
(,1),(1,)e e
内均有零点。

B ．在区间1(,1),(1,)e e
内均无零点。

C ．在区间1(,1)e
内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

D ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

8．设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （ ）
Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<
9．为了得到函数3lg 10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．函数12()2x f x x -=-的零点的个数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()f x y f x f y +=+．下列
函数中不满足其中任何一个等式的是 （ ）
A ．()3x f x =
B ．()f x x =
C ．2()log f x x =
D ．2()f x x = 12．定义两种运算：222)(,b a b a b a b a -=⊗-=
⊕，则函数2)2(2)(-⊗⊕=x x x f 为（ ） A ．奇函数 B ．偶函数
C ．奇函数且为偶函数
D ．非奇函数且非偶函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上）
13．x x f lg 11
)(-=的定义域为
14．定义运算()() , .
a a
b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 ． 15．设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 16．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，如果存在实数m 、n 使得h (x ) = m f (x )+ng (x )，
那么称h (x )为f (x )、g (x )在R 上生成的函数.
设2
()f x x x =+ ，()2g x x =+，若h (x )为f (x )、g (x )在R 上生成的一个偶函数，且(1)3h =，则函
数h (x )=__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B =，求实数m 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x x =--。

（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求不等式()1f x <的解集。

19．（本小题满分12分）
英国物理学家和数学家牛顿(Issac Newton,1643-1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。

如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过时间t 后物体的温度θ将满足 010()kt e θθθθ-=+-⋅，其中k 为正的常数
某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温13℃，到早上七点时，其体温下降到11℃. 若假设室外温度约维持在10℃，且人体正常体温为37℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡？
本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
21．（本小题满分12分）
已知n 为正整数，规定)),(()(),()(11x f f x f x f x f n n ==+
已知⎩⎨⎧≤<-≤≤-=2
1,110),1(2)(x x x x x f （1）解不等式x x f ≤)(；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意A x ∈，证明：.)(3x x f =
22．（本小题共12分）
对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，
（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
参考答案
一．选择题 ABDBD BCA CC DA
二．填空题
13．(0,10） 14．(0,1] 15．
12 16． 236x -+ 三．解答题
17．解：由A B B =，得B A ⊆.………（2分）
当B =∅时，有：231m m -≥+，解得14
m ≤………（4分）. 当B ≠∅时，如右图数轴所示，则
23121317m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得124m <≤.………（8分） 综上可知，实数m 的取值范围为2m ≤………（10分）.
18．（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，
()00f ∴=。

设0x <，则0x ->，()()21f x f x x x ∴=--=--+，
()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪∴==⎨⎪--+<⎩
………（6分）
（2）当0x >时，由211x x --<得02x <<；
当0x =时，符合题意；
当0x <时，由211x x --+<得1x <-；
∴原不等式的解集为()[),10,2-∞-。

………（12分）
19．解：设流浪汉在早上0t 时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有
0(6)(76)1310(3710)1110(1310)k t k e e ----⎧=+-⎨=+-⎩，即0(6)9131
k t k e e ---⎧=⎨=⎩，则0611()39t -=，解得04t =. 所以可以判定在早上4点死亡。

析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
11201()22x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41
a a a --=-⇒=++………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221
x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得： 2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-………（12分）
21．解：（1）当10≤≤x 时，由x x ≤-)1(2有,32≥
x 故132≤≤x ，当21≤<x 时，
由x x ≤-1求得R x ∈，故21≤<x 综上讨论可知：23
2≤≤x ………………………………………………（6分） （2）1)2(,0)1(,2)0(===f f f
在0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3====f f f f f f f
同理可求1=x 时，2)2(,2,1)1(33===f x f 故A x ∈时，恒有.)(3x x f =……………………………………（12分）
22. （1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =--，由23x x x --=得123,1x x ==-所以函数()f x 的不动
点为3和1- ………（6分）
（2）因为函数()f x 恒有两个相异的不动点，所以()f x x =即2
(1)0ax bx b ++-=有两个不等实根故恒有 24(1)0b a b ∆=--> 因为对任意实数b ，2440b ab ∆=-+>恒成立 所以'2(4)160a ∆=--< 11a ∴-<<………（12分）。